Phương pháp chứng minh
- Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm cho trước. - Chứng minh tứ giác cĩ tổng hai gĩc đối diện bằng 1800 (bù nhau).
- Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một gĩc bằng nhau. - Chứng minh tứ giác đĩ là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuơng; …
* Gĩc với đường trịn:
Số đo cung nhỏ bằng số đo của gĩc ở tâm chắn cung đĩ.
� �
s AmB AOB�
Số đo cung lớn bằng hiệu số giữa 3600 và số đo cung nhỏ.
�AmB1 0 �AnB
s� 360 s�
2
Số đo của nửa đường trịn bằng 1800.
* Gĩc nội tiếp: � 1 � 2 AOB s�AB; � � 1 � 2 AOB ACB s�AB Gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn là gĩc vuơng.
* Gĩc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung:
(
1
2sđAB ABa� � )
* Gĩc cĩ đỉnh ở bên trong đường trịn và gĩc cĩ đỉnh ở bên ngồi đường trịn.
� 1 � �
BEC= s�BmC+s�AnD 2
Bài tập 1: Cho ABC, BD, CE là hai đường cao. Chứng minh: Tứ giác BCDE và AEHD nội tiếp.
Chứng minh
Xét tứ giác BCDE, cĩ:
� � 0
BDC BEC 90 (Vì BD, CE là hai đường cao)
�
A là gĩc chung.
Hai đỉnh E, D cùng nhìn cạnh BC với một gĩc bằng 900.
Tứ giác BCDE nội tiếp. Xét tứ giác AEHD, cĩ:
� 0
AEH 90 (EC là đường cao)
� 0
ADH 90 (BD là đường cao) AEH ADH 180� � 0
Tứ giác AEHD nội tiếp.
Bài tập 2: Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường trịn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường trịn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường trịn.
Chứng minh
Ta cĩ:
� 1
EAC =
2 sđAC (gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến AE và dây AC của� đường trịn (O))
Tương tự:
� 1
xDB =
2 sđDB (Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE)� Mà AC = BD (do ABCD là hình thang cân) nên AC = BD . � �
Do đĩ EAC = xDB .� �
Vậy tứ giác AEDM nội tiếp đường trịn.
Bài tập 3: Cho nửa đường trịn (O) đường kính
AB = 2R, dây cung AC. Gọi M là điểm chính giữa cung AC. Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM ở K và cắt tia OM ở D. OD cắt AC tại H. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp.
Chứng minh
Ta cĩ:
� 0
AMB = 90 (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB) AMMB
� .
Mà CD // BM (giả thiết) nên AM CD .
Vậy � 0
MKC = 90 .
Ta cĩ: AM = CM (giả thiết) OM AC� � � �MHC 90� 0.
Tứ giác CKMH cĩ � � 0
MKC + MHC = 180 nên nội tiếp được đường trịn.
Bài tập 4: Cho đường trịn (O) đường kính AB. M là một điểm trên tiếp tuyến xBy. AM cắt (O) tại
Bài tập 5: Cho đường trịn (O) đường kính AB. Từ A và B vẽ Ax AB và By BA. Vẽ tiếp tuyến x’My’ (tiếp điểm M) cắt Ax tại C và By tại D. OC cắt AM tại I và OD cắt BM tại K. Chứng minh: Tứ giác CIKD nội tiếp.
Bài tập 6: Cho đường trịn (O) đường kính AB, vẽ bán kính OC AB. Từ B vẽ tiếp tuyến Bx. Gọi
M là trung điểm OC, AM kéo dài cắt đường trịn tại E và Bx tại I. Tiếp tuyến từ E cắt Bx tại D. Chứng minh: Tứ giác MODE nội tiếp.
Bài tập 7: Cho tam giác ABC nhọn cĩ AD, BE, CF là ba đường cao cắt nhau tại H, O là trung điểm
của BC. Chứng minh bốn điểm D, F, E, O cùng thuộc một đường trịn
Bài tập 8: Cho đường trịn (O) cĩ AB và AC là hai tiếp tuyến (B, C là hai tiếp điểm), cát tuyến ADE (D nằm giữa A và E), F là trung điểm của dây cung DE. Chứng minh năm điểm A, B, O, C, F cùng thuộc một đường trịn.
Bài tập 9: Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ AB = 4cm, AC = 3cm. Lấy điểm D thuộc cạnh AB
(AB < AD). Đường trịn (O) đường kính BD cắt CB tại E , kéo dài CD cắt đường trịn (O) tại F. a) Chứng minh rằng ACED là tứ giác nội tiếp.
b) Biết BF = 3cm. Tính BC và diện tích tam giác BFC.
c) Kéo dài AF cắt đường trịn (O) tại điểm G. Chứng minh rằng BA là tia phân giác của gĩc CBG.
Bài tập 10: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB và E là điểm tùy ý trên nửa đườn trịn đĩ (E
khác A, B). Lấy 1 điểm H thuộc đoạn EB (H khác E, B). Tia AH cắt nửa đường trịn tại điểm thứ hai là F. Kéo dài tia AE và tia BF cắt nhau tại I. Đường thẳng IH cắt nửa đường trịn tại P và cắt AB tại K.
a) Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp được đường trịn. b) chứng minh AIH = ABE
c) Gọi S là giao điểm của tia BF và tiếp tuyến tại A của nửa đường trịn (O). Khi tứ giác AHIS nội tiếp được đường trịn. Chứng minh EF vuơng gĩc với EK.