- Ta chứng minh tứ giác cĩ hai cạnh đối song song Tổng hai gĩc kề một cạnh bên của hình thang bằng 180 0
3. Trục đối xứng của một hình:
Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H, nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Dựng ∆ABC biết cạnh BC = a, đường cao AH = h, trung tuyến AM = m.
Giải
Phân tích
Giả sử ta dựng được ∆ABC thoả mãn: BC = a; AH = h; AM = m.
Ta phải xác định đỉnh A thoả mãn 2 điều kiện:
- A cách BC một khoảng bằng h, suy ra A ∈ đường thẳng d// BC và cách BC một khoảng h.
- A cách điểm M là trung điểm của BC một khoảng m.
Cách dựng - Dựng BC bằng a - Dựng đường thẳng d // BC và cách BC một khoảng bằng h. - Dựng đường trịn tâm M bán kính m cắt d tại A.
⇒∆ABC là tam giác cần dựng.
Chứng minh
∆ABC cĩ BC = a (cách dựng) Đường cao AH = h (cách dựng) Trung tuyến AM = m (cách dựng)
⇒∆ABC là tam giác cần dựng.
Biện luận
* m > h ⇒ bài tốn cĩ 4 nghiệm (4 điểm A) * m = h ⇒ bài tốn cĩ 2 nghiệm (2 điểm A) * m < h ⇒ bài tốn vơ nghiệm (khơng cĩ điểm A)
Bài tập 2: Cho đường thẳng m song song với đường thẳng n và điểm A khơng thuộc 2 đường thẳng đĩ. Dựng điểm B ∈ m, C ∈ n sao cho ∆ABC là tam giác đều.
Giải
Phân tích
Giả sử đã dựng được điểm B ∈ m, điểm C ∈ n để ∆ABC đều. Dựng hình chiếu vuơng gĩc của A trên điểm M là E
Dựng tam giác đều AEF. Xét ∆AEB và ∆AFC ta cĩ: AE = AF (∆ABF đều)
· · ( 0 · )
CAF BAE= =60 +CAE
AB = AC (∆ABC đều)
⇒∆AEB = ∆AFC (c.g.c)
⇒ · · 0
BEA CFA 90= = (vì AE ⊥ BE)
Cách dựng
Từ A hạ AE ⊥ m tại E - Dựng ∆AEF đều
- Từ F dựng đường vuơng gĩc với AF cắt n tại C
- Nối A với C, dựng đường trịn tâm A bán kính AC cắt m
tại B.
- Nối A với B, B với C ta được ∆ABC cần dựng
Chứng minh
Xét ∆ vuơng ABE và ∆ vuơng ACF cĩ: AB AC AE AF = = (Cách dựng) ⇒∆ABF = ∆ACF (c.g.c) ⇒ AE = AF ⇒ BAE CAF· =·
Mà CAF EAF CAE 60· =· +· = 0+CAE·
Và BAE BAC CAE· =· +· ⇒ BAC 60· = 0
∆ABC cĩ: AB = AC và BAC 60· = 0
⇒∆ABC đều
d) Biện luận
Bài tốn cĩ 2 nghiệm vì ta cĩ thể dựng được 2 ∆ đều
Bài tập 3: Dựng ∆ABC biết BC = a; AB + AC = d; ABC· = α.
Giải
a) Phân tích
Giả sử ta đã dựng được ∆ABC thoả mãn các điều kiện của đầu bài. Kéo dài BA và trên đường kéo dài lấy điểm D sao cho AD = AC. Suy ra: BD = AB + AD = AB + AC = d
⇒∆DAC cân ⇒ A = BD ∩ đường trung trực của CD
b) Cách dựng
- Dựng đoạn BC = a
- Dựng tia Bx sao cho xBC· = α. - Dựng điểm D trên Bx sao cho BD = d - Nối D với C.
- Dựng điểm A là giao của BD và đường trung trực của CD. - Nối A với C ta được ∆ABC cần dựng.
c) Chứng minh
BC = a (cách dựng)
A ∈ đường trung trực của DC ⇒ AD = AC A, D ∈ Bx; BD = d (cách dựng)
⇒ BD = AB + AD = AB + AC = d
⇒∆ABC là ∆ cần dựng.
d) Biện luận
- d < a ⇒ bài tốn vơ nghiệm - d > a ⇒ Bài tốn cĩ một nghiệm
Bài tập 4: Dựng ∆ABC biết BC = a, trung tuyến AM = m, đường cao CH = h.
Giải
Phân tích:
Giả sử đã dựng được ∆ABC thoả mãn điều kiện của đầu bài
⇒ A ∈ đường trịn tâm M bán kính m. H ∈ đường trịn đường kính BC CH = h; B, H, A thẳng hàng
Cách dựng:
- Dựng BC = a, trung điểm M của BC - Dựng đường trịn (M, m)
- Dựng đường trịn đường kính BC
- Dựng điểm H ∈ đường trịn đường kính BC sao cho HC = h - Dựng điểm A là giao điểm của BH và (M, m)
Chứng minh:
BC = a
CH = h (cách dựng)
⇒ A ∈ (M, m) ⇒ AM = m
⇒∆ABC là tam giác cần dựng
Biện luận:
Bài tốn cĩ nghiệm khi h < BC = a 2m > h
Bài tốn cĩ hai nghiệm do BH cắt (M, m) tại hai điểm là A và A'.
Bài tập 5: Dựng ∆ABC biết B = β < 900, đường cao BH và đường cao AD.
Giải
Phân tích:
Giả sử ∆ABC đã dựng được.
∆ vuơng ABD là dựng được ⇒ ta chỉ cần dựng điểm C.
Muốn vậy ta phải đi dựng điểm H: H ∈ giao của hai đường trịn đường kính AB và đường trịn tâm B bán kính BH ⇒ C = AH ∩ BD
Cách dựng:
- Dựng ∆ABD vuơng tại D sao cho ABD < 900
và AD cho trước.
- Dựng điểm H là giao điểm của hai đường trịn: (B, BH)
và đường trịn đường kính AB (BH cho trước).
- Dựng điểm C là giao của BD và AH ⇒∆ABC là ∆ ta cần dựng.
Chứng minh:
ABD = β < 900 (cách dựng)
AD là đường cao cĩ độ dài cho trước (cách dựng) BH bằng đoạn cho trước (cách dựng)
⇒∆ABC thoả mãn yêu cầu của đề bài
Biện luận:
Bài tốn luơn cĩ nghiệm Bài tốn cĩ một nghiệm
Bài tập 6: Dựng hình bình hành ABCD biết 2 đỉnh đối diện A và C cịn 2 đỉnh B và D thuộc một đường trịn (O, R) cho trước.
Giải
Phân tích:
Giả sử đã dựng được hình bình hành thoả mãn điều kiện của đề bài là ABCD. Nếu I là giao điểm của 2 đường chéo của ABCD thì: I ∈ AC và IA = IC, I ∈ BD và IB = ID; B, D ∈ (O,R) ⇒ OI ⊥ BD
Cách dựng:
- Dựng I là trung điểm của AC - Dựng đường thẳng qua I và ⊥ OI cắt (O) tại B và D ⇒ ABCD là hình bình hành cần dựng. Chứng minh: OI ⊥ BD ⇒ IB = ID IA = IC (cách dựng); B, D ∈ (O, R) (cách dựng)
∆AIB = ∆DIC (c.g.c) ⇒ ABI = IDC ⇒ AB // CD
⇒ ABCD là hình bình hành thoả mãn đầu bài.
Biện luận:
Bài tốn cĩ nghiệm khi điểm I ở trong đường trịn (O) khi đĩ bài tốn cĩ 1 nghiệm.
Bài tập 7: Cho đường trịn (O, R) và điểm A ∈ đường thẳng d. Dựng đường trịn tiếp xúc với C(O,R) và tiếp xúc với d tại A.
Giải
Phân tích:
Giả sử đã dựng được (O',R') tiếp xúc với (O, R) và tiếp xúc với d tại A ⇒ O' ∈ d' là đường thẳng qua A và ⊥ với d. Dựng điểm E sao cho O'E = O'O (AE = R).
⇒ O' nằm trên đường trung trực của OE
⇒ O' là giao của đường trung trực của OE & p
Cách dựng:
- Dựng đường thẳng d' ⊥ d tại A - Dựng điểm E ∈ d' sao cho AE = R - Dựng đường trung trực của OE là m, m ∩d' ≡ O'
- Dựng đường trịn (O',O'A) Đĩ là đường trịn cần dựng
Chứng minh:
(O', O'A) tiếp xúc với d tại A (cách dựng) Nối O với O'. Vì O' ∈ đường trung trực của OE
⇒ OO' = O'E
Mà O'E = O'A + AE ⇒ OO' = OA + AE = O'A +R
⇒ (O, R) & (O', O'A) tiếp xúc với nhau
Trên p cĩ thể lấy E1 ở trong đường trịn (O') sao cho AE1 = R. Vậy bài tốn cĩ 2 nghiệm hình.
Bài tập 8: Dựng ∆ABC, biết AB = 10cm, C 45µ = 0 và đường cao CH = 8cm (H ∈ AB). Tính độ dài cung chứa gĩc 450 dựng trên đoạn AB.
Giải
a) Cách dựng:
Dựng AB = 10cm bất kì.
Dựng cung chứa gĩc 450 trên AB và đường thẳng song song AB cách AB = 8cm, cắt cung chứa gĩc ở C. Ta được điều tìm.
b) Chứng minh:
Vì C nằm trên cung chứa gĩc 450 trên AB nên ACB 45· = 0.
Vì C thuộc đường thẳng song song AB cách AB = 8cm nên khoảng cách CH đến AB = 8cm. Vậy bài tốn cĩ 4 nghiệm hình.
- Tính: Vì C 45µ = 0 nên AOB 90· = 0 ⇒∆AOB vuơng cân tại O
⇒ R = OA = OB = AB. 2 5 2
2 = .
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = AD = 4cm, AC = DC = 8cm.
Bài tập 2: Dựng hình thang ABCD, biết đáy AB = 6cm, CD = 8cm, cạnh bên AD = 4cm, D 65µ = 0.
Bài tập 3: Dựng hình thang ABCD (AD // BC), biết:
a) AD = a, Aµ = α, Bµ = β, BC b= , với (a > b và α, β là các gĩc nhọn). b) AD = a, BC = b, BD = m và AC = n (với m > n và a > b).
Bài tập 4: Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết DC = a, AB = b (với a > b) và đường cao AH = h.
Bài tập 5: Cho trước một đoạn thẳng cĩ độ dài bằng 1, hãy dựng các đoạn thẳng cĩ độ dài bằng
a) 2; b) 2 1 ; c) 3 1 ; d) 5 1 ; e) 2 ; f) 5 ; g) 4 2 Bài tập 6: Dựng ∆ABC cĩ Â = 520, AB = 5cm, AC = 7 cm Bài tập 7: Dựng ∆ABC cĩ Â - 600, AB = 3cm, AC + BC = 7,5 cm.
Bài tập 8: Dựng ∆ABC cĩ Â= 900, phân giác AD = 10 cm, đường cao AH = 6 cm.
Bài tập 9: Dựng ∆ABC cĩ Â= 600, AB = 3cm, đường cao AH = 2cm.
Bài tập 10: Dựng tam giác biết b, a + c và C . µ
Bài tập 11: Dựng ∆ABC vuơng tại A, biết cạnh BC = 4cm và B 65µ = 0.
Bài tập 12: Dựng ∆ABC vuơng tại B, biết cạnh huyền AC = 4cm, cạnh gĩc vuơng BC = 2cm.
Bài tập 13: Dựng hình thang cân ABCD, biết đáy CD = 3cm, đường chéo AC = 4cm, D 80µ = 0.
Bài tập 14: Dựng hình thang ABCD, biết D 90µ = 0, đáy CD = 3cm, cạnh bên AD = 2cm, cạnh bên BC = 3cm.
BÀI 6: ĐỐI XỨNG TRỤC
I. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Cho gĩc ·xOy = 50 và điểm A nằm trong gĩc đĩ. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, 0
điểm C đối xứng với A qua Oy.
a) So sánh các độ dài OB và OC. b) Tính số đo gĩc ·BOC .
Hình 1 Hình 2
Hai điểm được gọi là đối xứng nhau qua một đường thẳng d, nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đĩ.
Hai hình được gọi là đối xứng nhau qua một đường thẳng d, nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với mỗi điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.
Hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì bằng nhau.
Ví dụ: Trong hình 2∆ABC đối xứng với ∆A'B'C' nên ∆ABC = ∆A'B'C'.
a) Chứng minh: ∆BHC = ∆BKC.
b) Cho ·BAC = 70 . Tính số đo gĩc 0 ·BKC .
Bài tập 3: Cho hình thang vuơng ABCD (µA = D = 90 . Gọi K là điểm đối xứng với B qua AD, E là µ 0)
giao điểm của CK và AD. Chứng minh: ·CED = AEB .·
Bài tập 4: Cho ∆ABC vuơng tại A, đường cao AH. Gọi I, K lần lượt là điểm đối xứng với điểm H qua các cạnh AB, AC. Chứng minh:
a) Ba điểm I, A, K thẳng hàng. b) Tứ giác BIKC là hình thang. c) IK = 2AH .
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Cho tam giác ABC, các phân giác BM và CN cắt nhau tại I. Từ A vẽ các đường vuơng gĩc với BM và CN, chúng cắt BC thứ tự ở E và F. Gọi I′ là hình chiếu của I trên BC. Chứng minh rằng E và F đối xứng nhau qua II′.
Bài tập 2: Cho hai điểm A, B nằm trong một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d. Tìm điểm M ∈ d sao cho MA + MB ngắn nhất.
Bài tập 3: Cho gĩc ·xOy = 60 và điểm A nằm trong gĩc đĩ. Gọi B, C lần lượt là hai điểm đối xứng 0
với điểm A qua Ox, Oy.
a) Chứng minh tam giác BOC là tam giác cân. Tính các gĩc của tam giác đĩ. b) Tìm điểm I ∈ Ox và điểm K ∈ Oy sao cho ∆AIK cĩ chu vi nhỏ nhất.
Bài tập 4: Cho ∆ABC, Cx là phân giác ngồi của gĩc C. Trên Cx lấy điểm M (khác C). Chứng minh rằng: MA + MB > CA + CB.
Bài tập 5: Cho gĩc nhọn ·xOy và điểm A ở trong gĩc đĩ. Tìm điểm B ở trên tia Ox và điểm C ở trên
tia Oy sao cho chu vi ∆ABC là nhỏ nhất.
BÀI 7: HÌNH BÌNH HÀNH
I. KIẾN THỨC CẦN NẮM:
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. a) Chứng minh BE = DF và ·ABE = CDF .·
b) Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành.
c) Chứng minh các đường thẳng EF, DB và AC đồng qui.
Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của gĩc D cắt AB ở E, tia phân giác của gĩc B cắt CD ở F.
a) Chứng minh: DE // BF. b) Tứ giác DEBF là hình gì?
Bài tập 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, M và N là giao điểm của AI và CK với BD.
a) Chứng minh: AI // CK. b) Chứng minh: DM = MN = NB.
Bài tập 4: Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH vuơng gĩc với BD ở H, CK vuơng gĩc với BD ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
Bài tập 5: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F, vẽ đường thẳng b cắt hai cạnh AB, CD lần lượt tại K, H. Chứng minh tứ giác EKFH là hình bình hành.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Cho ∆ABC. Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F và đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Giả sử AE = BF.
a) Chứng minh: ∆AED cân. b) Chứng minh: AD là phân giác của gĩc A.
Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và I, K là trung điểm các đường chéo AC, BD. Chứng minh:
a) Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành. b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Các đường thẳng vuơng gĩc với AB tại B, vuơng gĩc với AC tại C cắt nhau ở D.
a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.
Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác cĩ các cạnh đối song song.
Ta cĩ: Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AB // CD.
Phương pháp chứng minh hình bình hành:
Nếu một trong các yêu cầu sau được thỏa mãn: - Tứ giác cĩ các cạnh đối song song. - Tứ giác cĩ các cạnh đối bằng nhau.
- Tứ giác cĩ các cạnh đối song song và bằng nhau. - Tứ giác cĩ các gĩc đối bằng nhau.
b) Tính số đo gĩc ·BDC , biết ·BAC = 60 .0
Bài tập 4: Cho hình bình hành ABCD, AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuơng gĩc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuơng gĩc với CE, MF cắt BC tại N.
a) Tứ giác MNCD là hình gì? b) Tam giác EMC là tam giác gì? c) Chứng minh: ·BAD = 2AEM .·
Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AB và CD, AD và BC; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AE, EC, CF, FA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Bài tập 6: Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng:
a) M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. b) EMFN là hình bình hành.
Bài tập 7: Cho hình thang vuơng ABCD, cĩ µA = B = 90 và AD = 2BC. Kẻ AH vuơng gĩc với BD µ 0