Đề cương môn toán lớp 8 học kỳ I đầy đủ, soạn rất kỹ. ...................................................................................................................................................................................
Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau. A(B + C) = A.B + A.C Lưu ý: Dấu của hạng tử khi khai triển, để tránh sai sót. Ví dụ: A(B - C) = A.B + A.(-C) = A.B - A.C. .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I ::. TỔNG QT PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH TỐN 8 Cả năm: 140 tiết Đại số: 70 tiết Hình học: 70 tiết Học kì I: 19 tuần (72 tiết) 40 tiết 32 tiết Học kì II:18 tuần (68 tiết) 30 tiết 38 tiết A. PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC BÀI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC I. KIẾN THỨC CẦN NẮM: II. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài tập 1: Thực hiện phép tính nhân: a) 3 2 3 1 x 2x x x 3 + − ÷ b) 2 2 2 1 1 4x y x y xy 3 2 − + ÷ c) ( ) 2 3 2 2 3y 6xy x xy 3 − + + − ÷ Giải a) 3 2 3 3 2 3 3 3 5 6 4 1 1 1 x 2x x x x .2x x .x x . x 2x x x 3 3 3 + − = + + − = + − ÷ ÷ b) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 4x y x y xy 4x y. xy x . xy y . xy 2x y x y xy 3 2 2 2 3 2 2 6 − + = + − + = − + ÷ ( ) 2 3 2 2 2 2 3 2 4 2 3 4 2 2 2 2 2 c) 3y 6xy x xy 3y . xy 6xy. xy x . xy 3 3 3 3 2xy 4x y x y − + + − = − − + − + − ÷ ÷ ÷ ÷ = − − Bài tập 2: Rút gọn, rồi tính giá trị của biểu thức: a) x(x - y) + y(x + y) tại x = - 6 và y = 8 b) x(x 2 - y) - x 2 (x + y) + y(x 2 - x) tại x = 1 2 và y = - 100 Giải a) x(x - y) + y(x + y) = x 2 - xy + xy + y 2 = x 2 + y 2 Thay x = - 6 và y = 8 vào biểu thức ta được: x 2 + y 2 = (-6) 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100. b) x(x 2 - y) - x 2 (x + y) + y(x 2 - x) = x 3 - xy - x 3 - x 2 y + x 2 y - xy = - 2xy Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213 423 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I ::. Thay x = 1 2 và y = - 1 vào biểu thức ta được: ( ) 1 2xy 2. . 1 1 2 − = − − = Bài tập 3: Tìm x, biết: a) 2x(3x - 5) - 3x(2x - 2) = 8 b) 10x(x - 5) + 5x(3 - 2x) = 70 Giải a) 2x(3x - 5) - 3x(2x - 2) = 8 ⇔ 6x 2 - 10x - 6x 2 + 6x = 8 ⇔ - 4x = 8 ⇔ x = -2 b) 10x(x + 2) + 5x(3 - 2x) = 70 ⇔ 10x 2 + 20x + 15x - 10x 2 = 70 ⇔ 35x = 70 ⇔ x = 2 Bài tập 4: Một mảnh đất hình chữ nhật có hai chiều bằng (6x + 3) mét và 5 mét. a) Hãy viết biểu thức tính diện hình chữ nhật nói trên. b) Tính diện tích hình chữ nhật nếu cho x = 2 mét. Giải a) Biểu thức tính diện tích hình chữ nhật: 5(6x + 3) b) Diện tích hình chữ nhật khi x = 2 là: 5(6.2 + 3) = 75 mét vng. Bài tập 5: Điền giá trị vào bảng bên dưới, nếu biết giá trị của biểu thức: A = mx(x - y) + y 3 (x + y) tại x = - 2 và y = 2 (m là hằng số) m 1 2 3 A III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Thực hiện phép tính nhân: a) ( ) 2 3 5 1 x 2x 4x 6x 4 − − − ÷ b) ( ) 3 2 2 3 1 3x y 6x y 9xy xy 3 + + Bài tập 2: Rút gọn, rồi tính giá trị của biểu thức: a) x(x 2 + xy + y 2 ) - y(x 2 + xy + y 2 ) tại x = 3 và y = - 2 b) x 2 (y 2 - y) + y 2 (x 2 - x) + xy(x + y) tại x = 2− và y = 3− Bài tập 3: Tìm x, biết: a) 3x(2x - 1) - 2x(3x + 1) = 10 b) 4x(3x - 2) + 3x(3 - 4x) = 2 Bài tập 4: Một hình thang có kích thước hai chiều bằng (2x + 4) mét và (3y + 2) mét, chiều cao 2y mét. a) Hãy viết biểu thức tính diện tích hình thang nói trên theo x và y. Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213 423 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I ::. b) Tính diện tích hình thang nếu cho x = 2, y = 1 2 mét. BÀI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC I. KIẾN THỨC CẦN NẮM: II. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài tập 1: Thực hiện phép tính nhân: a) (2x 2 + x 3 - 3x)(x - 3) b) (4x - 3x 2 + 5x 3 )(3 - 2x) c) ( ) 2 3 2 1 5x 2 x x 5 2 − − ÷ Giải a) (2x 2 + x 3 - 3x)(x - 3) = 2x 2 .x + 2x 2 .(-3) + x 3 .x + x 3 .(-3) + (-3x).x + (-3x).(-3) = 2x 3 - 6x 2 + x 4 - 3x 3 - 3x 2 + 9x = x 4 - x 3 - 9x 2 + 9x b) (4x - 3x 2 + 5x 3 )(3 - 2x) = 4x.3 + 4x.(-2x) + (-3x 2 ).3 + (-3x 2 ).(-2x) + 5x 3 .3 + 5x 3 .(-2x) = 12x - 8x 2 - 9x 2 + 6x 3 + 15x 3 - 10x 4 = -10x 4 + 21x 3 - 17x 2 + 12x ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 3 4 2 3 4 3 2 2 1 2 1 2 1 c) x 5x 2 x x 5x. x 5x. x 2 . x 2 . x 5 2 5 2 5 2 5 4 2x x x x 2 5 5 4 x 3x x 2 5 − − = + − + − + − − ÷ ÷ ÷ = − − + = − + − Bài làm 2: Tìm x, biết: a) (7x - 3)(x + 3) - (x + 2)(7x + 1) = - 2 b) (6x - 5)(2x + 5) + (3x - 5)(3 - 4x) = 9 Giải a) (7x - 3)(x + 3) - (x + 2)(7x + 1) = - 2 ⇔ 7x.x + 7x.3 + (-3).x + (-3).3 - (x.7x + x.1 + 2.7x + 2.1) = - 2 ⇔ 7x 2 + 21x - 3x - 9 - (7x 2 + x + 14x + 2) = - 2 ⇔ 7x 2 + 18x - 9 - 7x 2 - 15x - 2 = - 2 ⇔ 3x - 11 = - 2 ⇔ 3x = 9 ⇔ x = 3 b) (6x - 5)(2x + 5) + (3x - 5)(3 - 4x) = 9 Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213 423 Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau. (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D Lưu ý: Để chứng minh "một biểu thức khơng phụ thuộc vào x" thì ta thu gọn biểu thức và kết quả thu được là một hằng số. .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I ::. ⇔ 6x.2x + 6x.5 + (-5).2x + (-5).5 + 3x.3 + 3x.(-4x) + (-5).3 + (-5).(-4x) = 9 ⇔ 12x 2 + 30x - 10x - 25 + 9x - 12x 2 - 15 + 20x = 9 ⇔ 49x - 40 = 9 ⇔ 49x = 49 ⇔ x = 1 Bài tập 3: Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc vào giá trị của x: (2x - 3)(3x + 4) - 6x(x - 1) - 5x + 10 Giải (2x - 3)(3x + 4) - 6x(x - 1) - 5x + 10 = 2x.3x + 2x.4 + (-3).3x + (-3).4 + (-6x).x + (-6x).(-1) - 5x + 10 = 6x 2 + 8x - 9x - 12 - 6x 2 + 6x - 5x + 10 = (6x 2 - 6x 2 ) + (8x - 9x + 6x - 5x) + (-12 + 10) = - 2 Bài tập 4: Tìm giá trị của biểu thức (x + y)(x - y) - (x + y)(x + 1) tại x = 2, y = - 3. Giải (x + y)(x - y) - (x + y)(x + 1) = x.x + x.(-y) + y.x + y.(-y) - (x.x + x.1 + y.x + y.1) = x 2 - xy + xy - y 2 - x 2 - x - xy - y = - y 2 - xy - x - y Thay x = 2, y = - 3 vào biểu thức, ta được: - y 2 - xy - x - y = - (-3) 2 - 2.(-3) - 2 - (-3) = - 2 Bài tập 5: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số trước là 20 đơn vị. Giải Gọi số tự nhiên lẻ đầu tiên là x, (x > 0, x là số lẻ) ⇒ Số tự nhiên lẻ thứ hai là x + 2 ⇒ Số tự nhiên lẻ thứ ba là x + 4 Theo bài ra, ta có: (x + 2)(x + 4) = x(x + 2) + 20 ⇔ x 2 + 4x + 2x + 8 = x 2 + 2x + 20 ⇔ 4x - 12 = 0 ⇔ x = 3. Vậy ba số lẻ liên tiếp là 3, 5, 7. III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Thực hiện phép tính nhân: a) 2 2 3 2 1 1 x 4x x x x 3 3 4 − + − ÷ ÷ b) (5x - 3 + 4x 3 )(6x 2 - 7x) Bài tập 2: Tìm x, biết: a) (3x + 2)(5x - 10) - (15x - 2)(3 + x) = - 112 b) (2x - 7)(7x - 1) + (3 - 14x)(x + 2) = 89 Bài tập 3: Chứng minh biểu thức: (x + y)(x 2 - xy + y 2 ) - x 3 - y 3 + 2014 khơng phụ thuộc vào x. Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213 423 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I ::. Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức (x - y)(x 2 + xy + y 2 ) tại x = 5 và y = - 5 . Bài tập 5: Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp sao cho tích của số thứ nhất và số thứ ba nhỏ hơn tích của số thứ hai và số thứ ba là 32 đơn vị. LUYỆN TẬP Bài tập 1: Thực hiện phép tính nhân: a) 7x 2 (5x 2 – 2x + 3) b) 4x 3 (3x 2 + 5x – 6) c) (3x 2 – 2x)(6x 2 – 4x + 5) d) (2x 2 + 3x)(7x 2 – 4x – 5) Bài tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 2x(x - 3) tại x = 0 và x = 1 2 b) (x - 1)(x - 2) - (x - 2)(x - 3) tại x = 2 và x = - 3 c) (x + 1)(x 2 - x + 1) - 1 tại x = 0 và x = -1 Bài tập 3: Tìm x, biết: a) 3x(x - 7) - (x + 2)(5 + 3x) = 10 b) (x - 1)(x + 2) + (x + 2)(x - 3) = 0 c) (x 2 - 5)(x + 3) + (x + 4)(x - x 2 ) = - 30 d) (12x - 5)(4x - 1) + (3x - 7)(1 - 16x) = 81 Bài tập 4: Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc vào x. a) (x - 5)(2x + 3) - 2x(x - 3) + x + 7 b) x(x - y) + y(x - y) - (x - y)(x + y) c) –5x(5x – 2) + (5x + 1)(5x – 1) – 10x d) (x + 8)(x – 4) – x(x – 12) + 32 e) (2x + 3)(3x – 1) – 6x(x – 2) – 19(x – 5). Bài tập 5: Chứng minh rằng: a) (3x + 2y)(5x – y) – y 2 = 15x 2 + 7xy – 3y 2 b) 2x 2 + 5xy + 3y 2 = 4x 2 – (x – 3y)(2x + y) c) (x + y)(x – y) – 9y 2 = (x – 2y)(x + 5y) – 3xy. Bài tập 6: Tìm x, biết: a) 4x(3x – 7) – 6(2x 2 – 5x + 1) = 12 b) (5x + 3)(4x – 1) + (10x – 7)(–2x + 3) = 27 c) (8x – 5)(3x + 2) – (12x + 7)(2x – 1) = 17 d) (5x + 9)(6x – 1) – (2x – 3)(15x + 1) = –190. Bài tập 7: a) Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 100. b) Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 256. c) Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 68. Bài tập 8: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) x 4 – 2224x 3 + 2223x 2 – 2223x + 2223 tại x = 2222 b) x 14 – 2009x 13 + 2009x 12 – 2009x 11 + + 2009x 2 – 2009x + 2009 tại x = 2008. Bài tập 9: Cho A = 123456.123457 – 123455.123458 và B = 987654.987655 – 987653.987656 So sánh A và B. Bài tập 10: Xác định a, b biết: (x + a)(x + 5) = x 2 + 3x + b với mọi x. Bài tập 11: a) Cho a, b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 5 dư 3, b chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng ab chia cho 5 dư 2. b) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho (5 x + 3)(5 y + 4) = 516. Bài tập 12: Cho p là số ngun tố, p ≥ 5 thoả mãn 2p + 1 là số ngun tố. Chứng minh rằng: p(p + 7) + 31 là hợp số. Bài tập 13: Rút gọn biểu thức: A = 75(4 1993 + 4 1992 + + 4 2 + 5) + 25 Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213 423 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I ::. BÀI 3: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ I. KIẾN THỨC CẦN NẮM: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ: (1) Bình phương của một tổng: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (2) Bình phương của một hiệu: (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 (3) Hiệu hai bình phương: A 2 - B 2 = (A + B)(A - B) (4) Lập phương của một tổng: (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (5) Lập phương của một hiệu: (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 (6) Tổng hai lập phương: A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 - AB + B 2 ) (7) Tổng hai lập phương: A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 ) Lưu ý: (A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC II. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài tập 1: Tính: a) (x + 4) 2 b) (7 - 2x) 2 c) 4y 2 - 9x 2 d) (3 + 2y) 3 e) (2x - 2y) 3 f) 8x 3 + 1 g) 64y 3 - x 3 Giải a) (x + 4) 2 = x 2 + 2.x.4 + 4 2 = x 2 + 8x + 16 b) (7 - 2x) 2 = 7 2 - 2.7.2x + (2x) 2 = 49 - 28x + 4x 2 c) 4y 2 - 9x 2 = (2y) 2 - (3x) 2 = (2y + 3x)(2y - 3x) d) (3 + 2y) 3 = 3 3 + 3.3 2 .2y + 3.3.(2y) 2 + (2y) 3 = 27 + 54y + 36y 2 + 8y 3 e) (2x - 2y) 3 = (2x) 3 - 3.(2x) 2 .2y + 3.2x.(2y) 2 - (2y) 3 = 8x 3 - 24x 2 y + 24xy 2 - 8y 3 f) 8x 3 + 1 = (2x) 3 + 1 3 = (2x + 1)[(2x) 2 - 2x + 1] = (2x + 1)(4x 2 - 2x + 1) g) 64y 3 - x 3 = (4y) 3 - x 3 = (4y - x)[(4y) 2 + 4y.x + x 2 ] = (4y - x)(16y 2 + 4xy + x 2 ) Bài tập 2: Đưa các biểu thức sau về dạng hằng đẳng thức: a) x 2 + 10x + 25 b) x 2 + 2xy + y 2 c) 25a 2 + 4b 2 + 20ab d) 9 - 6x + x 2 e) 25x 2 - 10x + 1 f) 4a 2 - 12ab + 9b 2 g) (x + y)(x - y) h) (2x - 3y)(2x + 3y) i) (y + 3x)(3x - y) k) x 3 + 12x 2 + 48x + 64 l) x 3 - 6x 2 + 12x - 8 m) - x 3 + 3x 2 - 3x + 1 n) (x + 2)(x 2 - 2x + 4) p) (3x - y)(9x 2 + 3xy + y 2 ) q) (2x + y)(4x 2 - 2xy + y 2 ) Giải a) x 2 + 10x + 25 = x 2 + 2.x.5 + 5 2 = (x + 5) 2 b) x 2 + 2xy + y 2 = (x + y) 2 c) 25a 2 + 4b 2 + 20ab = (5a) 2 + 2.5a.2b + (2b) 2 = (5a + 2b) 2 d) 9 - 6x + x 2 = 3 2 - 2.3.x + x 2 = (3 - x) 2 e) 25x 2 - 10x + 1 = (5x) 2 - 2.5x.1 + 1 2 = (5x - 1) 2 f) 4a 2 - 12ab + 9b 2 = (2a) 2 - 2.2a.3b + (3b) 2 = (2a - 3b) 2 g) (x + y)(x - y) = x 2 - y 2 h) (2x - 3y)(2x + 3y) = (2x) 2 - (3y) 2 = 4x 2 - 9y 2 Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213 423 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I ::. i) (y + 3x)(3x - y) = y 2 - (3x) 2 = y 2 - 9x 2 k) x 3 + 12x 2 + 48x + 64 = x 3 + 3.x 2 .4 + 3.x.4 2 + 4 3 = (x + 4) 3 l) x 3 - 6x 2 + 12x - 8 = x 3 - 3.x 2 .2 + 3.x.2 2 - 2 3 = (x - 2) 3 m) - x 3 + 3x 2 - 3x + 1 = -(x 3 - 3x 2 + 3x - 1) = - (x - 1) 3 = (1 - x) 3 n) (x + 2)(x 2 - 2x + 4) = (x + 2)(x 2 - 2x + 2 2 ) = x 3 + 2 3 = x 3 + 8 p) (3x - y)(9x 2 + 3xy + y 2 ) = (3x - y)([(3x) 2 + 3x.y + y 2 ] = (3x) 3 - y 3 = 27x 3 - y 3 q) (2x + y)(4x 2 - 2xy + y 2 ) = (2x + y)[(2x) 2 - 2x.y + y 2 ] = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3 Bài tập 3: Chứng minh rằng: a) (10a + 5) 2 = 100a(a + 1) + 25. Áp dụng tính: 25 2 , 35 2 , 45 2 . b) (a + b) 2 = (a - b) 2 + 4ab. Áp dụng tính: (a + b) 2 , biết a - b = 2 và a.b = 35 c) (a - b) 2 = (a + b) 2 - 4ab. Áp dụng tính: (a - b) 2 , biết a + b = 8 và a.b = 15 d) (a + b) 3 = 3ab(a + b) + a 3 + b 3 . Áp dụng tính: a 3 + b 3 , biết a.b = 35 và a + b = 12 e) a 3 - b 3 = (a - b) 3 + 3ab(a - b). Áp dụng tính: a 3 - b 3 , biết a.b = 12 và a - b = 1. Giải a) Ta có: (10a + 5) 2 = (10a) 2 + 2.10a.5 + 5 2 = 100a 2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25 = Vế phải Áp dụng: 25 2 = (10.2 + 5) 2 = 100.2(2 + 1) + 25 = 625. 35 2 = (10.3 + 5) 2 = 100.3(3 + 1) + 25 = 1225 45 2 = (10.4 + 5) 2 = 100.4(4 + 1) + 25 = 2025 b) (a - b) 2 + 4ab = a 2 - 2ab + b 2 - 4ab = a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = Vế trái. Áp dụng: (a + b) 2 = (a - b) 2 + 4ab = 2 2 + 4.35 = 4 + 140 = 144 c) (a + b) 2 - 4ab = a 2 + 2ab + b 2 - 4ab = a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) 2 = Vế trái Áp dụng: (a - b) 2 = (a + b) 2 - 4ab = 8 2 - 4.15 = 4 d) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + 3ab(a + b) + b 3 = 3ab(a + b) + a 3 + b 3 = Vế phải. Áp dụng tính: a 3 + b 3 = (a + b) 3 - 3ab(a + b) = 12 3 - 3.35.12 = 468 e) (a - b) 3 + 3ab(a - b) = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 + 3a 2 b - 3ab 2 = a 3 - b 3 = Vế trái. Áp dụng: a 3 - b 3 = (a - b) 3 + 3ab(a - b) = 1 3 + 3.12.1 = 37 Bài tập 4: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 16x 2 + 24x + 9 tại 3 x 2 = b) 49x 2 - 70x + 25 tại x = 5 và 1 x 7 = c) x 3 + 12x + 48x + 64 tại x = 6 d) x 3 - 6x 2 + 12x - 8 tại x = 22 e) (2x + 3)(4x 2 - 6x + 9) tại 1 x 2 = f) (x - 5)(x 2 + 5x + 25) tại x 6= Giải a) 16x 2 + 24x + 9 = (4x) 2 + 2.4x.3 + 3 2 = (2x + 3) 2 . Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213 423 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I ::. Thay 3 x 2 = vào biểu thức, ta được: ( ) 2 2 2 3 2x 3 2. 3 6 36 2 + = + = = ÷ b) 49x 2 - 70x + 25 = (7x) 2 - 2.7x.5 + 5 2 = (7x - 5) 2 . Thay x = 5 vào biểu thức, ta được: (7x - 5) 2 = (7.5 - 5) 2 = 25 2 = 625. Thay 1 x 7 = vào biểu thức, ta được: (7x - 5) 2 = ( ) 2 1 7. 5 4 16 7 − = − = ÷ c) x 3 + 12x + 48x + 64 = x 3 + 3.x 2 .4 + 3.x.4 2 + 4 3 = (x + 4) 3 . Thay x = 6 vào biểu thức, ta được: (x + 4) 3 = (6 + 4) 3 = 10 3 = 1000. d) x 3 - 6x 2 + 12x - 8 = x 3 - 3.x 2 .2 + 3.x.2 2 - 2 3 = (x - 2) 3 . Thay x = 22 vào biểu thức, ta được: (x - 2) 3 = (22 - 2) 3 = 20 3 = 8000. e) (2x + 3)(4x 2 - 6x + 9) = (2x + 3)[(2x) 2 - 2x.3 + 3 2 ] = (2x) 3 + 3 3 = 8x 3 + 27. Thay 1 x 2 = vào biểu thức, ta được: 3 3 1 8x 27 8. 27 28 2 + = + = ÷ f) (x - 5)(x 2 + 5x + 25) = (x - 5)(x 2 + x.5 + 5 2 ) = x 3 - 5 3 = x 3 - 125. Thay x 6= vào biểu thức, ta được: x 3 - 125 = 6 3 - 125 = 216 - 125 = 91. Bài tập 5: Tính: a) (x + y + z) 2 b) (x + y - z) 2 c) (x - y - z) 2 Giải a) (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2zx b) (x + y - z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy - 2yz - 2zx c) (x - y - z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy + 2yz - 2zx Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 - 10x + 26 Giải Ta có: A = x 2 - 10x + 26 = (x 2 - 10x + 25) + 1 = (x - 5) 2 + 1 ≥ 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 đạt được khi x - 5 = 0 ⇔ x = 5. Bài tập 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 20 - 4x - 4x 2 . Giải Ta có: B = 20 - 4x - 4x 2 = 21 - (1 + 4x + 4x 2 ) = 21 - (1 + 2x) 2 ≤ 21. Vậy giá trị lớn nhất của B là 21 đạt được khi 1 + 2x = 0 1 2x 1 x 2 ⇔ = − ⇔ = − III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Tính: a) (2x + 3) 2 b) (5x – 4) 2 c) (4x 2 + 3y)(4x 2 – 3y) d) (2x + 1) 3 e) (x – y 2 ) 3 f) (2x + 3)(4x 2 – 6x + 9) g) (x – 2y)(x 2 + 2xy + 4y 2 ) h) (x + y)(x 2 – xy + y 2 )(x 3 – y 3 ) Bài tập 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu: a) x 2 + 6x + 9 b) 25x 2 – 10xy + y 2 c) x 2 + x + 1 4 d) 4 9 x 2 + 20 3 xy + 25y 2 . Bài tập 3: Tính: a) (x + 2y + 3z) 2 b) (x – 2y + 3z) 2 c) (x - 2y - 3z) Bài tập 4: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu: Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213 423 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I ::. a) x 3 + 6x 2 + 12x + 8 b) 8 – 12x + 6x 2 – x 3 c) 8x 3 – 12x 2 y 2 + 6xy 4 – y 6 d) –x 3 + 6x 2 – 12x + 8 Bài tập 5: Rút gọn các biểu thức: a) (3x – 2) 2 + (4x – 1) 2 + (2 + 5x)(2 – 5x) b) (x + 2)(x 2 – 2x + 4) – (x – 3)(x 2 + 3x + 9) c) (x + y – z) 2 + 2(x + y – z)(z – y) + (z – y) 2 d) (a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 + 3a 2 b + 3b 2 c + 3c 2 a. Bài tập 6: Tìm x, biết: a) (x + 2) 2 + (x – 3) 2 = 2x(x + 7) b) (x + 3)(x 2 – 3x + 9) = x(x 2 + 4) – 1 c) (x + 1) 3 + (x – 1) 3 = 2x 3 d) x 3 – 3x 2 + 3x – 126 = 0. Bài tập 7: Tính nhanh: a) 89 2 + 11 2 + 22.89 b) 73 2 + 23 2 – 46.73 c) 976 2 – 975 2 + 975 2 – 974 2 . Bài tập 8: a) Viết biểu thức sau dưới dạng tổng cùa hai bình phương: 4x 2 + y 2 – 4x + 10y + 26 b) Tìm x, y biết: 4x 2 + y 2 – 4x + 10y + 26 = 0. Bài tập 9: Tính nhanh: a) A = 100 2 – 99 2 + 98 2 – 97 2 + + 2 2 – 1 2 b) B = 1 2 – 2 2 + 3 2 – 4 2 + – 2008 2 + 2009 2 c) C = (2 + 1)(2 2 + 1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1) – 2 32 . Bài tập 10: a) Chứng minh rằng các biểu thức sau dương với mọi x A = x 2 + 8x + 17 và B = x 2 – 10x + 29 b) Chứng minh rằng các biểu thức sau âm với mọi x C = –x 2 + 2x – 5 và D = –x 2 + x – 1 Bài tập 11: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = 4x 2 – 4x + 2009 b) Tìm già trị lớn nhất của biểu thức sau: B = –x 2 + 5x – 127 Bài tập 12: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Bài tập 13: Cho a 3 – 3ab 2 = 2 và b 3 – 3a 2 b = –11 Tính a 2 + b 2 . Bài tập 14: Cho a, b, c, d ∈ Z, thoả mãn a + b = c + d. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ln là tổng của ba số chính phương. Bài tập 15: a) Chứng minh rằng: Nếu p và 1 là hai số ngun tố thoả mãn: p 2 – q 1 = p – 3q + 2 thì p 2 + q 2 cũng là số ngun tố. bc) Chứng minh rằng biểu thức sau khơng thể là lập phương của một số tự nhiên: 1991 3333 + 1990 2222 + 1989 1111 c) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8. Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213 423 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I ::. BÀI 4: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG I. KIẾN THỨC CẦN NẮM: (1) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C = A(B + C). A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D). Cách phân tích: Bước 1: Tìm nhân tử chung của các hệ số nếu có là ƯCLN của các hệ số hoặc là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. Bước 2: Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác hoặc nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất). Bước 3: Đưa nhân tử chung ra ngồi dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng). (2) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các hằng đẳng thức nâng cao. Nhận dạng hằng đẳng thức với các dạng biểu thức phức tạp. Hạ bậc lũy thừa của một biến hoặc một số và đưa về dạng hằng đẳng thức. Thêm một chút tư duy, sáng tạo trong cách biến đổi xuất hiện hằng đẳng thức. (3) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử. Dạng bài tốn: A.B + A.C + E.B + E.C = (A.B + A.C) + (E.B + F.C) = A(B + C) + E(B + C) = (B + C)(A + E) Cách phân tích: - Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức. - Thơng thường ta dựa vào các mối quan hệ sau: Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài tốn. Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:Mỗi nhóm đều phân tích được. - Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện. (4) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. Cách phân tích: Là sự kết hợp giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, tách hạng tử. Biết kỹ thuật nhận biết dạng đề để biết cách áp dụng phương pháp nào. (5) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử. Cách phân tích: Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương hoặc hiệu của hai hạng tử là a n - b n . Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất hiện nhân tử chung. Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 0938.213 423 [...]... 22 = ( 3x– 2)(3x + 2) f) Ta có thể viết: a16 + a8b8 + b16 = a16 + 2a8b8 + b16 - a8b8 = (a8 + b8)2 - (a4b4)2 = (a8 + b8 - a4b4)( (a8 + b8 + a4b4) Ta lại có: a8 + b8 + a4b4 = (a4 + b4)2 - (a2b2)2 = (a4 + b4 - a2b2)(a4 + b4 + a2b2) Mặt khác: a4 + b4 + a2b2 = (a2 + b2)2 - (ab)2 = (a2 + b2 - ab)(a2 + b2 + ab) Do đó, ta có: a16 + a8b8 + b16 = (a8 - a4b4 + b8)(a4 - a2b2 + b4)(a2 - ab + b2)(a2 + ab + b2) g)... 2) 2 x+2 x 30 + x 28 + x 26 + + x 4 + x 2 + 1 x 28 + x 24 + x 20 + + x 8 + x 4 + 1 Giải 30 28 26 4 2 30 26 x + x + x + + x + x + 1 (x + x + x 22 + + x 6 + x 2 ) + (x 28 + x 24 + + x 4 + 1) = x 28 + x 24 + x 20 + + x 8 + x 4 + 1 x 28 + x 24 + + x 4 + x 2 + 1 x 2 (x 28 + x 24 + x 20 + + x 4 + 1) + (x 28 + x 24 + + x 4 + 1) (x 28 + x 24 + + x 4 + 1)(x 2 + 1) = x2 +1 = = 28 24 4 28 24 4 (x + x + +... 423 Số điện thoại: 09 38. 213 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I :: d) 5x 2 − 10xy 5x(x − 2y) 5x = = 3 3 2(2y − x) −2(x − 2y) −2(x − 2y) 2 e) 80 x 3 − 125x 5x(16x 2 − 25) 5x(4x − 5)(4x + 5) 5x(4x + 5) = = = 3(x − 3) − (x − 3) (8 − 4x) (x − 3)(3 − 8 + 4x) (x − 3)(4x − 5) x −3 f) 9 − (x + 5) 2 (3 − x − 5)(3 + x + 5) −(x + 2)(x + 8) x +8 = = =− 2 2 2 x + 4x + 4 (x + 2) (x + 2) x+2 g) 32x − 8x 2 + 2x 3 2x(16 − 4x... tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 3x2 – 8x + 4 b) n3 – 7n + 6 Biên soạn: Trần Trung Chính 423 Số điện thoại: 09 38. 213 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I :: c) x4 + x2 + 1 d) 2(x2 + x - 5)2 - 5(x2 + x) + 28 Giải a) Tách hạng tử 3x2: 3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2 (tách hạng tử : – 8x) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) –... đa thức (2x4 - 13x3 + 15x2 + 16x + n) chia cho đa thức (x2 - 4x - 3) được đa thức dư là 5x - 6 Biên soạn: Trần Trung Chính 423 Số điện thoại: 09 38. 213 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I :: Biên soạn: Trần Trung Chính 423 Số điện thoại: 09 38. 213 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I :: CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ BÀI 1: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I KIẾN THỨC CẦN NẮM: Định nghĩa phân thức đại số: Là một biểu thức có dạng ,... 2 = 6x + 4 2 Giải a) Ta có: 2x 9xy = 3y 6x y ⇔ 18x y = 18x y 3 2 Vậy 3 2 3 3 3 3 2x 2 6x 3 y = 3y 2 9xy3 b) Ta có: 4x ( 2x − 1) 3y = 3y ( 2x − 1) 4x ⇔ 12xy ( 2x − 1) = 12xy ( 2x − 1) Vậy 4x ( 2x − 1) 4x = 3y ( 2x − 1) 3y ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 c) 9x − 4 2 = ( 6x + 4 ) ( 3x − 2 ) ⇔ 18x − 8 = 2 ( 3x + 2 ) ( 3x − 2 ) ⇔ 18x − 8 = 2 9x − 4 ⇔ 18x − 8 = 18x − 8 9x 2 − 4 3x − 2 = 6x + 4 2 Bài tập 2: Các phân... 2x2 - 3xy + y2 - x - 1 c) 8x4 - 2x3 - 3x2 - 2x - 1 Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - 5x + 6 b) 3x2 - 16x + 5 c) 8x2 + 30x + 7 Biên soạn: Trần Trung Chính 423 Số điện thoại: 09 38. 213 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I :: d) 6x2 - 7x - 20 e) x3 - 5x2 + 8x - 4 Bài tập 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x7 + x2 + 1 b) x5 + x4 + 1 c) x7 + x5 + 1 d) x8 + x7 + 1 e) x5 + x1 -... để đa thức ( 6n − n + 5 ) chia hết cho ( 2n + 1) 5 Bài tập 7: Tìm đa thức dư r(x) của phép chia đa thức Q ( x ) = x + x + 1 cho đa thức x 3 − x Bài tập 8: Tính giá trị của biểu thức: P = ( 1 986 2 − 1992 ) ( 1 986 2 + 3972 − 3) 1 987 1 983 .1 985 .1 988 .1 989 1994 994 99 Bài tập 9: Xác định đa thức dư r(x) của phép chia đa thức P ( x ) = x + x + x + x + 1 cho đa thức Q ( x ) = x2 −1 Bài tập 10: Gọi r1, r2,... thức sau: Biên soạn: Trần Trung Chính 423 Số điện thoại: 09 38. 213 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I :: 2x 3x , 2 x + 5x + 6 x − 4 Giải 2 a) 2x + 8 = 2(x + 4) và x - 16 = (x + 4)(x - 4) a) 5 4 , 2 2x + 8 x − 16 b) 2 ⇒ Mẫu thức chung là 2(x + 4)(x - 4) Ta có: 5 ( x − 4) 5 5 5x − 20 = = = 2x + 8 2 ( x + 4 ) 2 ( x + 4 ) ( x − 4 ) 2 ( x 2 − 16 ) 4 4.2 8 = = 2 x − 16 2 ( x + 4 ) ( x − 4 ) 2 ( x − 16 ) 2 b) x2... Bài tập 3: Tìm m, n là các số tự nhiên sao cho phép chia sau là phép chia hết: ( 4x x 6 7 − 10x 5 y6 + 8x 4 y5 ) : ( −4x m y n ) Giải Ta có: Biên soạn: Trần Trung Chính 423 Số điện thoại: 09 38. 213 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I :: ( 4x x 6 7 − 12x 5 y 6 + 8x 4 y5 ) : ( −4x m y n ) = 4x 6 y7 −12x 5 y6 8x 4 y5 + + = − x 6− m y 7 − n + 3x 5− m y 6 −n − 2x 4 −m y5− n m n m n m n −4x y −4x y −4x y Để phép . viết: a 16 + a 8 b 8 + b 16 = a 16 + 2a 8 b 8 + b 16 - a 8 b 8 = (a 8 + b 8 ) 2 - (a 4 b 4 ) 2 = (a 8 + b 8 - a 4 b 4 )( (a 8 + b 8 + a 4 b 4 ) Ta lại có: a 8 + b 8 + a 4 b 4 . Số điện thoại: 09 38. 213 423 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I ::. a) x 3 + 6x 2 + 12x + 8 b) 8 – 12x + 6x 2 – x 3 c) 8x 3 – 12x 2 y 2 + 6xy 4 – y 6 d) –x 3 + 6x 2 – 12x + 8 Bài tập 5: Rút. 1990 2222 + 1 989 1111 c) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kì thì chia hết cho 8. Biên soạn: Trần Trung Chính Số điện thoại: 09 38. 213 423 .:: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 - HỌC KỲ I ::. BÀI