Khóa luận tốt nghiệp toán Lý thuyết phổ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • • KHOA TOÁN -—0O0-— TRẦN THỊ HIỀN LÝ THUYẾT PHỔ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. BÙI KIÊN CƯỜNG HÀ NỘI - 2014 Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn - tiến sĩ Bùi Kiên Cường, thày đã tận tình chỉ bảo và nghiêm khắc hướng dẫn em để em có thể hoàn thành khóa luận này. Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khóa luận, em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và sự chỉ bảo của thày cô. Qua đây cho em được bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Trần Thi Hiền Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “LÝ THUYẾT PHỔ ” em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận của mình. Danh sách tài liệu tham khảo em đã đưa vào mục tài liệu tham khảo của khóa luận. Em xin cam đoan khóa luận được hình thành bởi sự cố gắng, nỗ lực của bản thân cùng vói sự hướng dẫn tận tình của thày giáo T.SBÙI KIÊN CƯỜNG cũng như các thầy cô ttong tổ Giải tích. Đây là đề tài không trùng với đề tài của các tác giả khác. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Tác giả Trần Thi Hiền LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC 2.1. 2.2. Ví dụ về phổ của toán tử Compact 30 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa học khác, là thành phần không thể thiếu của văn hóa phổ thông. Môn Toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy con ngưòi. Giải tích hàm là một trong những lĩnh vực toán học đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các cấu trúc toán học. Trong quá trình phát triển giải tích hàm đã tích lũy được một số nội dung hết sức phong phú. Những phương pháp và kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và sử dụng công cụ giải tích và không gian véc tơ. Chính điều đó đã mở ra phạm vi nghiên cứu lớn cho ngành toán học. Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về bộ môn này và bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài: “LÝ THUYẾT PHỔ ” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm đặc biệt về lý thuyết phổ. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về lý thuyết phổ. 4. Đối tượng nghiên cứu Các khái niệm và kết quả về lý thuyết phổ trong không gian Hilbert. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. 5 Phương pháp giải tích hàm. 6. Đóng góp của khóa luận Khóa luận là một tài liệu tổng quan về lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Hilbert. Đe tài chủ yếu xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa những khái niệm của lý thuyết này. 6 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian định chuẩn. Không gian Hỉlbert 1.1.1. Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P ỊP - M hoặc p=c) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực M, kí hiệu là ■ và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1) |jc >0, X = 0 X = ế? (M hiệu phần tử không là 0 ); 2) (v*ex) (Va a 3) (v.x,;yex) II*+ y Số X gọi là chuẩn của véctơ X. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X . Các tiên đề 1),2),3) gọi là hệ tiên đề chuẩn. Ví dụ : Trên không gian vectorM*, có + (1.1) ;x = (x v x 2 , ,x k )e№. k . ( 1 . 2 ) < = max j Công tìiức (1.1), (1.2) được gọi là các công thức chuẩn xác định trên không gian R* 1.1.2. Tích vô hướng Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian tuyến tính X ừên trường P (P là trường số thực M hoặc trường số phức C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X X vào trường P, kí hiệu (v), thỏa mãn tiên đề : 1) (VXJEX) , 2) (v^,}í,zex) ,(* + y,z) = (x,z) + (;y,z); 3) (v^,J 6 x)(v« e p),(ax,y) = 4) (VxeX) ,(*,*)> 0, (jc,jc) = 0khi và chỉ khije = ỡ. Các phần tử X,Y,Z gọi là nhân tử của tích vô hướng, số (*,;y) gọi là tích vô hướng của hai nhân tử X và y . Các tiên đề (1), (2),(3),(4) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng. * Một sổ tính chất cơ bản : (1) ( v * G X ) , (ỡ,x) = 0; (2) (V x,ye X )(VaeP) , ịx, ay) = aịx ,y); (3) (v*,;y,.zex), (x,y+ z) = (*,)>) +(*,z); 1.1.3. Bất đẳng thức Schwarz Cho X là không gian tích vô hướng, vói mồi* € X , ta đặt: ịx ị =Ậx, x ) Khi đó, Vx,_y e X , ta có bất đẳng thức Schwarz : MI* 1.1.4. Không gian Hỉlbert Định nghĩa 1.1.3. Ta gọi H^0 gồm những phần tà X,Y,Z , nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện: (1) H là không gian tuyến tính trên trường P ; X (2) H được trang bị một tích vô hướng ( v)(3) H là không gian Banach với chuẩn X = ẬĨ~XJ,\/X G H. Ví dụ: • Không gian R* là không gian vector thực K chiều. Ta có R K cùng vói hệ thức (3) thỏa mãn hệ tiên đề về tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng: = Ậ^xj = ịỵ/ĩ,Vx = ( x 1 ,x 2 , .,x k )eM k Vậy không gian vector thực R* cùng với tích vô hướng (3) là một không gian Hilbert. Định nghĩa 1.1.4. Mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H. Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian Hilbert H. Hai phần tử X,Y &H gọi là trực giao, kí hiệu X _L Y nếu (x,Ỳ} = 0. Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian Hilbert H và tập con ACZH,A^0, phần tử X eH gọi là trực giao với tậpA, nếuX _L ểấỊ, và kí hiệu X LA. * Một số tính chất cơ bản: (1) 6 _L X, VX G H, (0 là kí hiệu phần tử không của không gian H). (2) X mà X±X thìjc — 9. (3) Nếu các phần tử X,Y. eHỤ = 1,2 , t h ỏ a mãn điều kiện x ± y l ị j = l,2, ,n) thìVa^ = 2,.tacó: ' J -Ệ Í W j=1 [...]... quy (hay điểm chính quy) của toán tử A, nếu tồn tại toán tử RX xác định và bị chặn trên toàn không gian X số Ẳ gọi là giá trị phổ hay điểm phổ của toán tử A, nếu số Ẳ không là giá trị chính quy của toán tửẤ Định nghĩa 1.3.2 Tập hợp tất cả các giá trị phổ của toán tử A gọi là phổ của toán tử A Định nghĩa 1.3.3 Tập tất cả các giá trị riêng của toán tử A gọi là PHỔ ĐIỂM của toán tử A Kí hiệu Ơ (À) Định... 2 4 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khỉ đó tồn tại toán tử A* liên hợp với toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X Định nghĩa 1.2.4 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian gọi là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu: = ịx,By^,\/x e X, Vy e Y Toán tử liên họp... là giá trị riêng của toán tử Ả, ;t0 gọi là vectơ riêng của toán tử A tương ứng vói giá trị riêng Ẫ0 Trong 1 trường hợp này hiển nhiên không tồn tại toán tử ngược RẲ của toán TỬAẮ =A-ẲI, do đó phương trình (1.4) không có nghiệm duy nhất Rõ ràng sự tồn tại nghiệm của phương trình (1.4) phụ thuộc vào sự tồn tại nghiệm của toán tử RẮ Toán tử RẰ gọi là toán tử giải hay giải thức của toán tử A Định nghĩa... Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số c > 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức , Vjc e X gọi là chuẩn của toán tử A và kí < A hiệu là r 9 * Tính chât của chuân của toán tử: (1) (v*ex) , (2) (Vff>0)(3*eex), ( | | A | | Định lý 1.2.1 Định lý chuẩn của toán tử Cho toán tử tuyến tính A, từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu toán tử... đó toán tử A + B có toán tử ngược bị chặn Đ ị n h l ý 1 3 2 Cho A là toán tử tuyển tính bị chặn tác dụng trong không ĩ > gian Hilbert H và sô Ẳ&p thỏa mãnKhi đókiện điêu số Ả > _ 7 r»! là giá trị chính quy của toán tử Ả và toán tử giải R có biêu diên dạng: 'k = 0 1.3.2 Phổ của toán tử tự liên hợp Cho A là toán tử tự liên họp tác dụng trong không gian Hilbert Ta có các định lý sau đây: Đ ị n h l... được gọi là PHỔ THẶNG DƯ Kí hiệu là: 1 Ơ{T ) đóng và rời nhau từ Ế>{T ^ v à ơ ( r ^ = Ị / l e C Ẳ . nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. 5 Phương pháp giải tích hàm. 6. Đóng góp của khóa luận Khóa luận là một tài liệu tổng quan về lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không. “LÝ THUYẾT PHỔ ” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Bước đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm đặc biệt về lý thuyết. TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • • KHOA TOÁN -—0O0-— TRẦN THỊ HIỀN LÝ THUYẾT PHỔ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC • • • • Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa