ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 (HÌNH HỌC) MỚI 2021

PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN BÀI KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN I Khái niệm hình đa diện  Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác  Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện II Khái niệm khối đa diện  Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện  Những điểm không thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện  Mỗi hình đa diện chia điểm cịn lại khơng gian thành hai miền khơng giao miền miền ngồi hình đa diện, có miền ngồi chứa hồn tồn đường thẳng III Phép dời hình khơng gian Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M ' xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý * Một số phép dời hình khơng gian: r - Phép tịnh tiến theo vectơ v Nội dung Trang Hình vẽ Là phép biến hình biến điểm M thành M ' cho uuuuur r MM '  v P  - Phép đối xứng qua mặt phẳng Nội dung Là phép biến hình biến điểm thuộc P  P  Hình vẽ thành nó, biến điểm M không thuộc thành P điểm M ' cho mặt phẳng trung trực MM ' P H Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng biến hình P thành gọi mặt phẳng đối xứng H - Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Là phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M ' cho O trung điểm MM ' H Nếu phép đối xứng tâm O biến hình thành H O gọi tâm đối xứng           Hình vẽ     - Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục  ) Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng  thành nó, biến điểm M khơng thuộc  thành điểm M ' cho  đường trung trực MM '     H Nếu phép đối xứng trục  biến hình thành H  gọi trục đối xứng * Nhận xét:  Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình  H ' , biến đỉnh, cạnh, mặt  H  thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng  H '  Phép dời hình biến đa diện H thành đa diện II Hai hình Hai hình đa diện gọi có phép dời hình biến hình thành hình Trang BÀI KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU I Khối đa diện lồi Một khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm đoạn AB thuộc khối Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi II Khối đa diện - Định nghĩa  Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:  Các mặt đa giác n cạnh  Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh   n, p  Khối đa diện gọi khối đa diện loại - Định lí 3;3 4;3 3;4 5;3 Chỉ có loại khối đa diện Đó loại , loại , loại , loại , 3;5 loại - Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Số Số Số Khối đa diện cạn Loại Số MPĐX đỉnh mặt h           Tứ diện  3;3 Khối lập phương 12  4;3 Bát diện 12  3;4 Mười hai mặt 20 30 12  5;3 15 Hai mươi mặt 12 30 20  3;5 15 Chú ý: Giả sử khối đa diện loại Khi đó:  n, p pĐ  2C  nM Trang có Đ đỉnh, C cạnh M mặt DẠNG 1: NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN Bài tập Hình đa diện hình vẽ bên có mặt? A 11 B 12 C 13 D 14 Bài tập Trong khối đa diện, mệnh đề sau đúng? A Hai cạnh có điểm chung B Ba mặt có đỉnh chung C Hai mặt có điểm chung D Mỗi đỉnh đỉnh chung ba mặt Bài tập Cho mệnh đề sau: I Số cạnh khối đa diện lồi lớn II Số mặt khối đa diện lồi lớn III Số đỉnh khối đa diện lồi lớn Trong mệnh đề trên, mệnh đề đúng? A II III B I II C Chỉ I D Chỉ II Bài tập Số cạnh hình 12 mặt A 20 B 30 C 16 D 12 Bài tập Hình khơng phải hình đa diện A Hình B Hình C Hình D Hình Bài tập Khối đa diện loại {3;5} khối A Hai mươi mặt B Tám mặt C Lập phương D Tứ diện Bài tập Biết (H) đa diện loại {3;5} với số đỉnh số cạnh a b Tính a  b A a  b  18 B a  b  8 C a  b  18 D a  b  10 Bài tập Gọi n số hình đa diện bốn hình bên Tìm n A n  B n  C n  D n  Bài tập Khối đa diện loại {4;3} A Khối tứ diện B Khối lập phương C Khối bát diện D Khối hộp chữ nhật Bài tập 10 Số n hình đa diện lồi bốn hình bên Trang A n  B n  C n  D n  Bài tập 11 Cho khối đa diện loại {3;4} Tổng góc phẳng đỉnh khối đa diện 0s 0 A 324 B 360 C 180 D 240 Bài tập 12 Hình khối đa diện A B C D Bài tập 13 Hình khơng phải khối đa diện A 30 20 B 12 20 C 20 30 D 12 30 Bài tập 14 Khối hai mươi mặt thuộc loại sau đây? 3;4 4;3 3;5 5;3 A B C D Bài tập 15 Khối đa diện có mười hai mặt có số đỉnh, số cạnh, số mặt A 30,20,12 B 20,12,30 C 12,30,20 D 20,30,12         Bài tập 16 Hình khơng phải hình đa diện A Hình III B Hình II C Hình IV D Hình I Bài tập 17 Một hình lăng trụ có 11 cạnh bên hình lăng trụ có tất cạnh? A 33 B 31 C 30 D 22 Bài tập 18 Hình hình đa diện A Hình B Hình Trang C Hình D Hình Bài tập 19 Cho đa giác 16 đỉnh Hỏi có tam giác vng có ba đỉnh ba đỉnh đa giác đó? A 560 B 112 C 121 D 128 (Gợi ý tam giác vng nội tiếp nửa đường trịn) DẠNG 2: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐA DIỆN Bài tập Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đơi khác có mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Bài tập Hình tứ diện có trục đối xứng? A B C D Bài tập Một hình hộp đứng có đáy hình thoi (khơng phải hình vng) có mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Bài tập Hình tứ diện có mặt phẳng đối xứng? A B C D Bài tập Hình sau khơng có đối xứng? A Hình hộp xiên B Tam giác C Hình trịn D Đường thẳng Bài tập Biết hình đa diện H có mặt tam giác Hãy mệnh đề đúng? A Không tồn hình H có mặt phẳng đối xứng B Có tồn hình H có mặt đối xứng C Khơng tồn hình H có đỉnh D Có tồn hình H có hai tâm đối xứng phân biệt Bài tập Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng? A B C D Bài tập Hình lăng trụ tam giác có tất cạnh có mặt phẳng đối xứng? A B C D Bài tập Khối lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' phép đối xứng qua mặt phẳng ABC 'D ' biến khối tứ diện BCDD ' thành khối tứ diện sau đây? A BCA 'D ' B BB 'A 'D ' C B 'BC 'A ' D BC 'D 'A ' AB 'C ' ABC ' Bài tập 10 Cắt khối trụ ABC A 'B 'C ' mặt phẳng ta khối đa diện nào? A Hai khối tứ diện hai khối chóp tứ giác B Ba khối tứ diện C Một khối tứ diện hai khối chóp tứ giác D Hai khối tứ diện khối chóp tứ giác Bài tập 11 Cho đa giác có 2018 đỉnh Hỏi có hình chữ nhật có đỉnh đỉnh đa giác cho? 4 2 C 1009 C 1009 C 2018 C 2018 A B C D    Trang    BÀI KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I Thể tích khối chóp Nội dung V  Hình vẽ S h đ�y S  đ�y : Diện tích mặt đáy  h : Độ dài chiều cao khối chóp d S  S, ABCD   ABCD II Thể tích khối lăng trụ Nội dung VS.ABCD  Hình vẽ V  Sđ�y h S  đ�y : Diện tích mặt đáy  h : Chiều cao khối chóp Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên III Thể tích khối hộp chữ nhật Nội dung Hình vẽ V  abc IV Thể tích khối lập phương Nội dung Hình vẽ V  a3 V Tỉ số thể tích Nội dung Hình vẽ VS A��� SA�SB �SC � BC  VS ABC SA SB SC S A ’ BC Thể tích hình chóp cụt ABC A��� V    h B  B�  BB � � Với B, B , h diện tích hai đáy chiều cao VI Một số ý độ dài đường đặc biệt  Đường chéo hình vng cạnh a a Trang A B C ’ ’ C B  Đường chéo hình lập phương cạnh a : a  Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a,b,c : a2  b2  c2 a  Đường cao tam giác cạnh a là: VII Các công thức liên quan đến hình phẳng Hệ thức lượng tam giác - Cho D ABC vuông A , đường cao AH 2  AB  AC  BC  AB  BH BC  AC  CH BC  AH BC  AB AC  AH  BH HC 1   2 AB AC  AH  AB  BC sinC  BC cosB  AC tanC  AC cot B m ,m ,m - Cho D ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài trung tuyến a b c bán kính đường trịn ngoại tiếp R ; bán kính đường trịn nội tiếp r nửa chu vi p  Định lí hàm số cosin: a2  b2  c2 - 2bc.cosA; b2  c2  a2  2ca.cosB; c2  a2  b2  2ab.cosC  Định lí hàm số sin: a b c    2R sin A sin B sinC  Độ dài trung tuyến: b2  c2 a2 c2  a2 b2 a2  b2 c2  ; mb2   ; mc2   4 Các cơng thức tính diện tích - Tam giác 1 S  a.ha  bh b  ch 2 c  ma2  1 S  bc sin A  ca.sin B  ab sinC 2  abc S 4R   S  pr     S  p pa pb pc  ABC vuông A : S  AB.AC BC AH  2 Trang  ABC đều, cạnh a : AH  a a2 S , - Hình vng  S a ( a : cạnh hình vng) - Hình chữ nhật  S  ab ( a, b : hai kích thước) - Hình bình hành �  S = đáy  cao = AB AD.sin BAD - Hình thoi � = AC.BD S = AB AD.sin BAD  - Hình thang S  a b h  ( a, b : hai đáy, h : chiều cao) - Tứ giác có hai đường chéo vng góc AC & BD   AC BD  VIII Cơng thức giải nhanh khối chóp S  Cho hình chóp SAB , SBC , SAC    Nội dung SABC với Hình vẽ mặt phẳng A vng góc với đơi một, diện tích tam giác SAB, SBC , SAC S ,S ,S Khi đó: , VS ABC  2S1.S2 S3 S C B  ABC  Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với  SAB   SBC  vng góc với hai mặt phẳng � � nhau, BSC = a , ASB = b SB 3.sin2 tan  VS ABC  12 Khi đó: S C A B S Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên b Khi đó: VS ABC  a2 3b2  a2 12 C A G B Trang M S Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  a3 tan VS.ABC  24 Khi đó: C A G S Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC  VS.ABC G VS ABC a3.tan   12 S S D Khi đó: A M O C B S A tan   D M O B C Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy �  �  �� ; � � �4 � a, SAB = a với VS.ABCD  M B Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy  a3.tan VS ABCD  Khi đó: a C A G a2 4b2  2a2  M B Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD a, hình vuông cạnh SA  SB  SC  SD  b Khi đó: C A 3b3.sin  cos2  Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: M B S D A M O C Trang 10 B - Dạng 1: �x  x  a t � o (d) : �y  yo  a2t �z  z  a t � o d qua điểm M 0(x0;y0;z0) có VTCP r a  (a1;a2;a3) ( t �R ) uuur A , B : d d AB - Dạng 2: qua hai điểm Một VTCP M (x ;y ;z ) - Dạng 3: d qua điểm 0 0 song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / /  nên VTCP  VTCP d   P M (x ;y ;z ) - Dạng 4: d qua điểm 0 0 vng góc với mặt phẳng d P P Vì nên VTPT VTCP d ( P) , ( Q) : - Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng  Cách 1: Tìm điểm VTCP     cho trước: � (P ) � � (Q )  Tìm toạ độ điểm A �d : cách giải hệ phương trình � (với việc chọn giá trị cho ẩn) r r r d :a  � nP , nQ � � �  Tìm VTCP  Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M (x ;y ;z ) d ,d : - Dạng 6: d qua điểm 0 0 vuông góc với hai đường thẳng r r r a� ad ,ad � d  d1, d  d2 �1 � Vì nên VTCP d là: M (x ;y ;z ) - Dạng 7: d qua điểm 0 0 , vng góc cắt đường thẳng   Cách 1: � H � � �uuuuur r M H  u M Gọi H hình chiếu vng góc đường thẳng  Thì � M , H Khi đường thẳng d đường thẳng qua  Cách 2: P    ; Q mặt phẳng qua A vng góc với d mặt phẳng d � P �Q qua A chứa d Khi M (x ;y ;z ) d ,d : - Dạng 8: d qua điểm 0 0 cắt hai đường thẳng  Cách 1: M �d1, M �d2 M , M 1, M Gọi Từ điều kiện thẳng hàng ta tìm M 1, M Từ suy phương trình đường thẳng d  Cách 2: Gọi     Trang 75 Gọi  P   (M ,d ) ,  Q   (M ,d ) Khi d   P  � Q  Do đó, VTCP d r r r a� nP , nQ � � � chọn   P d ,d : - Dạng 9: d nằm mặt phẳng cắt hai đường thẳng A  d1 � P , B  d2 � P Tìm giao điểm Khi d đường thẳng AB P Q d, - Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng chứa  mặt phẳng chứa  d2 d P �Q Khi d, d - Dạng 11: d đường vng góc chung hai đường thẳng chéo nhau:  Cách 1: � MN  d1 � � MN  d2 M �d1, M �d2 Gọi Từ điều kiện � , ta tìm M , N Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2: r r r a� ad ,ad � d  d1 d  d2 � 2� d  Vì nên VTCP là:              Lập phương trình mặt phẳng d  Lấy điểm A P   Một VTPT P  chứa d d1, r r r nP  � a,ad � � 1� là:  Tương tự lập phương trình mặt phẳng     cách: Q  chứa d d2 Khi d P �Q ( P) ta Lập - Dạng 12: d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng Q P phương trình mặt phẳng chứa  vng góc với mặt phẳng cách: M �  Lấy r r r Q P nQ  � a , nP � � �   Vì chứa vng góc với nên        Khi       d P �Q d d : - Dạng 13: d qua điểm M , vng góc với cắt  Cách 1: d MN  d1, Gọi N giao điểm d Từ điều kiện ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2:  Viết phương trình mặt phẳng P  Trang 76 d qua M vng góc với  Viết phương trình mặt phẳng  Khi Q      d chứa M d P �Q BÀI TẬP Bài tập Trong khơng gian Oxyz, phương trình phương trình � x   2t � d:� y  3t t �R � z  2  t � tắc đường thẳng x1 y z 2 x1 y z 2     2 A B x1 y z2 x1 y z 2     2 C D       M 1; 2;1 , N 0;1;3 Bài tập Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm Phương trình đường thẳng qua hai điểm M, N x1 y2 z1 x1 y3 z2     2 A 1 B x y1 z  x y1 z      2 C 1 D   M 2;0; 1 Bài tập Trong khơng gian Oxyz, phương trình tham số qua điểm r a  2; 3;1 có vectơ phương � � � � x   2t x  2  2t x  2  4t x   2t � � � � y  6 y  3t y  6t y  3t � � � � � � � � z  2 t z  1 t z   2t z  1  t A � B � C � D � Bài tập Trong khơng gian Oxyz, phương trình phương trình A 2;3;0 P : x  3y  z   đường thẳng qua vng góc với mặt phẳng ? � � � � x  1 t x  1 t x   3t x   3t � � � � y   3t y  3t y   3t y   3t � � � � � � � � z  1 t z  1 t z  1 t z  1 t A � B � C � D � A 1;2;3 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho điểm đường thẳng x y1 x  d:   2 Đường thẳng qua A, vng góc với d cắt trục Ox có phương trình là? � � � � x  1  2t x  1 t x  1  2t x  1 t � � � � y  2t y   2t y  2t y   2t � � � � � � � � zt z  3t z  3t z   2t A � B � C � D �        Trang 77  Bài tập Trong A 1;0;2 , B 1;2;1 ,C 3;2;0 , D 1;1;3         không gian Oxyz, cho điểm Đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (BCD) có phương trình là? � � x  1 t x  1 t � � y  4t y4 � � � � z   2t z   2t A � B � � x  2 t � y   4t � � z   2t C � � x  1 t � y   4t � � z   2t D � x3 y3 z2 d1 :   ; 1 2 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng x5 y1 z2 d2 :   P : x  2y  3z   3 mặt phẳng Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P), cắt d1, d2 có phương trình là? x1 y1 z x 2 y  z 1     2 A B   x3 y3 z2   C x1 y1 z   D � 8� A 2;2;1 , B �  ; ; � � 3 � Đường Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hai điểm thẳng qua tâm đường trịn nội tiếp tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB) có phương trình là? 2 x y z x1 y8 z4 9 9   2 2 A B 1 11 x y z x  y3 z1 3 3   2 2 C D  d:  x1 y z2   1 mặt Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng P :x  y  z  1 phẳng Đường thẳng nằm mặt phẳng (P) đồng thời cắt vng góc với d có phương trình là? � � � � x  1  t x  3 t x  3 t x   2t � � � � y  4t y  2  4t y  2  4t y  2  6t � � � � � � � � z  3t z  2 t z   3t z  2 t A � B � C � D � M 1;1;3 Bài tập 10 Trong không gian Oxyz, cho điểm hai đường thẳng x1 y z 1 x1 y z :   ; ':   1 2 Phương trình phương trình đường thẳng qua M vng góc với ,  ' ?    Trang 78  � x  1  t � y  1 t � � z   3t A � � x  t � y  1 t � � z  3 t B � � x  1  t � y  1 t � � z  3 t C � � x  1  t � y  1 t � � z  3 t D � x y1 z 1 :   mặt Bài tập 11 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng P : x  2y  z   phẳng Đường thẳng nằm (P) vng góc với  có phương trình � � � � x   2t x  3 x  1 t x1 � � � � y  1 t y  t y   2t y  1 t � � � � � � � � z2 z  2t z   3t z   2t A � B � C � D �  : x  y  2z  Bài tập 12 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng Trong  phương trình thẳng sau, đường thẳng vng góc với x y1 z x y1 z d1 :   d2 :   1 1 1 A B       C d3 : � x  2t � d4 : � y0 � z  t � D x y1 z   1 1   P : 3x  y  z  Bài tập 13 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng đường x 1 y z3 d:   2 Gọi  đường thẳng nằm (P), cắt vng góc thẳng với d Phương trình sau phương trình tham số  � � � � x  2  4t x  3  4t x   4t x  3  4t � � � � y   5t y   5t y   5t y   5t � � � � � � � � z   7t z   7t z  4  7t z   7t A � B � C � D � A 0; 1;3 , B 1;0;1 ,C 1;1;2 Bài tập 14 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm Phương trình phương trình tắc đường thẳng qua A song song với đường thẳng BC? � x  2t � y  1  t � � z  3 t A x  2y  z  B � x y1 z 3 x1 y z 1     1 1 C 2 D 2         A 1; 2;3 Bài tập 15 Trong không gian Oxyz, cho điểm hai mặt phẳng P : x  y  z   0; Q : x  y  z   Phương trình phương trình đường thẳng qua A song song với (P) (Q)?     Trang 79 � x  1 t � y  2 � � z  3 t A � � x  1  t � y2 � � z  3  t B � � � x   2t x1 � � y  2 y  2 � � � � z   2t z   2t C � D � A 1; 2; 3 , B 1;4;1 Bài tập 16 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm đường x2 y2 z3 d:   1 Phương trình phương trình đường thẳng thẳng qua trung điểm đoạn AB song song với d? x y1 z1 x y1 z 1     1 A B    x1 y1 z1   1 C  x y2 z2   1 D M 1; 3;4 Bài tập 17 Trong không gian Oxyz, cho điểm , đường thẳng x2 y5 z2 d:   P : 2x  z   5 1 mặt phẳng Viết phương trình đường  thẳng qua M vng góc với d song song với (P)     x 1 y    1 A x 1 y    C z4 2 x1 y z   1 2 B 1 z4 x1 y z   2 1 D A 3;2; 4 Bài tập 18 Trong không gian Oxyz, cho điểm mặt phẳng x 2 y z1 d:   P : 3x  2y  3z   2 Phương trình sau , đường thẳng phương trình đường thẳng  qua A , song song với (P) cắt đường thẳng d? � � � � x   11t x   54t x   47t x   11t � � � � y   54t y   11t y   54t y   47t � � � � � � � � z  4  47t z  4  47t z  4  11t z  4  54t A � B � C � D � � x   3t � d:� y  3 � z   4t � Bài tập 19 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Gọi  r A 1; 3;5 u  1;2; 2 đường thẳng qua điểm có vectơ phương Đường phân giác góc nhọn tạo d  có phương trình � � � � x  1  2t x  1  2t x   7t x  1 t � � � � y   5t y   5t y  3  5t y  3t � � � � � � � � z   11t z  6  11t z  5 t z   7t A � B � C � D �       Trang 80   � x   7t � d:� y   4t � z1 � Bài tập 20 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Gọi  r A 1;1;1 u  1; 2;2 đường thẳng qua điểm có vectơ phương Đường phân giác góc nhọn tạo d  có phương trình � � � � x  1  2t x  1  2t x  1  3t x   7t � � � � y  10  11t y  10  11t y   4t y  1 t � � � � � � � � z  6  5t z   5t z   5t z   5t A � B � C � D � Bài tập 21 Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có A 1;3;2 , B 2;0;5 ,C 0; 2;1 Viết phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC x1 y3 z2 x1 y z 2     4 4 A B           x1 y z 2   1 C x2 y4 z1   1 D A 2;0;0 Bài tập 22 Trong không gian Oxyz, cho , đường thẳng d qua A cắt chiều âm trục Oy điểm B cho diện tích tam giác OAB Phương trình tham số đường thẳng d � � � x   2t x   2t x   2t x   2t � � � yt y  t yt � � � y  t � � � z0 z0 z1 A � B z  C � D �  Trang 81  DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  điểm M 0(x0;y0;z0) M Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( ) tính : Ax0  By0  Cz0  D d(M 0; )  A2  B  C - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Nội dung M 0(x0;y0;z0) Cho đường thẳng () qua điểm r có VTCP u  (a;b;c) Khi khoảng cách từ điểm M đến () tính cơng thức: uuuuuur r � M 0M 1;u� � � d(M 1, )  r u - Khoảng cách đường thẳng chéo Nội dung Định lý:  Oxyz  cho hai đường thẳng Trong không gian chéo : r (1) co VT CP u  (a;b;c) va qua M 0(x0;y0;z0) ur (2) co VTCP u'  (a';b';c') va qua M 0' (x0' ;y0' ;z0' ) Hình vẽ Hình vẽ ( ) va ( 2 ) Khi khoảng cách tính r uu r uuuuuur � u, u '� M M ' � � 0 d(1, 2)  r uu r � u;u '� � � công thức DẠNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN - Góc hai mặt phẳng Nội dung Định lý ( Oxyz ) cho hai mặt phẳng  ,  Trong không gian xác định phương trình : ( ) : A1x  B1y  C 1z  D1  ( ) : A2x  B2y  C 2z  D2  Gọi  góc hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có cơng thức: Trang 82 Hình vẽ cos  A1A2  B1B2  C 1C A12  B12  C 12 A22  B22  C 22 - Góc đường thẳng mặt phẳng Nội dung x  x0 y  y0 z  z0 () :   a b c Cho đường thẳng mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  Hình vẽ Gọi  góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức: Aa  Bb  Cc sin  A2  B  C a2  b2  c2 - Góc hai đường thẳng Nội dung Cho hai đường thẳng : x  x0 y  y0 z  z0 (1) :   a b c x  x0� y  y0� z  z0� (2) :   a' b' c' ( ) & (2) Gọi  góc hai mặt phẳng ta có ' ' ' aa  bb  cc cos  a2  b2  c2 a'2  b'2  c'2 cơng thức: Hình vẽ BÀI TẬP   P : 2x  2y  z   Bài tập Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng x1 y2 z1 :   P 2 Tính khoảng cách d  đường thẳng   A d  B d C d d D P :x  y  z  2   Bài tập Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng x 1 y z :   P 1 2 Tính khoảng cách d  thẳng   Trang 83 đường A d  d 3 3 d D d  P : 2x  y  2z  Bài tập Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng đường � x  2 t �  :� y   4t � z  2 t P � thẳng Tính khoảng cách d  d  d  d  A B C D d  P :x y 3 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng đường � x  1 t � :� y   2t � z  3 t P � thẳng Tính số đo góc đường thẳng d  mặt phẳng 0 0 A 60 B 30 C 120 D 45 B C         d1 : x1 y2 z1   2 1 , Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng � xt � d2 : � y0 u r � z  t n  1;b;c � Mặt phẳng (P) quan d1 tạo với d2 góc 450 nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến Xác định tích bc A 4 B C - D M a;b;c Bài tập Trong không gian Oxyz, biết (với a > 0) điểm thuộc x y z 1 :   P : 2x  y  2z   1 đường thẳng cách mặt phẳng T  a  b  c khoảng Tính giá trị A T  1 B T  2 C T  D T  x 1 y2 z d1 :   1 1, Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng       � x   4t � d2 : � y  1  2t � z   2t � Khoảng cách hai đường thẳng cho A 87 B 174 C 174 D d: 87 x3 y z 1   2 1 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng A 2; 1;0 điểm Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d  A  B C Trang 84 21 D   P : x  2y  z  Bài tập Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng đường x 1 y z 2 d:   M a;b;c 1 Đường thẳng d cắt (P) điểm A Điểm thẳng thuộc   đường thẳng d có hồnh độ dương cho AM  Khi tổng S  2016a  b  c A 2018 B 2019 C 2017 D 2020 P :x y  z  3 Bài tập 10 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng x y1 z2 d:   1 Hình chiếu vng góc d (P) có phương đường thẳng trình x1 y1 z1 x1 y z      5 1 A B   x1 y1 z1   4 C 1 x 1 y1 z 1   2 1 D A 1;0;0 , B 0;1;0 , Bài tập 11 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm C 0;0;1 , D 2;1; 1 Tính góc hai đường thẳng AB CD 0 0 A 60 B 45 C 135 D 45             A 3;2;6 , B 3; 1;0 , Bài tập 12 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm C 0; 7;0 , D 2;1; 1 Gọi d đường thẳng qua hai điểm A D  góc d (ABC) Tính sin   A   sin   B sin  10 C sin  10 sin  10 D P : x  2y  z     Bài tập 13 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng x3 y1 z3 d :   1 Tính góc  đường thẳng d mặt đường thẳng phẳng (P) 0 0 A   45 B   30 C   60 D   120   Trang 85 DẠNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI CÁC ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHƠNG GIAN - Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng  M a ( ) ۣ ( ) a n   n n M a a M a  a ( ) + Phương pháp hình học Định lý � x  x0  a1t (1) � () : � y  y0  a2t (2) � z  z0  a3t (3) � có VTCP ( Oxyz ) cho đường thẳng Trong không gian r a  (a1;a2;a3) M (x ;y ;z ) qua 0 0 mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  có VTPT u r n  (A;B;C ) Khi : rr ( D�۹�++� ) ( a ) a.n Aa1 Ba2 Ca3  ۣ a rr  � � a.n = n Aa1 + Ba2 +Ca3 = � � �� ( D) / / ( a) � � � �Ax0 + By0 +Cz0 �0 M �( P) � �  rr � �Aa1 + Ba2 + Ca3 = a n = a �� ( D ) �( a ) � � � � � �Ax0 + By0 + Cz0 = M �( P ) � �  Đặc biệt r u r (  )  (  ) � a n phương � a1 : a2 : a3  A : B : C + Phương pháp đại số     � �pt() � pt( ) ta giải hệ phương trình: � tìm x, y, z   Muốn tìm giao điểm M M x, y, z � Suy ra: 1, 2, mp P Thế vào phương trình rút gọn dưa dạng: at  b  (*) mp ( P ) � pt ( *)  d cắt điểm có nghiệm t ( P) � pt ( *) vô nghiệm  d song song với         P  � Pt  * có vơ số nghiệm t r u r P d vuông góc   � a n phương  d nằm  - Vị trí tương đối hai đường thẳng M M0 ' ۣ a ۣ b  u 1 M0 2 M 0'  u 1 ' M86 ۣ Trang M0  u' 2 M0  u  u' 2 M ' 1  u' 2 + Phương pháp hình học Cho hai đường thẳng: 1 r u qua M có vectơ phương r 2 u qua N có vectơ phương u u u u r r r r r � �� u1 ,u2 � u1, MN � 1 � � � � �  r r r �� u , u �  � �� r � �r uuuur � � u , MN � � 1   //    � ��1  r r r � �� u , u ��1 � � �r r uuuur � u , u � MN  � 1 2 ��1 �  cắt r r uuuur ��� u MN 1 2 �1 ,u2 �  chéo + Phương pháp đại số � pt(1) � � pt( ) (1) va ( 2 ) Muốn tìm giao điểm M ta giải hệ phương trình : � tìm x, y, z Suy ra: M  x, y, z  � - Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu �x  x  a t (1) � y  y0  a2t (2) � �z  z  a t (3) S  : (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R  � d : Cho đường thẳng mặt cầu I ( a ; b ; c ) có tâm , bán kính R + Phương pháp hình học  Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I uuuur r � IM 0.a� � � h  d(I ,d)  r a mặt cầu  S đến đường thẳng d  Bước 2: So sánh d(I ,d) với bán kính R mặt cầu: S  Nếu d(I ,d)  R d không cắt  Nếu d(I ,d)  R    S d tiếp xúc  S  hai điểm phân biệt d cắt M , N MN vng Nếu d(I ,d)  R góc với đường kính (bán kính) mặt cầu + Phương pháp đại số 1, 2, S Thế vào phương trình rút gọn đưa phương trình bậc hai t * theo           Trang 87 ( *) vơ nghiệm d khơng cắt ( S )  Nếu phương trình  * có nghiệm d tiếp xúc  S   * có hai nghiệm d cắt  S  hai điểm phân biệt Nếu phương trình  Nếu phương trình  M, N Chú ý: M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d BÀI TẬP P : 3x  3y  2z   Bài tập Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng x1 y z5 d:   3 1 Mệnh đề đúng? đường thẳng A d cắt không vuông góc với (P) B d vng góc với (P) C d song song với (P) D d nằm (P) P : 3x  3y  2z   Bài tập Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng � x  1  2t � d:� y   4t t �� � z  3t � đường thẳng Mệnh đề đúng? A d cắt (P) B d vng góc với (P) C d song song với (P) D d nằm (P) A 1;0;0 , B 0;2;0 ,C 0;0;3 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho ba điểm � x  t � d:� y   t t �� � z  3 t M a;b;c � đường thẳng Gọi tọa độ giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng (ABC) Tính tổng S  a  b  c A B C 7 D 11 Bài tập Trong khơng gian Oxyz, xét vị trí tương đối hai đường thẳng x1 y1 z x3 y3 z2 1 :   2 :   2 3; 1 2 Ðể tìm tọa độ         trùng 2 B 1        D // x  12 y  z  d:   Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng P : 3x  5y  z   mặt phẳng Tìm tọa độ giao điểm d (P) 1;0;1 0;0; 2 1;1;6 12;9;1 A B C D x1 y z 1 d:   2 1 Phương Bài tập Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng trình phương trình đường thẳng vng góc với d? A 1    chéo với 2 C 1 cắt 2      Trang 88      x y z2   1 B x 1 y z x y2 z     3 D 1 C  : 2x  3y  z   Bài tập Trong khơng gian Oxyz, cho mặt thẳng Phương trình phương trình đường thẳng song song với ()? x1 y1 z x1 y1 z     3 A 2 B 2 x1 y1 z x1 y1 z     1 1 C 1 D 1 x y z   A   Bài tập Trong khơng gian Oxyz, bán kính mặt cầu tâm x y1 z2 d:   1 1 với đường thẳng B  tiếp xúc D 2 x1 y2 z2 d:   2 Viết Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng I 1;2; 1 phương trình mặt cầu tâm cắt d điểm A, B cho AB  A 11  I 1;3;5 C   x  1   y  2   z  1 A  x  1   y  2   z  1 C 2 2 14   25 9  x  1   y  2   z  1 B  x  1   y  2   z  1 D 2 d: 2 4  16 x 1 y2 z 9   1 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  : m2x  my  2z  19  mặt phẳng với m tham số Tập hợp giá trị m thỏa d/ /  mãn 1,2 A B � C D        Trang 89  ... đỉnh mặt h           Tứ diện  3;3 Khối lập phương 12  4;3 Bát diện 12  3;4 Mười hai mặt 20 30 12  5;3 15 Hai mươi mặt 12 30 20  3;5 15 Chú ý: Giả sử khối đa diện loại Khi đó:... lớn III Số đỉnh khối đa diện lồi lớn Trong mệnh đề trên, mệnh đề đúng? A II III B I II C Chỉ I D Chỉ II Bài tập Số cạnh hình 12 mặt A 20 B 30 C 16 D 12 Bài tập Hình khơng phải hình đa diện A Hình... D Bài tập 15 Khối đa diện có mười hai mặt có số đỉnh, số cạnh, số mặt A 30,20 ,12 B 20 ,12, 30 C 12, 30,20 D 20,30 ,12         Bài tập 16 Hình khơng phải hình đa diện A Hình III B Hình II