TÀI LIỆU TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN (HÌNH HỌC)

Tài liệu phù hợp với kiến thức tuyển sinh vào lớp 10 tại khu vực Thành phố Hồ Chí Minh. Tài liệu có đầy đủ kiến thức để các bạn có thể bắt đầu lại với kiến thức hình học từ những điều cơ bản nhất.

TÀI LIỆU LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN HÌNH HỌC Tài liệu soạn dựa theo chương trình SGK, bám sát cấu trúc đề thi dành cho HS ôn thi vào lớp 10 công lập SƯU TẦM VÀ BIÊN SOẠN: TRẦN TRUNG CHÍNH Trang CÁC KÍ HIỆU TRONG TÀI LIỆU (O) (O; R) ABC SABC a, b, c ha, hb, hc ma, mb, mc R, r đpcm 2p : Đường tròn tâm O : Đường tròn tâm O, bán kính R : Tam giác ABC : Diện tích ABC : Độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C ABC : Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác : Điều phải chứng minh abc : Chu vi tam giác (p = nửa chu vi) Trang CHUYÊN ĐỀ 1: KIẾN THỨC VỀ TAM GIÁC - TỨ GIÁC Tam giác cân: Các phương pháp chứng minh tam giác cân: - Tam giác có hai cạnh tam giác cân - Tam giác có hai góc tam giác cân - Tam giác có đường cao vừa đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác góc ngược lại tam giác tam giác cân Tam giác đều: Các phương pháp chứng minh tam giác đều: - Tam giác có ba cạnh tam giác - Tam giác có ba góc 600 tam giác - Tam giác cân có số đo góc đỉnh cân 600 tam giác - Tam giác có đường cao vừa đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực ngược lại tam giác Tam giác vuông: Các phương pháp chứng minh tam giác vng: - Tam giác có góc vng tam giác vng - Tam giác có hai cạnh nằm hai đường thẳng vng góc tam giác vng - Trong tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền tam giác tam giác vng - Nếu tam giác thỏa mãn bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh cịn lại tam giác tam giác vng - Tam giác nội tiếp đường trịn có cạnh đường kính tam giác tam giác vng Tam giác vng cân: Các phương pháp chứng minh tam giác vuông cân: - Tam giác vng có hai cạnh góc vng tam giác vuông cân - Tam giác vuông có góc nhọn 450 tam giác vng cân - Tam giác cân có số đo góc đáy 450 tam giác vuông cân Hình thang, hình thang cân, hình thang vng: Diện tích hình thang: S   AB  CD  AH Tính chất: Định lý 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên Định lý 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo Định lý 3: Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Đường trung bình hình thang: Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang ABCD Trang Định lý 1: Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai Định lý 2: Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy MN  AB  CD  Phương pháp chứng minh hình thang: Phương pháp 1: Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song Phương pháp chứng minh hình thang vng: Phương pháp 1: Hình thang vng hình thang có góc vng Phương pháp chứng minh hình thang cân: Phương pháp 1: Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Phương pháp 2: Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Phương pháp 3: Hình thang cân hình thang có hai đường chéo Hình bình hành: Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song song Diện tích hình bình hành: SABCD  AH.CD  AH.AB Các phương pháp chứng minh hình bình hành: - Tứ giác có cạnh đối song song - Tứ giác có cạnh đối - Tứ giác có cạnh đối song song - Tứ giác có góc đối - Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường Hình chữ nhật: Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng Trang Chu vi hình chữ nhật: C Diện tích hình chữ nhật: ABCD   AB  BC    AD  DC  SABCD  AB.CD Các phương pháp chứng minh hình chữ nhật: - Tứ giác có ba góc vng - Hình thang cân có góc vng - Hình bình hành có góc vng - Hình bình hành có hai đường chéo Hình thoi: Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh Tính chất: Trong hình thoi: Hai đường chéo vng góc với Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi Chu vi hình thoi: C ABCD  4AB  4BC  4CD  4DA AC.BD  BO.AC  OD.AC Diện tích hình thoi: Các phương pháp chứng minh hình thoi: - Tứ giác có bốn cạnh - Hình bình hành có hai cạnh kề - Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với - Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc Hình vng: S ABCD  Định nghĩa: Hình vng tứ giác có bốn góc vng bốn cạnh Tính chất: Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi Chu vi hình vng: C ABCD  4AB  4BC  4CD  4AD 2 2 Diện tích hình vng: SABCD  AB  BC  CD  AD Phương pháp chứng minh hình vng: - Hình chữ nhật có hai cạnh kề - Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với - Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc Trang - Hình thoi có góc vng - Hình thoi có hai đường chéo Trang CHUYÊN ĐỀ 2: ĐƯỜNG TRÒN Góc nội tiếp: Trong đường trịn: a) Các góc nội tiếp chắn cung (Hình 1) �  NMP � � BC �  NP � BAC b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung (Hình 2) � , NMP � � � � BAC chắn BC � BAC = NMP c) Góc nội tiếp (nhỏ 90 0) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung (Hình 3) � = BOC � BAC d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng (Hình 4): � = 90 BAC Góc tạo tiếp tuyến dây cung: Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn � 1 BAx � sđ AB � � AB cung bị chắn BAx Trong đường tròn, góc tạo tia tiếp tuyến với dây cung góc nội tiếp chắn cung �  BCA � 1 BAx � sđ AB Trang Góc có đỉnh bên có đỉnh bên ngồi đường trịn   � �  CMD � � AMB  AB  CD a) Góc có đỉnh bên đường trịn: (Hình 1)   �  CAD �  CD �  AB � BAE b) Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn: (Hình 2) Độ dài cung tròn độ dài đường tròn - Tính độ dài đường trịn: C = 2R = d, (R: Bán kính, d: Đường kính, lấy  = 3,14) Rn l 180 - Tính độ dài cung trịn: Diện tích hình trịn diện tích hình quạt trịn: - Diện tích hình trịn: S = R2 R n lR S S 360 hay - Diện tích hình quạt trịn: (R: Bán kính, n : Số đo cung tròn, l: Độ dài cung tròn,  = 3,14) S  Squ�t  SOAB - Diện tích hình viên phân: vi�nph�n Trang Bài tập: Bài tập 1: Vẽ lại hình tạo cung trịn với tâm B, C, D, A theo kích thước cho (cạnh hình vng ABCD dài cm) Nêu cách vẽ đường xoắn AEFGH Tính độ dài đường xoắn Bài tập 2: Bạn Hương ngày học xe đạp từ nhà đến trường cách nhà 2041m Biết bạn đạp bàn đạp để dĩa quay vịng líp quay vịng (Bánh xe quay vịng) (Bánh xe có đường kính 650mm) Hỏi từ nhà đến trường bạn Hương phải đạp để dĩa quay vòng (lấy 3,14 )? Bài tập 3: Một vườn cỏ hình chữ nhật ABCD có AB = 40 m, AD = 30 m Người ta muốn buộc hai dê hai góc vườn A, B Có hai cách buộc: - Mỗi dây thừng dài 20 m - Một dây thừng dài 30 m dây thừng dài 10 m Hỏi với cách buộc diện tích cỏ mà hai dê ăn lớn ? Trang Bài tập 4: a) Vẽ hình (tạo cung tròn) với AH = 10 cm AB = NH = cm Nêu cách vẽ b) Tính diện tích hình HOABINH (miền đen) Bài tập 5: Hình vành khăn phần hình trịn nằm hai đường trịn đồng tâm a) Tính diện tích S hình vành khăn theo R1 R2 (giả sử R1 > R2 ) b) Tính diện tích hình vành khăn R1 = 10,5 cm, R2 = 7,8 cm Bài tập 6: Hình viên phân phần hình trịn giới hạn cung dây căng cung Hãy tính � diện tích hình viên phân AmB (miền đen), biết góc tâm AOB  60 bán kính đường trịn 5,1 cm Trang 10 Bài tập: Bài tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm M cung nhỏ BC Chứng minh MB + MC = MA Chứng minh Trên tia MD lấy điểm D cho MD = MB � � BMD có MD = MB, BMD  BCA  60 � (góc nội tiếp chắn AB Suy ra: BMD �  BD = BM BMD  60 Xét ABD CBM có AB = BC: �1  B �  60  B � ; BD  BM B   nên ABD = CBM (c.g.c)  AD = MC Vậy MB + MC = MD + AD = MA Bài tập 2: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp b) Chứng minh: AD.AC = AE.AB Chứng minh a) Xét tứ giác BCDE, có: �  900 BDC �  900 BEC Ta có hai đỉnh D, E nhìn cạnh BC với góc 900  Tứ giác BCDE nội tiếp b) Xét ADB AEC, ta có: �  AEC �  900 ADB (Vì BD, CE hai đường cao) � A góc chung  ADB ∽ AEC (g - g) AD AB  AE AC   AD.AC = AE.AB Bài tập 3: Cho (O) có đường kính AB Qua A kẻ tiếp tuyến xy Lấy điểm M  Ax; nối BM cắt (O) C Chứng minh: MA2 = MB.MC Bài tập 4: Cho ABC đều, nội tiếp đường tròn (O) D điểm cung BC (BC cung nhỏ) CD AB kéo dài cắt M; BD AC kéo dài cắt N Chứng minh: AB2 = BM.CN Bài tập 5: Cho ABC có AB < AC Từ M  AB vẽ MEF //BC cắt AC E đường thẳng song song AB vẽ từ C F AC cắt BF I Chứng minh: IC2 = IE.IA Bài tập 6: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36mm; AD = 24mm Từ D nối đến trung điểm M AB cắt AC I CB kéo dài K Chứng minh: ID2 = IM.IK Bài tập 7: Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Vẽ CE AB FC AD Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC2 Bài tập 8: Cho đường trịn (O) Từ điểm A bên ngồi (O) vẽ tiếp tuyến AM cát tuyến ABC Chứng minh: AM2 = AB.AC Bài tập 9: Cho đường trịn (O) có BC DE hai dây cung cắt A Trang 31 Chứng minh AB.AC = AD.AE Bài tập 10: Cho tam giác ABC nhọn có AD, BE, CF ba đường cao cắt H Chứng minh DB.DC = DA.DH Bài tập 11: Cho đường tròn (O) có AB AC hai tiếp tuyến (B, C hai tiếp điểm) M điểm thuộc cung nhỏ BC H, I, K hình chiếu M lên AB, BC, AC Chứng minh MI2 = MH.MK Trang 32 CHUYÊN ĐỀ 12: TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp chứng minh - Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm cho trước - Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 (bù nhau) - Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng góc - Chứng minh tứ giác hình thang cân; hình chữ nhật; hình vng; … * Góc với đường trịn: Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung �  AOB � s�AmB Số đo cung lớn hiệu số 3600 số đo cung nhỏ s�� AmB  360  s�� AnB Số đo nửa đường trịn 1800 * Góc nội tiếp: 1 � � AOB  s�� AB; AOB  � ACB  s�� AB 2 Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng * Góc tạo tiếp tuyến dây cung:   � � ( sđ AB  ABa ) * Góc có đỉnh bên đường trịn góc có đỉnh bên ngồi đường trịn � = BEC   � � � CMD= s�CD- s�AB ; Bài tập    � s�BmC+s�� AnD  � = s�BC � - s�AB � BMC ; Trang 33   � � AMB= s�� AmB- s�AnB Bài tập 1: Cho ABC, BD, CE hai đường cao Chứng minh: Tứ giác BCDE AEHD nội tiếp Chứng minh Xét tứ giác BCDE, có: �  BEC �  90 BDC (Vì BD, CE hai đường cao) � A góc chung  Hai đỉnh E, D nhìn cạnh BC với góc 900  Tứ giác BCDE nội tiếp Xét tứ giác AEHD, có: �  900 AEH (EC đường cao) �  90 ADH (BD đường cao) � �  AEH  ADH  180  Tứ giác AEHD nội tiếp Bài tập 2: Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) A D chúng cắt E Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp đường trịn Chứng minh Ta có: � =1 EAC � sđ AC (góc tạo tia tiếp tuyến AE dây AC đường tròn (O)) Tương tự: � =1 xDB � sđ DB (Dx tia đối tia tiếp tuyến DE) � � Mà AC = BD (do ABCD hình thang cân) nên AC = BD � � Do EAC = xDB Vậy tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Bài tập 3: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB = 2R, dây cung AC Gọi M điểm cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D OD cắt AC H Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp Chứng minh Ta có: � = 900 AMB (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB) � AM  MB Mà CD // BM (giả thiết) nên AM  CD � Vậy MKC = 90 � � � Ta có: AM = CM (giả thiết) � OM  AC � MHC  90 � � Tứ giác CKMH có MKC + MHC = 180 nên nội tiếp đường tròn Bài tập 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB M điểm tiếp tuyến xBy AM cắt (O) C; lấy D  BM; nối AD cắt (O) I Chứng minh: Tứ giác CIDM nội tiếp Trang 34 Bài tập 5: Cho đường trịn (O) đường kính AB Từ A B vẽ Ax  AB By  BA Vẽ tiếp tuyến x’My’ (tiếp điểm M) cắt Ax C By D OC cắt AM I OD cắt BM K Chứng minh: Tứ giác CIKD nội tiếp Bài tập 6: Cho đường trịn (O) đường kính AB, vẽ bán kính OC  AB Từ B vẽ tiếp tuyến Bx Gọi M trung điểm OC, AM kéo dài cắt đường tròn E Bx I Tiếp tuyến từ E cắt Bx D Chứng minh: Tứ giác MODE nội tiếp Bài tập 7: Cho tam giác ABC nhọn có AD, BE, CF ba đường cao cắt H, O trung điểm BC Chứng minh bốn điểm D, F, E, O thuộc đường tròn Bài tập 8: Cho đường tròn (O) có AB AC hai tiếp tuyến (B, C hai tiếp điểm), cát tuyến ADE (D nằm A E), F trung điểm dây cung DE Chứng minh năm điểm A, B, O, C, F thuộc đường tròn Bài tập 9: Cho tam giác ABC vng A có AB = 4cm, AC = 3cm Lấy điểm D thuộc cạnh AB (AB < AD) Đường trịn (O) đường kính BD cắt CB E , kéo dài CD cắt đường tròn (O) F a) Chứng minh ACED tứ giác nội tiếp b) Biết BF = 3cm Tính BC diện tích tam giác BFC c) Kéo dài AF cắt đường tròn (O) điểm G Chứng minh BA tia phân giác góc CBG Bài tập 10: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB E điểm tùy ý nửa đườn trịn (E khác A, B) Lấy điểm H thuộc đoạn EB (H khác E, B) Tia AH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai F Kéo dài tia AE tia BF cắt I Đường thẳng IH cắt nửa đường tròn P cắt AB K a) Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp đường tròn b) chứng minh AIH = ABE c) Gọi S giao điểm tia BF tiếp tuyến A nửa đường tròn (O) Khi tứ giác AHIS nội tiếp đường tròn Chứng minh EF vng góc với EK Trang 35 CHUN ĐỀ 13: CHỨNG MINH CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Phương pháp chứng minh Phương pháp 1: Áp dụng tính chất đường đồng quy tam giác Phương pháp 2: Chứng minh đường thẳng qua điểm: Ta hai đường thẳng cắt điểm chứng minh đường thẳng qua điểm Phương pháp 3: Dùng định lý đảo định lý Talet Bài tập Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD Trên AB CD lấy điểm E F cho AE = CF Trên AD BC lấy H G cho DH = BG a) Chứng minh: Tứ giác EGFH hình bình hành b) Chứng minh: AC, BD, EF, GH cắt điểm Chứng minh a) Xét DHF BGE, ta có: DH = BG �  GBE � HDF (Vì ABCD hình bình hành) DF = BE (Vì AE = CF)  DHF = BGE  HF = EG (1) Mặt khác, ta có: �  BGH � � � � � DHG DHF  BGE � FCG  EGH (2) Từ (1), (2) suy ra: Tứ giác EGFH hình bình hành b) (Theo câu a)  Tứ giác EGFH hình bình hành Gọi I giao điểm đường chéo HG EF (của hình bình hành EGFH) Ta lại có: Tứ giác AGCH hình bình hành (AH // CG AH = CG)  Giao đường chéo HG AC I (I trung điểm HG) Tương tự, ta có: Hình bình hành HBGD có giao điểm đường chéo HG BD I (I trung điểm HG) Suy ra: HG, EF, AC, BD cắt điểm I (cũng điểm nhất) Bài tập 2: Cho hai đường thẳng d1 d2 cắt O Trên d1 lấy ba điểm phân biệt A, B, C khác O cho OA = AB = BC Trên d2 lấy ba điểm E, M, N khác O cho OE = OM = MN Chứng minh ba đường thẳng AE, BN CM đồng quy Chứng minh Gọi D giao điểm BN CM Qua M kẻ đường thẳng song song với OC cắt BC F Qua O kẻ đường thẳng song song với BN cắt MF G Xét FBO OGF, ta có: �  GFO � BOF (so le trong) OF cạnh chung �  GOF � BFO (so le trong) FBO = OGF (g-c-g)  FG = BO (1) Xét NFM OGM, ta có: Trang 36 � �  FNM GOM MO=MN � �  NMF OMG (đối đỉnh)  NFM = OGM  MF = MG (2) Từ (1) (2), suy ra: MF = OA = AB = BC Sử dụng kết vừa tìm kết hợp: �  DMF � � � DCB (so le trong) DBC  DFM (so le trong) Suy ra: DBC = DFM (g-c-g) Do đó: DC = DM hay D trung điểm CM (3) Xét CEM, ta có: CO trung tuyến ứng với cạnh ME (do OE=OM) CA = CO  A trọng tâm CEM Suy ra: AE qua trung điểm cạnh CM (4) Từ (3) (4), ta suy ra: AE qua D Vậy BN,CM AE đồng quy D Bài tập 3: Cho hình thang ABCD (AB > CD) Gọi E giao điểm hai cạnh bên AD BC; F trung điểm AB Chứng minh rằng: AC, BD, CF đồng quy Bài tập 4: Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AH, BK, CL cắt I Gọi D, E, F trung điểm BC, CA, AB Gọi P, Q, R trung điểm IA, IB, IC Chứng minh PD, QE, RF đồng quy Gọi J điểm đồng quy, chứng minh I trung điểm đường Trang 37 CHUYÊN ĐỀ 14: CHỨNG MINH CÁC ĐIỂM THẲNG HÀNG Phương pháp chứng minh Phương pháp 1: Chứng minh qua điểm có hai đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước điểm Phương pháp 2: Chứng minh tổng hai góc 180 độ (sử dụng tứ giác nội tiếp, góc ) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất đồng quy ba đường cao, phân giác, trung trực, trung tuyến Phương pháp 4: Sử dụng tính chất đường chéo tứ giác đặc biệt Bài tập Bài tập 1: Cho ABC với hai trung tuyến BD CE Gọi M N theo thứ tự thuộc tia đối tia EC DB cho EC = EM DB = DN Chứng minh A, M, N thẳng hàng Giải Tứ giác AMBC có: EA = EB, EM = EC (gt) Nên hình bình hành Suy ra: AM // BC (1) Chứng minh tương tự, ta có: AN // BC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm A, M, N thẳng hàng (tiên đề Ơcơlit) Bài tập 2: Đường tròn tâm O đường tròn tâm O’ cắt A B Gọi C, D đối xứng với B qua O O’ Chứng minh C, A, D thẳng hàng Giải Vì C đối xứng với B qua O nên O trung điểm BC Suy BC đường kính (O) Ta có OA = OB = OC = BC nên tam giác ABC vuông A �  BAC  90 � Chứng minh tương tự ta có: BAD  90 � � � Do : CAD  BAC  BAD  180  C, A, D thẳng hàng Bài tập 3: Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy hai điểm E F cho BE = DF Kẻ EH  AB, FK  CD (H  AB, K  CD) Gọi O trung điểm EF Chứng minh ba điểm H, O, K thẳng hàng Giải Vì EH  AB, FK  CD AB // CD nên EH // FK (1) Xét HBE KDF có BE = DF, �  HBE, � �  BHE �  900 KDF DKF  HBE = KDF (cạnh huyền – góc nhọn)  HE = KF (2) Từ (1) (2) suy HEKF hình bình hành  Trung điểm EF trung điểm HK Vậy E, H, K thẳng hàng (đpcm) Trang 38 Bài tập 4: Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình vng ABCD ta lấy điểm M, N, P, Q cho AM = BN = CP = DQ Gọi O giao điểm hai đường chéo Chứng minh M, O, P thẳng hàng Bài tập 5: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB Đường thẳng kẻ từ C song song với AD cắt BD AB E F Đường thẳng kẻ từ D song song với BC cắt AC AB P Q Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng Bài tập 6: Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao BD CE Gọi I điểm thuộc đoạn BC; H giao điểm BD CE; N thuộc đoạn AH ; M thuộc đoạn DE Chứng minh M, I, N thẳng hàng Trang 39 CHUYÊN ĐỀ 15: CỰC TRỊ HÌNH HỌC Một số kiến thức liên quan đến cực trị Ngun lí đường vng góc ngắn đường xiên: Đoạn vng góc ngắn đường xiên Định lí cạnh góc tam giác: Trong tam giác ứng với góc lớn cạnh lớn ngược lại Bài tập Bài tập 1: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường tròn( P khơng trùng với O) Xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ Giải Xét dây AB qua P Kẻ OH  AB Theo liên hệ dây khoảng cách đến tâm: AB nhỏ  OH lớn Ta lại có OH ≤ OP OH = OP  H ≡ P Do MaxOH = OP Khi dây AB vng góc với OP P Bài tập 2: Cho tam giác vng ABC có độ dài cạnh góc vng AB = 6cm, AC = 8cm M điểm di chuyển cạnh huyền BC Gọi D E chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB AC Tính diện tích lớn tứ giác ADME Giải ADME hình chữ nhật Đặt AD = x ME = x EM CE x CE  �  � CE  x ME //AB  AB CA  AE =  x Ta có: 4 � � 8 x � � SADME = AD.AE = x � �= 8x  x2 =  (x  3)2 +12 ≤ 12 SADME = 12cm2  x = cm Diện tích lớn tứ giác ADME 12 cm2 Khi D trung điểm AB, M trung điểm BC E trung điểm AC Bài tập 3: Trên cạnh BC, AC tam giác ABC lấy tương ứng hai điểm M N cho BM = CN Tìm vị trí M để MN có giá trị lớn Bài tập 4: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Điểm M lưu động cung nhỏ BC Từ M kẻ đường thẳng MH, MK vng góc với AB, AC (H  AB,  AC) Tìm vị trí M để độ dài đoạn HK lớn Trang 40 BÀI TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC Bài tập 1: Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Tiếp tuyến C nửa đường tròn cắt hai tiếp tuyến Ax, Ay nửa đường tròn D P (C khác A B) a) Chứng minh tam giác DOP vuông b) Gọi E giao điểm đường thẳng BP AC Chứng rằng BP = PE c) Chứng minh BD vng góc với OE d) Gọi F giao điểm BD với nửa đường tròn (O; R) Chứng minh EF tiếp tuyến nửa đường trịn Bài tập 2: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R Lấy điểm H thuộc tia đối tia BA, qua H dựng đường thẳng d vng góc với AB Lấy điểm C cố định thuộc đoạn thẳng OB (C khác O B) Vẽ dây EF qua C, tia AE, AF cắt đường thẳng d M N a) Chứng minh tứ giác BEMH nội tiếp b) Chứng minh rằng: AE.AM = AF.AN c) Chứng minh EF thay đổi đường trịn ngoại tiếp AMN ln qua điểm cố định khác điểm A d) Cho biết: AB = 4cm, HB = 1cm BC = 1cm Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN Bài tập 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C, D hai điểm di động nửa � đường tròn cho C thuộc cung AD COD  60 (C khác A D khác B) Gọi M giao điểm tia AC BD, N giao điểm dây AD BC Gọi H trung điểm CD a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp b) Chứng minh tổng cách khoảng cách từ A, B đến đường thẳng CD không đổi DI  R 3 c) Gọi I trung điểm MN Chứng minh H, I, O thẳng hàng d) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác MCD theo R Bài tập 4: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB a) Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp � � b) Chứng minh ACM  ACK c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C d) Gọi d tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm d cho hai điểm AP.MB R P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB MA Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK Bài tập 5: Cho đường tròn (O) M điểm nằm ngồi đường trịn (O) Đường thẳng MO cắt (O) E F (ME < MF) Vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến MC (O) (C tiếp điểm, A nằm hai điểm M B, A C nằm khác phía đường thẳng MO) a) Chứng minh rằng: MA.MB = ME.MF b) Gọi H hình chiếu vng góc điểm C lên đường thẳng MO Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm C, vẽ nửa đường trịn đường kính MF; nửa đường tròn cắt tiếp tuyến E (O) K Gọi S giao điểm hai đường thẳng CO KF Chứng minh đường thẳn MS vuông góc với đường thẳng KC d) Gọi P Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFS ABS; T trung điểm KS Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng Bài tập 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường trịn tâm O, đường kính AH, đường tròn cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác BDEC tứ giác nội tiếp Trang 41 b) Chứng minh ba điểm D, O, E thẳng hàng c) Cho biết AB = 3cm, BC = 5cm Tính diện tích tứ giác BDEC Bài tập 7: Cho ABC có đường cao BD CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M N a) Chứng minh: Tứ giác BEDC nội tiếp � � b) Chứng minh: DEA  ACB c) Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác d) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh: OA phân giác góc MAN e) Chứng tỏ rằng: AM2 = AE.AB Bài tập 8: Cho đường tròn (O), đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường trịn (O’), đường kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Từ M vẽ dây cung DE  AB; DC cắt đường tròn (O’) I a) Tứ giác ADBE hình gì? b) Chứng minh: Tứ giác DMBI nội tiếp c) Chứng minh: Ba điểm B; I; C thẳng hàng MI = MD d) Chứng minh: MC.DB = MI.DC e) Chứng minh: MI tiếp tuyến đường tròn (O’) Bài tập 9: Cho ABC có góc A = 900 Trên AC lấy điểm M cho AM < MC Vẽ đường tròn (O), đường kính CM Đường thẳng BM cắt (O) D Kéo dài AD cắt (O) S a) Chứng minh: Tứ giác BADC nội tiếp � b) Kẻ BC cắt (O) E Chứng minh rằng: MR phân giác AED � c) Chứng minh: CA phân giác góc BCS Bài tập 10: Cho ABC có góc A = 900 Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM>MC Dựng đường trịn (O) đường kính MC Đường tròn cắt BC E Đường thẳng BM cắt (O) D đường thẳng AD cắt (O) S a) Chứng minh: Tứ giác ADCB nội tiếp � b) Chứng minh: ME phân giác AED � � c) Chứng minh: Góc ASM  ACD � d) Chứng tỏ ME phân giác AED e) Chứng minh: Ba đường thẳng BA; EM; CD đồng quy Bài tập 11: Cho tam giác ABC có góc nhọn AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao AD đường kính AA’ Gọi E; F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B C xuống đường kính AA’ a) Chứng minh: Tứ giác AEDB nội tiếp b) Chứng minh: DB.A’A = AD.A’C c) Chứng minh: DE  AC d) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MD = ME = MF Bài tập 12: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm cung nhỏ AC Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ M đến BC AC Gọi P trung điểm AB; Q trung điểm FE a) Chứng minh: Tứ giác MFEC nội tiếp b) Chứng minh: BM.EF = BA.EM c) Chứng minh: AMP ∽FMQ � d) Chứng minh: PQM  90 Bài tập 13: Cho đường trịn (O), có dây cung AB Từ điểm M cung AB (M  A M  B) Kẻ dây cung MN  AB H Gọi MQ đường cao tam giác MAN Trang 42 a) Chứng minh: điểm A; M; H; Q nằm đường tròn b) Chứng minh: NQ.NA = NH.NM c) Chứng minh: MN phân giác góc BMQ d) Kẻ đoạn thẳng MP vng góc với BN Xác định vị trí M cung AB để MQ.AN+MP.BN có giá trị lớn Bài tập 14: Cho đường tròn (O; R) (I; r) tiếp xúc A (R > r) Dựng tiếp tuyến chung BC (B nằm đường tròn (O) C nằm đường tròn (I)) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E a) Chứng minh tam giác ABC vuông A b) Kẻ OE cắt AB N; IE cắt AC F Chứng minh: N; E; F; A nằm đường tròn c) Chứng tỏ rằng: BC2 = 4Rr d) Tính diện tích tứ giác BCIO theo R; r Bài tập 15: Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A B cho OA = OB Một đường thẳng qua A cắt OB M (M nằm đoạn OB) Từ B hạ đường vng góc với AM H, cắt AO kéo dài I a) Chứng minh: Tứ giác OMHI nội tiếp � b) Tính OMI c) Từ O vẽ đường vng góc với BI K Chứng minh: OK = KH d) Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB Bài tập 16: Cho đường trịn (O) đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt CD E a) Chứng minh: AM phân giác góc CMD b) Chứng minh: Tứ giác EFBM nội tiếp c) Chứng tỏ: AC2 = AE.AM d) Gọi giao điểm CB với AM N; MD với AB I Chứng minh: NI // CD e) Chứng minh: N tâm đường tròn nội tiếp CIM Bài tập 17: Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB;AC cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh: A; B; H; O; C nằm đường tròn � b) Chứng minh: HA phân giác góc BHC c) Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh: AB2 = AI.AH d) Kẻ BH cắt (O) K Chứng minh: AE//CK Bài tập 18: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R; xy tiếp tuyến với (O) B CD đường kính Gọi giao điểm AC; AD với xy theo thứ tự M; N a) Chứng minh: Tứ giác MCDN nội tiếp b) Chứng tỏ: AC.AM = AD.AN c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN H trung điểm MN Chứng minh: AOIH hình bình hành d) Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O I di động đường nào? Bài tập 19: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D điểm cung nhỏ BC Kẻ DE; DF; DG vuông góc với cạnh AB; BC; AC Gọi H hình chiếu D lên tiếp tuyến Ax (O) a) Chứng minh: Tứ giác AHED nội tiếp b) Gọi giao điểm AH với HB với (O) P Q; ED cắt (O) M Chứng minh: HA.DP = PA.DE c) Chứng minh: QM = AB d) Chứng minh: DE.DG = DF.DH e) Chứng minh: E; F; G thẳng hàng (đường thẳng Sim sơn) Trang 43 Bài tập 20: Cho tam giác ABC có A = 90 0; AB < AC Gọi I trung điểm BC Qua I kẻ IKBC (K nằm BC) Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA = AK a) Chứng minh: Tứ giác ABIK nội tiếp đường tròn (O) � � b) Chứng minh: BMC  2ACB c) Chứng tỏ rằng: BC2 = 2AC.KC d) Kéo dài AI cắt đường thẳng BM N Chứng minh AC = BN Bài tập 21: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, bán kính OC  AB Gọi M điểm cung BC Kẻ đường cao CH ACM a) Chứng minh: Tứ giác AOHC nội tiếp � b) Chứng tỏ CHM vuông cân OH phân giác COM c) Gọi giao điểm OH với BC I MI cắt (O) D Chứng minh rằng: Tứ giác CDBM hình thang cân d) Kẻ BM cắt OH N Chứng minh: BNI ∽ AMC Từ suy ra: BN.MC = IN.MA Bài tập 22: Cho ABC, (A = 900) nội tiếp đường tròn (O) Gọi M trung điểm cạnh AC Đường trịn (I) đường kính MC cắt cạnh BC N cắt (O) D a) Chứng minh: Tứ giác ABNM nội tiếp CN.AB = AC.MN b) Chứng tỏ rằng: B, M, D thẳng hàng OM tiếp tuyến (I) c) Tia IO cắt đường thẳng AB E Chứng minh: Tứ giác BMOE hình bình hành � d) Chứng minh: NM phân giác AND Bài tập 23: Cho ABC có góc nhọn(AB < AC) Vẽ đường cao AH Từ H kẻ HK; HM vuông góc với AB; AC Gọi J giao điểm AH MK a) Chứng minh: Tứ giác AMHK nội tiếp b) Chứng minh: JA.JH = JK.JM c) Từ C kẻ tia Cx  AC Cx cắt AH kéo dài D Vẽ HI  DB HN  DC Chứng minh rằng: � � HKM  HCN d) Chứng minh: M; N; I; K nằm đường tròn Bài tập 24: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O) Gọi I điểm cung AB (cung AB không chứa điểm C; D) IC ID cắt AB M; N a) Chứng minh: D; M; N; C nằm đường tròn b) Chứng minh: NA.NB = NI.NC c) Kéo dài DI cắt đường thẳng BC F; đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E Chứng minh: EF // AB d) Chứng minh: IA2 = IM.ID Bài tập 25: Cho hình vuông ABCD, cạh BC lấ để E Dựng tia Ax  AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI AEF Kéo dài AIcắt CD K Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI G a) Chứng minh: Tứ giác AECF nội tiếp b) Chứng minh: AF2 = KF.CF c) Chứng minh: Tứ giác EGFK hình thoi d) Chứng minh rằng: Khi E di động BC EK = BE + DK chu vi CKE có giá trị không đổi e) Gọi giao điểm EF với AD J Chứng minh: GJ  JK � Bài tập 26: Cho đường tròn (O) AB  90 C để tuỳ ý cung lớn AB Các đường cao AI; BK; CJ ABC cắt H Kẻ BK cắt (O) N; AH cắt (O) M BM AN gặp D a) Chứng minh: B; K; C; J nằm đường tròn Trang 44 b) Chứng minh: BI.KC = HI.KB c) Chứng minh: MN đường kính đường trịn (O) d) Chứng minh: Tứ giác ACBD hình bình hành e) Chứng minh: OC // DH Bài tập 27: Cho (O; R) Một cát tuyến xy cắt (O) E F Trên xy lấy điểm A nằm đoạn EF Vẽ tiếp tuyến AB AC với (O) Gọi H trung để EF a) Chứng tỏ điểm: A; B; C; O; H nằm đường tròn b) Đường thẳng BC cắt OA I cắt đường thẳng OH K Chứng minh: OI.OA = OH.OK = R2 c) Khi A di động xy I di động đường nào? d) Chứng minh: KE KF hai tiếp tuyến (O) Bài tập 28: Cho hình vuông ABCD, E điểm thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K a) Chứng minh: Tứ giác BHCD nội tiếp � b) Tính CHK c) Chứng minh: KC.KD = KH.KB d) Khi E di động BC H di động đường nào? Bài tập 29: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R Từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M a) Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn b) Chứng minh BM // OP c) Đường thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành d) Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài tập 30: Cho (O; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh: MA.MB = MI.MN d) Chứng minh: IM.IN = IA2 _ HẾT _ Trang 45 ... (Hình 1) �  NMP � � BC �  NP � BAC b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung (Hình 2) � , NMP � � � � BAC chắn BC � BAC = NMP c) Góc nội tiếp (nhỏ 90 0) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung (Hình. ..CÁC KÍ HIỆU TRONG TÀI LIỆU (O) (O; R) ABC SABC a, b, c ha, hb, hc ma, mb, mc R, r đpcm 2p : Đường tròn tâm O : Đường... �  CMD � � AMB  AB  CD a) Góc có đỉnh bên đường trịn: (Hình 1)   �  CAD �  CD �  AB � BAE b) Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn: (Hình 2) Độ dài cung trịn độ dài đường trịn - Tính độ dài