Đề cương luyện thi vào lớp 10 (cấp tốc). Đầy đủ nội dung theo cầu trúc đề thi. ..................................................................................................................................................................................
ÔN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THEO CHỦ ĐỀ MƠN: TỐN ĐẠI SỐ (Tài liệu đƣợc soạn dựa theo chƣơng trình SGK, bám sát cấu trúc đề thi dành cho HS ôn thi vào lớp 10 cơng lập Biên soạn: Trần Trung Chính Trƣờng THCS & THPT Nhân Văn - Q Tân Phú - TP Hồ Chí Minh Biên soạn: Trần Trung Chính Trang ƠN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP CHỦ ĐỀ HẰNG ĐẲNG THỨC Hằng đẳng thức đáng nhớ: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (Bình phương tổng) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (Bình phương tổng) a2 - b2 = (a - b)(a + b) (Hiệu hai bình phương) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (Lập phương tổng) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (Lập phương tổng) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) (Tổng hai lập phương) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) (Hiệu hai lập phương) Các đẳng thức nâng cao: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab -bc - ca) an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + …+abn-1 + bn-1) CHỦ ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Các phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Phương pháp 1: Dùng đẳng thức đáng nhớ Phương pháp 2: Đặt nhân tử chung Phương pháp 3: Tách hạng tử Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp 5: Thêm bớt hạng tử Phƣơng pháp dùng đẳng thức đáng nhớ Quan sát đề để áp dụng đẳng thức Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử Giải (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy Bài tập 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 9x2 – Giải 9x – = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x + y)2 - 9x2 Bài tập 2: Phân tích đa thức (2n + 5)2 - 25 thành nhân tử Phƣơng pháp đặt nhân tử chung: Phương pháp: - Tìm nhân tử chung hạng tử: Là ƯCLN hệ số (nếu có), đơn thức, đa thức - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử riêng Nhằm đưa dạng: A.B + A.C = A(B + C) A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) - Viết nhân tử chung ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2 y2 thành nhân tử Biên soạn: Trần Trung Chính Trang ÔN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP Giải 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Bài tập 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Giải 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Bài tập 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Giải 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Bài tập 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x(y – z) + 5y(z –y ) Giải 2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Phân tích đa thức x3 - 2x2 + x thành nhân tử Bài tập 2: Phân tích đa thức 5x y3 25x 3y 10x 3y3 thành nhân tử Bài tập 3: Phân tích đa thức 5(x - y) - y(x - y) thành nhân tử Bài tập 4: Phân tích đa thức 15x 10x y 5x y thành nhân tử Bài tập 5: Phân tích đa thức xt(z - y) - yt(y - z) thành nhân tử Phƣơng pháp nhóm hạng tử Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau: - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức Dạng toán: A.B + A.C + E.B + E.C = (A.B + A.C) + (E.B + F.C) = A(B + C) + E(B + C) = (B + C)(A + E) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử Giải x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) Bài tập 2: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử Giải x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) Bài tập 3: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Giải x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Bài tập 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 – 3x2 + 2x – Giải 2x – 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) Biên soạn: Trần Trung Chính Trang ƠN THI VÀO LỚP 10 CƠNG LẬP Bài tập 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – 2xy + y2 – 16 Giải x – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) Bài tập tự luyện Bài tập 1: Phân tích đa thức xy + xz + 3y + 3z thành nhân tử Bài tập 2: Phân tích đa thức x3 - 4x2 + 4x - thành nhân tử Bài tập 3: Phân tích đa thức x2 y2 + - y2 - x2 thành nhân tử Bài tập 4: Phân tích đa thức a3 + b3 - a - b thành nhân tử Bài tập 5: Phân tích đa thức a3 + a2b - ab2 - b3 thành nhân tử Phƣơng pháp tách hạng tử Phương pháp: Để phân tích đa thức dạng tam thức bậc hai: ax2 + bx + c, (a 0) thành nhân tử Ta tách hạng tử: bx = b1x + b2x cho b1b2 = ac Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + thành nhân tử Giải Ttách hạng tử – 8x 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Bài tập 2: Phân tích đa thức – 6x2 + 7x – thành nhân tử Giải – 6x + 7x – = – 6x2 + 4x + 3x – = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1) Bài tập 3: Phân tích đa thức sau thừa số: n3 – 7n + Giải n3 – 7n + = n3 – n – 6n + = n(n2 – 1) – 6(n – 1) = n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n2 + n – 6) = (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3) Bài tập 4: Phân tích đa thức A = 9x2 - 10x + thành nhân tử Giải Tách hạng tử "bậc nhất", làm xuất hai tích có hai nhân tử chung: A = 9x2 - 9x - x + = (9x2 - 9x) - (x - 1) = 9x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(9x - 1) Bài tập 5: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử Giải Tách hạng tử 8x = 2x + 6x 3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4) = x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2) Bài tập 6: Phân tích đa thức f(x) = 4x2 - 4x - thành nhân tử Giải Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x Từ ta cần thêm bớt 12 = để xuất đẳng thức Biên soạn: Trần Trung Chính Trang ƠN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP f(x) = (4x2 – 4x + 1) – = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Phân tích đa thức x2 - 5x + thành nhân tử Bài tập 2: Phân tích đa thức 3x2 - 16x + thành nhân tử Bài tập 3: Phân tích đa thức 8x2 + 30x + thành nhân tử Bài tập 4: Phân tích đa thức 6x2 - 7x - 20 thành nhân tử Phƣơng pháp phối hợp nhiều phƣơng pháp Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp để đưa tích biểu thức Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử Giải x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3xy2 – 12xy + 12x Giải 3xy – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2 Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Phân tích đa thức x3 + 6x2 + 9x thành nhân tử Bài tập 2: Phân tích đa thức A = 2x2 - 3xy + y2 - x - thành nhân tử Phƣơng pháp thêm bớt một hạng tử: Đối với tốn phân tích đa thức thành nhân tử "giảm dần số mũ lũy thừa": x3m+2 + x3m+1 + chứa nhân tử x2 + x + Do phân tích phải ý làm xuất dạng x2 + x + dấu "+" thay dấu "-" Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Giải x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Bài tập 2: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử Giải x + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 ) = x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + ) Bài tập 3: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử Giải x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + – 2x)( x2 + + 2x) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Phân tích đa thức A = x5 + x4 + thành nhân tử Bài tập 2: Phân tích đa thức A = x5 + x1 - thành nhân tử Biên soạn: Trần Trung Chính Trang ÔN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP CHỦ ĐỀ TẬP XÁC ĐỊNH Định nghĩa: Cho biểu thức: y = f(x), với x ẩn số Tập xác định hàm số tập hợp giá trị làm cho biểu thức có nghĩa Kí hiệu: D = {x| f(x) có nghĩa (điều kiện)} Tập xác định số biểu thức: f x Dạng 1: A = có TXĐ: D = {x| g(x) 0} g x Dạng 2: A = f x có TXĐ: D = {x| f(x) ≥ 0} Chú ý: Nếu A = n f x Khi n số lẻ,với x thỏa mãn Khi n số chẵn f(x) ≥ f x Dạng 3: A = có TXĐ: D = {x| g(x) > 0}, (với f(x) có D = R) g x Dạng 4: A = f(x) có TXĐ: D = R (với đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Tìm tập xác định biểu thức sau: y = 3x2 + 2x + Giải Điều kiện xác định D = R Bài tập 2: Tìm tập xác định biểu thức: 1- x y= x+2 Giải Điều kiện xác định: D = x | x + 0 = x | x -2 Bài tập 3: Tìm tập xác định biểu thức: y x 3 Giải Điều kiện xác định: x x Bài tập 4: Tìm điều kiện xác định biểu thức: y x2 Giải Điều kiện xác định: x - ≥ x ≥ Bài tập 5: Tìm tập xác định biểu thức: a a T = a + ab b b Giải b a < 0, b < Điều kiện xác định: ab > a > 0, b > Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Tìm tập xác định biểu thức: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang ÔN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP x x - x x + x B= 2 x x +1 x -1 Bài tập 2: Tìm tập xác định biểu thức: x +2 P= - x -2 x +2 x +1 + x +1 x -1 CHỦ ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC Dạng khai triển số biểu thức: Với a, b ≥ 0: a-b = a+ b a a a a 1 a 1 a- b a 1 a 1 a a a3 , a + ab + b a + b a - ab + b a b b a b a b a a a a 1 a a 1 a+b = a-b = a-3b 3 3 a 3 a 3 2 ab b Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Rút gọn biểu thức sau: A 74 74 Giải Ta có: A 74 74 A 22 2.2 2 A 2 A 3 2 3 22 2.2 3 2 A 2 2 A 2 Bài tập 2: Rút gọn biểu thức: A 15 1 1 5 Giải Ta có: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang ƠN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP A A 15 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 A 3 1 1 1 A 2 8 5 3 1 1 4 A 1 1 A 1 A 1 Bài tập 3: Rút gọn biểu thức sau: A = + 15 10 - - 15 Giải + 15 - 15 = 10 - + 15 Vì 10 - = - > nên ta có: A = - + 15 = 8 - 15 + 15 = = A= 10 - Bài tập 4: Rút gọn biểu thức sau: A = + + + + + + - + + Giải Ta có: 2+ 2+ 2+ 2- 2+ 2+ = 4- 2+ 2+ = 2- 2+ 2+ 2+ 2- 2+ = 4- 2+ = 2- A = + - = Bài tập 5: Rút gọn biểu thức sau: x x A= + : x x +1 x + x Giải Điều kiện: x > A= : x x +1 x x +1 + x x = x +1 x +1 + x x Bài tập 6: Rút gọn biểu thức sau: A= 4-2 6- Giải Biên soạn: Trần Trung Chính Trang ÔN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP 4-2 A= 6- = -1 = -1 -1 -1 2 Bài tập 7: Rút gọn biểu thức sau: A= x -9 x -5 x +6 Giải Điều kiện xác định: x 0, x 4; x Ta có: Mẫu thức chung là: x - x + = x - 2 x +1 x - 2 = = x - 3 x - 2 A= x - - x - + x -1 x -3 x -2 x -2 = x + x +1 x - 3- x - x -3 x- x -2 x -2 x -3 x +1 x -3 Bài tập 8: Rút gọn biểu thức sau: x2 x 1 x 1 P 1: x x x x x với x Giải x2 x 1 x 1 P 1: x x 1 x x 1 x 1 x2 x 1 x 1 P 1: ( x 1)(x x 1) x x ( x 1)( x 1) x2 x 1 P 1: x 1 ( x 1)(x x 1) x x x2 ( x 1)( x 1) x x 1 P 1: ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) P 1: x ( x 1) ( x x 1) ( x 1)( x x 1) P 1: x x ( x 1)( x x 1) P 1: x ( x 1) ( x 1)( x x 1) P 1: x x x 1 x x 1 x Bài tập tự luyện Bài tập 1: Rút gọn biểu thức sau: Suy ra: P A 12 21 12 Bài tập 2: Rút gọn biểu thức sau: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang ƠN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP 5 3 A 5 2 3 2 2 Bài tập 3: Cho biểu thức: a +2 P= + a +3 a + a -6 - a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P < Bài tập 4: Cho biểu thức: x x 3x + x - P= + -1 : x +3 x -3 x -9 x -3 a) Rút gọn P b) Tìm x để P < c) Tìm giá trị nhỏ P Bài tập 5: Cho biểu thức: x -3 x 9- x x -3 x -2 P= -1 : x -9 x + x -6 2- x x +3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P < Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 10 ƠN THI VÀO LỚP 10 CƠNG LẬP Số cơng nhân sau tăng người là: x + 420 (ngày) x5 Vì đội tăng thêm người số ngày để hồn thành cơng việc giảm ngày ta có phương trình: 420 420 = x5 x Giải phương trình trên, ta được: x1 = 15; x2 = - 20 (loại) Vậy số công nhân đội 15 người Bài tập 3: Hai thợ đào mương sau 55 phút xong cơng việc Nếu họ làm riêng đội hồn thành cơng việc nhanh đội Hỏi làm riêng đội phải làm xong cơng việc Giải Gọi thời gian đội làm xong công việc x (giờ), (Điều kiện: x > 0) Gọi thời gian đội làm xong cơng việc x + (giờ) Mỗi đội làm c«ng viƯc x Mỗi đội làm c«ng viƯc x2 11 35 Vì hai đội làm nên sau 55 phút = (giờ) xong 12 12 12 Trong hai đội làm công việc 35 Theo ta có phương trình: 1 12 x x 35 Giải phương trình trên, ta được: x = Vậy đội thứ hồn thành cơng việc giờ, đội thứ hai hồn thành cơng việc Số ngày hồn thành công việc với x + người là: Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Hai người làm chung công việc Người thứ làm đến nửa công việc người thứ hai làm nốt cho hoàn thành thảy hết Nếu người làm riêng ? Bài tập 2: Để hồn thành cơng việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác, tổ hồn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau làm xong cơng việc đó? Bài tập 3: Hai tổ giao làm việc Nếu làm chung hồn thành 15 Nếu tổ làm giờ, tổ làm làm 30% cơng việc Hỏi làm tổ cần làm hồn thành cơng việc Dạng 4: Dạng tốn chảy chung, chảy riêng vòi nƣớc: Phƣơng pháp: Cách giải: Bước 1: Tìm lượng nước chảy chung hai vịi Lượng nước chảy riêng vịi vào bể hồn thành Lập phương trình lượng nước Bước 2: Thời gian hai vịi chảy đầy bể Thời gian chảy riêng hoàn thành vịi Lập phương trình thời gian chảy đầy bể Bước 3: Giải hệ phương trình Bài tập áp dụng: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 27 ƠN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP Bài tập 1: Một Máy bơm muốn bơm đầy nước vào bể chứa thời gian quy định phải bơm 10m3 Sau bơm dung tích bể chứa, người công nhân vận hành cho máy bơm công xuất lớn bơm 15 m3 Do bể bơm đầy trước 48 phút so với thời gian quy định Tính dung tích bể chứa Giải Gọi dung tích bể chứa x, (m3), (Điều kiện: x > 0) x Ta có thời gian dự định để bơm đầy bể là: (giờ) 10 x Thời gian để bơm bể với công suất 10 m3/s là: (giờ) 30 2x Thời gian để bơm bể cịn lại với cơng suất 15 m3/s là: 45 Do công suất tăng bơm bể lại nên thời gian thời gian bơm đầy trước 48 phút so với quy định ta có phương trình: x x 2x - = 10 30 45 Giải phương trình trên, ta x = 36 Vậy dung tích bể chứa 36m3 Bài tập 2: Nếu hai vịi nước chảy vào bể sau bể đầy Nếu vịi chảy phải chảy đầy bể? Biết chảy vịi thứ chảy đầy bể sớm vòi thứ hai Giải Gọi thời gian vòi thứ chảy đầy bể x (giờ), (Điều kiện: x > 0) Thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể x + Trong vòi thứ chảy bể x Trong vòi thứ chảy bể x6 Theo ta có phương trình: + = x x6 Giải phương trình trên, ta được: x = Vậy vòi thứ chảy giờ, vịi thứ hai chảy 12 đầy bể Bài tập 3: Có hai vịi nước, vịi I chảy đầy bể 1,5 giờ, vòi II chảy đầy bể Người ta cho vòi I chảy thời gian, khóa lại cho vịi II chảy tiếp, tổng cộng 1,8 đầy bể Hỏi vòi chảy bao lâu? Giải Vòi I chảy riêng làm đầy bể 1,5 = chảy vào bể Vòi II chảy riêng làm đầy bể trong chảy vào bể Gọi thời gian mà vòi I chảy x (0 < x < 1,8), thời gian vòi II chảy 1,8 - x Theo ra, ta có phương trình: x 1,8 x Giải phương trình trên, ta được: x = 0,6 (thỏa mãn điều kiện) Vậy vòi I chảy 0,6 giờ, vòi II chảy 1,2 Bài tập 4: Hai vòi nước chảy vào bể sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vịi thứ chảy nhanh vòi thứ hai Hỏi chảy riêng mõi vịi chảy đầy bể Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 28 ÔN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP Giải Gọi thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể x giờ, (x > 2) Vòi thứ chảy riêng đầy bể x - 35 Ta có: 55 phút = 12 Theo ra, ta có phương trình: 1 12 x x 35 Giải phương trình trên, ta được: x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy vòi thứ chảy riêng đầy bể giờ, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Hai vòi nước chảy vào bể sau 20 bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút vịi thứ chảy 12 phút đầy bể Hỏi vịi chảy bao 15 nhiêu lâu đầy bể Bài tập 2: Hai vòi nước chảy sau đầy bể Nếu vịi thứ chảy 10 đầy bể Hỏi vịi thứ hai chảy đầy bể Bài tập 3: Hai vịi nước chảy vào bể sau đẩy bể, mơĩ lượng nước vịi chảy lượng nước vòi Hỏi vịi chảy riêng đầy bể Bài tập 4: Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước 48 phút đầy bể Nếu mở vòi vịi bể nước Hỏi vịi chảy đầy bể CHỦ ĐỀ HÀM SỐ - ĐỒ THỊ - SỰ TƢƠNG GIAO Hàm số bậc nhất: Hàm số bậc hàm số cho công thức: y = ax + b, a, b số cho trước (a 0) Tập xác định: D = R Đồ thị hàm số y = ax + b có hệ số góc a * Một số điều kiện tương giao hai đường thẳng: Cho hai hàm số (đường thẳng) (d1): y = a1x + b1 (d2): y = a2x + b2 (d1) (d2) Điều kiện Cắt nhau: d1 x d2 a1 a2 Vng góc: d1 d2 a1.a2 = -1 Song song: d1 // d2 Trùng nhau: d1 d2 a1 = a2 b1 b2 a1 = a2 b1 = b2 Số giao điểm y = a1x + b1 Là nghiệm hệ y = a x + b2 y = a1x + b1 Là nghiệm hệ y = a x + b2 Khơng có Vơ số * Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất: y = ax + b Bước 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến, (xác định hướng đồ thị lên hay xuống) Bước 2: Xác định hai điểm thuộc đồ thị điểm A(a, 0) B(0,b) Bước 3: Kẻ đường thẳng qua hai điểm đồ thị hàm số cần tìm Lưu ý: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 29 ÔN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP Đồ thị hàm số y = m đường thẳng song song với trục Ox cắt trục tung điểm có tung độ m Đồ thị hàm số x = n đường thẳng song song với trục Oy cắt trục hồnh điểm có hồnh độ n Số nghiệm phương trình f(x)=m số giao điểm hai đồ thị (C):y=f(x) đường thẳng (d):y=m Nếu biết đồ thị (C): y = f(x) ta suy đồ thị (C1): y = f(|x|) sau: - Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải trục tung y - Lấy đối xứng đồ thị (C) bên phải trục tung qua trục tung y = 2x - Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x - Giải Ta có: Hệ số a = > Hàm số đồng biến Bảng giá trị: x y -1 Suy ra: Đường thẳng y = 2x - qua hai điểm (0; -1) (1; 1) Vẽ đồ thị: 1 O x -1 y y = 3|x| - Bài tập 2: Vẽ đồ thị hàm số y = 3|x| - Giải Với x ≥ 0, ta có: y = 3x - Hệ số a = > Hàm số đồng biến Bảng giá trị: -1 O x y -2 -2 Đường thẳng y = 3x - qua hai điểm (0; -2) (1; 1) Suy ra: Đồ thị hàm số: y = 3|x| - hình đối xứng với đồ thị hàm số y = 3x - qua trục Oy Hàm số bậc hai y = ax2 (a 0) Tập xác định: D = R Tính đồng biến, nghịch biến: a > 0: Hàm số đồng biến x > 0, nghịch biến x < a < 0: Hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > Đồ thị hàm số y = ax2 Đồ thị có đỉnh gốc tọa độ O(0; 0), nhận trục tung trục đối xứng Nếu a < parabol (P) quay bề lõm xuống Nếu a > parabol (P) quay bề lõm lên Cách vẽ đồ thị hàm số: y = ax2 Bước 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến Bước 2: Lập bảng giá trị (chọn giá trị x) x - x2 x1 x1 x2 y = ax y1 y2 y1 y2 Bước 3: Biểu diễn điểm lên trục tọa độ vẽ đối xứng qua trục Oy y Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Vẽ đồ thị hàm số: y = 2x2 Giải Hàm số đồng biến R Bảng giá trị: x Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 30 -2 -1 O x ÔN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP x y = 2x2 -2 -1 0 2 Đồ thị: Bài tốn 2: Tìm tọa độ điểm M (P): y = x2 cho M có tung độ - Giải Gọi M x ; -8 (P) Khi đó, tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số Thay vào hàm số, ta được: x2 = -8 x = 16 x0 = Vậy có hai điểm M1(-4; -8) M2(4; -8) thỏa mãn yêu cầu tốn x2 Bài tập 3: Tìm tọa độ điểm M (P): y = cho điểm M có hồnh độ tung độ Giải x2 Gọi M x ; x (P): y = Khi đó, tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số Thay vào hàm số, ta được: x x0 = x0 x - 2x0 = x0(x0 - 2) = x0 Vậy có hai điểm M1(0; 0) M2(2; 2) thỏa mãn yêu cầu tốn x2 Bài tập 4: Tìm tọa độ điểm M (P): y = cho điểm M có tung độ lần hoành độ Giải Gọi M x ; 2x (P) Khi đó, tọa độ điểm M thỏa mãn hàm số Thay vào hàm số, ta được: x2 - =2x0 x + 4x0 = x0(x0 + 4) = x0 x 4 Vậy có hai điểm M1(0; 0) M2(-4; -8) thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập 5: Cho điểm M(-1; -3) hàm số: y = - 3x (P) Điểm M có thuộc (P) hay khơng? Giải Giả sử M (P) Khi đó, tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Thay vào hàm số, ta được: -3 = -3(-1)2 -3 = -3 (đúng) Vậy điểm M thuộc đồ thị (P) Điểm đƣờng thẳng y = ax + b Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm: Bước 1: Thay tọa độ hai điểm vào phương trình đường thẳng y = ax + b, ta có hai phương trình Bước 2: Giải hệ phương trình bậc hai ẩn Tìm a b Bước 3: Với a, b tìm ta viết phương trình đường thẳng Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 31 ƠN THI VÀO LỚP 10 CƠNG LẬP Bài tập: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1; 2) B(2; -1) Giải Gọi đường thẳng cần tìm có phương trình: y = ax + b Vì hai điểm A B thuộc đường thẳng nên tọa độ hai điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng Thay tọa độ hai điểm A B vào phương trình, ta có: 2 = a + b 2 = a + b b = -1 = 2a + b a = -3 a = -3 Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm A B y = -3x + Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b qua điểm A cho trước song song với đường thẳng y = mx + n Bước 1: Tìm hệ số a = m Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng để tìm b Bước 3: Với a, b tìm được, ta có phương trình đường thẳng y = ax + b Bài tập 1: Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = 2x + Viết phương trình đường thẳng (D) // (d) qua điểm A(-3; 2) Giải Gọi phương trình đường thẳng (D): y = ax + b Vì (D)//(d) nên a = Ta có (D): y = 2x + b Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng (D), ta có: = 2.(-3) + b b = Vậy phương trình đường thẳng (D): y = 2x + Dạng 3: Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng Ta cần giải hệ phương trình bậc hai ẩn với hai phương trình hệ hai đường thẳng Bài tập 2: Cho hai đường thẳng: (d): 3x + 2y = 15 (d'): 5x - 4y = - Tìm tọa độ giao điểm M (d) (d') Giải Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình: x 3x 2y 15 5x 4y 8 y 9 Vậy (d) (d') cắt điểm M 2; 2 Dạng 4: Tìm điểm A B thuộc đường thẳng y = ax + b biết trước hoành độ tung độ Bước 1: Thay giá trị hoành độ tung độ vào phương trình đường thẳng y = ax + b để tìm tung độ hoành độ tương ứng Bước 2: Với giá trị tung độ, hồnh độ tìm ta có điểm cần tìm Bài tập: Cho đường thẳng (d): y = - x + Tìm điểm A (d) có hồnh độ điểm B (d) có tung độ Giải Vì A(d) nên thay x = vào (d) ta được: y = - + = Suy ra: A(4; 0) Vì B(d) nên thay y = vào (d) ta được: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 32 ƠN THI VÀO LỚP 10 CƠNG LẬP 3 = - x + - x = x = - 4 Suy ra: B(-4; 6) Dạng 5: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Bước 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A B Bước 2: Chứng minh điểm C (AB) Bài tập: Cho ba điểm A(2; -1), B(1; 1), C(-3; 9) Chứng minh A, B, C thẳng hàng Giải Gọi phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b Thay tọa độ điểm A B vào phương trình ta có hệ phương trình: 1 2a b a 2 1 a b b Suy ra: (AB): y = -2x + Giả sử điểm C(-3; 9) thuộc đường thẳng (AB), ta được: = -2.(-3) + = (đúng) Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng Sự tƣơng giao đƣờng thẳng: y = bx + c (D) đồ thị hàm số y = ax2 (P) Dạng 1: Tìm giao điểm đường thẳng (D) đồ thị hàm số (P) Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm: ax2 = bx + c hay ax2 - bx + c = Bước 2: Giải phương trình trên, ta có hồnh độ Bước 3: Từ giá trị hoành độ, suy giá trị tung độ Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Tìm tọa độ giao điểm đồ thị (P): y x đường thẳng (d): y = x + Giải Gọi M(x; y) giao điểm (d) (P) Khi hồnh độ M nghiệm phương trình: x x x2 + 4x + = (x + 2)2 = x = -2 Với x = -2 y = -1 Vậy tọa độ giao điểm cần tìm M(-2; -1) Bài tập 2: Cho hàm số y = mx2 (P), (m 0) đường thẳng (d): y = 2mx - m - Tìm giá trị m để đường thẳng (d) cắt (P) điểm Giải Trường hợp 1: Vì đồ thị hàm số y = mx2, (m ≠ 0) có trục đối xứng đường thẳng x = nên đường thẳng y=2mx-m-4 trùng với đường thẳng x = x Ta có hệ phương trình: y 2mx m Giải hệ trên, ta được: m = -4 Trường hợp 2: Đường thẳng: y = 2mx - m- tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 Khi ta có phương trình: mx2 - 2mx + m + = có nghiệm kép ' = m2 - (m + 4)m = m = (không thoả mãn điều kiện m ≠ toán) Vậy giá trị cần tìm m = - Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d): y = bx + c cho trước cắt đồ thị (P): y = ax2 điểm Trường hợp 1: (d') cắt (P) điểm có hồnh độ m Bước 1: Gọi đường thẳng (d'): y = bx + d, (d')//(d) Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 33 ƠN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP Bước 2: Gọi M(m; yM) = (d') X (P) Khi đó, ta có: yM = a.m2 Thay vào phương trình đường thẳng (d'): yM = b.m + d Suy ra: d = yM - b.m Trường hợp 2: (d') cắt (P) điểm có tung độ n Bước 1: Gọi đường thẳng (d'): y = bx + d, (d)//(d') Bước 2: Gọi N(xN; n) = (d') X (P) Khi đó, ta có: n = a xN Thay vào phương trình đường thẳng (d'): n = b.xN + d n-d Suy ra: xN = b Bài tập 1: Cho hàm số: y x (P) đường thẳng: y = x (d) Viết phương trình đường thẳng (d') Biết (d') song song với (d) cắt (P) điểm có hoành độ -2 Giải Gọi đường thẳng (d'): y = x + b (d')//(d) nên hệ số hai đường thẳng Gọi M(-2; y) giao điểm (d') (P) Khi đó, ta có: y = - 2 2 Suy ra: M(-2; 2) Vì M(d) nên ta có: = -2 + b b = Vậy phương trình đường thẳng (d'): y = x + Bài tập 2: Cho hàm số y x (P) y = x + (d) Viết phương trình đường thẳng (d') Biết (d') song song với (d) cắt (P) điểm có tung độ -4 Giải Gọi đường thẳng (d'): y = x + b (d')//(d) nên hệ số hai đường thẳng Gọi N(x; - 4) giao điểm (d') (P) Khi đó, ta có: - = x x x 1 Suy ra: N1(-1; -4) N2(1; -4) Xét N1(-1; -4) (d) nên ta có: -4 = -1 + b b = -3 Vậy phương trình đường thẳng (d'): y = x - Xét N2(1; -4) (d) nên ta có: -4 = + b b = -5 Vậy phương trình đường thẳng (d'): y = x - Dạng 3: Đường thẳng (d): y = bx + d tiếp xúc với đồ thị (P): y = ax2 Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (P) phương trình: ax2 = bx + d có nghiệm kép Bài tập 1: Cho hàm số y x (P) y = mx - 2m - (d) Tìm giá trị m cho (P) tiếp xúc với (d) Giải Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (P) khi: x mx 2m hay x2 + 4mx - 8m - = có nghiệm kép Ta có: = (4m)2 + 4(8m + 4) = 16m2 + 32m + 16 Vì phương trình có nghiệm kép nên = 16m2 + 32m + 16 = m2 + 2m + = (m + 1)2 = Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 34 ÔN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP m = -1 Vậy m = -1 (d) tiếp xúc với (P) Bài tập 2: Cho hàm số y 3mx (P) y = 3x + (d) Tìm giá trị m cho (P) tiếp xúc với (d) Giải Đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (P) khi: 3mx2 = 3x + hay 3mx2 - 3x - = có nghiệm kép Ta có: = - 4.3m.(-1) = + 12m Vì phương trình có nghiệm kép nên + 12m = m= Vậy m = (d) tiếp xúc với (P) Bài tập 3: Xác định hàm số y = mx2 đường thẳng y = nx + p Biết đồ thị hai hàm số tiếp xúc điểm M(-1, 1) Giải Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số điểm M, nên ta có hệ phương trình 1 = m (1) 1 = p - n Vì M nghiệm phương trình: mx2 - nx - p = Phương trình có nghiệm n x= 2m n hay -1 = n = -2m (2) 2m Từ (1) (2) ta có hệ phương trình m 1 m 1 p n n 2 n 2m p 1 Suy hàm số cần tìm y = x2 y = -2x - Dạng 5: Diện tích tam giác tạo hai giao điểm đường thẳng (D), đồ thị (P) gốc tọa độ O Bước 1: Gọi giao điểm (D) (P) A(xA; yA) B(xB, yB) Bước 2: Kẻ AC, BD vng góc với Ox Bước 3: Tính diện tích hình thang ABDC Bước 4: SAOB = SACDB - SACO - SBOD Bài tâp: Cho hàm số y = x2 (P) y = -2x + (d) a) Tìm tọa độ giao điểm A, B (d) (P) b) Tính diện tích tam giác AOB y Giải a) Tọa độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: A x2 = -2x + x2 + 2x - = x = -3; x = Với x = -3 y = Suy ra: A(-3; 9) Với x = y = Suy ra: B(1; 1) b) Đồ thị Kẻ ACOx BDOx Ta có: Biên soạn: Trần Trung Chính C -3 B O D Trang 35 x ÔN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP AC BD CD 1 yA yB x A x B 1 1 20 2 1 SACO = OC.AC x A y A 3 9 2 1 SBDO = OD.BD x B y B 1 1 2 Vậy: SABO = SABDC - SACO - SBDO = 20 - - = 13 SABDC = Bài tập tự luyện: x đường thẳng (d) y = ax + b Xác định a b để đường thẳng (d) qua điểm A(-1; 0) tiếp xúc với (P) x2 Bài tập 2: Cho hàm số: y = (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm tọa độ điểm thuộc (P) có tung độ -5 Bài tập 3: Cho hàm số: y = -x2 (P) y = -x + (d) a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ b) Viết phương trình đường thẳng song song với (d) qua điểm M(-4; 2) Bài tập 4: Cho (P): y = x2 đường thẳng (d): y = 2x + m a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) x2 Bài tập 5: Cho (P): y = (d): y = x + m a) Vẽ (P) b) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với (d) cắt (P) điểm có tung độ x x2 Bài tập 6: Cho (P): y = đường thẳng (d): y = - + a) Vẽ (P) (d) b) Tìm tọa độ giao điểm (P) (d) c) Tìm tọa độ điểm thuộc (P) cho đường tiếp tuyến (P) song song với (d) Bài tập 7: Cho A(2; 3), B(5; 8) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Bài tập 1: Cho (P): y = CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI - ÉT Định lý Vi-ét: - Định lý (thuận): Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 x2 b S = x1 + x = - a P = x x = c a (S, P tổng tích hai nghiệm) - Định lý (đảo): Nếu hai số x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = S x1x2 = P, (S2 ≥ 4P) x1 x2 hai nghiệm phương trình bậc hai: Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 36 ƠN THI VÀO LỚP 10 CƠNG LẬP X2 - SX + P = Chú ý: Một số dạng phân tích tổng tích hai nghiệm: 2 (1) x1 + x2 = (x1 + x2 )2 - 2x1 x2 = S - 2P 3 (2) x1 + x2 = (x1 + x2 )3 - 3x1 x2 (x1 + x2 )= S - 3PS 4 2 2 (3) x1 + x2 = (x1 + x2 )2 - 2x1 x2 = S - 2P - 2P = s - 4S P+2P 2 x1 - x2 = S - 4P , x1 x2 x12 - x22 = S S - 4P , x1 x2 6 x14 - x24 = S - 2P S x1 - x2 S - 4P , x1 x2 = x1 + x2 - 4x1 x2 = S - 4P 1 x + x - 2x x S - 2P 8 + = 2 = x1 x2 P x1 x2 2 x1 x2 x1 + x2 x1 + x2 - 2x1 x2 S - 2P = = 9 + = x2 x1 x1 x2 x1 x2 P 10 1 x1 + x2 S + = = x1 x2 x1 x2 P Các dạng toán: Dạng 1: (1) Tìm tham số biết hệ thức liên hệ nghiệm: - Hệ thức đối xứng - Hệ thức khơng đối xứng (2) Tính giá trị biểu thức nghiệm theo tham số (3) Tìm hệ thức độc lập nghiệm phương trình khơng phụ vào tham số (4) Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm phương trình Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x + mx + m + = (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: x1 x 3 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - Tính nghiệm cịn lại e) Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào giá trị m Giải a) Ta có: = m2 - 4(m + 3) = m2 - 4m - 12 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt m < -2 > m2 - 4m - 12 > m - m + > m > b) Ta có x1, x2 hai nghiệm phương trình Theo định lý Vi-et, ta có: x1 x m x1x m 2 x1 x (x1 x )2 2x1x (m)2 2(m 3) m2 2m Thay vào ta được: m = -3 m2 - 2m - = m2 - 2m - 15= m = Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 37 ÔN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP c) Phương trình có nghiệm x1; x (1) x x m Khi theo định lý Vi-et, ta có: (2) x1x m Hệ thức: 2x1 + 3x2 = (3) Từ (1) (3) ta có hệ phương trình : x1 x m 3x 3x 3m x 3m x 3m 2x1 3x 2x1 3x x m x1 x 2m x 3m Thay vào (2) ta có phương trình: x 2m (3m 5)(2m 5) m 6m 15m 10m 25 m 6m 26m 28 3m 13m 14 (m) 132 4.3.14 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 13 m1 2 2.3 13 m2 2.3 Kiểm tra: Với m 2 (thỏa mãn) 7 25 (thỏa mãn) Với m Vậy với m 2; m phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 2x1 + 3x2 = d) Phương trình (1) có nghiệm x1 3 (3) m.(3) m 2m 12 m6 Khi đó: x1 x m x m x1 x 6 (3) x 3 Vậy với m = phương trình có nghiệm: x1 = x2 = - e) Theo định lí Vi-et, ta có: x1 x m m x1 x x1 x x1x x1x m m x1x Bài tập 2: Cho x1 = 3; x2 = lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Giải Theo hệ thức Vi-ét ta có: S = x1 + x = P = x1 x = Vậy x1; x2 hai nghiệm phương trình có dạng: x -Sx + P = x - 5x + = Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 38 ƠN THI VÀO LỚP 10 CƠNG LẬP Dạng 2: Tìm hai số biết tích chúng Cách giải: Bước 1: Gọi hai số cần tìm x y Tính: S = x + y = a; P = x.y = b Bước 2: Khi x y hai nghiệm phương trình: X2 - SX + P = Bước 3: Giải phương trình trên, tìm x; y Bài tập 1: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = tích P = ab = Giải Đặt: S = a + b = P = ab = Khi đó: a b hai nghiệm phương trình: x2 + 3x - = Giải phương trình ta được: x1 = x2 = -4 Vậy hai số a b cần tìm a = b = 4; a = -4 b = Bài tập 2: Tìm số a b biết 1) a + b = a2 + b2 = 41 2) a b = ab = 36 Giải 1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: a + b = a + b = 81 a + 2ab + b = 81 ab = 81- a + b = 20 Khi đó: a, b nghiệm phương trình có dạng: x2 - 9x + 20 = Phương trình có hai nghiệm x = 4; x = Vậy hai số a b cần tìm a = b = 5; a = b = 2) 2 a - b = a + b - 4ab a + b = a - b + 4ab = 169 2 a + b = -13 a + b = 132 a + b = 13 Với a + b = -13 ab = 36 x = -4 Khi a, b nghiệm phương trình: x +13x + 36 = x = -9 Vậy a = - 4; b = -9 Với a + b = 13 ab = 36 x = Khi a, b nghiệm phương trình: x -13x + 36 = x2 = Vậy a = 9; b = Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Cho phương trình: x2 - 2mx + m - = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: mx 5x (m 5) a) Giải phương trình m = b) Chứng tỏ phương trình cho ln có nghiệm với giá trị m c) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hãy tính theo m giá trị biểu thức A 16x1x 3(x1 x ) Tìm m để A = Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 39 ƠN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP Bài tập 3: Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số: x - 2x + m = a) Tìm m để phương trình cho có nghiệm b) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1 - 2x2 = Bài tập 4: Cho phương trình bậc hai: x - 2(m +1)x + m2 + 3m + = a) Tìm giá trị m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m thỏa mãn x1 + x = 12 (trong x1 , x hai nghiệm phương trình) Bài tập 5: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + m - = 0, (m tham số) 1) Giải phương trình với m = 2) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu 3) Với x1, x2 nghiệm phương trình cho Tính theo m giá trị biểu thức: A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) Bài tập 6: Cho phương trình: x2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m CHỦ ĐỀ 10 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) Kí hiệu tập xác định hàm số f(x) D - Giá trị lớn nhất: m gọi giá trị lớn f(x) nếu: f(x) m, với xD Kí hiệu: m max f x giá trị lớn y = m xD - Giá trị nhỏ nhất: M gọi giá trị nhỏ nếu: f(x) M, với x0D Kí hiệu: M f x giá trị nhỏ y = M xD Cách tìm giá trị lớn - giá tị nhỏ nhất: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0) - Giá trị lớn f(x): Bước 1: Phân tích: f(x) = m - (cx + d)2, với M hai số thực d Bước 2: GTLN f(x) = m, đạt cx + d = x c - Giá trị nhỏ f(x): Bước 1: Phân tích: f(x) = M + (ex + f)2, với M hai số thực f Bước 2: GTNN f(x) = M, đạt ex + f = x e Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y = 2x2 + 6x + 10 Giải Ta có: y = 2x2 + 8x + 15 y = 2(x2 + 4x + 4) + y = 2(x + 2)2 + ≥ Vậy giá trị nhỏ y = 7, đạt x + = x = -2 Bài tập 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: y = + 4x - 4x2 Giải Ta có: y = + 4x - 4x2 y = -(1 - 4x + 4x2) Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 40 ƠN THI VÀO LỚP 10 CƠNG LẬP y = - (1 - 2x)2 ≤ Vậy giá trị lớn y = 6, đạt - 2x = x Bài tập 3: Tìm giá trị x để biểu thức x - 2x + có giá trị lớn Giải Ta có: x 2x x x 2x Khi x = x biểu thức 3 3 x - 2x + đạt giá trị lớn Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức 10 x 4x Giải Ta có: -x2 + 4x - = -5 - (x - 2)2 - 10 10 2 Do đó: x x 5 Dấu "=" xảy x - = x = 10 Vậy GTNN biểu thức -2 x 4x Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Tìm GTLN GTNN biểu thức: a) A = x2 - 6x + 20 b) B = (2x + 1)(x + 2) - (4x2 - 2x) c) C = (5x + 2)(1 + 3x) d) D = (4x + 3)(3x - 1) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: x 2x Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ f(x) = 6x 9x 6 Bài tập 4: Tìm giá trị lớn f(x) = x 3 x 7 - HẾT - Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 41 ... nghiệm Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Giải phương trình: x4 10x2 Bài tập 2: Giải phương trình: x4 - 3x2 - = Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 20 ƠN THI VÀO LỚP 10 CƠNG LẬP CHỦ ĐỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH... a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P < Biên soạn: Trần Trung Chính Trang 10 ÔN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH Phƣơng trình bậc ẩn: Cách giải chung: Bước 1: Quy đồng (nếu hạng... 2005 Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Giải phương trình sau: a) 3x - = 4x + Biên soạn: Trần Trung Chính 0 b) - 7x = - 8x Trang 12 ÔN THI VÀO LỚP 10 CÔNG LẬP x -11 = x -12 3 - x= - x 5 10x + + 8x Bài