Bài toán thác triển và bài toán cousin đối với hàm chính quy nhận giá trị trong đại số quaternion và đại số clifford

MUC LUC Trang Mị dau Chircmg Bài tồn thàc trién doi vai nghiem cùa he phirang trình dao hàm riéng tuyén tinh càp mot LL Bài toàn thàc trien doi vai nghiem cùa he phuang trình dao hàm riéng tuyén tinh càp mot, he so hàng va càc ù'ng dung cùa nị L2 Bài tồn thàc trién doi vai nghiem cùa he phuang trình dao hàm riéng vai he so hàm Chircmg Bài toàn thàc trien va toàn Cousin doi vai hàm chinh quy nhan già tri dai so Quaternion 2.0 Mot so khài niem va ti'nh chat ca bàn ve dai so Quaternion 2.1 Bài tồn thàc trién doi vói hàm chinh quy 2.2 Bài tồn kiéu Cousin doi vói hàm chinh quy phu thc diéu hịa vào tham so 2.3 Bài tồn kiéu Cousin doi vói hàm song chinh quy 11 11 39 52 52 56 65 76 C h u a n g Bài toàn thàc trién va toàn Cousin doi vói hàm chinh quy nhan già tri dai so Clifford 85 3.L Bài tồn thàc trién doi vói hàm da chinh quy 86 3.2 Bài toàn kieu Cousin doi vói hàm chinh quy phu thuóc giài tich thirc vào tham so 101 3.3 Bài toàn kiéu Cousin doi vói hàm chinh quy phu thc chinh hình vào t h a m so 115 K e t luàn Càc bào co lién quaji den luan n 123 124 Tài liéu t h a m khào 126 CAC KY HIEU D U N G T R O N G L U A N A N Rank D - hang cùa ma tran D det D - dinh thuc cùa ma tran D A - toàn Laplace H - dai so Quaternion A - dai so Clifford (thuc) Cm - dai so Clifford (phuc) i?(fì, R) - t a p tàt cà càc hàm nhan già tri thuc, dièu hịa fi 7?-(fì,IHI) - t i p tàt cà càc hàm chinh quy fi, nhan già tri H T^H{^I X Q2Ì U) - tap tàt cà càc hàm chinh quy fii, dièu hòa Q2, nhan già tri H TZHÌ^I X f)2, H) - tap tàt cà càc hàm chinh quy (co ky di) fìi, dièu hịa 0.2-, nhan già tri H 7?,s(fi, H) - tap tàt cà càc hàm song chinh quy fi, nhan già tri H Co°(fi,IHI) - tap tàt cà càc hàm thuoc lóp C°° co già tri compact fi, nhan già tri H ujm+i - dien tich mat càu don vi S'^ khòng gian ]R"^~^-^ 7^^(fii X fi2, vA) - tap tàt cà càc hàm chinh quy fii, giài tich thuc fi2, nhan già tri A TZA{^I X fi2, ^ ) - tap tàt cà càc hàm chmh quy (co ky di) fii, giài tich thuc fi2, nhan già tri A 7^-^(fii X fi2, C) - tap tàt cà càc hàm chinh quy fii, chinh hình fi2, nhan già tri phùc 7è>^(fii X 0.2^^) - tap tàt cà càc hàm chinh quy (co ky di) fi^, chinh hình fi2, nhàn già tri phùc 7^(fi, C) t a p tàt cà càc hàm chinh hình fi >l(fi, R) - t a p tàt cà càc hàm nhan già thuc, giài tich t h y c fi Dq, - càc dang vi phàn dai so Quaternion dau, du - càc dang vi phàn dai so Clifford A (hoac C ^ ) MODÀU Tu hai thàp ky gàn day, viéc nghién cuoi tồn tu Cauchy- Riemann suy róng va tồn tu Dirac dà tra thành de tài trung tàm cùa nhiéu ngành toàn hoc hien dai Mot mat, nhiéu toàn toàn cuc duoc nghién culi co lién quan chat che vói càc tinh chat cùa hai tồn tu trén càc da tap Mat khàc, viéc nghién cuu càc tình chat dia phuang cùa nghiem cùa toàn tu Cauchy - Riemann suy róng va tồn tu Dirac dàn dèh mot vàn de mói me ly thuyét hàm giài tich Qifford ([6]-[10], [13]-[15]) Giài tich Qifford su ma róng cùa giài tich phùc cho lóp hàm nhan già tri mot dai so' két bop, khóng giao hồn, bao hàm nhùng dai so' quan trong ùng dung cùa vàt ly ly thuyét, ly thuyét hat ca bàn va ly thuyét truòng luang tu nhu: Dai so Quartemion, Dai so' Dirac, Dai so Pauli, Nhùng két qua cùa F Brackx, R Delanghe, R Gilbert, B Goldschmidt, V P Palamodov, D Partici, W Pincket, G B Rizza, J Ryan, F Sommen, Le Hung Son, D C Struppa, cho thày nhiéu tinh chat quan cùa hàm chinh hình mot va nhiéu bién phùc, nhu hàm giài tich suy róng (theo nghia I N Vekua) dà duac ma róng cho càc hàm chinh quy va chinh quy suy róng, nhan già tri mot dai so Qifford Y nghla to lón cùa huóng nghién cuu ma róng pham vi ùng dung cùa giài tich phùc cho mot lóp róng han càc he phuang trình dao hàm riéng, bao góm nhùng he phuang trình quan nhà't vàt ly ly thuyét, ca hoc luang tu, ly thuyét truòng va ùng dung ky thuat nhu : he Maxwell, he Riesze, he phuang trình biéu dién Sohton, he biéu dién càc truòng Gauge va Yang ~ Mills, ly thuyét chuyén pha va khào sàt phàn bó cùa nhùng hat Quard (hat siéu vàt chat) Nò ma nhùng phuang phàp mói giùp cho viéc giài càc tồn bién cùa he phuang trình dao hàm riéng nhiéu bién vị'n trc day gap nhiéu khó khan nhu tồn bién cùa hàm chinh hình nhiéu bién phùc tra nén de dàng hon Tuy nhién, viéc nghién cùu ly thuyét hàm nhàn già tri mot dai so aifford co nhùng han che tinh chat qua tóng qt cùa nị Trong mot so nàm gàn day, nhiéu nhà toàn hoc nhu R Delanghe, Gentili, D Penici, F Sommen, Le Hung Son, V Soucek, A Sudbery, dà bàt dàu xày dung ly thuyét hàm nhàn già tri mot dai so hep han dai so' Qifford nhung dù ma róng cho càc dai so' quan nhu dai so' Quaternion, dai so' Pauli va dac biét su ma róng cùa càc nhóm quay va nhóm Spin, thng gap càc ùng dung vat ly va ky thuat Dị nói dung ca bàn cùa hng nghién cùu mang tén "Hình hoc va giài tich Spinor" Day huóng nghién cùu mói dai, ké thùa nhùng dó'i tuong va phuang phàp cùa nhiéu llnh vuc nghién cùu quan khàc cùa toàn hoc hién dai nhu giài tich phùc mot va nhiéu bién, giài tich diéu hoà, giài tich Oifford, ly thuyét dóng diéu, hình hoc Yang - Mills, Ly thut hàm trén truòng Quaternion duac nghién cùu dàu tién boi Hamilton ([29]) vào cuòi théky 19 Bàn thàn Hamilton va nhùng ngi kétuc chinh cùa óng Tait ([71]) va Jolly ([33]) chi phàt trién ly thuyét hàm mot bién Quaternion bang càc phuang phàp chung cùa ly thuyét hàm so Nàm 1935, R Fueter ([19]-[22]) dà dua khài niem hàm chinh quy, nghiem cùa he phuang trình tuong tu he Cauchy - Riemann Ịng chi ràng, hàm chinh quy co nhùng tinh chat tuang tu hàm chinh hình nhu dinh ly Cauchy, cóng thùc tich phàn Cauchy, su khai trién Laurent, dinh ly nhà't Mi hai nàm sau, Fueter va càc cóng su dà phàt trién càc két qua trén va xày dung ly thuyét giài tich Quaternion va dà dat duac nhiéu két qua sau sàc Tuy nhién, co mot so' diém khóng tron ven ly thuyét Nhiéu dinh ly nói trén hoac khịng tóng qt, hoac khóng dugc chùng minh chat che nhu càc chn mire thóng thng ve su trình bay ma giài tich phùc dịi hịi Nhùng nàm gàn day, giài tich Quaternion dà co nhùng buóc phàt trién mói nhị càc cóng trình nghién cùu cùa W W Adams, C A Berenstein, P Loustaunau, I Sabadini, D C Struppa ([l]-[2]), S Adler ([4]), Deavours ([16]), V R Palamodov ([42]), D Penici ([43]), Salamon ([50]-[51]), Le Hùng San ([57]) A Sudber\' ([68]), Nàm 1978, A Sudbery dà bó sung mot so' két qua mói ve hàm chinh quy mot bién Quatemion dugc dinh nghia bòi R Fueter Su dung phép tinh vi phàn ngoài, A.Sudbery dà dua nhùng càch chùng mmh mói va don giàn cho hàu hét càc dinh ly co bàn va co thè xàc dinh dugc rị ràng mói quan he giùa giài tich Quatemion va giài tich phùc Gàn day, D Pertici ([43]) dà nghién cùu ly thuyét hàm chinh quy nhiéu bién Quatemion va khài quàt mot so dinh ly tu giài tich phùc nhiéu bién cho lóp hàm nhu cóng thùc Bochner - Matinelli, dinh ly thàc trién kiéu Hartogs, Mot dang dac biét cùa hàm chinh quy nhan già tri dai so Qifford hàm song chinh quy dugc nghién cùu boi F Brackx, W Pincket va Le Hùng San Trong ([55]), Le Hùng San dà dua khài niem hàm da chinh quy Dị su tóng qt cùa hàm chinh quy khóng gian nhiéu chiéu Ben canh dị, khài niém hàm song chinh quy suy róng dugc xét ([55]) Mot so két qua quan cùa lóp hàm nhu cóng thùc tich phàn Cauchy, dinh ly nhàt, nguyèn ly modul cuc dai, dinh ly thàc trién kiéu Hartogs, dà dugc chùng minh ([55]) Mot nhùng vàn de quan cùa huóng nghién cùu tồn thàc trién va tồn Cousin dó'i vói càc lóp hàm nói trén Càc két qua chù u dugc the hién càc cóng trình cùa Le Hùng San ([54]-[67]) Mot huóng nghién cùu khàc ma róng tồn tu Cauchy-Riemann dà dugc mot so tàc già quan tàm Nàm 1986 Dang Vàn Khài xét toàn tu dò £; = ± 1, càc vecta e^ thòa man diéu kién Uén hgp e-A^^A, + eA^eA, = 2^ij-eo, i,j = L ,/c va nhàn dugc két qua: mgi hình chinh quy theo nghia Tf-0 co nhùng tinh chat tuong tu nhu hàm chinh quy theo nghia cùa R Delanghe ([9]) hay cùa F Sommen ([53]) Nàm 1994, Tran Quyé't Thàng dà xét phuang trình dang dị D^ tồn tu Cauchy-Riemann, J:^-> ^ tồn tu mn tinh va dà ma róng mot so két qua cùa ly thuyét L N Vekua ve hàm giài tich suy róng mot bién phùc cho lóp nghiem cùa phuang trình nói trén Ngồi ra, tàc già dà chùng minh dugc dinh ly thàc trién kiéu Hartogs truòng hgp W{x, t) hàm chinh quy phài theo tham so' t va giài toàn kiéu Cousin cho lóp hàm nói trén Tiép theo, nàm 1996, Nguyèn Cành Luang dà chi diéu kién càn va dù de tón tai he vecta thồ man diéu kién lién hgp cùa toàn tu Tlà k (3.21) day càn phài su dung ky tht hồn tồn mói viéc chùng minh càc bó de, dinh ly co quan, tu dò thu dugc dinh ly kiéu Hartogs Muc nghién cùu tồn kiéu Cousin dó'i vói hàm chinh quy phu thuóc giài tich thuc vào tham so De phuc vu cho muc dich này, phài chùng minh dinh ly kiéu Runge dó'i vói hàm chinh quy phu thuóc giài tich thuc vào tham so Vi vay, càn xày dung càc hàm xà'p xì ma dinh ly Runge dịi hịi Càch làm a day hồn tồn khàc vói ky thuat dà su dung Chuang Bài toàn kiéu Cousin dó'i vói hàm chinh quy phu thuóc chinh hình vào tham so, nhan già tri dai so Cliffford phùc dugc xét Muc 3.3 Chù y ràng, khài niém hàm chinh quy dugc nói dén a day hiéu theo nghia cùa F Sommen, gàn lién vói tồn tu Dirac, khịng hồn tồn gióng nhu khài niém hàm chinh quy theo nghia cùa R Delanghe, nghiem cùa tồn tu Cauchy - Riemann 10 Phàn ci Chuang giói thiéu hai tồn ma dai so Quatemion va dai so Qifford Càc kél qua chinh cùa luàn àn dà dugc dang va nhàn dàng [1-5] va dà dugc bào cao tai càc hgi nghi khoa hoc va càc xemina sau: - Hói nghi quoc té thù "Finite or infinite dimensionai complex analysis and apphcations"tai Nhàt Bàn, 8-1999 PGS TSKH Le Hùng San trình bay - Hịi nghi qc té thù "Finite or infinite dimensionai complex analysis and applications" tai Ha Nói, 8-2001 - Hói nghi phuang trình dao hàm riéng va ùng dung, Vién Tồn hoc, 12-1999 - Hịi nghi vàt ly ly thut tồn qc thù 24, - 1999 - Hịi nghi vat ly ly thut tồn quóc thù 26, - 2001 - Xemina phuang trình dao hàm riéng lién trng Dai hoc Bach khoa Ha Nói va Dai hoc Khoa hoc Tu nhién - Xemina giài tich - dai so Khoa Toàn - Ca - Tin hoc, Dai hoc Khoa hoc Tu nhién, Dai hoc Qc già Ha Nói - Hịi nghi khoa hoc ky niém 50 nàm thành lap Dai hoc Su pham Ha Nói 1,9-2001 - Hói nghi khoa hoc ky niém 45 nàm thành làp Dai hoc Bach khoa Ha Nói - Hịi nghi ùng dung tồn hoc tồn qc thù nhàt, 12-1999 118 (3.83) Dàt ^(z) = ^ / X ' ( z ) e A vói/X^(2) chinh hình Q2 {() Theo dinh ly Runge doi vói hàm chinh hình ([49]), ton tai hàm Q]^ € l f ( C " X ) cho •{() W r;'{z)-Q^;'{z K, < (3.84) 2^"+! 2(+^\\Pe{x)\\K, ,(^) Ky hiéu Qe{z) = E Q À e^- Tù (3.83), (3.84) suy \\fe{^)-Qe{z)\\K, = \\j2ifA^^^^-QAH^)yA K2 m