Chứng minh hệ thức liên quan đến đoạn thẳng: Tổng hoặc hiệu hai đoạn thẳng bằng đoạn thẳng thứ ba.
- Chia đoạn thẳng lớn nhất thành hai phần, sao cho một phần bằng đoạn thẳng thứ nhất và chứng minh phần cịn lại bằng đoạn thẳng thứ hai.
- Dựng tổng của hai đoạn thẳng cho trước rồi chứng minh tổng này bằng đoạn thẳng thứ 3.
Chứng minh hệ thức lên quan đến gĩc: (Tổng hoặc hiệu hai gĩc bằng gĩc thứ ba)
- Ta cĩ thể làm tương tự như chứng minh tổng (hoặc hiệu) hai đoạn thẳng bằng đoạn thẳng thứ ba. - Dùng định lí về gĩc nội tiếp: Gĩc nội tiếp (nhỏ hơn bằng bằng 900) cĩ số đo bằng nửa số đo của gĩc ở tâm cùng chắn một cung.
Chứng minh hệ thức liên quan đến các cạnh trong tam giác:
- Dùng định lý Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuơng, …
Giả sử cần chứng minh: MA.MB = MC.MD Lập sơ đồ: MA.MB = MC.MD MA MD MAD MC MB � � ∽MCB hoặc MAC ∽MDB - Dùng tính chất: Đường trịn (O) và một điểm M cố định khơng nằm trên đường trịn. Qua M kẻ đường hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D.
Ta cĩ: MA.MB = MC.MD.
- Sử dụng phương tích của một điểm với đường trịn:
Nếu từ một điểm M ở ngồi đường trịn, vẽ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB thì
2
Bài tập:
Bài tập 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường trịn (O). Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC. Chứng minh MB + MC = MA.
Chứng minh
Trên tia MD lấy điểm D sao cho MD = MB.
BMD cĩ MD = MB, �BMD BCA� 600 (gĩc nội tiếp cùng chắn �AB
Suy ra: BMD đều.
BD = BM và �BMD600. Xét ABD và CBM cĩ AB = BC: �1 �360�2 B B B ; BD BM nên ABD = CBM (c.g.c) AD = MC. Vậy MB + MC = MD + AD = MA.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC nhọn, các đường
cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp. b) Chứng minh: AD.AC = AE.AB.
Chứng minh a) Xét tứ giác BCDE, cĩ: � � 0 0 BDC 90 BEC 90 Ta cĩ hai đỉnh D, E cùng nhìn cạnh BC với một gĩc bằng 900.
Tứ giác BCDE nội tiếp. b) Xét ADB và AEC, ta cĩ:
� � 0
ADB AEC 90 (Vì BD, CE là hai đường cao)
� A là gĩc chung. ADB ∽AEC (g - g). AD AB AE AC AD.AC = AE.AB.
Bài tập 3: Cho (O) cĩ đường kính AB. Qua A kẻ tiếp tuyến xy. Lấy điểm M Ax; nối BM cắt (O)
tại C. Chứng minh: MA2 = MB.MC.
Bài tập4: Cho ABC đều, nội tiếp đường trịn (O). D là một điểm trên cung BC (BC là cung nhỏ). CD và AB kéo dài cắt nhau ở M; BD và AC kéo dài cắt nhau ở N. Chứng minh: AB2 = BM.CN.
Bài tập 5: Cho ABC cĩ AB < AC. Từ M AB vẽ MEF //BC cắt AC tại E và đường thẳng song
song AB vẽ từ C tại F. AC cắt BF tại I. Chứng minh: IC2 = IE.IA.
Chứng minh AB.AC = AD.AE.
Bài tập 10: Cho tam giác ABC nhọn cĩ AD, BE, CF là ba đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh DB.DC = DA.DH.
Bài tập 11: Cho đường trịn (O) cĩ AB và AC là hai tiếp tuyến (B, C là hai tiếp điểm). M là điểm thuộc cung nhỏ BC. H, I, K là hình chiếu của M lên AB, BC, AC. Chứng minh MI2 = MH.MK.