Các bài toán về bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

Mục lục Mở đầu 2 Một số kí hiệu 4 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 5 1.1 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Bất đẳng thức AM – GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Bất đẳng thức BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Các kiến thức cơ bản về lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Hệ thức lượng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác. . . . . . . . 8 1.2.3 Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác. . . . . 9 2 BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 10 2.1 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhọn. . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác bất kì . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Bài tập đề nghị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC TAM GIÁC KHÁC 40 3.1 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác a + c ≥ 2b . . . . . . . . . . 52 3.3 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác b + c ≥ 3a . . . . . . . . . . 58 3.4 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác loại một và loại hai . . . . 64 3.5 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Phụ lục 73 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 81 1 Mở đầu Lượng giác là một phân môn quan trọng trong chương trình Toán học ở các trường Trung học phổ thông. Trong các đề thi vào các trường Cao đẳng và Đại học thường có một câu riêng về lượng giác mà chủ yếu là về "Phương trình lượng giác". Đây có lẽ là phần khá quen thuộc với những người học toán và những độc giả yêu thích môn toán. Bên cạnh đó, lượng giác còn rất nhiều vấn đề hay và lý thú khác, "bất đẳng thức lượng giác trong tam giác" là một vấn đề như thế. Ta có thể tìm thấy rất nhiều tài liệu tham khảo về các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác thường và tam giác nhọn nhưng lại có quá ít tài liệu về bất đẳng thức lượng giác trong các tam giác đặc biệt. Vì vậy, tác giả chọn đề tài "Các bài toán về bất đẳng thức lượng giác trong tam giác". Luận văn gồm ba chương Chương 1. Các kiến thức cơ bản. Trong chương này, tác giả nhắc lại một số bất đẳng thức kinh điển như: bất đẳng thức AM - GM, bất đẳng thức BCS, bất đẳng thức Jensen và bất đẳng thức Chebyshev. Ngoài ra, tác giả hệ thống lại các kiến thức cơ bản về lượng giác. Chương 2. Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác thường. Chương này đưa ra các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác thường. Nội dung chính của chương là bất đẳng thức lượng giác tam giác nhọn, cần nhấn mạnh rằng các bất đẳng thức này sẽ không còn đúng nữa nếu tam giác đã cho không có đặc thù là "nhọn". Chương 3. Bất đẳng thức lượng giác trong các tam giác khác. Đây là nội dung chính của Luận văn. Chương này đưa ra các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác vuông, tam giác có a + c ≥ 2b; tam giác có a + c ≥ 3b; tam giác loại một và tam giác loại hai. Cấu trúc chung của chương 2 cũng như chương 3 gồm hai phần: bài toán có lời giải và bài tập đề nghị. Đặc biệt trong chương này tác giả trình bày bài toán phụ trợ gồm 76 hệ thức lượng giác trong tam giác được biểu diễn qua các đại lượng p, R, r, đây là cách nhìn khác về lượng giác. Các bất đẳng thức đưa ra trong chương 3 hầu hết đều sử dụng trực tiếp bài toán phụ trợ và biến đổi tương đương để chứng minh. Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tác giả đã nhận được 2 sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu từ các thầy cô, các anh chị và các bạn. Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. PGS.TS Phan Huy Khải, người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, động viên và hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn các thầy trong hội đồng chấm luận văn đã cho tác giả những đóng góp quý báu để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, 2013 3 MỘT SỐ KÍ HIỆU ABC Tam giác ABC. A, B, C Các đỉnh tam giác hay số đo các góc trong tam giác ABC. a, b, c Độ dài các cạnh đối diện các góc A,B,C. h a , h b , h c Độ dài các đường cao xuất phát từ A,B,C. l a , l b , l c Độ dài các đường phân giác trong xuất phát từ A,B,C. m a , m b , m c Độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ A,B,C. p Nửa chu vi tam giác ABC. R Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. r Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. r a , r b , r c Độ dài bán kính đường tròn bàng tiếp trong các góc A,B,C. S Diện tích tam giác ABC. đ.p.c.m. Điều phải chứng minh. 4 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các bất đẳng thức cơ bản 1.1.1 Bất đẳng thức AM – GM Giả sử a 1 , a 2 , , a n là các số không âm. Khi đó a 1 + a 2 + + a n n ≥ n √ a 1 a 2 a n . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n . 1.1.2 Bất đẳng thức BCS Với hai bộ số (a 1 ; a 2 ; . . . ; a n ) và (b 1 ; b 2 ; . . . ; b n ) ta luôn có (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) 2 ≤  a 1 2 + a 2 2 + + a n 2  b 1 2 + b 2 2 + + b n 2  . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 b 1 = a 1 b 1 = = a 1 b 1 . 1.1.3 Bất đẳng thức Jensen Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và n điểm x 1 , x 2 , , x n tùy ý trên đoạn [a, b]. Khi đó i. Nếu f  (x) > 0 trong khoảng (a, b) thì f (x 1 ) + f (x 2 ) + + f (x n ) ≥ n.f  x 1 + x 2 + + x n n  . ii. Nếu f  (x) < 0 trong khoảng (a, b) thì f (x 1 ) + f (x 2 ) + + f (x n ) ≤ n.f  x 1 + x 2 + + x n n  . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 = = x n . 5 1.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev Với hai dãy số thực đơn điệu cùng chiều a 1 ; a 2 ; . . . ; a n và b 1 ; b 2 ; . . . ; b n thì ta có (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) ≥ 1 n (a 1 + a 2 + . . . + a n ) (b 1 + b 2 + . . . + b n ) . Nếu hai dãy a 1 ; a 2 ; . . . ; a n và b 1 ; b 2 ; . . . ; b n đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức đổi chiều. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = . . . = a n hoặc b 1 = b 2 = . . . = b n . 1.2 Các kiến thức cơ bản về lượng giác 1.2.1 Hệ thức lượng trong tam giác Định lí hàm số sin. a sin A = b sin B = c sin C = 2R. Định lí hàm số cosin. a 2 = b 2 + c 2 − 2bc. cos A. b 2 = c 2 + a 2 − 2ac. cos B. c 2 = a 2 + b 2 − 2ab. cos C. Định lí hàm số tan. a −b a + b = tan A −B 2 tan A + B 2 . b −c b + c = tan B −C 2 tan B + C 2 . c −a c + a = tan C − A 2 tan C + A 2 . Công thức tính diện tích tam giác. S = 1 2 a.h a = 1 2 b.h b = 1 2 c.h c = 1 2 ab. sin C = 1 2 bc. sin A = 1 2 ca. sin B = abc 4R = pr = (p −a) r a = (p −b) r b = (p −c) r c =  p (p −a) (p −b) (p − c). 6 Công thức tính các bán kính. Bán kính đường tròn ngoại tiếp. R = a 2 sin A = b 2 sin B = c 2 sin C = abc 4S . Bán kính đường tròn nội tiếp. r = (p −a) . tan A 2 = (p −b) . tan B 2 = (p −c) . tan C 2 = S p = 4R sin A 2 . sin B 2 . sin C 2 . Bán kính đường tròn bàng tiếp. r a = p. tan A 2 = S p −a . r b = p. tan B 2 = S p −b . r c = p. tan C 2 = S p −c . Công thức trung tuyến. m a 2 = b 2 + c 2 2 − a 2 4 . m b 2 = a 2 + c 2 2 − b 2 4 . m c 2 = a 2 + b 2 2 − c 2 4 . Công thức phân giác trong. l a = 2bc b + c . cos A 2 . l b = 2ac a + c . cos B 2 . l c = 2ab a + b . cos C 2 . Công thức hình chiếu. a = b. cos C + c. cos B = r  cot B 2 + cot C 2  . b = a. cos C + c. cos A = r  cot A 2 + cot C 2  . 7 c = a. cos B + b. cos A = r  cot A 2 + cot B 2  . Một số công thức khác. Về cạnh và góc. 0 < a ≤ b ≤ c ⇔ 0 < A ≤ B ≤ C ⇒  0 < sin A ≤ sin B ≤ sin C ≤ 1 1 > cos A ≥ cos B ≥ cos C ≥ 0 . Về cạnh. |a −b| < c < a + b. |b −c| < a < b + c. |c −a| < b < c + a. Về góc. sin A = sin (B + C) . sin A 2 = cos B + C 2 . cos A = −cos (B + C) . cos A 2 = sin B + C 2 . tan A = −tan (B + C) . tan A 2 = cot B + C 2 . cot A = −cot (B + C) . cot A 2 = tan B + C 2 . 1.2.2 Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác. 1. sin A + sin B + sin C = 4 cos A 2 cos B 2 cos C 2 = p R . 2. sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C. 3. sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 (1 + cos A cos B cos C). 4. cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin A 2 sin B 2 sin C 2 = 1 + r R . 5. cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C. 6. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 −2 cos A cos B cos C. 7. tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C (đối với tam giác không vuông). 8 8. tan A 2 . tan B 2 + tan B 2 . tan C 2 + tan C 2 tan A 2 = 1. 9. cot A. cot B + cot B. cot C + cot C. cot A = 1. 10. cot A 2 + cot B 2 + cot C 2 = cot A 2 . cot B 2 . cot C 2 . 1.2.3 Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác. 1. cos A + cos B + cos C ≤ 3 2 . 13. cos A 2 + cos B 2 + cos C 2 ≤ 3 √ 3 2 . 2. sin A + sin B + sin C ≤ 3 √ 3 2 . 14. sin A 2 + sin B 2 + sin C 2 ≤ 3 2 . 3. tan A + tan B + tan C ≥ 3 √ 3. 15. tan A 2 + tan B 2 + tan C 2 ≥ √ 3. 4. cot A + cot B + cot C ≥ √ 3. 16. cot A 2 + cot B 2 + cot C 2 ≥ 3 √ 3. 5. cos A. cos B. cos C ≤ 1 8 . 17. cos A 2 . cos B 2 . cos C 2 ≤ 3 √ 3 8 . 6. sin A. sin B. sin C ≤ 3 √ 3 8 . 18. sin A 2 . sin B 2 . sin C 2 ≤ 1 8 . 7. tan A. tan B. tan C ≥ 3 √ 3. 19. tan A 2 . tan B 2 . tan C 2 ≤ 1 3 √ 3 . 8. cot A. cot B. cot C ≤ 1 3 √ 3 . 20. cot A 2 . cot B 2 . cot C 2 ≥ 3 √ 3. 9. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≥ 3 4 . 21. cos 2 A 2 + cos 2 B 2 + cos 2 C 2 ≤ 9 4 . 10. sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 9 4 . 22. sin 2 A 2 + sin 2 B 2 + sin 2 C 2 ≥ 3 4 . 11. tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C ≥ 9. 23. tan 2 A 2 + tan 2 B 2 + tan 2 C 2 ≥ 1. 12. cot 2 A + cot 2 B + cot 2 C ≥ 1. 24. cot 2 A 2 + cot 2 B 2 + cot 2 C 2 ≥ 9. Chú ý. Các bất đẳng thức 3, 7, 11 chỉ đúng trong tam giác nhọn. 9 Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 2.1 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhọn. Trong phần này chúng ta sẽ xét các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhọn. Chú ý rằng, các bất đẳng thức này sẽ không còn đúng nữa nếu tam giác đã cho không có đặc thù là "nhọn". Bài toán 2.1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có 1. √ tan A + √ tan B + √ tan C ≥  cot A 2 +  cot B 2 +  cot C 2 . 2. (cos A + cos B + cos C) 2 ≤ sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C. 3. sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C. Giải. 1. Trước hết ta chứng minh rằng tan A. tan B ≥ cot 2 C 2 . (1) Thật vậy tan A. tan B ≥ cot 2 C 2 ⇔ sin A. sin B cos A. cos B ≥ 1 + cos C 1 −cos C ⇔ sin A sin B − sin A sin B cos C ≥ cos A cos B + cos A cos B cos C ⇔ sin A sin B − cos A cos B ≥ cos C (cos A cos B + sin A sin B) ⇔ cos C ≥ cos C cos (A −B) ⇔ cos (A − B) ≤ 1. (2) 10 [...]... 3 3 2 2 3 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác bất kì Trong phần này ta sẽ chứng minh các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác thường mà chủ yếu dựa vào các phép biến đổi lượng giác, các bất đẳng thức kinh điển quen thuộc như: bất đẳng thức AM - GM, bất đẳng thức BSC, bất đẳng thức Chebyshev, bất đẳng thức Jensen Bài toán 2.12 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có các bất đẳng thức sau 1... là tam giác tù ta có bất đẳng thức với chiều ngược lại 3 Xét bất đẳng thức thứ ba - Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong các đại lượng: cot 2A, cot 2B, cot 2C không xác định - Nếu ABC là tam giác tù thì bất đẳng thức chưa chắc đúng Chẳng hạn 2π π A= ; B = C = Ta có 3 6 cot A + cot 2A = 0 cot B + cot C + cot 2B + cot 2C > 0 ⇒ cot A + cot B + cot C + cot 2A + cot 2B + cot 2C > 0 Như vậy ta có bất đẳng. .. xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều Nhận xét - Bất đẳng thức vẫn đúng khi ABC là tam giác vuông - Nếu ABC có một góc tù thì bất đẳng thức trên không có nghĩa Vì thế, ta có thể thay đổi chút ít đầu bài như sau "Chứng minh rằng trong mọi tam giác không có góc tù ta có sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≥ 1 + √ 2 cos A cos B cos C 2 Bài toán 2.7 Cho ABC là tam giác nhọn Chứng minh rằng có... Xét bất đẳng thức thứ nhất - Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong các đại lượng: tan A, tan B, tan C không xác định - Nếu ABC là tam giác tù thì tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C < 0 sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C > 0 ⇒ tan A + tan B + tan C < 2 (sin 2A + sin 2B + sin 2C) Như vậy, ta có bất đẳng thức với chiều ngược lại 2 Xét bất đẳng thức thứ hai - Nếu ABC là tam giác vuông... theo từng vế và từ (1) suy ra điều phải chứng minh Nhận xét Giả thiết tam giác nhọn ở đây là thực sự cần thiết 1 Với bất đẳng thức thứ nhất, nếu ABC không phải là tam giác nhọn thì √ √ √ một trong ba đại lượng tan A, tan B, tan C là không có nghĩa 2 Với bất đẳng thức thứ hai, nếu ABC không phải là tam giác nhọn thì kết luận của bất đẳng thức chưa chắc đúng 2π π Thật vậy, giả sử xét ABC có A = ; B = C =... công thức phân giác trong, đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng tương đương sau la 1 1 1 1 1 1 + + lb + + lc + b c c a a b 26 √ ≤3 3 A B C √ b + c 2ac cos 2 a + c 2ab cos 2 a + b 2 ⇔ + + ≤3 3 b+c bc a + c √ ac a+b ab B C 3 3 A ⇔ cos + cos + cos ≤ 2 2 2 2 2bc cos (1) Theo bất đẳng thức cơ bản trong tam giác thì (1) đúng Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều 2 Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về. .. vậy, chỉ cần chứng minh bất đẳng thức √ b c a + + ≥2 3 ma mb mc sẽ suy ra hai bất đẳng thức còn lại 2 Từ (4) có Do đó √ 2 3m2 ma a ≥ 2 a a + b2 + c 2 √ 2 3 m2 + m2 + m2 ma mb mc a c b + + ≥ 2 + b2 + c 2 a b c a Theo công thức trung tuyến 3 2 a + b 2 + c2 4 √ ma mb mc 3 3 + + ≥ ⇒ a b c 2 m2 + m2 + m2 = a c b Bài toán 2.15 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có các bất đẳng thức sau √ a b c R 3 1... Vậy bất đẳng thức đã cho không đúng trong trường hợp này Bài toán 2.11 Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có (sin A)sin A (sin B)sin B (sin C)sin C ≥ √ 3 3 2 2 3 Giải Theo tính chất của hàm số mũ ta có sin A + sin B + sin C ≥ sin2 A + sin2 B + sin2 C Vì sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 + 2 cos A cos B cos C Mà ABC là tam giác nhọn nên sin2 A + sin2 B + sin2 C > 2 Theo bất đẳng thức cơ bản trong. .. chứng tỏ a sin A; b sin B; c sin C không thể là số đo ba cạnh của một tam giác Bài toán 2.8 Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có sin A + sin B + sin C tan A + tan B + tan C ≤ cos A + cos B + cos C 3 Giải Vì trong mọi tam giác không vuông ta có tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C 21 Vì ABC là tam giác nhọn nên bất đẳng thức đã cho được viết lại dưới dạng (tan A + tan B + tan C) (cos A +... A + cos B + cos C Bài toán 2.9 Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có tan2 A tan2 B tan2 C + + ≥ 18 A B C sin sin sin 2 2 2 Giải Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có tan2 A tan2 B tan2 C (tan A + tan B + tan C)2 + + ≥ A B C A B C sin sin sin sin + sin + sin 2 2 2 2 2 2 (1) Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi A = B = C Do ABC nhọn nên theo bất đẳng thức cơ bản trong tam giác có √ tan A + . . . . 9 2 BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 10 2.1 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhọn. . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác bất kì . cot 2 C 2 ≥ 9. Chú ý. Các bất đẳng thức 3, 7, 11 chỉ đúng trong tam giác nhọn. 9 Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 2.1 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhọn. Trong phần này. liệu về bất đẳng thức lượng giác trong các tam giác đặc biệt. Vì vậy, tác giả chọn đề tài " ;Các bài toán về bất đẳng thức lượng giác trong tam giác& quot;. Luận văn gồm ba chương Chương 1. Các