bài tập và đáp án môn toán cao cấp trường học viện nông nghiệp Việt Nam

bài tập và đáp án môn toán cao cấp trường học viện nông nghiệp Việt Nam. đây là bài tập chi tiết để ôn thi cuối kỳ của các bạn sinh viên năm nhất của trường học viện nông nghiệp Việt Nam. trong này đã giải bài tập cho tất cả các chương của chương trình

Bài tập đáp án chương ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính Cho ma trận 1 −   A =  2  , B =  −2    4 −      Thực phép tính: a) A + B, A - B + C, C - B + A b) 2A - C, 3C + B - 2A c) At + B t , At − 3B t + C t Cho ma trận 1  A = 5  ,   4 −     −2 B=  1  1  3 1   , C = 9 −     2 −  −1     −1 −3 1   ,   1 C = 2  5  −4 −2      Thực phép tính: a) AB, BA, AC, ABC b) At B t , B t C Tính a) b) c) 1   −1 0 −2       3 1÷2  ÷(  −1÷   d) 1)  1 1 −1   ÷  ÷ ÷    −1 ÷    2 ( −3) 1 ÷  ÷ 0÷   Tính a)    1  −1 ÷ − ÷ ÷  ÷  −2 ÷ ÷    c) 1 0  1 ÷  ÷ 1 ÷   b) 2 1 2    ÷  ÷  − ÷  3  d) 3   ÷ 0  b) 3 −2 5  ÷ ÷ ÷ ÷  Tính định thức sau: −3 a) −2 2012 c) −1 −3 12 d) −1 −1 2 2 −1 b) b a + b  a  b a+b a ÷  ÷ a +b a b ÷   d) 1 0 1  1  1 Tính định thức ma trận sau: a) 1 1  a b c ÷  ÷  bc ca ab ÷   c) 1 a   a2  b b2 1 c÷ ÷ 2÷ c  x3 x 1 −1 x 1 Giải phương trình 1 1 x x÷ ÷ x x÷ ÷ x x 0 1 =0 Khơng tính định thức chứng minh M 15 5 ; 0 3 0 M 19 Cho A, B, C ma trận vuông cấp n thỏa mãn: detA = -1, detB = 2, detC = Tính: a) det(A3BCTB-1) b) det(B2C-1AB-1CT) 1 2   ÷ 10 Cho ma trận A =  2 ÷  −2 ÷   t a) Tính A , AA , det(A), det(A10), det(4A) b) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A 11 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: a)  1 1 A =  1÷  ÷  1÷   b)   −a  −a ÷ ÷ B=  0 −a ÷  ÷  0   x − −3  A= −1 x − 1÷ 12 Cho ma trận: ÷  −3 x + −2 ÷   a) Tìm x để ma trận A khả nghịch b) Tìm ma trận nghịch đảo A x =  x 1 2 1 x 2÷ ÷ 13 Cho ma trận A =  1 x 2÷  ÷ 1 x Tìm x để ma trận A khả nghịch Khi tính det(A-1) 1  0 1 2 1 ÷ , B =  ÷ 14 Cho hai ma trận A =  ÷  ÷ 1 ÷ 1 1÷     a) Tìm ma trận nghịch đảo A (nếu có) b) Tìm ma trận X thỏa mãn: AX = B 15 Tìm m để ma trận sau khả nghịch : m  1  2m + ÷ A= ÷ 3 4m ÷   16 Giải phương trình sau:  −2   −1  X a) ÷=  ÷  −4   −5  c)  3 4 1 0 X  2 ÷=  3 ÷  ÷  ÷  2÷ 3 4÷     b) d) 7 2  0 1  1  3     X = 1÷  2÷  3÷      1 3 5 ÷X =  ÷ 1÷  ÷ ÷ 1 ÷ 0    −1 3 A=  −6   14 −5 1  2 ÷ 5÷ 2÷ , B= ÷ 17 Cho ma trận: 1÷ 0÷ ÷  ÷ 2  3 a) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A b) Tìm ma trận X cho AX = B 18 Tìm hạng ma trận sau:  −1 −2   −2 −2   ÷  ÷ a)  −2 ÷ b)  −1 ÷  −1 ÷  −1 1 −1 ÷     c)  −1  −1 −3 ÷  ÷  −1 ÷  ÷ 7  d) 0 1  3  5 19 Tìm hạng ma trận sau theo giá trị tham số:  λ 2  −λ  2÷   ÷ a) b)   10 17 ÷   ÷   3  c) −λ 3 −λ 0 1÷ ÷ 3÷ ÷ 5 −λ 1 1÷ ÷ 1÷ ÷ 1 −1  1 0 a − a a + 1÷  ÷ ÷  − a −1 2a    m −1  1  −1 m ÷ , B =  ÷ 20 Cho hai ma trận A =  ÷  ÷  10 −6 ÷  3÷     a) Tùy theo giá trị m, tìm hạng ma trận A b) Khi m = 3, tìm ma trận X cho AX = B 21 Giải hệ phương trình sau: a)  x1 + x2 + x3 + x4 = 3 x − x − x − x = −4    x1 + 3x2 − x3 − x4 = −6  x1 + x2 + x3 − x4 = −4  c)  x1 − x2 + x3 + x4 =   x1 − x2 + x3 − x4 = −1  x − x + x + 5x =  e)  x + y + 2z − t =  y − z + 4t =    x + y − 3z + 5t =  x + y − z + 6t = −3  b)  x1 + x2 − x3 − x4 + x5 =  x − x + x + x − 2x =   4 x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 3 x1 + x2 − x3 − x4 + x5 =  d)  x1 − x2 + x3 + x4 =   x1 − x2 + x3 + x4 = 3 x − x + 3x + 14 x = −8  f)  x − y + z − 2t =  − x + y + z + t = −1   − x + y + 3z − t =  x − y + z − 4t =  22 Giải biện luận hệ phương trình sau:  ax + y + z =  a) b)  x + ay + z = a  x + y + az = a   x1 + x2 + x3 = λ x1  3 x1 − x2 + x3 = λ x2  x + x + 6x = λ x 3  Bài tập bắt buộc: 1, 3, 4, 5, 6, 9-13, 16, 18-22 Bài tập chương Hàm biến, đạo hàm vi phân Đồ thị cho ta biết khoảng cách vị trí thời điểm t nhà thương nhân hàm thời gian ngày Từ đồ thị diễn tả hành trình anh 2-15 Hãy tính đạo hàm hàm số arcsin x y = x − x3 + x − y = ( x3 − ) ( − x ) y = ( sin x + 3cos x ) 10 + x2 y= x 12 y= 14 y = ln x + x + arccos x x y= − x+ x x x y = x + arctan x y= 4x + x2 + x3 x −1 11 y= 13  x +1 y = arctan  ÷  x −1  15 y = x + sin x 16  sin x  y = ÷  + cos x  17 y = x.cos x 18 y = sin ( x + 1) 19 y = cot x 20 y = sin + x 21 y = sin x + x 22  x +1 y = cos   x −1 ÷ ÷   ( x − 2) ) ( 16 - 22 Tìm vi phân hàm số 23 Tính đạo hàm đến cấp 2, hàm số 2, 4, 8, 14 24-27 Tìm vi phân hàm số 24 y = x − x3 + x − x = ( ) 25 y = + − 2x 26 y = arctan x + x = 27 y = ( 3x + ) 33 x x = ln 3 x = 28-31 Chứng minh bất đẳng thức với x > 0: x x2 < arctan x < x 28 29 x − < ln ( + x ) < x x2 + x 30 x − < sin x < x 31 ( x + 1) ln ( x + 1) ≥ arctan x 32 Vị trí vật thể chuyển động đường thẳng, lấy mốc vị trí vật bắt đầu chuyển động, cho phương trình s = f (t ) = t − 6t + 9t , t (giây), s (mét) a b c d e f Tìm vận tốc vật thể thời điểm t Xác định vận tốc vật thể sau giây? giây? Vật thể dừng lại nào? Khi vật thể chuyển động theo hướng dương (xuôi chiều) Vẽ biểu đồ mô tả chuyển động vật thể Tìm tổng quãng đường vật thể giây 33 Một bóng ném thẳng lên khơng trung có độ cao s (t ) = 102t − 16t (m) sau t giây a b c d e f Vẽ đồ thị s(t), s'(t) khoảng thời gian [0, 7] giây Tính tốn sử dụng đồ thị (để ước lượng) để trả lời câu hỏi sau: Xác định độ cao bóng sau giây Trong q trình rơi xuống bóng có độ cao 110 m? Xác định vận tốc sau giây Khi bóng đạt vận tốc 70m/s Xác định vận tốc bóng chạm đất 34 Một bóng ném lên thẳng từ mặt đất với vận tốc ban đầu 112m/s, độ cao bóng so với mặt đất thời điểm t s (t ) = −16t + 112t (m) a b c Khi bóng lên đến độ cao lớn nhất, xác định độ cao lớn Sau giây bóng rơi xuống đất Xác định vận tốc bóng tiếp đất Xác định gia tốc bóng t = 1s, t = 3s 35 Giả sử xe ô tô A đứng gốc tọa độ di chuyển theo chiều dương trục Oy với vận tốc 60 km/h Cùng thời điểm tơ B đứng trục Ox cách O 30km theo chiều dương di chuyển theo chiều O với vận tốc 90 km/h Gọi S khoảng cách hai xe trình chuyển động Tìm khoảng tăng giảm S đầu tính từ lúc hai xe khởi hành 36 Một người đứng điểm A bờ dịng sơng rộng dặm Người phải bơi qua sông đến điểm B bên bờ đối diện mà cách điểm đối diện vng góc với A dặm Cho biết người bơi qua sơng với vận tốc dặm/ với vận tốc dặm/giờ Hãy xác định phương án di chuyển hợp lý để thời gian người đến B nhỏ (Giả sử vận tốc dịng nước khơng đáng kể.) 37 Có hai địa điểm A, B nằm phía sơng thẳng Gọi l1, l2 khoảng cách từ hai địa điểm đến sông, h khoảng cách hai hình chiếu hai địa điểm bờ sơng Hỏi cần phải đặt nhà máy nước C địa điểm bờ sông cho tổng khoảng cách từ C đến hai địa điểm kể nhỏ 38 Một người có đoạn thép nhỏ dài 12 cm, dự định cắt thành ba đoạn để ghép thành tam giác cân Hỏi người phải cắt để tam giác có diện tích lớn 39 Tìm số mà hiệu 100 tích chúng nhỏ 40 Tìm số dương cho tổng hai lần nghịch đảo nhỏ 41 Phải xây dựng hình hộp chữ nhật có đáy hình vng khơng có nắp thể để hình tích lớn từ 1200cm2 vật liệu? 42 Một người nông dân muốn làm hàng rào cho khu đất hình chữ nhật với diện tích 1.5 triệu feet vng sau chia làm đôi hàng rào song song với cạnh hình chữ nhật Xác định kích thước khu đất để chi phí cho hàng rào (1 feet = 0.3048 m.) 43 Người ta dự định xây dựng hình hộp chữ nhật có đáy hình vng khơng có nắp Hãy xác định kích thước hình hộp cho với vật liệu ta thiết kế hình tích 32000cm3 44 Một loại lon nước giải khát có dạng hình trụ chứa 0.4 lít chất lỏng Xác định kích thước lon nước để lượng vật liệu sử dụng làm lon 45 Giả sử hãng hàng không vận chuyển 8000 lượt hành khách tháng với giá vé $50 lượt Hãng hàng không muốn tăng giá vé, nhiên phận nghiên cứu thị trường cho biết tăng giá vé lên thêm la lượng hành khách giảm 100 người Xác định giá vé thích hợp để doanh thu hãng tối đa 46 Một khu vườn ăn thu 25 thùng trồng 40 vườn Khi tăng mật độ vườn, người ta thấy trồng thêm lượng thu giảm 0.5 thùng Vậy phải trồng vườn lượng thu tối đa 47 Một người có hàng nhỏ bán hộp đựng bút Giả sử số lượng hộp bán tỉ lệ nghịch với bình phương giá bán hộp Nếu người bán với giá $20 hộp bán trung bình 125 hộp Đầu tư ban đầu cho cửa hàng $750 chi phí cho hộp đựng bút $5 Tìm giá bán hộp bút để lợi nhuận cửa hàng tối đa Khi có hộp bán ra? 48 Giả sử kích thước (số cá thể) bầy ruồi đục tăng theo hàm mũ P (t ) = P0 e kt , P0 kích thước bầy ruồi thời điểm bắt đầu quan sát P(t) kích thước thời điểm t Biết kích thước bầy ruồi tăng lên gấp đơi sau ngày a Tìm số tăng trưởng k b Giả sử ban đầu đàn ruồi có 100 con, xác định kích thước đàn ruồi sau 41 ngày, tốc độ tăng trưởng đàn thời điểm c Sau ngày đàn ruồi có 800 cá thể 49-59 Tính giới hạn ln x 49 lim x →1 x − ln x 51 xlim →+∞ x 53 lim+ x ln x 50 52 54 x →0 ex lim x →∞ x tan x − x lim x →0 x3   lim −  − tan x ÷ π  cos x  x → ÷  2 55 lim+ ( + 4sin x ) cot x x →0 x −1 x →1 x −   lim −  − tan x ÷ π  cos x  x → ÷  56 57 59 lim 58 59 2 60-64 Chứng minh đẳng thức π ∀x ∈ [−1,1] 60 arcsin x + arccos x =  π / x > 62 arctan x + arctan =  x −π / x < 64 lim+ x x x →0 lim x e x x →−∞ lim+ ( cos x ) 1/ x x →0 π , ∀x ∈ R 61 arctan x + arc cot x = 63 arcsin( − x) = − arcsin x, ∀x ∈ [ −1, 1] arccos( − x) = π − arccos x, ∀x ∈ [ −1, 1] Bài tập bắt buộc: 1-4, 8, 9, 14-20, 23, 26, 27, 28, 31, 32, 34, 36, 42, 45, 48, 49-59, 60-62 Bài tập chương: Hàm nhiều biến Tính đạo hàm riêng cấp hàm số sau b) z = y sin x y x+ y x− y d) z = ln tan x y x+ y − e x arctan y y f) z = xyz + x yz b) z = ( x + y )e x + y (0;0) a) c) z = arctan e) z = ln( x + x + y ) z= Tìm vi phân tồn phần hàm số sau z = arcsin( x − y ) a) c) y z = arctan + x2 d) z = ln x2 + y2 − x x2 + y2 + x (0;1) Tính đạo hàm riêng cấp hàm số sau a) z = ln( x + y ) c) z = arctan b) d) y x z = x y + cos( xy ) z = arc cot x+ y − xy ∂2 z ∂2 z ∂2 z Cho hàm số z = x Tính + − (1,1) ∂x ∂y ∂x ∂y ∂2 z ∂2 z + Cho hàm số f ( x, y ) = e ( x cos y − y cos x) Tính ∂x ∂y Cho hàm số z = ln ∂2 z ∂2 z y 2 + Cho hàm số f ( x, y ) = arctan + ln x + y Tính ∂x ∂x∂y x Cho hàm số f ( x, y ) = y arctan Chứng minh hàm số z = y ln( x − y ) thỏa mãn phương trình y x ∂2 z ∂2 z + Tính ∂x ∂y x2 + y2 10 Chứng minh z = arctan ∂z ∂z y 2 − x − y Chứng minh y + x = z − x − y ∂y ∂x x ∂z ∂z z + = x ∂x y ∂y y x+ y ∂2 z =0 thỏa mãn − xy ∂x∂y 11 Hàm f ( x, y ) = x + y − x − xy − y + 10 có đạt cực trị điểm (1,1) khơng? 12 Hàm f ( x, y ) = − x − y + 3x + 12 y có đạt cực trị điểm (-1,1) khơng? 13 Tìm a, b,c để f ( x, y ) = x + y − 3xy + by + ax + c đạt cực trị (1,1) f(1,1)=0 14 - 23 Tìm điểm cực trị giá trị cực trị hàm số 14 f ( x, y ) = − x − y + 4( x − y ) 15 f ( x, y ) = ( x − 1) + y 16 f ( x, y ) = x + 17 f ( x, y ) = x + xy − 15 x + 12 y 18 f ( x, y ) = x + y − x − y 19 f ( x, y ) = x + y − xe y 20 f ( x, y ) = ( x + y ) e y 21 f ( x, y ) = x y − x − y + x + 22 f ( x, y ) = 23 f ( x, y ) = xy + y − 3xy + 30 1 1 + + 2+ 2− x y x y 50 20 + x y 10 60 Giả sử R(x) C(x) hàm doanh thu hàm chi phí sản xuất cho x đơn vị sản phẩm nhà máy R’(x) C’(x) gọi doanh thu cận biên chi phí cận biên ứng với x đơn vị sản phẩm Nêu ý nghĩa diện tích miền tơ đậm hình bên 61 Đồ thị hàm g gồm đoạn thẳng nửa đường tròn Hãy dùng để xác định tích phân sau (a) ∫ (c) ∫ 62 Cho 0 g ( x)dx (b) ∫ g ( x)dx g ( x)dx x g ( x) = ∫ f (t )dt , f hàm số mà đồ thị cho hình vẽ bên (a) Tính g(0), g(1), g(2), g(3), g(6) (b) Hàm g tăng đoạn nào? (c) Hàm g đạt giá trị cực đại đâu (d) Hãy vẽ đồ thị hàm g 63 Nếu f ( x) = x − x, ≤ x ≤ 3, tính tổng Riemann với n = 6, cách chọn điểm mút phải Tổng Riemann biểu thị đại lượng nào? Minh họa hình vẽ 64 Vận tốc vận động viên thi chạy tăng đặn suốt giây đầu đua Kết đo vận tốc cô sau quãng thời gian nửa giây thu bảng sau Hãy ước lượng cận cận quãng đường mà cô chạy giây t (s) 0,5 1,5 2,5 v (m/s) 1,9 3,3 4,5 5,5 5,9 6,2 65 Đồ thị hàm vận tốc ô tô qúa trình sử dụng phanh cho hình bên Tính tổng Riemann với n = đoạn chia có độ dài chọn ε i điểm đoạn, đồng thời ước lượng độ dài quãng đường mà ô tô sử dụng phanh (1ft = 0,3048m) 66 Một vật xuất phát từ gốc tọa độ chuyển động dọc theo trục Ox với vận tốc v(t) = -(t - 2)2 + (mét/giây) với ≤ t ≤ (giây) a) Vẽ đồ thị hàm v(t), từ xác định vật chuyển động phía trái, vật chuyển động phía phải 15 b) c) d) Tính tổng độ dài quãng đường mà vật di chuyển khoảng thời gian từ giây thứ đến giây thứ Xác định thay đổi vị trí vật thời điểm t =5 so với thời điểm t=2 Tìm hàm vị trí vật s(t) thời điểm t tính vận tốc trung bình khoảng thời gian [0; 5] 67 Tốc độ tăng trưởng quần thể sinh vật N’(t) = e-t, kích thuớc quần thể thời điểm ban đầu t = N(0) = 100 a) Tìm hàm kích thước quần thể N(t) b) Tính thay đổi kích thước quần thể khoảng thời gian từ t = đến t =5 68 Ban đầu đàn ong có 100 tốc độ tăng trưởng đàn N’(t) (con/tuần) Giá trị 15 biểu thức 100 + ∫ N '(t )dt biểu diễn gì? 69 Tốc độ tăng trưởng sinh khối (số lượng sinh vật sống đơn vị diện tích, thể tích vùng tổng trọng lượng sinh vật sống sinh quyển) thời điểm t B’(t), biểu thức ∫ B '(t )dt biểu diễn gì? 70 Hàm w’(x) biểu diễn tốc độ tăng trưởng trẻ độ tuổi x (đơn vị kg/năm), ∫ w'(x)dx biểu diễn gì? 71 Một mơ hình tốc độ tăng trưởng sinh khối thời điểm t B’(t) = cos( π t / 6) , với ≤ t ≤ 12 Vẽ đồ thị hàm B’(t) tìm hàm sinh khối B(t) biết B(0) = 100 72 Số lượng ban đầu nhóm vi khuẩn 400 chúng tăng trưởng với tốc độ r(t) = 450,268e1,12567t con/giờ Hãy xác định số lượng vi khuẩn nhóm sau đầu 73 Dầu chảy từ bể chứa với lưu lượng r(t) = 200 – 4t (lít/phút), ≤ t ≤ 50 Hãy xác định lượng dầu chảy từ bể khoảng thời gian 10 phút đầu 74 Nhiệt độ nhà lưới trồng hoa thay đổi suốt khoảng thời gian 24 có sin( π t/12) (0C) với ≤ t ≤ 24 Hãy xác định nhiệt độ trung bình nhà lưới khoảng thời gian [0; 24] (giờ) phương trình T(t) = 20 + Bài tập bắt buộc: 1, 3, 5, 9, 10, 14, 20-32, 42-49, 51, 54-59, 61-63, 66-68, 73, 74 16 Chú thích: - Kí hiệu V(t) hàm thể tích nước bể thời điểm t, V’(t) lưu lượng (tốc độ) nước chảy vào bể thời điểm t Vậy lượng nước chảy vào bể khoảng thời t2 ∫ V '(t )dx = V (t ) − V (t ) gian từ t1 đến t2 là: t1 - Kí hiệu [C](t) hàm nồng độ chất tan phản ứng hóa học thời điểm t, [C]’(t) tốc độ phản ứng thời điểm t Vậy chênh lệch nồng độ chất tan t2 thời điểm t2 so với thời điểm t1 là: ∫ [C ]'(t )dx = [C ](t2 ) − [C ](t1 ) t1 - Kí hiệu C(x) hàm tổng chi phí sản xuất nhà máy sản xuất x đơn vị sản phẩm, C’(x) = lim (∆C ∆x) tốc độ biến thiên tổng chi phí x (gọi hàm chi phí ∆x → cận biên) Khi chênh lệch chi phí sản xuất tăng số đơn vị sản phẩm từ x1 đến x2 x2 là: ∫ C '( x)dx = C ( x ) − C ( x ) x1 - Kí hiệu s(t) hàm vị trí thời điểm t vật chuyển động đường thẳng, lim vận tốc tức thời thời điểm t v(t) = ∆t →0 ( ∆s ∆t ) = s’(t) Do chênh lệch vị t2 trí vật thời điểm t2 so với thời điểm t1 là: ∫ v(t )dx = s(t ) − s(t ) t1 Nếu v(t) > vật chuyển động sang phía bên phải, v(t) < vật chuyển động sang phía bên trái, tổng độ dài quãng đường mà vật di chuyển khoảng thời t2 gian từ t1 đến t2 là: ∫ v(t ) dx t1 - Lí luận tương tự, N(t) hàm kích thước quần thể sinh vật thời đểm t lim N’(t) = ∆t → (∆N ∆t ) tốc độ tăng trưởng quần thể thời điểm t Vậy thay đổi kích thước quần thể khoảng thời gian từ t1 đến t2 là: t2 ∫ N '(t )dx = N (t ) − N (t ) t1 17 Bài tập Chương Phương trình vi phân - Giải phương trình vi phân phân li biến số xy '+ y = (x ( + y ) dx = ( + x ) ydy − 1) dy − xydx = - 10 2 yy '+ x = y ' = ex+ y yy ' = Giải phương trình vi phân đẳng cấp y xy ' = y ln x (x 11 - 13 + xy + y ) dx = x dy 10 − 2x y ( y − x ) ydx + x dy = xy ' = y x + y , y (1) = Giải phương trình vi phân tuyến tính 11 y '+ y = x 13 y '+ x y = x 12 15 x y y '+ xy = 14 - 15 14 Giải phương trình Bernoulli y '− y = − x3 y x y '− y = e3 x 16 - 35 Giải phương trình vi phân 16 tan x sin y dx + cos x cot y dy = 17 18 (x ( x − y ) ydx − x dy = 19 y '− y sin x = sin x cos x 20 xy '+ y = y ln x 21 ( 4x 22 ( + e ) yy ' = e , 23 ydx + xy − x dy = 24 xdy = y ( + x sin x − y sin x ) dx 25 π  y 'sin x = y ln y, y  ÷ = 2 26 (y 27 ( + x ) dy = ( 28 (1+ y ) ( e 29 x cos 30 y e2 y '− = x ln x, y (e) = x ln x 32 xy ' = y − x cos 34 y'= − y ) dx + xydy = 0, y (2) = x x y (0) = + xy ) dx + x ( − y ) dy = 2x dx − e y dy ) − ( + y ) dy = x3 y − y x − xy y x 31 33 35 + xy + y ) dx + ( x + xy + x ) dy = ( ) ) + x sin x − xy dx y y ( ydx + xdy ) = y sin ( xdy − ydx ) x x y y '− = 5x2 y5 2x xy '+ y = 2 x y xy '− y = x arctan x 18 36 - 50 Giải phương trình cấp hai 36 38 40 42 y ′′ + y ′ + y = xe x y ′′ + 16 y = 10e 4x y ′′ − y ′ = x + y ′′ + y ′ + y = xe −3x 37 39 41 43 44 y ′′ + y ′ − y = 2e x 45 46 y ′′ + y = 2sin 2x 47 48 y ′′ − y ′ = e5x − 6x 49 50 y ′′ + y ′ + y = s inx y ′′ + y ′ + y = (2x + 1)e 2x y ′′ − y = (1 − 2x)e −3x y ′′ − y ′ + 20 y = x e 4x y ′′ − y ′ + y = sin 2x + cos2x 2 y ′′ + y = cos x y ′′ + y ′ − y = ( x + 1) e −4x y ′′ − y ′ + y = 2x e 2x Bài tập bắt buộc: 16-50 19 Đáp số tập Chương nguyên hàm 1+ x +C 1− x −1 −43 x − 8x + C x − ln e x + tan x + C (1 + ln x)3 + C −1 (1 − 3x )2 + C ln | arctg 3x + + C 11 13 15 arcsin x +C ln (2 x − x + 3)e x + C x x + sin x + cos x + C 4 − arcsin x + − x2 − ln | | +C x x 17 a = 1; b = -3; c = 19 21 F ( x) = ( x − sin x + 1) tgx + tg x + C 23 − + cos x + C 25 −2 − x − 27 29 31 2(e −x + ln | e x(ln | x | −1) + C 12 (2 − x) cos x + 2sin x + C + x2 x3 − x + arccos x + C 14 − 16 a = 1; b = -3; c = 18 20 22 24 26 −x 28 x e (sin x − cos x) + C ln x ln x − x + +C x | +C 1+ e +1 ln | sin x | − sin x + C x 10 (arcsin x)3 + C + 1|) + C + ex −1 30 32 33 ln(cos x).tan x + tan x − x + C 34 35 3ln | x + | − ln | x + | +C 36 37 x3 + x + x + 8ln | x − | +C 38 x2 F ( x) = + x+ x +1 x2 e +C ln |1 + ln x | +C − cos x +C sin x −1 ln | cos x + cos x | +C 2 (cos3 x − cos x) cos x + C 21 x (cos(ln x) + sin(ln x)) + C x − ( + cot gx) + C sin x 2x +1 ln | | +C 2x + x2 + ln +C x +2 | x| ln + arctan( x − 1) + C x2 − 2x + 20 39 3x + arcsin +C 3 41 − ln | 43 ln(1 + + x ) + 45 x − cos x + C 46 47 2 cos x − cos x − ln | | +C cos x + 48 tan x + C 49 1 x x π  ln tan + ln tan( + )  + C 2  50 x − ln x + 4x + + 3arctan ( x + ) + C 40 42 + x2 + | +C x 1 + + x2 +C ln(2 x + + x + x + 3) − − x − x − arcsin 44 x +1 +C 1 − x3 − ln | | +C 3 1− x +C x − tan ( ) ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 7 2 At + B t =  5  5 a)  −10   −7 −2 −7  16 −6   −4 34   −3 −4  , BA =  17  , AC = 14 −10  , ABC =  AB =  12  10         −13 −11 −1  −10 −8  5   −40 46          b) −5 −2 14   −1 −1 10  −5 −5  , 3C + B − A =  21 −17 20  2A − C =     6 −8   −2 17 −6      c) a) b) 2 4 1 −1 0  , A − B + C = C − B + A = 13 −5  A+ B =      −1 11 6 1      −14  −7 17 −10  9  −2 −8  , Bt C =  −12 −2  AB =     −7 12  7 −6      a) 2   −2    a)  27 55 27   ÷  18 35 ÷  −4 −7 ÷   t −2   −1   −1  , At − 3B t + C t =  5 −1   16   −5 17 10  −5 −2      t  18   ÷  1÷  −2 −6 −1÷   b)  −1 −6 −2   ÷  10  c) b) 11 21   ÷  36 67 ÷ 0 ÷   1 0  ÷ 3 0÷ 3 1÷   c) d) d)  32012   (5) 2012.32011  ÷ 32012  21 a) -51 a) c) (a – b)(a – c)(c – b) (b – a)(c – a)(c – b) x = 1, x = 10 a) 11 a) 12 a) b) 13 a) b) b) c) b) d) −3 + 41 −3 − 41 , x= 4 d) -56 -2(y3 + y3) -3y2 a) -3  10   12   ÷  ÷ t A =  14 ÷, AA = 12 17 ÷;  12 ÷  9÷     10 10 det( A) = 8, det( A ) = , det(4 A) = 512 b)  −  A−1 =    −   4 −1   −3  ÷ −1 A =  −3 / / ÷  −5 / / ÷   1  −1 B = 0  0  b) b) a a2 a 0 − -2  ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ − ÷ ÷ 4 a3  ÷ a2 ÷ a÷ ÷ 1÷  x ≠ det A = − x3 + 16 x - 24 , A khả nghịch ⇔ det A ≠ ⇔   x ≠ −1 ± 13 5  1 −1 A =  2   −7 −4   x ≠  det A = ( x − ) ( x − 1) ( x + ) , A khả nghịch ⇔ det A ≠ ⇔  x ≠  x ≠ −4  det A−1 = det A 1 − 1 2   −1  −2   −4 0 −1 −1 A = − 1 b) X = A B =    −2  −1 −  1     14 a) 15 det A = 3m − , A khả nghịch ⇔ det A ≠ ⇔ m ≠ 16 a)  −7  X = BA−1 =    −25 14  b) AXB = C ⇒ X = A−1CB −1  x1    x2 X =   , với  x3     x4    17 a) det A = , không tồn ma trận nghịch đảo 18 a) r ( A) = 19 a) λ ≠ : r ( A) =  λ = : r ( A) = b)  λ ≠ 0, λ ≠ −4, λ ≠ −2 : r ( B) =  λ = 0, or λ = −4, or λ = −2 : r ( B) = 20 a) m ≠ : r ( A) =  m = : r ( A) = b)   x1 = + x2    x3 = −    x4 = − 10 x2  Không tồn ma trận Y b) r ( B) = c) b) r (C ) = d) r ( D) = c)  a ≠ : r (C ) =  a = : r (C ) = 22 a) x1 = −1, x2 = −1, x3 = 0, x4 = b) vô nghiệm c) x1 = 2t − s, x2 = t , x3 = s, x4 = ; t, s tùy ý d) x1 = e) 21 x = 1, y = s, z = − s, t = − s ; s tùy ý f) vô nghiệm t + 13 , x2 = t , x3 = −7, x4 = ; t tùy ý ( a + 1) a +1 Nếu a ≠ a ≠ -2, hệ có nghiệm x=− , y= , z= a+2 a+2 a+2 Nếu a = 1, hệ có vơ số nghiệm y = – t – s, y = t, z = s ; t, s tùy ý Nếu a = -2, hệ vơ nghiệm 22 a) b) Sửa phương trình 3, 6y3 thành -6y3 Nếu λ ≠ λ ≠ −3 ± 84 , hệ có nghiệm y = y = z = Nếu λ ≠ λ = −3 ± 84 , hệ có vơ số nghiệm 23 Đáp số tập chương phép tính vi phân hàm biến Từ đồ thị ta thấy anh rời nhà lúc 8h sáng để đến quan lúc 9h, sau anh ngồi làm việc quan đến 10h Vì cơng việc anh phải di chuyển để gặp đối tác lúc 12h, tiến hành thỏa thuận kinh doanh vòng tiếng Buổi chiều anh phải kiểm tra việc kinh doanh cửa hàng khoảng thời gian từ 17h đến 18h Cuối anh nhà vào khoảng 19h − x ( sin x + 3cos x ) 11 17 20 23 − 12 8x3 − x + x2 + 2 ( x + 1) x + arctan x 10 − x−2 13 − 2.4 x+sin x ( + cos x ) ln 16 ( + cos x ) 18 6sin ( x + 1) cos ( x + 1) dx 19 − 21 ( cos x − 3sin x ) cos x + dx sin x + x 22  x +1 sin  ÷  x −1 ÷   dx x −1 x x ( x − 3) ( x − 1) x3 x −1 2 (cos x − x sin x) dx x cos ( + x2 2+ x −5 x + x + x x 15 − 1+ x − arccos x x2 − 6 − + x x x 14 1− x 2 y '' = ) dx ( x2 − 2)  ( x − 2) ( x + 2)  , x  ÷ x2   3/2 48 x 7/2 − x5/2 − x3/2 −8 + x (2+ x ) 3/2 y ''' = − x 1− x x + x2 1 + x2 2sin x ( dx + cot 2 x dx cot x ) ( 3x − 10 x + 16 )  ( x − 2) ( x + 2)  x  ÷ x2   5/2 y ''' = 192 x 7/2 − x5/2 + x 5/2 y '' = y '' = ( sin x + 3cos x ) ( −7 cos x − 18cos x sin x + 17 sin x ) y ''' = −3 ( − cos x + 3sin x ) ( −61cos x − 54 cos x sin x + 11sin x ) y '' = − x y ''' = (1+ x ) 3/2 x2 − (1+ x ) 5/2 24 17254 dx 32 a v(t ) = f '(t ) = 3t − 12t + b v(2) = −3( m / s ), c t = t = d < t < t > f 28 e 25 −12dx 26 27 (9 ln + 54)dx v(4) = 9( m / s ) 24 33 a s (2) = 140 b t =1 e f c t= 11 t = 35 36 37 38 −90 −102 a t = 3.5( s) Độ cao lớn s (3.5) = 196(m) Quả bóng rơi yuống đất t = b 34 d −112 −32(m / s ) c 3 ] S tăng t ∈ [ ; 5] S giảm 13 13 Người bơi qua sơng lên bờ điểm C cách điểm đối diện với A 1.1547 dặm phía B tiếp tục B hl1 Đặt HC =y , x = hay A’, C, B thẳng hàng ( A’ đối xứng với A qua sông) l1 − l2 t ∈ [0; Tam giác a=4 40 39 41 đáy cạnh a= 200cm, cao h=1cm 43 50 -50 đáy cạnh a= 40cm, cao h=20cm 42 cạnh chia đôi a= 1.5 tr feet, b=1 tr feet 44 Gọi r, h bán kính đáy chiều cao lon r = 45 47 giá P = $65 giá P = $10 bán 500 hộp 48 a 49 50 54 55 k= ln = 0.077 46 200 ≈ 3, 9929; h ≈ 7, 9859 π số lượng m = 45 b P(41) ≈ 2351 con; P’(41) ≈ 181,1 con/ngày +∞ 51 52 e16 56 57 53 c 27 Đáp số chương hàm nhiều biến a) ' zx = x +y 2 ; z 'y = x +y 2 ( y x + x2 + y2 ) ; b) x x x ' z x = y cos ; z 'y = y sin − x cos ; y y y c) d) ' zx = −x ex − e x arctan y; z 'y = − y y + y2 f) ' u x = yz + a) dz = b) dz = d) dz (0;1) = −2dx a) '' z xx = 1 − ( x − y)2 (dx − 2dy )  −2 xydx + (1 + x )dy   (1 + x )2 + y  2(− x + y ) (x +y ) 2 '' ; z xy = (x −4 xy +y ) 2 ; z ''yy = 2x y sin y ; z 'y = −2 x 2x y sin y dz(0;0) = c) −y x ; z 'y = ; x2 + y x + y2 e) ' zx = ' zx = x x ' ; u 'y = xz − ; u z = xy − yz y z z y 2( x − y ) (x + y2 ) 25 b) '' '' z xx = y ( y − 1) x y −2 − y cos( xy ); z xy = ( y ln x + 1) x y−1 − xy cos( xy ) − sin( xy ); z ''yy = x y ln x − x cos( xy ) c) '' z xx = d) '' z xx = (x xy +y 2x (1+ x ) 2 ) '' ; z xy = y2 − x2 (x +y '' ; z xy = 0; z ''yy = ) 2 ; z ''yy = 2( x − y ) (x +y ) 2 (x −2 xy + y2 ) ; z ''yy = 2y (1+ y ) 2 2e x (cos y + y sin x) ; 0; 2( y − x ) ( x + y )2 Không; 13 a = b = -3; c=5 14 điểm cực đại (2;-2) 16 Điểm cực tiếu (1/3;1) -2; 11 có ; 12 15 Điểm cực tiểu (1;0) 17 điểm cực đại (-2;1), điểm cực tiểu (2;-1) 18 Điểm cực đại (0;0), điểm cực tiểu (1/2;1), (1/2;-1), (-1/2;1), (-1/2;-1) 19 khơng có cực trị 20 Điểm cực tiểu (0;-2) 22 Điểm cực tiếu (-2;-2) 23 Điểm cực tiểu (5;2) 21 Điểm cực đại (4;4) Chương tích phân xác định Các em sửa đề câu sau: +∞ 24 ∫ 74 +∞ 5x dx x + 3x − 38 ∫ - 0,01y + 0,000006y 75 e− x dx x 45 y= a xa (e + e − x a ) ngàn đồng/sản phẩm Đáp số chương tích phân xác định − − arcsin ln 1+ π ln − 18 3π +5 π 3π + + 8 ln π + ln( − 1) 2 10 π2 12 11 24 12 ln 13 ln 14 1 − 12 4e2 15 π − 16 − 17 9−4 π− π + ln 36 288 18 − 2(ln 2 + ln 2) 16 19 − (e 2π + 1) 20 ln − 25 60 21 22 phân kì 23 π 24 13 ln 14 25 1-ln2 26 27 e 28 29 π ln + 30 phân kì 31 π 32 π 33 phân kì 34 hội tụ 35 phân kì 36 hội tụ 37 hội tụ 38 hội tụ 39 phân kì (1 + 2) ln 1 − arctan 26 40 hội tụ 41 hội tụ α > 42 31 đvđd 48 43 46 đvđd 44 ln(e4+e2+1) – 45 a(e − 1) 2e 46 47 a ln 48 y= x3 1 − − x 12 49 15 13 + 25 29 13 + + 10 ln 29 − 50 209,1m 51 (a) (82 82 − 1) ≈ 6,103223 (b) 6,037979 243 52 5/6 đvdt 53 24 đvdt 54 eπ − 55 17/54 56 57 1/2 58 π ; vô hạn 59 2200 0,24 1460 0,18 (e − 1) − (e − 1) ≈ 8867.986 0.024 0.018 61 (a) đvdt 63 0.875 66 (a) ≤ t