TÀI LIỆU ÔN THI VÀO LỚP 10 (PHẦN ĐẠI SỐ)

Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 thpt PhÇn i ®¹i sè Chuyên đề 1: Căn thức, rút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức A.KI ế N THC C BN 1.Khỏi nim x l cn bc hai ca s khụng õm a x 2 = a. Kớ hiu: x a= . 2.iu kin xỏc nh ca biu thc A Biu thc A xỏc nh A 0 . 3.Hng ng thc cn bc hai 2 A khi A 0 A A A khi A 0 = = < 4.Cỏc phộp bin i cn thc +) ( ) A.B A. B A 0; B 0= +) ( ) A A A 0; B 0 B B = > +) ( ) 2 A B A B B 0 = +) ( ) A 1 A.B A.B 0; B 0 B B = +) ( ) ( ) 2 2 m. A B m B 0; A B A B A B = m +) ( ) ( ) n. A B n A 0; B 0; A B A B A B = m +) ( ) 2 A 2 B m 2 m.n n m n m n = + = = vi m n A m.n B + = = B. Bài tập vận dụng I. Mt s bài tập rèn luyện k nng c bn Bi 1: Khai trin cỏc hng ng thc 1) 2 ( 2 1)+ 2) 2 ( 2 1) 3) ( ) 2 23 + 4) 2 ( 3 2) 5) 2 ( 3 2)+ 6) 2 ( 3 2) 7) 2 (2 2 2)+ 8) 2 (2 2 2) 9) 2 2 1+ 10) 2 2 1 11) ( )( ) 1212 + 12) 2 2 8 Bi 2: Phõn tớch thnh cỏc ly tha bc hai 1) 8 2 15+ 2) 10 2 21 3) 5 24+ 4) 12 140 5) 14 6 5+ 6) 8 28 7) 9 4 2+ 8) 28 6 3+ Bi 3: Phõn tớch thnh nhõn t 1) 1 3 5 15+ + + 2) 10 14 15 21+ + + 3) 35 14 15 6+ 4) 3 18 3 8+ + + 5) 2 36x 5 6) 25 - 3x 2 7) x - 4 (x > 0) 8) 11 + 9x (x < 0) 9) 31 + 7x (x < 0) 10) x y y x+ Bi 4: Tớnh: A 21 6 6 21 6 6= + + Bài 5: Thu gn, tớnh giỏ tr cỏc biu thc: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 A 3 3 2 3 3 3 1 3 2 3 2 2 B 2 3 3 2 1 C 3 2 2 6 4 2 D 2 3 2 3 = + + + + = + + + = + = + + II. Một số bài tập tổng hợp Bài 1: Cho biểu thức A = 42 2 42 2 + + b b b b a. Tìm điều kiện của x để A xác định b. Rút gọn biểu thức A. c. Tìm b để A = 2 Bài 2: Cho biu thc: 2 x 1 x 1 2 x 1 A : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + = + ữ ữ + + a) Rỳt gn biu thc A b) Tớnh giỏ tr ca biu thc A khi x 3 8= + c) Tỡm giỏ tr ca x khi A = 5 Bài 3: Cho biu thc: a a 1 a a 1 a 2 A : a 2 a a a a + + = ữ ữ + a) Vi giỏ tr no ca a thỡ biu thc A xỏc nh b) Rỳt gn biu thc A c) Vi giỏ tr nguyờn no ca a thỡ A cú giỏ tr nguyờn? Bi 4: Cho biu thc: x 2x x B x 1 x x = a) Rỳt gn biu thc B b) Tớnh giỏ tr ca B khi x 3 8= + c) Vi giỏ tr no ca x thỡ B > 0? B< 0? B = 0? Bài 5. Cho biểu thức: C = ab ba aab b bab a + + + a) Rút gọn C b) Tính giá trị của C khi a = 324 + , b = 324 c) Chứng minh rằng nếu 5 1 + + = b a b a thì C có giá trị không đổi Bi 6. Cho biu thc: 2 x 1 10 5 A x 3 x 2 x x 6 + = + + + a) Tỡm iu kin ca x A xỏc nh b) Rỳt gn biu thc A c) Tỡm giỏ tr ca x A > 0 Bi 7. Cho biu thc 1 1 x 2 C x 3 : x 1 : x 1 x 1 x + = + ữ ữ a) Tỡm iu kin i vi x biu thc C xỏc nh b) Rỳt gn biu thc C c) Tớnh giỏ tr ca biu thc C khi x 6 20= + d) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn ca x C cú giỏ tr nguyờn Bi 8. Cho biu thc A = 1 1 1 1 1 : 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x + + ữ ữ + + a) Rỳt gn biu thc A b) Tớnh giỏ tr ca A khi x = 7 + 4 3 c) Vi giỏ tr no ca x thỡ A t giỏ tr nh nht Bi 17: Cho biu thc 3 1 1 x x B x 1 x x 1 x x 1 = + + + a) Tỡm iu kin biu thc B xỏc nh b) Rỳt gn biu thc B c) Tỡm giỏ tr ca x khi B = 4 d) Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn dng ca x B cú giỏ tr nguyờn Chuyên đề 2: Hàm số bậc nhất y=ax+b A.KIN THC cơ bản Cho hàm số y=ax+b (a 0) - Hàm số đồng biến khi a>0; nghịch biến khi a<0 - Nếu toạ độ (x 0 ;y 0 ) của điểm A thoả mãn hàm số y=f(x) thì điểm A thuộc đồ thị hàm số này. - Ngợc lại, nếu điểm A(x 0 ;y 0 ) nằm trên đồ thị của hàm số y=f(x) thì toạ độ (x 0 ;y 0 ) của A thoả mãn hàm số y=f(x). - Cho hai đờng thẳng (d 1 ): y=ax+b & (d 2 ): y= a 1 .x+b 1 (a 0 ; a 1 0) + (d 1 ) // (d 2 ) a=a 1 & b b 1 + (d 1 ) (d 2 ) a= a 1 & b= b 1 + (d 1 ) cắt (d 2 ) a a 1 + (d 1 ) (d 2 ) a.a 1 =-1 B. Bài tập vận dụng Bi 1: Xỏc nh a v b ng thng y = ax + b i qua hai im A(1; 2) v B(2; 1). Bi 2 : Vit phng trỡnh ng thng cú h s gúc l 2 v i qua im A(1; 5). Bi 3: Vit PT ng thng i qua im B(1; 8) v song song vi ng thng y = 4x + 3. Bi 4: Vit phng trỡnh ng thng song song vi ng thng y = x + 5 v ct trc honh ti im cú honh bng 2. Bi 5: Xỏc nh h s a, b ca hm s y = ax + b trong mi trng hp sau: a) th hm s l mt ng thng cú h s gúc bng 3 v i qua im A(1 ; 3) b) th ca hm s i qua hai im B(2 ; 1) v C(1 ; 3) c) th ca hm s i qua im A(1 ; 3) v song song vi ng thng y = 3x 2. Bài 6: Cho đờng thẳng (d): y=(m-2)x-m+4. CMR (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi m Bài 7: Cho các đờng thẳng (d 1 ): y=mx-2(m+2) (m 0) và (d 2 ): y= (2m-3)x +(m 2 -1) (m 3/2): a) CMR: (d 1 ) & (d 2 ) không thể trùng nhau với mọi m. b) Tìm m để (d 1 ) // (d 2 ); (d 1 ) cắt (d 2 ); (d 1 ) (d 2 ) Bài 8. Cho hai hàm số : y = (k + 1 )x + 3 và y = (3-2k)x +1 Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số cắt nhau? Song song với nhau? Hai đờng trên có thể trùng nhau đợc không ? Bài 9.Cho 3 đờng thẳng : y=2x+1(d 1 ) ; y=-x-2 (d 2 ); y=-2x-m (d 3 ) a. Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d 1 ) & (d 2 ) b. Xác định m để 3 đờng thẳng đã cho đồng quy Chuyên đề 3: Phơng trình và hệ phơng trình bậc nhất Bất phơng trình A.KIN THC cơ bản 1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0. Ph ơng pháp giải : + Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x = b a . + Nếu a = 0 và b 0 phơng trình vô nghiệm. + Nếu a = 0 và b = 0 phơng trình có vô số nghiệm. L u ý: Nếu phơng trình không có dạng tổng quát thì cần biến đổi đa về dạng tổng quát rồi tính 2. Bất phơng trình bậc nhất *Dạng 1: Bất phơng trình bậc nhất hai ẩn a.x+b>0 hoặc a.x+b<0 Phơng pháp: ax+b>0 ax>-b x>- a b nếu a>0 x<- a b nếu a<0 *Dạng 2: BPT phân thức B A >0 ,BPT tíchA.B>0 Cách giải: Mỗi bất phơng trình tơng đơng với 2 hệ bpt : 0 0 0 0 A B A B < < > > 3. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn : =+ =+ c'y b' x a' c by ax Phơng pháp giải : Sử dụng một trong các cách sau : +) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn. +) Phơng pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau). - Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó. - Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai. +) Phơng pháp đặt ẩn số phụ B. Bài tập vận dụng Bài 1. Giải các phơng trình a) 5x - 15 = 0 b) - 3x + 5 = 0 c) 2(x-7) = 7-5x d) 2(x-3) + 1 = 2(x+1) - 9 e) 3 1,212 7 5,15 4 7,09 = + xxx f) 16 73 15 74 78 11 77 12 + = + xxxx Bài 2.Giải và biện luận phơng trình theo m : (m 2)x + m 2 4 = 0 (1) Bài 3.Giải các bất phơng trình: a. 32 16 3 1 52 xxx x + < b. 2x(3x-5) <0 c. 1 1 2 2 > ++ xx xx Bi 4. Gii cỏc h phng trỡnh: 1) x 2y 3 2x y 1 + = = 2) 3x 4y 2 2x 3y 7 = + = 3) x 7y 2 2x y 11 = + = Bi 2: Gii cỏc h phng trỡnh sau bng phng phỏp t n ph: a) 1 1 4 x y 5 1 1 1 x y 5 + = = b) 15 7 9 x y 4 9 35 x y = + = c) 1 1 5 x y x y 8 1 1 3 x y x y 8 + = + = + Bài tập về nhà: Giải các hệ phơng trình sau 1) 2x 3y 10 3x 2y 2 + = = 2) 2 3 1 x y x y = + = 3) 2 0 3 1 x y x y + = + = 4) { 132 23 = =+ yx yx 5) 1 1 1 3 4 5 x y x y = + = 6) 1 1 3 2 2 1 1 1 2 1 = = + yx yx Chuyên đề 4: hàm số y=ax 2 . Mối tơng quan giữa đồ thị hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai A.KIN THC cơ bản 1. Hàm số y=ax 2 (a 0) a. Ví dụ: y=3x 2 (a=3); y=- 2 1 x 2 (a= 2 1 ) . b. Tính chất: Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x< 0 và nghịch biến khi x > 0 c. Đồ thị: Đồ thị của hàm số y=ax 2 (a 0) là một đờng cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đờng cong đó đợc gọi là một parabol với đỉnh O. Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. 2. Mối tơng quan giữa đồ thị hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai Cho Parabol (P): y=ax 2 và đờng thẳng (d): y=mx+b - ĐK để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt phơng trình ax 2 =mx+b có 2 nghiệm phân biệt >0 (nghiệm của phơng trình chính là hoành độ cỉa hai giao điểm) - ĐK để (d) Không cắt (P) phơng trình ax 2 =mx+b vô nghiệm <0. - ĐK để (d) tiếp xúc với (P) phơng trình ax 2 =mx+b có nghiệm kép =0 (nghiệm kép tìm đợc đó chính là hoành độ tiếp điểm). B. Bài tập vận dụng Bài 1: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y= 2 x 2 . Tìm a và b để đờng thẳng y=ax+b đi qua điểm (0;-1) và tiếp xúc với (P). Bài 2: Cho hàm số y=ax 2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đồ thị (T) của hàm số y= (m-1)x- (m-1). a) Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm. b) Vẽ (P) & (T) với a, m vừa tìm đợc trên cùng mặt phẳng toạ độ. Bài 3:Cho đờng thẳng (d): y=k(x-1) và Parabol (P): y= x 2 -3x+2 a) CMR: (d) & (P) luôn có một điểm chung. b) Trong trờng hợp (d) tiếp xúc (P), tìm toạ độ tiếp điểm. Bài 4: Cho hàm số y= 2 -1 x 2 (P) a) Vẽ (P). b) Tìm m để đờng thẳng y= 2x+m cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A & B. Tìm toạ độ 2 điểm A và B đó. Bài 5: Cho Parabol (P): y=3x 2 . Lập phơng trình đờng thẳng () song song với đờng thẳng (d): y=-2x và tiếp xúc với (P). Bài 6: Cho (P): y= 2 1 2 x và hai đờng thẳng (d 1 ): y=2x-2 và (d 2 ): y= ax-1. a) Vẽ (P) & (d 1 ) trên cùng mặt phẳng toạ độ và tìm toạ độ giao điểm của chúng b) Biện luận theo a số giao điểm của (P) & (d 2 ) c) Tìm a để 3 đồ thị trên cùng đi qua một điểm. d) Chứng tỏ rằng đờng thẳng đi qua A(-1;2) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. Chuyên đề 5: phơng trình bậc hai- Định lí vi ét và ứng dụng A.KIN THC cơ bản 1. Phơng trình bậc hai. a. Định nghĩa. Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax 2 +bx+c = 0(a 0) Trong đó a, b,c là các số đã biết, x là ẩn. b. Cách giải: * Công thức nghiệm tổng quát: Tính biệt thức = b 2 - 4ac Nếu <0 thì phơng trình vô nghiệm Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép x 1 =x 2 = a b 2 Nếu >0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = a b 2 + ; x 2 = a b 2 *Công thức nghiệm thu gọn: Nếu có b = 2b thì có thể tính ' =b 2 - ac Nếu ' < 0 thì phơng trình vô nghiệm Nếu ' = 0 thì phơng trình có nghiệm kép x 1 =x 2 = - a b ' Nếu ' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 = a b ' ' + ; x 2 = a b '' 2. nh lý Viột. Nu x 1 , x 2 l nghim ca phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ S = x 1 + x 2 = - a b p = x 1 x 2 = a c o lại: Nu cú hai s x 1 ,x 2 m x 1 + x 2 = S v x 1 x 2 = p thỡ hai s ú l nghim (nu có ) của phơng trình bậc 2: x 2 S x + p = 0 3.Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai. Cho phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x 1 ,x 2 là các nghiệm của phơng trình .Ta có các kết quả sau: x 1 và x 2 trái dấu ( x 1 < 0 < x 2 ) p = x 1 x 2 < 0 [...]... Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc / 0 ) mà ta thay luôn x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải phơng trình Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình... < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm +) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình bầy ở trên) +) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2 +) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm... 0 m< 3 m > 0 không thoả mãn 0 x1 = 3 x 2 = 7 9 9 Vậy với m = - 4 thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3 *)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm Cách 1: Thay m = đợc x2 = 7 9 9 4 vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm (Nh phần trên đã làm) 9 Cách 2: Thay m = - 4 vào công thức tính tổng 2 nghiệm: x1 + x2 = x2 = 2(m 2) = m 34 9 Cách 3:... - 9 4 m3 = x1x2 = m - x1 = 9 2) 34 4 = 9 9 4 2( 34 9 -3= 7 9 vào công trức tính tích hai nghiệm 9 3 21 21 21 7 4 = => x2 = : x1 = :3= 9 9 9 9 9 4 Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số 1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép 2 Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10 Giải / = 0 k2 (2 5k) = 0 1.Phơng trình (1) có nghiệm kép... 2x1x2 = 10 Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - b =a 2k và x1x2 = 2 5k Vậy (-2k)2 2(2 5k) = 10 2k2 + 5k 7 = 0 (Có a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = - 7 2 Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào / + k1 = 1 => = 1 + 5 2 = 4 > 0 ; thoả mãn + k2 = - 7 2 => / = Vậy k = 1 là giá trị cần tìm 49 35 49 70 8 29 2 = = 4 2 4 8 / = k2 + 5k 2 không thoả mãn... thoả mãn + k2 = - 7 2 => / = Vậy k = 1 là giá trị cần tìm 49 35 49 70 8 29 2 = = 4 2 4 8 / = k2 + 5k 2 không thoả mãn Cách 2 : Không cần lập điều kiện / 0 Cách giải là: Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = - 7 2 (cách tìm nh trên) Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1) + Với k1 = 1 : (1) => x2 + 2x 3 = 0 có x1 = 1 , x2 = 3 + Với k2 = - 7 2 (1) => x2- 7x + 39 2 = 0 (có = 49 -78... thứ 2 +) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thứ 2 B Bài tập áp dụng Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m +10 = 0 Giải 2 / Ta có = (m + 1) 2m + 10 = m2 9 / + Nếu > 0 m2 9 > 0 m < - 3 hoặc m > 3 Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: x1 = m + 1 - m 2 9 x2 = m + 1 + m 2 9 / + Nếu = 0 m = 3 - Với m =3 thì phơng trình... 5(k2 - = 5(k2 2 3 5 9 25 k+ + 36 25 ) = 5(k - 3 5 )+ 36 5 6 5 k+ 9 5 ) > 0 với mọi giá trị của k Vậy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0 1 1 7 - k2 + k 2 < 0 - ( k2 2 k + + ) . (hoặc 0 / ) mà ta thay luôn x = x 1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải. của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình bầy ở trên) +) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm