ĐỀ CƯƠNG TOÁN 10 HÌNH HỌC - HKI (CHAN TROI SANG TAO)

Đề cương hình học 10 HKI (chân trời sáng tạo) Nội dung được soạn rất kĩ càng theo từng mức độ kiến thức, kết hợp bài tập SGK và bài tập mở rộng phù hợp với đối tượng HS. Đề cương được soạn theo từng bài học cụ thể. Ở mỗi bài học được chia theo từng dạng toán cụ thể với các dạng bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận.

Trang 1

PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG

CHƯƠNG IV HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 00 ĐẾN 1800

 Giá trị lượng giác

Cho 00 M x yxOM000 180 , ; ,  Ta có: yxxy0000tan ; cot siny0; cosx0;* Lưu ý:

- Nếu  > 0 thì các giá trị lượng giác đều dương

- Nếu  là góc tù thì sin0; cos0; tan0;cot 0.

- Điều kiện xác định: + tan  xác định khi  900

+ cot  xác định khi  00 và  1800

 Quan hệ lượng giác giữa hai góc bù nhau

0000sin sin 180 ;cos cos 180 ;tan tan 180 ;cot cot 180        

 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Trang 2

Kí hiệu "||" để chỉ giá trị lượng giác không xác định

- Dạng 1: Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt

- Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác, rút gọn biểu thức lượng giác - Dạng 3: Xác định giá trị biểu thức lượng giác có điều kiện

 Sử dụng định nghĩa, tính chất giá trị lượng giác của một góc

 Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức sau:

a) Asin 1500tan1350 cot 450

b) B 2 cos 3003 tan1500cot1350

Bài tập 2: Tính theo a giá trị của biểu thức sau:

Aacos 6002 tan 45a 03 sin 30a 0

Bài tập 3: Tìm góc  00 1800 trong mỗi trường hợp sau:

a) sin 32

  ; b) cos 2

2

  ; c) tan  1; d) cot   3

Sử dụng cơng thức tính giá trị lượng giác của các góc phụ nhau, bù nhau

Bài tập 1: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

a) sinAsinBC b) cosA cosBC

Bài tập 2: Chứng minh rằng:

a) sin1050 sin 750 b) cos1700  cos100

c) cos1220  cos 580 d) tan1250  tan 550

Bài tập 3: Chứng minh rằng:

a) sin4xcos4x  1 2 sin cos2x 2x

b) tan2xsin2x tan sin2x 2x

CÁC DẠNG TOÁN II

BÀI TẬP CƠ BẢN III

Dạng 1 Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt

Trang 3

Sử dụng công thức lượng giác cơ bản để biến đổi và tính tốn Chú ý giá trị âm dương của các giá trị lượng giác

Bài tập 1: Cho góc x , với cosx 2

2

  Tính giá trị của biểu thức

A2 sin2x5 cos2x Bài tập 2: Cho sinx 2

3 Tính xxBxxcot tancot tan

Bài tập 3: Cho tanx 2 Tính xxAxx3 sin cossin cos

Bài tập 4: Cho biết 2 cos 2 sin2, 00   900 Tính giá trị của cot 

Bài tập 1: Khẳng định nào sau đây đúng?

; cos1450 cos1250 | sin 900 sin 1000 , cos 950 cos1000 ~ tan 850 sin1250

Bài tập 2: Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng?

; 0 1tan1503  | cot1500  3 , sin1500 32  ~ cos1500 32

Bài tập 3: Cho  là góc tù Khẳng định nào sau đây là đúng?

; cot  0 | sin  0 , ~ tan  0

Bài tập 4: Cho hai góc  và  với   900 Tính giá trị của biểu

P sin cos sin cos

; P2 | P 1 , P  1 ~ P0

Bài tập 5: Giá trị của tan 300 cot 300 bằng bao nhiêu? ; 23 | 2 , 43 ~ 1 33

Bài tập 6: Cho hai góc  và  với   900 Tính giá trị của biểu

P cos cos  sin sin

; P   1 | P 2 , P  0 ~ P  1

Bài tập 7: Cho tam giác ABC Tính P  sin cosA B Ccos sinA B C

; P 2 | P  1 cos 0 , P   1 ~ P  0

Bài tập 8: Cho biết cos 23

   Giá trị của P cot 3 tan

2 cot tan bằng bao nhiêu? ; P 2513  | P 1913  , P 1913 ~ P 2513

Dạng 3 Xác định giá trị của biểu thức lượng giác có điều kiện

Trang 4

Bài tập 20: Từ đỉnh tháp chiều cao

CD 80m, người ta nhìn hai điểm A B,

trên mặt đất dưới các góc nhìn là 72 12 'và 34 26 '

so với phương ngang Ba điểm A B D, , thẳng hàng Khoảng cách

AB là

; 71 m | 91 m

, 79 m ~ 40 m

BẢNG KẾT QUẢ TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10

Trang 5

Bài tập 20: Từ đỉnh tháp chiều cao

CD 80m, người ta nhìn hai điểm A B,

trên mặt đất dưới các góc nhìn là 72 12 'và 34 26 '

so với phương ngang Ba điểm A B D, , thẳng hàng Khoảng cách

AB là

; 71 m | 91 m

, 79 m ~ 40 m

BẢNG KẾT QUẢ TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10

Trang 6

BÀI 2 ĐỊNH LÝ CÔSIN VÀ ĐỊNH LÝ SIN  Định lý Cơsin Cho ABC , có BC a AC, b AB, c. Ta có: abcbcAbacacBcababC2222222222 cos ;2 cos ;2 cos        Hệ quả 1 bcaacbabcABCbcacab222222222

cos ; cos ; cos

2 2 2         Định lý Sin Cho ABC , có BC a AC, b AB, c. Ta có: abcRABC 2

sin  sin  sin 

Với R là bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC

 Hệ quả 2

 a2 sin ;RA b2 sin ;RB c2 sin RC

 abc

ABC

RRR

sin ; sin ; sin

2 2 2

  

 Diện tích tam giác

Cho ABC , có BC a AC, b AB, c. Ta có: 1) SABC 1a h a 1b h b 1c h c

2 2 2

    ;

2) SABC 1bc.sinA 1ac.sinB 1ab.sinC

2 2 2    ; 3) ABCabcSR4  ;

( R là bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC) 4) SABC p r ; ( p : nửa chu vi và pabc

2 

 , r là bán kính đường trịn nội tiếp) 5) SABC  p p a p b p c (Công thức Heron (Hê-rông))

Trang 7

Bài tập 4: Tam giác ABC có bc a2 Chứng minh rằng:

a) sin2Asin sinBC b)

a

bc

h h h2

Bài tập 5: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:

a) a b.cosC c.cosB b) sinAsin cosBC sin cosCB

c) ha 2 sin sinRBC d) ma2 mb2 mc2 3a2 b2 c2

4

    

 Áp dụng định lý Sin để tính R

 Áp dụng cơng thức tính S để tính S, h, R, r

 Áp dụng cơng thức tính độ dài đường trung tuyến:

abcabcam2222222 22 4 4    ; bacbacbm2222222 22 4 4    ; cabcabcm2222222 22 4 4   

Bài tập 1: Tính diện tích S h, a của tam giác ABC có c4,b6,A 1500

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có a 7,b8,c 6 a) Tính m ab) Tính S và h a

Bài tập 3: Cho tam giác ABC có a 7,b 5, cosA 35

   Tính S R, và r

Bài tập 4: Cho tam giác ABC có a 21,b 17,c10

a) Tính diện tích S của tam giác ABC và đường cao h ab) Tính bán kính đường trịn nội tiếp r và trung tuyến m a

Bài tập 5: Cho tam giác ABC có a 152,B 79 ,0 C 610 Tính R

Bài tập 6: Tính diện tích tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90cm và góc ở đỉnh

là 35 0

Bài tập 7: Cho tam giác ABC có AB6,AC 8 và A 600 a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính diện tích IBC

Bài tập 8: Cho ABC có AC  b 8;AB  c 7;A 1200 Hãy tính:

Trang 8

a) Diện tích SABC, h của a ABC

b) Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ABC

Bài tập 9: Cho ABC có AB 2,AC 3,BC  7 Tính số đo góc 

BAC ,

ABC

S , R r, của ABC

Bài tập 10: Cho ABC có a5,b12,c13 Tính R của ABC

 Để giải quyết các bài toán thực tế hình học ta cụ thể hóa bằng hình vẽ đơn giản rồi sau đó vận dụng kiến giải tam giác

Bài tập 1: Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác Biết cánh buồm có chiều

dài một cạnh là 3,2m và hai góc kề cạnh đó có số đo là 480 và 1050 (hình bên dưới)

Bài tập 2: Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90cm

và góc ở đỉnh là 350

Bài tập 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Trang 9

a) Diện tích SABC, h của a ABC

b) Tính bán kính R của đường trịn ngoại tiếp ABC

Bài tập 9: Cho ABC có AB 2,AC 3,BC  7 Tính số đo góc 

BAC ,

ABC

S , R r, của ABC

Bài tập 10: Cho ABC có a5,b12,c13 Tính R của ABC

 Để giải quyết các bài tốn thực tế hình học ta cụ thể hóa bằng hình vẽ đơn giản rồi sau đó vận dụng kiến giải tam giác

Bài tập 1: Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác Biết cánh buồm có chiều

dài một cạnh là 3,2m và hai góc kề cạnh đó có số đo là 480 và 1050 (hình bên dưới)

Bài tập 2: Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90cm

và góc ở đỉnh là 350

Bài tập 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Trang 10

Bài tập 10: Tam giác ABC có BC 10 và A 30O Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

; R 5 | R 10 , R 103

 ~ R 10 3

Bài tập 11: Tam giác ABC có AB3, AC 6 và A 60 Tính bán kính R

của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

; R 3 | R3 3 , R 3 ~ R  6

Bài tập 12: Tam giác ABC có BC 21cm, CA17cm, AB 10cm Tính bán

kính R của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

; R 85cm2 | R 7cm4 , R 85cm8 ~ R 7cm2

Bài tập 13: Tam giác A  1;3 , B 5; 1 có  AB 3, AC 6, BAC 60 Tính

diện tích tam giác ABC

; SABC 9 3 | SABC 9 3

2

  , SABC  9 ~ SABC 9

2

 

Bài tập 14: Tam giác ABC có AC 4, BAC 30 ,  ACB 75 Tính diện tích

tam giác ABC

; SABC  8 | SABC 4 3 , SABC  4 ~ SABC 8 3

Bài tập 15: Tam giác ABC có a 21, b17, c10 Diện tích của tam giác

ABC bằng:

; SABC 16 | SABC 48 , SABC 24 ~ SABC 84

Bài tập 16: Tam giác A  1;3 , B 5; 1 có  AB 3, AC 6, BAC 60 Tính độ dài đường cao h của tam giác a

; h = 3 3 a | ha  3 , ha  3 ~ ha 3

2

Bài tập 17: Tam giác ABC có AC 4, ACB 60 Tính độ dài đường cao h

xuất phát từ đỉnh A của tam giác

; h = 2 3 | h4 3 , h  2 ~ h  4

Bài tập 18: Hình bình hành ABCD có ABa BC, a 2 và BAD 450 Khi đó hình bình hành có diện tích bằng

; 2a2 | a2 2 , a2

Trang 11

Bài tập 19: Tam giác ABC có AB5, AC  8 và BAC 600 Tính bán kính

r của đường trịn nội tiếp tam giác đã cho

; r  1 | r  2 , r  3 ~ r 2 3

Bài tập 20: Tam giác ABC có a 21, b17, c10 Tính bán kính r của

đường trịn nội tiếp tam giác đã cho

; r 16 | r  7 , r 72

 ~ r  8

BẢNG KẾT QUẢ TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10

Trang 12

BÀI 3 GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ

 Giải tam giác

 Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc cịn lại của tam giác khi ta biết được

các yếu tố đủ để xác định tam giác đó

 Để giải tam giác, ta thường sử dụng một cách hợp lý các hệ thức lượng như định lý

sin, định lý côsin và các cơng thức tính diện tích tam giác

 Áp dụng giải tam giác vào thực tế

 Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán trong thực tế, đặc biệt là

trong thiết kế và xây dựng

Dạng 1: Tìm độ dài các cạnh và so đo các góc của tam giác Dạng 2: Giải tam giác qua các bài toán thực tế

Bài tập 1: Cho tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) AB85, AC 95 và A 400

b) AB 15, AC 25 và BC 30

Bài tập 2: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) a 17, 4; B44 30 ';0 C 400

b) a 10;b6;c  8

Bài tập 3: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) AB14;AC 23;A 1250; b) BC 22;B 64 ;0C 380; c) AC 22;B120 ;0C 280; d) AB 23;AC 32;BC 44 KIẾN THỨC CƠ BẢN I BÀI TẬP CƠ BẢN III

Dạng 1 Tìm độ dài cạnh, số đo góc của tam giác CÁC DẠNG TOÁN

Trang 13

BÀI 3 GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ

 Giải tam giác

 Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc cịn lại của tam giác khi ta biết được

các yếu tố đủ để xác định tam giác đó

 Để giải tam giác, ta thường sử dụng một cách hợp lý các hệ thức lượng như định lý

sin, định lý cơsin và các cơng thức tính diện tích tam giác

 Áp dụng giải tam giác vào thực tế

 Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán trong thực tế, đặc biệt là

trong thiết kế và xây dựng

Dạng 1: Tìm độ dài các cạnh và so đo các góc của tam giác Dạng 2: Giải tam giác qua các bài toán thực tế

Bài tập 1: Cho tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) AB85, AC 95 và A 400

b) AB 15, AC 25 và BC 30

Bài tập 2: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) a 17, 4; B44 30 ';0 C 400

b) a 10;b6;c  8

Bài tập 3: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) AB14;AC 23;A 1250; b) BC 22;B 64 ;0C 380; c) AC 22;B120 ;0C 280; d) AB 23;AC 32;BC 44 KIẾN THỨC CƠ BẢN I BÀI TẬP CƠ BẢN III

Dạng 1 Tìm độ dài cạnh, số đo góc của tam giác CÁC DẠNG TỐN

Trang 14

Bài tập 1: Một đường hầm được dự kiến xây

dựng xuyên qua một ngọn núi Để ước tính chiều dài của đường hàm, một kĩ sư đã thực hiện các phép đo và cho ra kết quả như Hình vẽ bên Tính chiều dài của đường hầm từ các số liệu đã khảo sát được

Bài tập 2: Để xác định chiều cao của một tòa nhà

cao tầng, một người đứng tại điểm M, sử dụng giác kế nhìn thấy đỉnh tịa nhà với góc nâng RQA 840, người

đó lùi ra xa một khoảng cách LM 49, 4m thì nhìn thấy đỉnh tịa nhà với góc nâng RPA 780 Tính chiều

cao của tịa nhà, biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến ống ngắm của giác kế đó là PLQM 1,2m (hình vẽ bên)

Giải thích: Góc nâng là góc tạo bởi tia ngắm nhìn

lên và đường năm ngang

Bài tập 3: Hai trạm quan sát ở hai thành phố Đà

Nẵng và Nha Trang đồng thời nhìn thấy một vệ tinh với góc nâng lần lượt là 75 và 0 600 (hình bên) Vệ tinh cách trạm quan sát tại thành phố Đà Nẵng bao nhiêu kilômét? Biết rằng khoảng cách giữa hai trạm quan sát là 520km

Bài tập 4: Hai máy bay cất cánh từ một sân bay nhưng

bay theo hai hướng khác nhau Một chiếc di chuyển với tốc độ 450km/h theo hướng Tây và chiếc còn lại di chuyển theo hướng lệch so với hướng Bắc 250 về phía Tây với tốc độ 630

km/h (hình 5) Sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu kilômét? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao

Bài tập 5: Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt

là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên Dựa theo các khoảng cách đã cho trên hình bên, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá

Trang 15

Bài tập 6: Tính chiều cao AB của một ngọn núi Biết tại hai điểm C D, cách nhau 1km trên mặt đất (B C D, , thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là 320 và 400 (hình bên dưới)

Bài tập 7: Từ hai vị trí A và B của một tịa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn

núi Biết rằng độ cao AB 70m, phương nhìn

AC tạo với phương nằm ngang một góc 30, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang một góc 15 30 (như hình vẽ) Tính độ cao CH

của ngọn núi so với mặt đất

Bài tập 8: Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai

điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng 320 so với phương ngang, cách nhau 60m (hình bên dưới) Người quan sát tại

P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 620 Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là 70 Tính khoảng cách từ 0 Q đến khinh khí cầu

Trang 16

phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là 620 và đến điểm mốc khác là 540 (hình bên dưới) Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này

Bài tập 1: Tam giác ABC có AB 5,BC 7,CA Số đo góc 8 A bằng ; 300 | 450 , 600 ~ 900

Bài tập 2: Tam giác ABC có AB 25,AC  và 1 A 600 Độ dài cạnh BC là ; BC 1 | BC 2 , BC  2 ~ BC  3

Bài tập 3: Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC bằng 3, cạnh AB9 và ACB 600 Độ dài cạnh BC là

; 33 6 | 3 6 3 , 3 7 ~ 3 3 332

Bài tập 4: Cho ABC có AB 2,AC  3 và C450 Độ dài cạnh BC là

; BC  5 | BC 6 22 , BC 6 22 ~ BC  6

Bài tập 5: Tam giác ABC có B 60 ,0C 450 và AB 5 Độ dài cạnh AC là ; AC 5 6

2

 | AC 5 3 , AC 5 2 ~ AC 10

Bài tập 6: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ

một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc

0

60 Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ Tàu C

chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Kết quả gần nhất với số nào sau đây?

; 61 hải lí | 36 hải lí , 21 hải lí ~ 18 hải lí

Trang 17

Bài tập 7: Để đo khoảng cách từ một điểm A

trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A

sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C Ta đo

được khoảng cách AB 40m, CAB 450 và



CBA700 Vậy sau khi đo đạc và tính tốn được

khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau

đây?

; 53 m | 30 m , 41, 5 m ~ 41 m

Bài tập 8: Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao

(hình vẽ) Biết AH 4m, HB20m, BAC 450 Chiều

cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?

; 17, 5m | 17m

,16, 5m ~ 16m

Bài tập 9: Giả sử CD là chiều cao của tháp trong h

đó C là chân tháp Chọn hai điểm A B, trên mặt đất sao cho ba điểm A B, và C thẳng hàng Ta đo được AB 24 m, CAD 63 , 0 CBD 480 Chiều

cao h của tháp gần với giá trị nào sau đây?

; 18m | 18, 5m , 60m ~ 60, 5m

Bài tập 10: Trên nóc một tịa nhà có một cột

ăng-ten cao 5 m Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C

của cột ăng-ten dưới góc 500 và 400 so với phương nằm ngang Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?

; 12m | 19m , 24m ~ 29m

Bài tập 11: Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp

Trang 18

; 40m | 114m , 105m ~ 110m

Bài tập 12: Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của

ngọn núi Biết rằng độ cao AB 70m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 300, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15 30 '0 Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?

;135m | 234m , 165m ~195m

BẢNG KẾT QUẢ TRẮC NGHIỆM

Trang 19

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

 Tỉ số lượng giác của góc nhọn có số đo từ 00 đến 1800

 Định lý sin, định lý cosin

 Vận dụng: Tính diện tích, bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp

 Giải các bài toán tam giác áp dụng vào thực tiễn

Bài tập 1: Cho tam giác ABC Biết a 49, 4;b 26, 4;C 47 20 '0 Tính hai góc  

A B, và cạnh c

Bài tập 2: Cho tam giác ABC Biết a24;b13;c15 Tính các góc A B C  , ,

Bài tập 3: Cho tam giác ABC có a 8;b 10;c13

a) Tam giác ABC có góc tù khơng?

b) Tính độ dài đường trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác đó

c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C Tính độ dài BD

Bài tập 4: Cho tam giác ABC có A 120 ,0 b8;c5 Tính:

a) Cạnh a và các góc B C ,

b) Diện tích tam giác ABC

c) Bán kính đường trịn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác

Bài tập 5: Cho hình bình hành ABCD

a) Chứng minh: 2AB2 BC2AC2BD2

b) Cho AB 4,BC 5,BD7 Tính AC

Bài tập 6: Cho tam giác ABC có a 15,b20,c25

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài tập 7: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:



R abc

ABC

abc

222

cot cot cot   

KIẾN THỨC CẦN NẮM I

Trang 20

Bài tập 8: Tính khoảng cách AB giữa hai nóc tịa nhà cao ốc Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 370km, 350km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là 2,1 0

Bài tập 9: Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300m và thẳng hàng với chân

B của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển (hình bên dưới) Từ P và Q, người ta nhìn thấy tháp hải đăng AB dưới các góc BPA 350 và BQA 480 Tính chiều cao của tháp hải đăng đó

Bài tập 10: Muốn đo chiều cao của một ngọn tháp, người ta lấy hai điểm A B,

trên mặt đất có khoảng cách AB12m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế Chân của hai giác kế có chiều cao là h 1,2m Gọi D là đỉnh tháp và hai

điểm A B1, 1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp Người ta đo được

 

DAC 0 DB C 0

Trang 21

Bài tập 22: Một tam giác có ba cạnh lần lượt là 52, 56, 60 Bán kính đường trịn ngoại tiếp là ; 658 | 40 , 32,5 ~ 654

Bài tập 23: Cho tam giác ABC có S 84,a 13,b14,c15 Độ dài bán

kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên là

; 8,125 | 130 , 8 ~ 8,5

Bài tập 24: Cho tam giác ABC có a 6,b8,c10 Diện tích S của tam giác trên là

; 48 | 24 , 12 ~ 30

Bài tập 25: Khoảng cách từ điểm A đến B khơng thể đo trực tiếp được vì phải

qua một đầm lầy Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A

và B dưới một góc 78 24 ' Biết CA0 250 ,m CB120m Khoảng cách AB bằng bao

nhiêu?

; 266 m | 255 m , 166 m ~ 298 m

Bài tập 26: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km/h Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?

; 13 | 15 13 , 20 13 ~ 15

Bài tập 27: Từ trên đỉnh của một tháfp cao CD 80m, người ta nhìn hai điểm

A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 0

72 12 ' và 34 26 '0 Ba điểm A B D, , thẳng hàng Tính khoảng cách AB?

; 171km | 194km , 179km ~ 140km

Bài tập 28: Giả sử CD h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp Chọn hai điểm A B, và C thẳng hàng Ta đo được AB24 ,m CAD 63 ,0 CBD 480

Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào gần đây?

; 18 m | 18, 5m , 60 m ~ 60, 5m

BẢNG KẾT QUẢ TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10

Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20

Trang 22

CHƯƠNG V VECTƠ BÀI 1 KHÁI NIỆM VECTƠ

 Định nghĩa vectơ

Cho đoạn thẳng AB Nếu chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng

AB có hướng từ A đến B

 Kí hiệu: AB



 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng

 Ngồi ra cịn sử dụng kí hiệu vectơ:

a b , , , , , x y 

 Hai vectơ cùng phương

 Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ

 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau

 Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

 Hai vectơ bằng nhau Độ dài vectơ

 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa hai đầu của vectơ

AB  BA ABBA.

 Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

 Hai vectơ a



và b



được gọi là đối nhau nếu a b

 Vectơ - không

 Vectơ - không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

 Kí hiệu: 0AA BB

 Độ dài của vectơ - không bằng 0, nghĩa là 0 0

 Vectơ - không cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ

Trang 23

Bài tập 22: Một tam giác có ba cạnh lần lượt là 52, 56, 60 Bán kính đường trịn ngoại tiếp là ; 658 | 40 , 32,5 ~ 654

Bài tập 23: Cho tam giác ABC có S 84,a 13,b14,c15 Độ dài bán

kính đường trịn ngoại tiếp R của tam giác trên là

; 8,125 | 130 , 8 ~ 8,5

Bài tập 24: Cho tam giác ABC có a 6,b8,c10 Diện tích S của tam giác trên là

; 48 | 24 , 12 ~ 30

Bài tập 25: Khoảng cách từ điểm A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải

qua một đầm lầy Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A

và B dưới một góc 78 24 ' Biết CA0 250 ,m CB120m Khoảng cách AB bằng bao

nhiêu?

; 266 m | 255 m , 166 m ~ 298 m

Bài tập 26: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km/h Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?

; 13 | 15 13 , 20 13 ~ 15

Bài tập 27: Từ trên đỉnh của một tháfp cao CD 80m, người ta nhìn hai điểm

A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 0

72 12 ' và 34 26 '0 Ba điểm A B D, , thẳng hàng Tính khoảng cách AB?

; 171km | 194km , 179km ~ 140km

Bài tập 28: Giả sử CD h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp Chọn hai điểm A B, và C thẳng hàng Ta đo được AB24 ,m CAD 63 ,0 CBD 480

Chiều cao h của tháp gần với giá trị nào gần đây?

; 18 m | 18, 5m , 60 m ~ 60, 5m

BẢNG KẾT QUẢ TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10

Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20

Trang 24

CHƯƠNG V VECTƠ BÀI 1 KHÁI NIỆM VECTƠ

 Định nghĩa vectơ

Cho đoạn thẳng AB Nếu chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng

AB có hướng từ A đến B

 Kí hiệu: AB



 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng

 Ngồi ra cịn sử dụng kí hiệu vectơ:

a b , , , , , x y 

 Hai vectơ cùng phương

 Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ

 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau

 Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng

 Hai vectơ bằng nhau Độ dài vectơ

 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa hai đầu của vectơ

AB  BA ABBA.

 Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

 Hai vectơ a



và b



được gọi là đối nhau nếu a b

 Vectơ - không

 Vectơ - khơng là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

 Kí hiệu: 0AA BB

 Độ dài của vectơ - không bằng 0, nghĩa là 0 0

 Vectơ - không cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ

Trang 25

Bài tập 1: Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là E được kí hiệu là ; DE | DE , ED ~ DE

Bài tập 2: Mệnh đề nào sau đây đúng?

; Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ | Có ít nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ , Có vơ số vectơ cùng phương với mọi vectơ ~ Khơng có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ

Bài tập 3: Cho ba điểm A B C, , phân biệt, khi đó: ; Điều kiện cần và đủ để A B C, , thẳng hàng là AB cùng phương với AC | Điều kiện đủ để A B C, , thẳng hàng là M , MA cùng phương với AC , Điều kiện cần để A B C, , thẳng hàng là M , MA cùng phương với AC ~ Điều kiện đủ để A B C, , thẳng hàng là ABAC

Bài tập 4: Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, của tam giác

đều ABC Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

; MN và CB | AB và MB , MA và MB ~ AN và CA

Bài tập 5: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD

Đẳng thức nào sau đây sai?

; ABDC | OB DO , OAOC ~ CB DA

Bài tập 6: Cho AB



khác 0

và cho điểm C Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn

AB CD

; Vô số | 2 điểm , 1 điểm ~ 0 điểm

Bài tập 7: Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức nào sau đây sai?

; AC  BD | BC  DA , AD  BC ~ AB CD

Bài tập 8: Cho đoạn thẳng AB và điểm I thỏa mãn IA3IB0 Hình nào

dưới đây mơ tả đúng giả thiết này?

; Hình 3 | Hình 2 , Hình 4 ~ Hình 1

Trang 26

Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O Tìm các cặp vectơ cùng phương và các cặp vectơ cùng hướng trong hình bình hành trên

Bài tập 3: Cho ba điểm A B C, , phân biệt thẳng hàng

a) Khi nào thì hai vectơ AB



và AC



cùng hướng?

b) Khi nào thì hai vectơ AB



và AC



cùng hướng?

Bài tập 4: Cho tam giác ABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB BC AC, , Tìm các vectơ cùng phương với các vectơ sau MN NP PQ  , ,

Bài tập 5: Cho ba điểm phân biệt A B C, , Với giá trị nào của k để điểm A nằm trên đoạn BC thỏa mãn ABkAC

 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ

 Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng phương và cùng độ dài

Bài tập 1: Cho hình vng ABCD có tâm O và có cạnh bằng a

a) Tìm trong hình hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng a 2

2

b) Tìm trong hình hai vectơ đối nhau và có độ dài bằng a 2

Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành

khi và chỉ khi ABCD

Bài tập 3: Cho tam giác ABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB BC AC, ,

a) Chứng minh rằng: AM MB PN

b) Tìm các vectơ bằng MN NP ,

Bài tập 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Chứng minh:

a) ACBAAD, ABAD AC

b) Nếu ABAD  CB CD thì ABCD là hình chữ nhật

Bài tập 5: Cho tam giác ABC cân tại A, cạnh AB5,BC 8 Tính BACA

Bài tập 6: Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng tâm Gọi I là trung

điểm AG Tính độ dài của các vectơ AB AG BI  , ,

Trang 27

Bài tập 9: Cho tứ giác ABCD Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của

AB BC CD DA, , , Khẳng định nào sau đây là sai?

; MN QP | MN  QP , MQNP ~ MN  AC

Bài tập 10: Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, của tam giác đều ABC Đẳng thức nào sau đây đúng?

; MA MB | ABAC , MNBC ~ BC 2MN

Bài tập 11: Cho tam giác ABC đều cạnh a Gọi M là trung điểm BC Khẳng

định nào sau đây đúng?

; MB MC | AMa 32 , AMa ~ AMa 32

Bài tập 12: Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD 600 Đẳng thức nào sau đây

đúng?

; AB AD | AC a , BDAC ~ BC DA

Bài tập 13: Cho tứ giác ABCD có ABDC và AB  BC Khẳng định nào

sau đây sai?

; AD BC | ABCD là hình thoi , CD  BC ~ ABCD là hình thang cân

Bài tập 14: Cho tam giác ABC Đặt aBC b , AC Các cặp vectơ nào sau

đây cùng phương?

; a2b a , 2b | a2 ,2b a b

, a5 b, 10a2b ~ ab a , b

Bài tập 15: Cho điểm M thuộc đoạn AB sao cho 3MA2MB Khi đó, ta có:

; MA 2MB5  | MA 2MB3  , MA 3AB5   ~ MA 2AB5  

Bài tập 16: Cho hai vectơ a



và b



không cùng phương Hai vectơ nào sau đây cùng phương? ; u2a3b và v 1a 3b2    | u 3a 3b5    và v 2a 3b5    , u 2a 3b3    và v2a9b ~ u 2a 3b2    và v 1a 1b3 4    

Bài tập 17: Cho hai vectơ a



và b



không cùng phương nhưng hai vectơ a23b

và ax1b cùng phương Khi đó giá trị của x là

Trang 28

Bài tập 9: Cho tứ giác ABCD Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm của

AB BC CD DA, , , Khẳng định nào sau đây là sai?

; MN QP | MN  QP , MQNP ~ MN  AC

Bài tập 10: Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, của tam giác đều ABC Đẳng thức nào sau đây đúng?

; MA MB | ABAC , MNBC ~ BC 2MN

Bài tập 11: Cho tam giác ABC đều cạnh a Gọi M là trung điểm BC Khẳng

định nào sau đây đúng?

; MB MC | AMa 32 , AMa ~ AMa 32

Bài tập 12: Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD 600 Đẳng thức nào sau đây

đúng?

; AB AD | AC a , BDAC ~ BC DA

Bài tập 13: Cho tứ giác ABCD có ABDC và AB  BC Khẳng định nào

sau đây sai?

; AD BC | ABCD là hình thoi , CD  BC ~ ABCD là hình thang cân

Bài tập 14: Cho tam giác ABC Đặt aBC b , AC Các cặp vectơ nào sau

đây cùng phương?

; a2b a , 2b | a2 ,2b a b

, a5 b, 10a2b ~ ab a , b

Bài tập 15: Cho điểm M thuộc đoạn AB sao cho 3MA2MB Khi đó, ta có:

; MA 2MB5  | MA 2MB3  , MA 3AB5   ~ MA 2AB5  

Bài tập 16: Cho hai vectơ a



và b



không cùng phương Hai vectơ nào sau đây cùng phương? ; u2a3b và v 1a 3b2    | u 3a 3b5    và v 2a 3b5    , u 2a 3b3    và v2a9b ~ u 2a 3b2    và v 1a 1b3 4    

Bài tập 17: Cho hai vectơ a



và b



không cùng phương nhưng hai vectơ a23b

và ax1b cùng phương Khi đó giá trị của x là

Trang 29

Bài tập 18: Cho hai vectơ a và b khác 0 Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: ; a b a b a và b cùng phương | a b a b a và b cùng hướng , a b a b a và b ngược hướng ~ a b a b a và b cùng phương

Bài tập 19: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH Câu nào sau đây sai?

; ABAC | HC  HB , AB  AC ~ HB  HC

Bài tập 20: Cho đường tròn  O ngoại tiếp tam giác ABC, gọi H là trực tâm tam giác ABC và K là trung điểm BC Đường thẳng AO cắt  O tại D nằm khác phía so với A có bờ là BC Khẳng định nào sau đây đúng?

; BDAC | AB CD , HKAB ~ HC BD

BẢNG KẾT QUẢ TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10

Trang 30

BÀI 2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

 Tổng của hai vectơ

 Cho hai vectơ a



và b



Từ một điểm A tùy ý lấy hai điểm B C, sao cho ABa, BC b Khi đó AC



được gọi là tổng của hai vectơ a

 và b Kí hiệu: ab Vậy: a b ABBC AC Quy tắc 3 điểm Với 3 điểm M N P, , , ta có: MNNP MP

* Lưu ý: Khi cộng hai vectơ theo quy tắc 3 điểm thì điểm cuối của vectơ thứ nhất phải

là điểm đầu của vectơ thứ hai

Quy tắc hình bình hành

 Nếu ABCD là hình bình hành thì ABAD AC

*Lưu ý:

- Để áp dụng quy tắc hình bình hành thì ta cần đưa bài tốn tìm tổng của 2 vectơ về bài

toán cộng 2 vectơ có chung điểm đầu (điểm gốc)

- Trong Vật lý, biểu thức tổng hợp lực được biểu diễn theo quy tắc hình hình hành F1F2 F3

Trang 31

Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và một điểm M tùy ý Chứng minh rằng:

a) BADC 0 b) MAMC MBMD

Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo

Chứng minh rằng:

a) OAOB ODOC b) OA OBDC 0

Bài tập 3: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh: ABAD AC

Bài tập 4: Cho năm điểm A B C D E, , , , Chứng minh rằng:

a) ABCDEA CBED b) ACCDEC AEDBCB

Bài tập 5: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: BADAAC 0

Bài tập 6: Cho tam giác ABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC CA AB, , Chứng minh rằng: AMBNCP 0

Bài tập 7: Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý Chứng minh rằng:

MAMB MDMC

Bài tập 8: Cho tam giác ABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC CA AB, , Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta ln có OA OBOC OMONOP

Bài tập 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là trung điểm của BC

Dựng điểm B ' sao cho B B' AG Gọi J là trung điểm của BB ' Chứng minh rằng: BJIG

Bài tập 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AC lấy điểm E

sao cho AE 1AC

3

 và BE cắt AM tại N Chứng minh NANM 0

Để xác định điểm M thỏa đẳng thức vectơ cho trước, ta làm như sau:

 Hướng 1:

- Biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng AMv, trong đó A là điểm cố định và vlà vectơ cố định

- Lấy điểm A làm điểm gốc, dựng vectơ bằng v



thì điểm ngọn chính là điểm Mcần tìm

 Hướng 2:

- Biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng AM AB, trong đó A B, là hai điểm cố định

- Khi đó điểm M cần tìm là điểm trung với điểm B

Trang 32

 Hướng 3:

- Biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về một đẳng thức vectơ luôn đúng với điểm M - Khi đó điểm M cần tìm là điểm tùy ý

 Hướng 4:

- Biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về một đẳng thức vectơ luôn sai với mọi điểm M - Khi đó khơng có điểm M nào thỏa mãn điều kiện

 Hướng 5:

- Biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng IM  AB, trong đó I A B, , là các điểm cố định

- Khi đó điểm M cần tìm thuộc đường trịn tâm I , bán kính AB

 Hướng 6:

- Biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng MA  MB , trong đó A B, là các điểm cố định phân biệt

- Khi đó điểm M cần tìm thuộc đường trung trực của đoạn AB

Bài tập 1: Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện

BABCMB 0

Bài tập 2: Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện

MAMBMCBC

Bài tập 3: Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện

MAMB AB

Bài tập 4: Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện

MA  MBMC

Bài tập 5: Cho tam giác ABC Dựng điểm M thỏa mãn điều kiện

MAMBMC0

Bài tập 6: Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của cạnh AC Tìm điểm M

thỏa mãn điều kiện IBAIICCM 0

Bài tập 7: Cho tam giác ABC Gọi I K, là trung điểm của cạnh BC AI, Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện BABIBMAKIC 0

Để tính hợp lực của hai hay nhiều vectơ ta áp dụng:

 Quy tắc hình bình hành để tìm vectơ tổng

 Sau đó áp dụng định lý Pytago, hệ thức lượng, … để tính tổng của hợp lực

Trang 33

Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và một điểm M tùy ý Chứng minh rằng:

a) BADC 0 b) MAMC MBMD

Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo

Chứng minh rằng:

a) OAOB ODOC b) OA OBDC 0

Bài tập 3: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh: ABAD AC

Bài tập 4: Cho năm điểm A B C D E, , , , Chứng minh rằng:

a) ABCDEA CBED b) ACCDEC AEDBCB

Bài tập 5: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: BADAAC 0

Bài tập 6: Cho tam giác ABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC CA AB, , Chứng minh rằng: AMBNCP 0

Bài tập 7: Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý Chứng minh rằng:

MAMB MDMC

Bài tập 8: Cho tam giác ABC Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC CA AB, , Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta ln có OA OBOC OMONOP

Bài tập 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là trung điểm của BC

Dựng điểm B ' sao cho B B' AG Gọi J là trung điểm của BB ' Chứng minh rằng: BJIG

Bài tập 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AC lấy điểm E

sao cho AE 1AC

3

 và BE cắt AM tại N Chứng minh NANM 0

Để xác định điểm M thỏa đẳng thức vectơ cho trước, ta làm như sau:

 Hướng 1:

- Biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng AMv, trong đó A là điểm cố định và vlà vectơ cố định

- Lấy điểm A làm điểm gốc, dựng vectơ bằng v



thì điểm ngọn chính là điểm Mcần tìm

 Hướng 2:

- Biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng AM AB, trong đó A B, là hai điểm cố định

- Khi đó điểm M cần tìm là điểm trung với điểm B

Trang 34

 Hướng 3:

- Biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về một đẳng thức vectơ ln đúng với điểm M - Khi đó điểm M cần tìm là điểm tùy ý

 Hướng 4:

- Biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về một đẳng thức vectơ luôn sai với mọi điểm M - Khi đó khơng có điểm M nào thỏa mãn điều kiện

 Hướng 5:

- Biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng IM  AB, trong đó I A B, , là các điểm cố định

- Khi đó điểm M cần tìm thuộc đường trịn tâm I , bán kính AB

 Hướng 6:

- Biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng MA  MB , trong đó A B, là các điểm cố định phân biệt

- Khi đó điểm M cần tìm thuộc đường trung trực của đoạn AB

Bài tập 1: Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện

BABCMB 0

Bài tập 2: Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện

MAMBMCBC

Bài tập 3: Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện

MAMB AB

Bài tập 4: Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện

MA  MBMC

Bài tập 5: Cho tam giác ABC Dựng điểm M thỏa mãn điều kiện

MAMBMC0

Bài tập 6: Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của cạnh AC Tìm điểm M

thỏa mãn điều kiện IBAIICCM 0

Bài tập 7: Cho tam giác ABC Gọi I K, là trung điểm của cạnh BC AI, Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện BABIBMAKIC 0

Để tính hợp lực của hai hay nhiều vectơ ta áp dụng:

 Quy tắc hình bình hành để tìm vectơ tổng

 Sau đó áp dụng định lý Pytago, hệ thức lượng, … để tính tổng của hợp lực

Trang 35

Bài tập 1: Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực F1 OA và F2 OB

có độ lớn lần lượt là 400 , 600 (hình vẽ) Cho biết góc giữa hai vectơ là NN 600 Tìm

độ lớn của vectơ hợp lực F là tổng của hai lực F1 và F2

Bài tập 2: Cho ba lực F1 MA F , 2 MB và F3 MC cùng tác động vào một

vật tại điểm M và vật đứng yên Cho biết cường độ của F1

, F2 đều bằng 10N và AMB 900 Tìm độ lớn của lực F3

Bài tập 3: Cho hai lực F1



và F2



có điểm đặt O tạo với nhau góc 600 Cường độ

của hai lực F1



và F2



đều là 100N Tính cường độ tổng hợp lực của hai lực?

Bài tập 4: Cho hai lực F1



và F2



có điểm đặt O vng góc với nhau Cường độ

của hai lực F1



và F2



lần lượt là 80 , 60NN Tính cường độ tổng hợp lực của hai lực?

Bài tập 5: Cho ba lực F1 MA F , 2 MB F , 3 MC cùng tác động vào một vật

tại điểm M và đứng yên Cho biết cường độ của F1



và F2



đều bằng 50N và góc 

AMB 600 Tính cường độ lực của F3

?

Bài tập 6: Khi máy bay nghiêng cánh một góc  , lực F



của khơng khí tác động

vng góc với cánh và bằng tổng của lực nâng F1

Trang 36

Bài tập 7: Cho ba lực F1 MA F , 2 MB F , 3 MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và đứng yên Cho biết cường độ của F1



và F2



đều bằng 50N và góc 

AMB600 Tính cường độ lực của F3

?

Bài tập 1: Cho ba điểm A B C, , Đẳng thức nào dưới đây đúng?

; CACB AB | BC ABAC

, AC CBBA ~ CBCAAB

Bài tập 2: Cho ba điểm A B C, , Đẳng thức nào sau đây đúng?

; ABCBCA | BCABAC

, ACCB BA ~ CACB AB

Bài tập 3: Cho tam giác ABC có M Q N, , lần lượt là trung điểm của

AB BC CA, , Khi đó vectơ ABBMNABQ là vectơ nào sau đây?

; 0 | BC , AQ ~ CB

Bài tập 4: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Khẳng định nào sau đây đúng?

; AG ABAC | AG 2ABAC3    , AG 1ABAC3    ~ AG2ABAC

Bài tập 5: Cho vectơ AB



và một điểm C Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn ABCD 0

; 1 | 0 , 2 ~ Vô số

Bài tập 6: Cho bốn điểm bất kì A B C O, , , Đẳng thức nào sau đây đúng?

; OA OBBA | OACA CO

, ABACBC ~ ABOBOA

Bài tập 7: Cho tam giác ABC có AB AC và đường cao AH Đẳng thức nào

sau đây đúng?

; ABAC AH | HAHBHC0

, HBHC 0 ~ ABAC

Bài tập 8: Cho tam giác ABC vuông cân ở đỉnh A, đường cao AH Khẳng

định nào sau đây sai?

; AHHB  AHHC | AHABAHAC

, BCBAHCHA ~ AH  ABAH

Bài tập 9: Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm các cạnh AB BC CA, , của tam giác

Trang 37

Bài tập 10: Cho bốn điểm phân biệt A B C D, , , Mệnh đề nào sau đây đúng?

; ABCD ADCB | ABBCCD DA

, ABBC CDDA ~ ABAD CDCB

Bài tập 11: Gọi O là tâm của hình vng ABCD Vectơ nào trong các vectơ

dưới đây bằng CA

?

; BCAB | OAOC , BADA ~ DCCB

Bài tập 12: Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi E F, lần lượt là giao điểm

của AB BC, Đẳng thức nào sau đây sai?

; DOEBEO | OCEBEO

, OAOCODOF0 ~ BEBFDO0

Bài tập 13: Cho hình bình hình ABCD Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Mệnh đề nào sau đây đúng?

; GAGCGD BD | GAGCGD CD

, GAGCGD 0 ~ GAGDGCCD

Bài tập 14: Cho hình chữ nhật ABCD Khẳng định nào sau đâu đúng?

; AC BD | ABACAD 0 , ABAD  ABAD ~ BCBD  ACAB

Bài tập 15: Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB?

; IAIB | IA IB 0 , IAIB0 ~ IA IB

Bài tập 16: Cho hình bình hành ABCD tâm O, ABCD khơng là hình thoi Trên đường chéo BD lấy hai điểm M N, sao cho BM MN ND Gọi P Q, là giao điểm của AN và CD; CM và AB Tìm mệnh đề sai?

; M là trọng tâm tam giác ABC | P và Q đối xứng qua O

, M và N đối xứng qua O

~ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài tập 17: Cho tam giác ABC Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đẳng thức

MBMC  BMBA là ; đường thẳng AB | trung trực của BC

, đường trịn tâm A , bán kính BC

~ đường thẳng qua A và song song với BC

Bài tập 18: Cho hình bình hành ABCD Tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn

đẳng thức MAMBMC MD là

; một đường tròn | một đường thẳng

, tập rỗng ~ một đoạn thẳng

Bài tập 19: Một giá đỡ dựa vào bức tường như hình vẽ bên dưới, tam giác

Trang 38

; 10 2 và N 10N | 10N và 10N , 10N và 10 2 N ~ 10 2 và N 10 2 N

Bài tập 20: Cho hai lực F1



và F2



lần lượt có cường độ 30N và 40N, có điểm đặt O và vng góc với nhau Cường độ tổng hợp lực của chúng là

; 10N | 50N , 35N ~ 70 N

Bài tập 21: Cho a b 6,a 3,b 4 Tính ab

; 3 | 14 , 10 ~ 1

Bài tập 22: Cho tam giác ABC đều cạnh a Khi đó ABAC bằng

; ABAC 2a | ABACa 22   , ABAC a 3 ~ aABAC 32  

Bài tập 23: Cho hình bình hành ABCD Gọi I K, lần lượt là trung điểm của

BC và CD Tính AIAK ; 2AC3 | AC3 , AC3 ~ 3AC2

Bài tập 24: Cho hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm Đẳng thức nào

sau đây là sai?

; AEBFCD 0 | ADBECF0

, DBECFA0 ~ AEBFCE0

Bài tập 25: Cho tam giác ABC và một điểm M thỏa MAMBMC 0

Mệnh đề nào sau đây sai?

; BABCBM | AMABAC

, MA MB ~ MABC là hình bình hành

Bài tập 26: Gọi G là trọng tâm của tam giác vuông ABC với cạnh huyền

BC 12 Độ dài của vectơ vGBGC là

; v 4 | v 2 , v 2 3 ~ v 8

Bài tập 27: Cho hai điểm A B, phân biệt và cố định, với I là trung điểm của

Trang 39

; Đường tròn tâm I, đường kính AB

2

| Đường trịn đường kính AB

, Đường trung trực của đoạn thẳng AB ~ Đường trung trực của đoạn thẳng IA

Bài tập 28: Cho tam giác ABC đều, cạnh 2a, trọng tâm G Độ dài của vectơ

ABCG là ; a8 3 | aa 4 343 , 8a 33 ~ a4 33

Bài tập 29: Cho hình vng ABCD có cạnh bằng 3 Khi đó BABD bằng

; 3 5 | 3 , 3 3

2 ~

3 5

2

Bài tập 30: Cho hai lực F1

 và F2 cùng tác động với một vật M đặt cố định Biết lực F1

có cường độ là 40 , FN 2 có cường độ là 30 và hai lực hợp với nhau một góc N

0

90 Tìm cường độ của lực tổng hợp của chúng tác động vào M

; 35 N | 50 N , 70 N ~ 10 N

BẢNG KẾT QUẢ TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10

Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20

Trang 40

BÀI 3 TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

 Định nghĩa tích của một số với vectơ

Cho số k và vectơ a0  0 Tích của vectơ a với số k là một vectơ Kí hiệu: ka

 ka



cùng hướng với a



nếu k và ka0  ngược hướng với a

 nếu k 0 ka có độ dài bằng k a  Quy ước: a00, 0 k 0  Tính chất

Với hai vectơ a

 và b bất kì, với một số h và k , ta có:  k a b kakb;  hk a haka;  h ka   hk a;  1.aa, 1 a a

 Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ a



và b



cùng phương khi và chỉ khi  k 0 : akb

 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ a



và b



không cùng phương, khi đó với mọi vectơ x



ta đều phân tích được: xhakb h k, ,  

 Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

 Nếu I là trung điểm của AB thì với mọi điểm M ta có: MAMB 2MI

 Nếu G là tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có: MAMBMC 3MG

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ

Dạng 2: Xác định vị trí một điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ

Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song, đồng quy Dạng 4: Phân tích một vectơ theo 2 vectơ khơng cùng phương

Dạng 5: Tìm tập hợp điểm

KIẾN THỨC CƠ BẢN I