Các bài toán về bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phạm Thanh Tú CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 Người hướng dẫn khoa học PGS TS PHAN HUY KHẢI HÀ NỘI- 2013 Mục lục Mở đầu Một số kí hiệu 5 5 6 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các bất đẳng thức 1.1.1 Bất đẳng thức AM – GM 1.1.2 Bất đẳng thức BCS 1.1.3 Bất đẳng thức Jensen 1.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev 1.2 Các kiến thức lượng giác 1.2.1 Hệ thức lượng tam giác 1.2.2 Các đẳng thức lượng giác tam giác 1.2.3 Các bất đẳng thức lượng giác tam giác BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 10 2.1 Bất đẳng thức lượng giác tam giác nhọn 10 2.2 Bất đẳng thức lượng giác tam giác 26 2.3 Bài tập đề nghị 38 BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC TAM GIÁC KHÁC 3.1 Bất đẳng thức lượng giác tam giác vuông 3.2 Bất đẳng thức lượng giác tam giác a + c ≥ 2b 3.3 Bất đẳng thức lượng giác tam giác b + c ≥ 3a 3.4 Bất đẳng thức lượng giác tam giác loại loại hai 3.5 Bài tập đề nghị 40 45 52 58 64 70 Phụ lục 73 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 81 Mở đầu Lượng giác phân mơn quan trọng chương trình Tốn học trường Trung học phổ thông Trong đề thi vào trường Cao đẳng Đại học thường có câu riêng lượng giác mà chủ yếu "Phương trình lượng giác" Đây có lẽ phần quen thuộc với người học toán độc giả u thích mơn tốn Bên cạnh đó, lượng giác nhiều vấn đề hay lý thú khác, "bất đẳng thức lượng giác tam giác" vấn đề Ta tìm thấy nhiều tài liệu tham khảo bất đẳng thức lượng giác tam giác thường tam giác nhọn lại có q tài liệu bất đẳng thức lượng giác tam giác đặc biệt Vì vậy, tác giả chọn đề tài "Các toán bất đẳng thức lượng giác tam giác" Luận văn gồm ba chương Chương Các kiến thức Trong chương này, tác giả nhắc lại số bất đẳng thức kinh điển như: bất đẳng thức AM - GM, bất đẳng thức BCS, bất đẳng thức Jensen bất đẳng thức Chebyshev Ngoài ra, tác giả hệ thống lại kiến thức lượng giác Chương Bất đẳng thức lượng giác tam giác thường Chương đưa bất đẳng thức lượng giác tam giác thường Nội dung chương bất đẳng thức lượng giác tam giác nhọn, cần nhấn mạnh bất đẳng thức khơng cịn tam giác cho khơng có đặc thù "nhọn" Chương Bất đẳng thức lượng giác tam giác khác Đây nội dung Luận văn Chương đưa bất đẳng thức lượng giác tam giác vuông, tam giác có a + c ≥ 2b; tam giác có a + c ≥ 3b; tam giác loại tam giác loại hai Cấu trúc chung chương chương gồm hai phần: tốn có lời giải tập đề nghị Đặc biệt chương tác giả trình bày tốn phụ trợ gồm 76 hệ thức lượng giác tam giác biểu diễn qua đại lượng p, R, r, cách nhìn khác lượng giác Các bất đẳng thức đưa chương hầu hết sử dụng trực tiếp toán phụ trợ biến đổi tương đương để chứng minh Trong suốt trình học tập hoàn thành luận văn này, tác giả nhận hướng dẫn, giúp đỡ quý báu từ thầy cô, anh chị bạn Với lịng kính trọng biết ơn sâu sắc, tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn PGS.TS Phan Huy Khải, người thầy kính mến hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, động viên hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy hội đồng chấm luận văn cho tác giả đóng góp quý báu để luận văn hoàn thiện Hà Nội, 2013 MỘT SỐ KÍ HIỆU ABC Tam giác ABC A, B, C Các đỉnh tam giác hay số đo góc tam giác ABC a, b, c Độ dài cạnh đối diện góc A,B,C , hb , hc Độ dài đường cao xuất phát từ A,B,C la , lb , lc Độ dài đường phân giác xuất phát từ A,B,C ma , mb , mc Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A,B,C p Nửa chu vi tam giác ABC R Độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC r Độ dài bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC , rb , rc Độ dài bán kính đường trịn bàng tiếp góc A,B,C S Diện tích tam giác ABC đ.p.c.m Điều phải chứng minh Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 1.1.1 Các bất đẳng thức Bất đẳng thức AM – GM Giả sử a1 , a2 , , an số khơng âm Khi √ a1 + a2 + + an ≥ n a1 a2 an n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = = an 1.1.2 Bất đẳng thức BCS Với hai số (a1 ; a2 ; ; an ) (b1 ; b2 ; ; bn ) ta ln có (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 ≤ a1 + a2 + + an Dấu đẳng thức xảy 1.1.3 b1 + b2 + + bn a1 a1 a1 = = = b1 b1 b1 Bất đẳng thức Jensen Hàm số y = f (x) liên tục đoạn [a, b] n điểm x1 , x2 , , xn tùy ý đoạn [a, b] Khi i Nếu f (x) > khoảng (a, b) f (x1 ) + f (x2 ) + + f (xn ) ≥ n.f x1 + x2 + + xn n ii Nếu f (x) < khoảng (a, b) f (x1 ) + f (x2 ) + + f (xn ) ≤ n.f x1 + x2 + + xn n Dấu xảy x1 = x2 = = xn 1.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev Với hai dãy số thực đơn điệu chiều a1 ; a2 ; ; an b1 ; b2 ; ; bn ta có (a1 b1 + a2 b2 + + an bn ) ≥ (a1 + a2 + + an ) (b1 + b2 + + bn ) n Nếu hai dãy a1 ; a2 ; ; an b1 ; b2 ; ; bn đơn điệu ngược chiều bất đẳng thức đổi chiều Dấu xảy a1 = a2 = = an b1 = b2 = = bn 1.2 1.2.1 Các kiến thức lượng giác Hệ thức lượng tam giác Định lí hàm số sin a b c = = = 2R sin A sin B sin C Định lí hàm số cosin a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = c2 + a2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C Định lí hàm số tan A−B a−b = A+B a+b tan B−C tan b−c = B+C b+c tan C −A tan c−a = C +A c+a tan tan Cơng thức tính diện tích tam giác 1 S = a.ha = b.hb = c.hc 2 1 = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 abc = = pr 4R = (p − a) = (p − b) rb = (p − c) rc = p (p − a) (p − b) (p − c) Cơng thức tính bán kính Bán kính đường tròn ngoại tiếp R= a b c abc = = = sin A sin B sin C 4S Bán kính đường trịn nội tiếp A B C = (p − b) tan = (p − c) tan 2 S A B C = = 4R sin sin sin p 2 r = (p − a) tan Bán kính đường trịn bàng tiếp = p tan A S = p−a rb = p tan B S = p−b rc = p tan C S = p−c Công thức trung tuyến ma = b + c a2 − a2 + c b − a2 + b c = − mb = mc Công thức phân giác la = 2bc A cos b+c 2ac B cos a+c 2ab C lc = cos a+b lb = Cơng thức hình chiếu a = b cos C + c cos B = r cot B C + cot 2 b = a cos C + c cos A = r cot A C + cot 2 c = a cos B + b cos A = r cot A B + cot 2 Một số công thức khác Về cạnh góc 0 0; cot A (1) A > nên + cos A − cos A ⇔ p (1 − cos A) = (1 + cos A)[2R(1 − cos A) + r]2 (1) ⇔ p = 2R (1 − cos A)(1 + cos A) + r ⇔ p2 − p2 cos A = (1 + cos A)(4R2 cos2 A − 4R2 cos A + 4R2 + r2 + 4Rr − 4Rr cos A) ⇔ 4R2 cos3 A − 4R(R + r) cos2 A + (p2 + r2 − 4R2 ) cos A + (2R + r)2 − p2 = Từ (1) suy cos A nghiệm phương tình bậc ba 4R2 x3 − 4R(R + r)x2 + p2 + r2 − 4R2 x + (2R + r)2 − p2 = 74 Tương tự, cos B; cos C thỏa mãn phương trình Đó đ.p.c.m Bổ đề 1 , , nghiệm phương trình bậc ba cos A cos B cos C [p2 − (2R + r)2 ]x3 − (p2 + r2 − 4R2 )x2 + 4R(r + R)x − 4R2 = Giải Chứng minh tương tự bổ đề cách thay biến x = áp dụng bổ đề t ta đ.p.c.m Bổ đề sin2 A B C ; sin2 ; sin2 nghiệm phương trình bậc ba 2 16R2 x3 − 8R(2R − r)x2 + (p2 + r2 − 8Rr)x − r2 = Giải Đặt x = 1−t , 16R2 x3 − 8R(2R − r)x2 + (p2 + r2 − 8Rr)x − r2 = (1 − t) (1 − t)2 1−t ⇔ 16R − 8R(2R − r) + (p2 + r2 − 8Rr) − r2 = ⇔ 4R2 (1 − t)3 − 4R(2R − r)(1 − t)2 + (p2 + r2 − 8Rr)(1 − t) − 2r2 = ⇔ 4R2 t3 − 4R(R + r)t2 + (p2 + r2 − 4R2 )t + (2R + r)2 − p2 = (1) Theo bổ đề cos A, cos B, cos C nghiệm (1) Do đó, − cos A − cos B − cos C , , nghiệm phương trình bậc ba 2 16R2 x3 − 8R(2R − r)x2 + (p2 + r2 − 8Rr)x − r2 = Nghĩa sin2 A B C ; sin2 ; sin2 nghiệm phương trình bậc ba 2 16R2 x3 − 8R(2R − r)x2 + (p2 + r2 − 8Rr)x − r2 = Đó đ.p.c.m Bổ đề , ; A B C sin sin2 sin2 2 nghiệm phương trình bậc ba r2 x3 − (p2 + r2 − 8Rr)x2 + 8R(2R − r)x − 16R2 = t Giải Đặt x = , r2 x3 − (p2 + r2 − 8Rr)x2 + 8R(2R − r)x − 16R2 = p2 + r2 − 8Rr r3 8R(2R − r) + − 16R2 = ⇔ − t t t ⇔ 16R2 t3 − 8R(2R + r)t2 + (p2 + r2 − 8Rr)t − r2 = 75 (1) Theo bổ đề sin2 B C A , sin2 , sin2 nghiệm (1) Do đó, 2 sin2 , ; A B C sin2 sin2 2 nghiệm phương trình bậc ba r2 x3 − (p2 + r2 − 8Rr)x2 + 8R(2R − r)x − 16R2 = Đó đ.p.c.m Bổ đề cos2 A B C ; cos2 ; cos2 nghiệm phương trình bậc ba 2 16R2 x3 − 8R(4R + r)x2 + [p2 + (4R + r)2 ]x − p2 = Giải Chứng minh tương tự bổ đề cách thay biến x = 1+t áp dụng bổ đề ta đ.p.c.m Bổ đề 1 , ; nghiệm phương trình bậc ba A B C cos2 cos2 cos2 2 p2 x3 − [p2 + (4R + r)2 ]x2 + 8R(4R + r)x − 16R2 = Giải Chứng minh phép đổi biến x = áp dụng bổ đề t Bổ đề 10 cot A, cot B, cot C nghiệm phương trình bậc ba 2prx3 − (p2 − r2 − 4Rr)x2 + 2prx + (2R + r)2 − p2 = Giải Ta có a + (p − a) = p A =p 2R r ⇔ + + r cot A = p + cot2 A sin A 2R + r + cot2 A = p − r cot A ⇔ + cot A ⇔ [2R + r(1 + cot2 A)]2 = (1 + cot2 A)(p − r cot A)2 ⇔ 2R sin A + r cot ⇔ (2R + r + r cot2 A)2 = (1 + cot2 A)(p2 − 2pr cot A + r2 cot2 A) ⇔ 2pr cot3 A − (p2 − r2 − 4Rr) cot2 A + 2pr cot A + (2R + r)2 − p2 = Từ (1) suy cot A nghiệm phương trình 2prx3 − (p2 − r2 − 4Rr)x2 + 2prx + (2R + r)2 − p2 = Lý luận tương tự, cot B; cot C nghiệm phương trình 2prx3 − (p2 − r2 − 4Rr)x2 + 2prx + (2R + r)2 − p2 = 76 (1) Đó đ.p.c.m Bổ đề 11 tan A, tan B, tan C nghiệm phương trình bậc ba [p2 − (2R + r)2 ]x3 − 2prx2 + (p2 − 4Rr − r2 )x − 2pr = t Giải Đặt x = , [p2 − (2R + r)2 ]x3 − 2prx2 + (p2 − 4Rr − r2 )x − 2pr = p2 − (2R + r)2 2pr (p2 − 4Rr − r2 ) − 2pr = − + t3 t t ⇔ 2prt3 − (p2 − r2 − 4Rr)t2 + 2prt + (2R + r)2 − p2 = ⇔ (1) Theo bổ đề 10 cot A, cot B, cot C nghiệm phương trình (1) Điều có nghĩa tan A, tan B, tan C nghiệm phương trình bậc ba [p2 − (2R + r)2 ]x3 − 2prx2 + (p2 − 4Rr − r2 )x − 2pr = Bổ đề 12 tan A B C , tan , tan nghiệm phương trình bậc ba 2 px3 − (4R + r)x2 + px − r = Giải Ta có a + (p − a) = p ⇔ 2R sin A + r cot A =p A + r =p ⇔ A A + tan2 tan 2 A A A A ⇔ 4R tan2 + r + r tan2 = p tan + p tan3 2 2 A A A − (4R + r) tan + p tan − r = ⇔ p tan 2 4R tan Từ (1) suy tan A nghiệm phương trình px3 − (4R + r)x2 + px − r = Lập luận tương tự, tan B C ; tan nghiệm phương trình 2 px3 − (4R + r)x2 + px − r = Bổ đề 13 cot A B C , cot , cot nghiệm phương trình bậc ba 2 rx3 − px2 + (4R + r)x − p = 77 (1) Giải Đặt x = t rx3 − px2 + (4R + r)x − p = r p 4R + r −p=0 ⇔ 3− 2+ t t t ⇔ pt3 − (4R + r)t2 + pt − r = Theo bổ đề 12 tan cot (1) A B C , tan , tan nghiệm phương trình (1) Do 2 A B C , cot , cot nghiệm phương trình bậc ba 2 rx3 − px2 + (4R + r)x − p = Bổ đề 14 ; rb ; rc nghiệm phương trình bậc ba x3 − (4R + r)x2 + p2 x − p2 r = Giải Dùng phép thay biến x = pt ta có x3 − (4R + r)x2 + p2 x − p2 r = ⇔ p3 t3 − (4R + r)p2 t2 + p3 t − p2 r = ⇔ pt3 − (4R + r)t2 + pt − r = Theo bổ đề 12 tan p tan (1) A B C , tan , tan nghiệm phương trình (1) Do 2 A B C , p tan , p tan nghiệm phương trình bậc ba 2 x3 − (4R + r)x2 + p2 x − p2 r = B C A ; b = p tan ; c = p tan , từ suy đ.p.c.m 2 1 Bổ đề 15 ; ; nghiệm phương trình bậc ba rb rc Vì = p tan p2 rx3 − p2 x2 + (4R + r)x − = Giải Chứng minh cách đặt x = áp dụng bổ đề 14 ta đ.p.c.m t Bổ đề 16 ; hb ; hc nghiệm phương trình bậc ba 2Rx3 − (p2 + r2 + 4Rr)x2 + 4p2 rx − 4p2 r2 = Giải Đặt x = 2pr ta có t 2Rx3 − (p2 + r2 + 4Rr)x2 + 4p2 rx − 4p2 r2 = 2R(2pr)3 (2pr)2 2pr 2 − (p + r + 4Rr) + 4p2 r − 4p2 r2 = t t t ⇔ p2 r2 t3 − 2p3 r2 t2 + p2 r2 (p2 + r2 + 4Rr)t − 4Rp3 r3 = ⇔ ⇔ t3 − 2pt2 + (p2 + r2 + 4Rr)t − 4Rrp = 78 (1) Theo bổ đề a, b, c nghiệm phương trình (1) Do 2pr 2pr 2pr ; ; a b c nghiệm phương trình bậc ba 2Rx3 − (p2 + r2 + 4Rr)x2 + 4p2 rx − 4p2 r2 = 2pr 2pr 2pr ; hb = ; hc = nên suy đ.p.c.m a b c 1 Bổ đề 17 ; ; nghiệm phương trình bậc ba hb hc Vì = 4p2 r2 x3 − 4p2 rx2 + (p2 + r2 + 4Rr)x − 2R = Giải Chứng minh cách đặt x = áp dụng bổ đề 16 ta đ.p.c.m t Bổ đề 18 p − a; p − b; p − c nghiệm phương trình bậc ba x3 − px2 + r(4R + r)x − pr2 = (1) Giải Thay x = p − (p − x) vào phương trình bổ đề ta x3 − 2px2 + p2 + r2 + 4Rr x − 4pRr = (2) ⇔(p − x)3 − p(p − x)2 + r(r + 4R)(p − t) − pr2 = Vì a, b, c nghiệm (2) nên (p − a); (p − b); (p − c) nghiệm (1) Áp dụng định lí Viet phương trình với ý x21 + x22 + x23 = (x1 + x2 + x3 )2 − 2(x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x41 + x42 + x43 = (x21 + x22 + x23 )2 − 2[(x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 )2 − 2x1 x2 x3 (x1 + x2 + x3 )] x31 + x32 + x33 = (x1 + x2 + x3 )3 − 3(x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 )(x1 + x2 + x3 ) (x1 + x2 )(x2 + x3 )(x3 + x1 ) = (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 )(x1 + x2 + x3 ) − x1 x2 x3 (x1 + x2 + x3 )(x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x1 + x2 x2 + x3 x3 + x1 + + = − x3 x1 x2 x1 x2 x3 Nhận xét Bài toán phụ trợ trình bày quán sau Vế phải biểu thức biểu thức ba đại lượng p, r, R Cách chứng minh biểu thức dựa định lí Viet phương trình bậc ba (tuy nhiên phải kết hợp với bổ đề thích hợp phép biến đổi sơ cấp lượng giác) 79 Kết luận Luận văn "Các toán bất đẳng thức lượng giác tam giác" đạt số kết sau: Nhắc lại số kiến thức lượng giác số bất đẳng thức kinh điển Đưa tốn có lời giải bất đẳng thức lượng giác tam giác vuông, tam giác nhọn, tam giác thường số tam giác đặc biệt như: tam giác có a + c ≥ 2b, tam giác có b + c ≥ 3a, tam giác loại tam giác loại hai Ở cuối chương tác giả đưa hệ thống tập đề nghị Các toán bất đẳng thức lượng giác luận văn biểu thị qua đại lượng R, r, p Đây cách nhìn khác lượng giác Một số tốn bất đẳng thức lượng giác luận văn đưa toán nhận dạng tam giác tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức lượng giác Các toán đưa luận văn bất đẳng thức có tính đối xứng yếu tố tam giác Trong thời gian tới, tác giả mong muốn nghiên cứu bất đẳng thức đối xứng phận bất đẳng thức không đối xứng tam giác Tuy nhiên, thời gian kiến thức hạn chế, cách tiếp cận thiếu khoa học nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận quan tâm, góp ý từ thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 80 Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Hạo (2001), Lượng giác, NXB Giáo Dục Việt Nam [2] Võ Đại Mau (2003), Phương pháp giải toán Lượng giác, NXB Trẻ [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức - Định lí áp dụng, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc Lượng giác áp dụng, NXB Giáo Dục [5] Phan Hoàng Ngân (1996), 450 toán Lượng giác, NXB Đồng Nai [6] Phạm Tấn Phước (1999), Các chuyên đề Lượng giác, NXB TP Hồ Chí Minh [7] Trần Phương (2012), Những viên kim cương bất đẳng thức, NXB Tri thức [8] Tạ Duy Phượng (2006), Phương trình bậc ba hệ thức tam giác, NXB Giáo Dục [9] Nguyễn Thượng Võ (1998), Tuyển tập 300 toán hệ thức lượng tam giác, NXB Trẻ [10] Tài liệu từ Internet 81 ... Chú ý Các bất đẳng thức 3, 7, 11 tam giác nhọn Chương BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 2.1 Bất đẳng thức lượng giác tam giác nhọn Trong phần xét bất đẳng thức lượng giác tam giác. .. Chương BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC TAM GIÁC KHÁC Trong phần ta xét bất đẳng thức lượng giác tam giác đặc biệt tam giác a + c ≥ 2b; tam giác b + c ≥ 3a; tam giác loại tam giác loại hai Bài. .. thức lượng giác tam giác BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 10 2.1 Bất đẳng thức lượng giác tam giác nhọn 10 2.2 Bất đẳng thức lượng giác