các bài toán về bất đẳng thức có đáp án trong kỳ thi toán olympic

I. TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN.Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của k sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực a, b, c, d∑cycq(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ 2(ab + bc + cd + da + ac + bd) − k.Iran Team Selection Test 2011Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng√3(√a +√b +√c) ≤a√abc +b√bca+c√cab .Iran Team Selection Test 2012Bài 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và a ≥ b ≥ c. Chứng minh rằngqa(a + b −√ab) + qb(a + c −√ac) + qc(b + c −√bc) ≥ a + b + c.Iran Team Selection Test 2013Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng1a2 +1b2 +1c2 +1(a + b + c)2 ≥725 1a+1b+1c+1a + b + c2.Iran National Math Olympiad (3rd Round) 2010Bài 5. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng

Trang 1

BẤT ĐẲNG THỨC

TRONG KÌ THI OLYMPIC CÁC NƯỚC VÀ KHU VỰC

NGUYỄN VĂN QUÝ

SV khoa Toán, trường ĐHKHTN Hà Nội

Hà Nội - 2014

Trang 2

I TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN.

Bài 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của k sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực a, b, c, d

∑

cyc

q

(a2+1)(b2+1)(c2+1) ≥2(ab+bc+cd+da+ac+bd) −k

Iran Team Selection Test 2011

Bài 2 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=1 Chứng minh rằng

√

3(√

a+√

b+√

c) ≤ a√a

bc +

b√b

ca +

c√c

ab . Iran Team Selection Test 2012

Bài 3 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và a≥b ≥c Chứng minh rằng

q

a(a+b−√ab) +

q

b(a+c−√ac) +

q

c(b+c−√bc) ≥ a+b+c

Bài 4 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

1

a2 + 1

b2 + 1

(a+b+c)2 ≥ 7

25

1

a +

1

b +

1

c +

1

a+b+c

2

Iran National Math Olympiad (3rd Round) 2010

Bài 5 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1 Chứng minh rằng

3−√3+x2

y +

y2

z +

z2

x ≥ (x+y+z)

2 Iran National Math Olympiad (3rd Round) 2010

Bài 6 Cho các số thực không âm x, y, z, t thỏa mãn

|x−y| + |y−z| + |z−t| + |t−x| = 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=x2+y2+z2+t2 Iran National Math Olympiad (3rd Round) 2011

Bài 7 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c =3 Chứng minh rằng

a

1+ (b+c)2 + b

1+ (c+a)2 + c

1+ (a+b)2 ≤ 3(a

2+b2+c2)

a2+b2+c2+12abc.

Trang 3

Iran National Math Olympiad (3rd Round) 2011

Bài 8 Cho số nguyên n≥2 Tìm hằng số Cn lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm a1, a2, , an

a21+a22+ · · · +a2n

a1+a2+ · · · +an

n

2

+Cn(a1−an)2 Middle European Mathematical Olympiad 2010

Bài 9 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a

1+a +

b

1+b +

c

1+c = 2 Chứng minh

a+√

b+√

c

1

√

a +

1

√

b +

1

√

c. Middle European Mathematical Olympiad 2011

Bài 10 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng

p

9+16a2+p9+16b2+p9+16c2≥3+4(a+b+c)

Middle European Mathematical Olympiad 2012

Bài 11 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1 Chứng minh rằng

1

a5(b+2c)2 + 1

b5(c+2a)2 + 1

c5(a+2b)2 ≥ 1

3. USA Team Selection Test 2010

Bài 12 Cho tam giác ABC có ha, hb, hc theo thứ tự là độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C Giả sử P là một điểm bất kì nằm trong tam giác Chứng minh rằng

PA

hb+hc

+ PB

hc+ha

+ PC

ha+hb

≥1

USA Team Selection Test 2010

Bài 13 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c =√7

a+√7

b+√7

c Chứng minh

rằng

aabbcc ≥1

USA ELMO 2013

Bài 14 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

(a−b)(a−c)

2a2+ (b+c)2 +(b−c)(b−a)

2b2+ (c+a)2 + (c−a)(c−b)

2c2+ (a+b)2 ≥0

Trang 4

USA ELMO Shortlist 2010

s

a4+2b2c2

a2+2bc +

s

b4+2c2a2

b2+2ca +

s

c4+2a2b2

c2+2ab ≥a+b+c.

Bài 16 Cho số nguyên n ≥ 2 Tìm hằng số c = c(n) lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm a1, a2, , anthỏa mãn a1+a2+ · · · +an =n :

1

n+ca21 +

1

n+ca22 + · · · +

1

n+ca2 ≤ n

n+c. USA ELMO Shortlist 2011

Bài 17 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx =1 Với k =2+√

3, chứng

minh rằng

∑

cyc

q

(xy+kx+ky)(xz+kx+kz) ≥k2

Bài 18 Cho các số thực x1, x2, x3, y1, y2, y3khác 0 thỏa mãn

x1+x2+x3=y1+y2+y3 =0

Chứng minh rằng

x1x2+y1y2

q

(x21+y21)(x22+y22)

+ x2x3+y2y3

q

(x22+y22)(x23+y23)

+ x3x1+y3y1

q

(x23+y23)(x21+y21)

≥ −3

2. USA ELMO Shortlist 2011

Bài 19 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a≤ b ≤ c và a+b+c = 1 Chứng minh

rằng

a+c

√

a2+c2 + b+c

√

b2+c2 + a+b

√

a2+b2 ≤ 3

√

6(b+c)2

p

(a2+b2)(b2+c2)(c2+a2)

Bài 20 Cho các số thực không âm a, b, c Chứng minh rằng

(a2+2bc)2012+ (b2+2ca)2012+ (c2+2ab)2012≤ (a2+b2+c2)2012+2(ab+bc+ca)2012

Trang 5

Bài 21 Cho các số thực dương a, b, c đôi một khác nhau và số nguyên k ≥3 Chứng minh

rằng

ak+1(b−c) +bk+1(c−a) +ck+1(a−b)

ak(b−c) +bk(c−a) +ck(a−b)

≥ k+1

3(k−1)(a+b+c),

ak+2(b−c) +bk+2(c−a) +ck+2(a−b)

ak(b−c) +bk(c−a) +ck(a−b)

≥ (k+1)(k+2)

3k(k−1) (a2+b2+c2)

1

a+1b +1+

1

b+1c +1 +

1

c+1a+1 ≥

3

√

abc+ √31

abc +1. USA ELMO Shortlist 2013

Bài 23 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

a2+b2+c2

ab+bc+ca =

ab+bc+ca+1

p

a2+b2+c2 ≤1+|a−b| + |b−c| + |c−a|

1

(3−a)(4−a) +

1

(3−b)(4−b) +

1

(3−c)(4−c) +

ab+bc+ca

5

6. USA ELMO Shortlist 2013

Bài 25 Cho các số thực a, b, c∈ 0, 1 và a+b, b+c, c+a≥1 Chứng minh rằng

1≤ (1−a)2+ (1−b)2+ (1−c)2+ 2√2abc

√

a2+b2+c2

USA TSTST 2011

Bài 26 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn

xyz+xy+yz+zx=x+y+z+1

1 3





s

1+x2

1+x +

s

1+y2

1+y +

s

1+z2

1+z



≤ x+y+z

3

5/8

Trang 6

USA TSTST 2012

∑

cyc

4

r

(a2+b2)(a2−ab+b2)

2

3(a

2+b2+c2)

1

a+b +

1

b+c +

1

c+a

Turkey Team Selection Test 2010

Bài 28 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2+b2+c2≥3 Chứng minh rằng

(a+1)(b+2) (b+1)(b+5) +

(b+1)(c+2) (c+1)(c+5) +

(c+1)(a+2) (a+1)(a+5) ≥ 3

2. Turkey Team Selection Test 2011

Bài 29 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca≤1 Chứng minh rằng

a+b+c+√

3≥8abc

1

a2+1 +

1

b2+1+

1

c2+1

Bài 30 Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn−2≤x, y, z ≤2 và

x2+y2+z2+xyz=4,

tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng

z(xz+yz+y)

xy+y2+z2+1 ≤k.

Bài 31 Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2+b2+c2 =1 Chứng minh rằng

√

a+b+√

a+c+√

b+c≥5abc+2

Bài 32 Cho n số thực dương a1, a2, , anthỏa mãn a1a2· · ·an =1 Chứng minh rằng

n

∑

i = 1

ai

q

a4i +3

≤ 1

2

n

∑

i = 1

1

ai. Turkey National Olympiad Second Round 2011

Bài 33 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng

1

x+y20+z11 + 1

y+z20+x11 + 1

z+x20+y11 ≤1.

Trang 7

Turkey National Olympiad Second Round 2011

Bài 34 Cho các số thực dương x, y, z Chứng minh rằng

x(2x−y)

y(2z+x) +

y(2y−z)

z(2x+y) +

z(2z−x)

x(2y+z) ≥1

Bài 35 Tìm giá trị lớn nhất của M sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương

a, b, c

a3+b3+c3−3abc ≥M(ab2+bc2+ca2−3abc)

Bài 36 Cho hai số thực dương a, b Chứng minh rằng

a2b2(a2+b2−2) ≥ (a+b)(ab−1)

Turkey Junior National Olympiad 2010

Bài 37 Cho hai số thực dương x, y Chứng minh rằng

1≤ (x+y)(x

3+y3) (x2+y2)2 ≤ 9

8. Turkey Junior National Olympiad 2011

Bài 38 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a3+b3+c3 = a4+b4+c4 Chứng minh

rằng

a

a2+b3+c3+ b

b2+a3+c3 + c

c2+a3+b3 ≥1

Bài 39 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn

x+y+z=0, x2+y2+z2=6

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P= |(x−y)(y−z)(z−x)|

1+yz+zx

(1+x+y)2 + 1+zx+xy

(1+y+z)2 + 1+xy+yz

(1+z+x)2 ≥1

Japan Mathematical Olympiad Finals 2010

Trang 8

Bài 41 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca≤3abc Chứng minh rằng

s

a2+b2

a+b +

s

b2+c2

b+c +

s

c2+a2

c+a +3 ≤

√

2(√

a+b+√

b+c+√

c+a) India International Mathematical Olympiad Training Camp 2010

Bài 42 Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn

a+b+c+d=6, a2+b2+c2+d2=12

36≤4(a3+b3+c3+d3) − (a4+b4+c4+d4) ≤48

IMO Shortlist 2010, India International Mathematical Olympiad Training Camp 2011

Bài 43 Cho tam giác nhọn ABC có r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại

tiếp Gọi AD, BE, CF là các đường phân giác trong Chứng minh rằng

EF

BC +

FD

CA +

DE

AB ≥1+

r

R. India International Mathematical Olympiad Training Camp 2012

Bài 44 Cho số nguyên n≥2 và các số thực a1, a2, , an thỏa mãn

a21+a22+ · · · +a2n =n

∑

1≤i<j≤n

1

n−aiaj

≤ n

2. Asian Pacific Mathematical Olympiad 2012

Bài 45 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x+y+z =0 Chứng minh rằng

x(x+2)

2x2+1 +

y(y+2)

2y2+1 +

z(z+2)

2z2+1 ≥0.

Romania Team Selection Test 2011

Bài 46 Cho số nguyên n≥2 và các số thực dương x1, x2, , xn thỏa mãn

n

∑

i=1

1

xi+1 =1.

Chứng minh rằng với k >1, ta có

n

∑

i=1

1

xki +1 ≥

n

(n−1)k+1.

Trang 9

Bài 47 Cho số nguyên dương k và các số thực dương a, b, c thỏa mãn

a+b+c =3k

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P =a3k−1b+b3k−1c+c3k−1a+k2akbkck

Bài 48 Cho các số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn

ab+bc+cd+da+ac+bd=6

1

a2+1+

1

b2+1+

1

c2+1 +

1

d2+1 ≥2.

Brazil Olympic Revenge 2013

3≤ 4a+b

a+4b +

4b+c

b+4c +

4c+a

c+4a <

33

4 . Germany Team Selection Test 2010

Bài 50 Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn abcd=1 Chứng minh rằng

1

a +

1

b +

1

c +

1

d +

9

a+b+c+d ≥

25

4 . China Girls Mathematical Olympiad 2011

Bài 51 Cho các số thực dương x1, x2, , xn+1 thỏa mãn x1x2 xn+1 = 1 Chứng minh

rằng

x1√

n+ x2√

n+ · · · + xn+1√

n≥nn

√

x1 +nn

√

x2+ · · · +n√nxn+1 Iran Team Selection Test 2014

Bài 52 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2 =x2y2+y2z2+z2x2 Chứng

minh rằng

(x−y)(y−z)(z−x)2

≤2

(x2−y2)2+ (y2−z2)2+ (z2−x2)2

Trang 10

Bài 53 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2+y2+z2 =2(xy+yz+zx) Chứng

minh rằng

x+y+z

3

p2xyz

Iran National Math Olympiad (Second Round) 2014

Bài 54 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

p

a2+ab+b2+pb2+bc+c2+pc2+ca+a2 ≤q5(a2+b2+c2) +4(ab+bc+ca)

Tajikistan Team Selection Test 2014

Bài 55 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a2(b+c) +b2(c+a) +c2(a+b) = 0 Chứng

minh rằng

ab+bc+ca ≤0

Israel National Math Olympiad 2011

Bài 56 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có

a5

b5 +b5

c5 + c5

a5 ≥ (a+1)

5

(b+1)5 +(b+1)5

(c+1)5 + (c+1)5

(a+1)5 Israel National Math Olympiad 2011

Bài 57 Cho{a1, a2, , an} ⊂ (0, 1) Chứng minh rằng

a1

1−a1

+ a2

1−a2

+ + an

1−an

a1+a2+ +an

≥2+ 1

n. Israel Winter Camp 2011

Bài 58 Cho các số thực dương x1, x2, , xnthỏa mãn x1+x2+ +xn =n Chứng minh

rằng

x1

x2

+x2

x3

+ +xn

x1

x1x2· ·xn

+n−4

Bài 59 Cho số nguyên n≥2 Tìm giá trị lớn nhất của k sao cho bất đẳng thức

q

x21+x22+ +x2 ≥k·min{|x1−x2|,|x2−x3|, ,|xn−x1|},

đúng với mọi số thực x1, x2, , xn

Trang 11

Bài 60 Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a2+b2+c2+d2 =4 Chứng minh rằng

a

b +

b

c +

c

d+

d

a ≤

2 abcd+2.

Israel Winter Camp 2013

a+b+c= 1

a2 + 1

b2 + 1

c2

2(a+b+c) ≥ p3 7a2b+1+p3 7b2c+1+p3 7c2a+1

Bài 62 Cho các số thực x, y, z, w khác 0 thỏa mãn x+y6= 0, z+w6= 0, và xy+zw≥0.

x+y

z+w+

z+w

x+y

−1

+1

2 ≥

x

z +

z x

−1

+ y

w +

w y

−1

Bài 63 Cho các số thực dương a, b, c, d, e, f thỏa mãn a < b < c < d < e < f Đặt

a+c+e=S và b+d+ f = T Chứng minh rằng

2ST>

q

3(S+T)S(bd+d f + f b) +T(ac+ce+ea)

IMO Shortlist 2010

Bài 64 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn min{a+b, b+c, c+a} > √2 và

a2+b2+c2 =3 Chứng minh rằng

a

(b+c−a)2 + b

(c+a−b)2 + c

(a+b−c)2 ≥ 3

(abc)2 IMO Shortlist 2011

Bài 65 Cho a2, a3, , an là n−1 số thực dương thỏa mãn a2a3· · ·an = 1 Chứng minh

rằng

(1+a2)2(1+a3)3· · · (1+an)n >nn

IMO 2012

Bài 66 Chứng minh rằng với mọi số thực x, bất đẳng thức sau luôn đúng

max{|sin x|,|sin(x+2010)|} > 1

√

17.

Trang 12

Moldova Team Selection Test 2010

Bài 67 Cho p ∈R+và k ∈R+ Giả sử đa thức F(x) = x4+a3x3+a2x2+a1x+k4với các hệ số thực có 4 nghiệm âm Chứng minh rằng

F(p) ≥ (p+k)4

Bài 68 Cho các số thực dương x1, x2, , xn thỏa mãn x1+x2+ · · · +xn =1 Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

E=x1+ x2

q

1−x21

+ x3 p1− (x1+x2)2 + · · · + xn

p1− (x1+x2+ · · · +xn−1)2 Moldova Team Selection Test 2010

Bài 69 Cho các số thực dương x1, x2, , xn thỏa mãn x1x2· · ·xn =1 Chứng minh rằng

1

x1(x1+1) +

1

x2(x2+1) + · · · +

1

xn(xn+1) ≥ n

2. Moldova Team Selection Test 2011

Bài 70 Cho số nguyên n ≥ 2 Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá giá trị của biểu

thức:

E=1+

r

1+22

3! +

3

r

1+32

4! + · · · +

n

s

1+ n2

(n+1)!. Moldova Team Selection Test 2011

Bài 71 Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta luôn có

x

y +

y

z +

z

x ≥

z(x+y)

y(y+z) +

x(z+y)

z(x+z) +

y(x+z)

x(x+y) Moldova Team Selection Test 2013

Bài 72 Chứng minh rằng với mọi số thực dương ai, bi, ci, (i =1, 2, 3), ta luôn có

(a31+b31+c31+1)(a32+b32+c32+1)(a33+b33+c33+1) (a1+b1+c1)(a2+b2+c2)(a3+b3+c3) ≥ 3

Bài 73 Cho tam giác tù ABC với BC=a, Ca =b, AB=c Chứng minh rằng

a3cos A+b3cos B+c3cos C < abc

Trang 13

(xy+yz+xz)

1

x2+y2 + 1

y2+z2 + 1

z2+x2

> 5

Bài 75 Cho a, b∈ R+thỏa mãn a+b =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

E(a, b) = 3p1+2a2+2p40+9b2

Bài 76 Cho số nguyên n≥2 và các số thực x1, x2, , xnthỏa mãn 0<x1 ≤x2≤ ≤xn

và x1+x2+ · · ·xn =1 Chứng minh rằng nếu xn ≤ 2

3 thì tồn tại k sao cho 1≤k ≤n và 1

3 ≤x1+x2+ +xk <

2

Bài 77 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

E(a, b, c) = a3+5

a3(b+c) +

b3+5

b3(c+a) +

c3+5

c3(a+b) Moldova Team Selection Test 2014

Bài 78 Tìm giá trị lớn nhất của số thực k sao cho bất đẳng thức

a

1+9bc+k(b−c)2 + b

1+9ca+k(c−a)2 + c

1+9ab+k(a−b)2 ≥ 1

2,

đúng với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn a+b+c =1

Japan Mathematical Olympiad Finals 2014

Bài 79 Cho số nguyên n >2 và các số thực dương a1, a2, , an thỏa mãn a1+a2+ · · · +

an =1 Chứng minh rằng

a2·a3· · · · ·an

a1+n−2 +

a1·a3· · · · ·an

a2+n−2 + · · · +

a1·a2· · · · ·an−1

an+n−2 ≤

1

(n−1)2 Mediterranean Mathematics Olympiad 2010

Bài 80 Cho các số thực dương a, b, c, d, e, f Chứng minh rằng

3

r abc

a+b+d +

3

s

de f

c+e+ f <

3

q

(a+b+d)(c+e+ f)

Trang 14

European Mathematical Cup 2012

a

1+b+c +

b

1+c+a +

c

1+a+b ≥

ab

1+a+b +

bc

1+b+c +

ca

1+c+a.

a2+b2+c2

ab+bc+ca +a+b+c+2≥2

√

ab+√

bc+√

ca European Mathematical Cup 2013

a2

a+b2 + b2

b+c2 + c2

c+a2 ≥ 3

2. Croatia Team Selection Test 2011

Bài 83 Cho số nguyên dương k Tìm hằng số Dklớn nhất sao cho bất đẳng thức:

(abc)2+ (bcd)2+ (cda)2+ (dab)2 ≤Dk,

đúng với mọi số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn ak+bk+ck+dk =4

Croatia Team Selection Test 2013

Bài 30 Với số thực x, y, z thỏa mãn−2≤x, y, z ≤2 và

x2+y2+z2+xyz=4,

tìm số k nhỏ cho bất đẳng thức sau đúng...

x(2y+z) ≥1

Bài 35 Tìm giá trị lớn M cho bất đẳng thức sau với số thực dương

a, b, c

a3+b3+c3−3abc...

+n−4

Bài 59 Cho số nguyên n≥2 Tìm giá trị lớn k cho bất đẳng thức< /i>

q

x21+x22+

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	192,36 KB