Bài tập về bất đẳng thức có đáp án

Bất đẳng thức là một dạng bài tập khó trong môn Toán, do đó, các bạn học sinh cần nhiều tài liệu, bài tập để có thể ôn luyện và nâng cao kỹ năng một cách hiệu quả. Tôi xin giới thiệu tới các bạn tài liệu học tập 50 Bài tập về bất đẳng thức có đáp án để các bạn học sinh có thể luyện tập một cách chủ động và linh hoạt nhất. Mời các bạn tham khảo.

VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 50 Bài tập bất đẳng thức Bài 1: Cho a ≥ , tìm giá trị nhỏ S = a + Giải: S = a + = a 8a +( a + a )≥ 24 + a.1 a = a 10 Bài 2: Cho a ≥ , tìm giá trị nhỏ S = a + Giải: S = a + a2 a = + 6a +( a + a 12 a a 12 )≥ + 33 = + = 2 a 8 a 4 Bài 3: Cho a, b > a + b ≤ , tìm giá trị nhỏ 1 15 Giải: S = ab + = (ab + ) + ≥ 2ab1 16ab + ab 16ab 16ab Bài 4: Cho a, b, c> a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ S = S = ab + 15  a + b 2  16    a2  + b2 b2  + c2 c2  a2 Giải: Cách 1: Cách 2: S = a2  + b2 b2  + c2 c2  a2 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư ab = 17 2 (1 + )(a + 2 ) ≥ (1.a + 12 )⇒ b b VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ≥ (a + ) a2  b2 b 17 Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí (b + ); c 17 Tương tự b2  ≥ c2 c2  ≥ (c + ) a2 a 17 Do đó: ≥ S 17 (a + b + c + ≥ a + b + ) (a + b + c + 36 a + b + c) 17 c  (a + b + c =  135 ) + ≥ 17 +  4(a + b + c) 4(a + b + c) 17   Bài 5: Cho x, y, z ba số thực dương x + y + z ≤ Chứng minh rằng: x2  + y2 y2  + z2 z2  ≥ 82 x2 Giải: (1.x + + y 2 ) ≤ (1 + )(x y )⇒ x2  ≥ y2 (x + 82 z  ≥ (z + ) x2 x 82 ) y ≥ (y+ y  9); z2 z 82 9 S ≥ (x + y + z + + + ) 81 (x + y + z 82 x + y + z) ≥ + x y z 82 =  (x + y + z 80  ) + +  ≥ x + y + z x + y + z 82 82   TT : Bài 6: Cho a, b, c > a + 2b + 3c ≥ 20 Tìm giá trị nhỏ S = a + b + c + + + a 2b c Giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 12 18 16 12   18   16   4S = 4a + 4b + 4c + + + = a + 2b + 3c + 3a + + 2b + + c+ ≥     a bc a b c 20 + 3.2.2 + 2.2.3 + 2.4 = 52 ⇒ S ≥ 13 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 1       Bài 7: Cho x, y, z > + + = x y z Tìm giá trị lớn P = 1 + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Giải: Ta có x + 1 ; + ≥ ⇒ + + + ≥ + 16 ≥ ⇒ 1 + + 1 ≥ x+ y y y + z y z x z TT :  2x +z y + ≤ + +    16 x; y z   y y x + y y + z x+2y + z z x+2y+ 1 1  x +2zy + ≤ 16 +x y + z   14 4 S ≤ 16  +x y+ z = Bài 8: Chứng minh với x ∈ R , ta có  12 x x  15  20 x + +              3 x x ≥3 +4 +5 x Giải: x x x x x  20 x x  20 x  12  15   12 x  15x  15 ≥ 2.5 ;  12 ≥ 2.4x = 2.3 ; + ≥    + +                5    3  4    5 Cộng vế tương ứng => đpcm Bài 9: x y z Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh + + ≥ Giải: Dự đoán x=y=z = 8x.8x = 64x = 4x nên: x x x x y y y y z z z x + + ≥ 8 = 12.4 ; y + + ≥ 8 = 12.4 ; z + + ≥ 8 = 12.4 x ≤ y z x y z z 2 + + ≥ 8 = 8 = 192 Cộng kết => đpcm Bài 10: Cho x, y, z> xyz = Hãy chứng minh  x3  y xy +  y3  z3 yz +  z  x3 zx ≥ 33 x+ +4 y +1 +4 z +1  16  x y  z VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Giải: x3 + y3 ≥ xy ( x + y ) ⇒ 1+ x3 + y3 ≥ xyz + xy ( x + y ) = xy ( x + y + z ) ≥ 3xy xyz = 3xy  x3  y  y3  z3 = 3xy = ; xy xy yz xy  1  = +  xy + yz zx   S = 31 x≥2 y32 z 3yz =3 yz yz ;  z  x3 = zx 3zx =3 zx zx =3 Bài 11: Cho x, y hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ( x − y ) (1− xy ) biểu thức P = (1+ x )2 (1+ y )2 Giải:  x + y +1+ xy 2   ( x + y ) (1+ xy )  x  y  1 xy  P = 1  x 2 1  y 2 ≤ ≤ (1+ x )2 (1+ y )2 −1 1 =⇒ ≤P≤ 4 ( x + y +1+ xy )2 Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy Bài 12: a b3 c Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Giải: + ≥ ab + bc + ca b c a a3 b3 c3 2 2 ( ab + bc + ac )2 a4 b4 c4 (a + b + c ) Cách 1: ac+b c + a = ab + bc + ca ≥ ab + bc + ac ≥ ab + bc + ac = ab + bc + 3 b a b + + c b c a Bài 13: + ab ≥ 2a ; b Cách 2: a + bc ≥ 2b ; c c + ca ≥ 2a a 2 ≥ 2(a + b + c ) − ab − bc − ac ≥ ab + bc + ac 3x + + y Cho x,y > x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ A = 4x + y VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Giải: Giải: Dự đoán x = y = 2 3x + + y  x  y y  x+ y  3x A = + = + + +y= + + + +  +  ≥  2 4x y x y  x  y2 4     VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 14: Cho x, y > x+y = Chứng minh P 1 = + ≥ 3+ 3 x + y xy Giải: Ta có ( x + y )3 = x3 + y + 3xy(x+y) ⇒ x3 + y + 3xy=1 x +y + 3xy P= x +y 3 + + =2 − 1+ x =4 xy Bài 15: Cho x, y, z > Giải: x 3+ ≥ + 3xy y x + + xy y x + y + 3xy 1 = Chứng minh 1+ x + 1+ + 1+ y z 1 − 1+ = 1+ z 1− y xz y 1 = 1+ z +1− + ≥2 1+ 1+ y 1+ z y z 1 x  1 z  TT : ≥ 1+ y xyz ≤ yz 1 y  1 z  ; 1+ z xy ≥2 1 x  1 y  Nhân vế BĐT => đpcm S Bài 16: Cho x, y, z > x + y + z = Tìm giá trị lớn x = + y z x +1 y +1 + z +1 Giải: = S x x +1  1  9 =3− + + ≤ 3− =3− = + z  y +1 z +1 x+ y+z +3 4 x +1 y +1 z +1 + y   Bài 17: 4a 5b + 3c ≥ 48 a −1 b −1 c −1 ( a − 1) + = (a 4a = +1) a −1 a −1 2 2 + Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Giải: 5b = ( b −1) b −1 + + b −1 a −1 = (a −1) + + ≥ + = 16 a −1 +10 ≥ 20; c −1 = ( c −1) + 3c VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí c −1 + ≥ 12⇒ dpcm Bài 18: Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng: 1 + a b c + 1  1 ≥3 + +   a + 2b b + 2c c + 2a  Giải: a + b + b ≥ ; + a +≥ 2b b c + c b + 2c ; + c a + a ≥ c + 2a cộng ba bất đẳng thức =>đpcm VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 19: Với a, b, c > chứng minh rằng: 36 a +b +c a≥ + b + c Giải: a + b + c ≥ (1+ + 3) a+b + c = 36 a+b+c Bài 20: Cho a, b, c, d > chứng minh rằng: 1 16 64 a +b +c +d a≥ + b + c + d Giải: + + a b c Bài 21: ≥ 16 16 16 64 ; + ≥ a+b+c a+b+c d a+b+c+d Với a, b, c > chứng minh rằng: + +  + ≥4 +  Cần nhớ:  a  b  c 2 a 2b2 c2 Giải:  xyzx  y  z a + ≥ b a ⇒ a + b a + b ≥ 1 ; + a≥ +b b c    a + b b + c c + a b c ⇒ b + c b + c ≥ ; b+c + c a ≥ c+a Bài 22: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác , p nửa chu vi tam giác Chứng minh 1 1 1 ≥ 2 + +  + + p − a p − b p−  ab c c Giải: 1 2 + + = + + p − a p − b p − c −a + b + c a − b + c a + b − c 1 1 1 1 1 = + + + ≥ 2 + +  + +  ab c −a + b + c a − b + c a + b − −a + b + c a − b + c a + b − c c VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 27: Cho hai số a, b thỏa mãn: a ≥ 1;b ≥ Tìm giá trị nhỏ tổng A = a + Giải: a+ b ≥ 2;b + a = a  15b b +  15.4 17 21 + ≥ + = ⇒A≥ 16  16 16 4 b   4 +b+ b Bài 28: 3 Chứng minh a + b ≥ a b + ab Giải:  a 2 + b 2  (12 +12 ) ≥ a + b 2 = a + b a + b ≥ 2ab a + b => a + b ≥ a 3b ( )3 ( ) ( ) ( )( ) ( ) + ab   Bài 29: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: (x + y +1) (Với x; y số thực dương) A = + xy + y + x xy + y + x (x + y +1) Giải: = a; a > ⇒ A = a + (x + y +1) Đặt xy + y + x 8a a A=a+ = + ( + ) ≥ + a a a 9 a Có a = + = 10 ⇒A≥ 10 Bài 30: Cho ba số thực a,b, c đôi phân biệt Chứng minh a2 b2 c2 2+ 2+ ≥ (b − c) (c − a) (a − b) Giải: a b + b + c c a (b − c) (c − a) (c − a) (a − b) (a − b) (b − c) a b c 2 VT= + + ≥0 = −1 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 27:    (b − c) (c − a) (a − b)  (Không cần dấu = xảy hoặ cần cho a= 1,b=0 => c=-1 xảy dấu =) Bài 31: Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c ≤ Chứng ming 2009 a +b + + ab + bc + c ca ≥ 670 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Giải: 2009 + 2 a + b + c ab + bc + ca 1 2007 = + + + a +b + ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + c ca ≥ (a + b + c )2 2007 (a + b + c )2 + Bài 32: ≥ 670 Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức = 2 + P a + b + ab + bc + ca c 2 a b +2 b c + ca Giải: Bài 33: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2 ≥2a2b ;b3 + bc2 ≥2b2c;c3 + ca2 ≥2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2) ≥ 3(a2b + b2c + c2a) > 2 Suy P ≥ a + b + c + ab + bc + ca 2 a +b + c 2 ⇒P≥a +b +c + − (a + b + c 2) 2 2 2(a + b + c ) t = a2 + b2 + c2, với t ≥3 − t t t = + + − ≥3 3−1 =4 ⇒P≥4 2 2t 2t 2 + Suy P ≥ t + a=b=c=1 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ P = 1 + 16x y+ z Giải:  1 1 1  y x   z x   z y  21 + +4 =y (z x + y + z )  +16x 4+ y z=  +16x 4+y  + 16x+z  + y+z  16 P= 16x y x z x z y + ≥ có =khi y=2x; + ≥ z=4x; + ≥ z=2y =>P ≥ 49/16 16x y 16x z y z Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 34: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: x + ≥ 23 y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = G 8x + iả + 18y + i:  2 B = 8x + + 18y + = 8x + +  2 4 5 18y + + + ≥ + 12 + 23 = 43 x   y xy x  y         1 1 Dấu xảy ( x; y ) =  1;  Vậy Min B 43 ( x; y ) = ;         Bài 35 Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] có tổng không vượt Chứng minh x2 + y2 + z2 ≤ Giải: ≤ x ≤ ⇒ x − ≥ x − ≤ ⇒ (x − 1)(x − 2) ≤ ⇒ x ≤ 3x − Tươ y ≤ z ≤ 3z − ng 3y − tự ⇒ x2 + y2 + z2 ≤ 3( x + y +z) – ≤ –6=9 16 Bài 36: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư x y VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 34: Cho a, b, c là2 số thuộc  1.a  thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + + 81 1 + 1 ≤ a c2 = Chứng minh +  [−1; 2] ≥  a  + 4 b a2   b2 97  b + ⇒ b       c  4b c2  a2 97 + 97  4a 4c    G i ả i : ( a +1 )( a − 2) ≤ ⇔ a2 − a − ≤ 0;b2 − b − ≤ 0; c2 − c − ≤ 2 ⇒a+b+c≥a +b +c −6=0 Bài 37: Cho số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c ≤ Chứng minh rằng: a2  +1 b+2 b2  97 ≥c2 ;  cộng vế lại  9 c+ ≥ b ≥ c2  a2 Giải: 17 a +  ≥9 4 ;  b2  c2  Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư     VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 38: Cho tam giác có ba cạnh a,b,c chu vi 2p Chứng minh p p p ≥9 p − a+ p − b+ p − c Giải: p p 1 9 ≥ hay + + p − a p − b p− p − a+ p − b+ p − c≥ p − a + p − b + p − c= p c p Bài 39: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 2 3(a + b + c ) + 2abc ≥ 52 Giải: abc ≥ (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = (6 − 2a) ( − 2b )( − 2c) ⇔ abc ≥ −24 + (ab + bc + ac) 2)  16  36 − 2 ⇔ 2abc ≥ −48 + +b + ⇔ (a + b + c ) + 2abc ≥ 48 (1) (a c   3   2 +b + ( a − )2 + ( b − )2 + ( c − )2 ≥ c ≥ (2) (1)and(2) ⇒ dpcm a ⇔ 2 Có chứng minh 3(a + b + c ) + 2abc < 18 hay không? Bài 40: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc Giải: 2 Có a ≥ a − (b − c) = (a − b + c)(a + b − c) (1) , 2 2 b ≥ b − (c − a) = (b − c + a)(b + c (2) − a) c ≥ c − (a − b) = (c − a + b)(c + a − (3) Dấu ‘=’ xảy ⇔ a = b = c b) Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên vế (1), (2), (3) dương Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta có: abc ≥ (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) (*) Từ a + b + c = nên (*) ⇔ abc ≥(2−2a)(2−2b)(2−2c) ⇔ −8(a + b + c) +8(ab + bc + ca) −9abc ≤ ⇔ + 9abc − 8(ab + bc + ca) ≥ ⇔ 9abc − 8(ab + bc + ca) ≥ −8 (*) VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 38: 3 3 Ta có a + b + c = (a + b + c) − 3(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc = − 6(ab + bc + ca) + 3abc VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Từ 4(a3 + b3 + c3 ) +15abc = 27abc − 24(ab + bc + ca) + 32 = 9abc −8(ab + bc + ca) + 32 [ ] (**) 3 Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a + b + c ) +15abc ≥ 3.(−8) + 32 = Dấu “=” xảy a = b = c = Từ giá trị nhỏ P đạt a = b = c = Bài 41: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh 3 ≤ a + b + c + 3abc < Giải: 3 *P = a + b + c + 3abc 3 2 Tacó a + b + c − 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ac) 3 2 ⇔ a + b + c − 3abc = (a + b + c − ab − bc − ac) (1) có abc ≥ (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = (1− 2a)(1− 2b)(1− 2c) = −2 −1+ 4(ab + bc + ca) − 8abc ⇔ 6abc ≥ + (ab + bc + (2) ca) 3 (1)and(2) ⇒ a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ a2 + b2 + c2 − + (ab + bc + ca) 3 2 2 1− a + b + c 2 mà ab + bc + ca = ⇒P≥ a +b +c + 6  12  12 1 2 2 1 +  b− + c− ≥0⇔a +b +c ≥ ⇒P≥ + =   a− 6      3 3       ( 3 3 3 ) ( ) *P = a + b + c + 3abc abc ≥ (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = (1− 2a)(1− 2b)(1− 2c) = −1+ 4(ab + bc + ca) − 8abc >0 (3) ⇒ ab + bc + ca) − 2abc > 2 P = a + b + c + 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ac) + 6abc VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí = a + b + c − ab − bc − ac + 6abc = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca) + 6abc 1 = 1− ( ab + bc + ca − 2abc) < 1− = 4 2 Bài 42: Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: 2 x + y + z − xy − yz − zx + xyz ≥ Giải: Chứng minh xyz ≥ ( −x + y + z ) ( x−y+z) ( x+y−z) = (6 − 2x)(6 − y)(6 − 2z) = 216 − 72(x + y + z) + 24(xy + yz + zx) − 8xyz ⇔ xyz ≥ −24 + (xy + yz + zx) (1) mà ( x + y + z )2 2 = ⇔ x + y + z + 2xy + yz + 2xz = ⇔ x + y + z − xy − yz − xz = 36 − 3xy − 3yz − 3xz (2) 2 Nên xyz + x + y + z − xy − yz − xz+ ≥ −24 + (xy + yz + zx)+ 36 − 3xy − 3yz − 3xz 2 ⇔ xyz + x + y + z − xy − yz − xz+ ≥ 12 − (xy + yz + zx) mà ( x + y + z )2 ≥ 3(xy + yz + zx) 36 ( x+y+z 2 = 12 − =8 ⇒ xyz + x + y + z − xy − yz − xz+ ≥ 12 ) − 3 Bài 43: Cho a ≥ 1342;b ≥ 1342 Chứng minh a2 + b2 + ab ≥ 2013(a + b ) Dấu đẳng thức xảy nào? Giải: Ta sử dụng ba kết sau: ( a −1342)2 + (b −1342)2 ≥ 0;(a −1342)(b −1342) ≥ 0; a −1342 + b −1342 ≥ Thật vậy: ( a −1342 )2 + ( b −1342 )2 ≥ ⇔ a + b2 − 2.1342 ( a + b ) + 2.13422 ≥ (1) (2) ( a −1342)(b −1342) ≥ ⇔ ab −1342a −1342b +13422 ≥ ⇒ a2 + b2 − 2.1342.(a + b ) + 2.13422 + ab −1342a −1342b +13422 ≥ ⇔ a2 + b2 + ab ≥ 3.1342.(a + b ) − 3.13422 = 2.2013.(a + b ) − 3.13422 = 2013.(a + b ) + 2013.(a + b ) − 2.2013.1342 = 2013.(a + b ) + 2013.(a + b −1342 −1342) ≥ 2013.(a + b ) Bài 44: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x −1)4 + ( x − 3)4 + ( x −1)2 ( x − 3)2 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Giải: Cách 1: Cách 2: A = ( x −1)4 + ( x − 3)4 + ( x −1)2 ( x − 3)2 A = ( x + ( x − + ( x −1) ( x − 3) −1) 3)    A =  2x − 8x +10  + ( x − 4x + 3) 2 2 A =  2(x − 2) +  + ( (x − 2) −1) 2 2 A = 4(x − 2) + 8(x − 2) + + 4(x − 2) − 8(x − 2) + 4 A = 8(x − 2) + ≥ Bài 45: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca c +1 + a +1 + b +1≤ Giải: Bài 46 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = Chứng minh rằng: 3 1+ x + y + 1+ y3 + z3 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí + Giải: 3 ≤ 1+ z +x x + y ≥ 2xy ⇒ ( x + y ) 2 ⇒ 1+ x +y (x ≥ xy ( x + y + z +y ) ≥ 2xy ( x + y ) ⇒ x )⇒ 1+ x3 + y ≥ xy ( x + y ) ≤ + y3 xy ( x + y + z ) z x y ⇒ 1+ x3 + y3 ≤ ≤ x + y + ; 1+ z3 + x3 ≤ x + y + ⇒ dpcm x + y + ; 1+ y + z z z z Bài 47 Cho a,b số thực dương Chứng minh rằng: a+b ≥ b + 2b a ( a + b )2 + 2a Giải:  a+b  1 1  = (a + b) a + b + = ( a + b) a + + b+ (a + b )2 + ( a + b) = + 2b ab 2a b a ≥2      2 4     Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 + ≥1 + 1+ 8a 1+ 1+ 8c Giải: 8b = ( 2a +1) ( 4a − 2a 1+ 8a ≥ ⇒ VT ≥ 2a Bài 49 1 ; 2b +1 1+ 8c 1 + + ≥ =1 2 2 +1 2b +1 2c +1 2a +1+ 2b +1+ 2c +1 Giải: Cách 1: 3 4 (2a ) 2 +b +c b c +b c ≥ + + = + a b c a ab bc ca ab + bc + ca Cách a ≥ 2c2 +1 Với a,b,c ba số thực dương Chứng minh rằng: a = 2a +1+ 4a − 2a +1 4a + 2a +1 +1) ; 1+ 8b ≥ = 3 3 2 +b ≥a +b +c + c b c a (a 2 +b +c )( a 2 +b +c ) = ≥a +b +c ab + bc + ca 2 a + ab ≥ 2a ; b + bc ≥ 2b ; c + ca ≥ 2c ⇒ VT ≥ ( a + b + c c 2 2 ) − (ab + bc + ca) ≥ a b c a Bài 50 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: x2 + y + z ≥ y +1 z +1 x +1 2 z x +1 3 3 z +1 Giải: y +1 x2 y2 + ≥ x; + ≥ y; + ≥ z ⇒ VT ( x + y + z ) − − = ≥ ≥ 2 +b + y +1 z +1 x +1 4 4 [...]... 9 −3  7 Bài 25: Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 a + b +1 ≥ ab + a + b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương Bài 26: Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì pa +pb +pc ≤3p VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 23: Giải: Bupa nhi +pb +pc -a  21  2 )( p  a  p  b  p  c) ≤ (12 1 ta = 3(3 p  2 p) có: =3p VnDoc... 2 3   2 2 2 +b + ( a − 2 )2 + ( b − 2 )2 + ( c − 2 )2 ≥ 0 c ≥ 4 (2) (1)and(2) ⇒ dpcm a ⇔ 3 2 2 2 Có chứng minh được 3(a + b + c ) + 2abc < 18 hay không? Bài 40: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc Giải: 2 2 2 Có a ≥ a − (b − c) = (a − b + c)(a + b − c) (1) , 2 2 2 2 2 b ≥ b − (c − a) = (b − c + a)(b + c (2)...      Bài 35 Cho x, y z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5 Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≤ 9 Giải: 1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x − 1 ≥ 0 và x − 2 ≤ 0 ⇒ (x − 1)(x − 2) ≤ 0 2 ⇒ x ≤ 3x − 2 Tươ y 2 ≤ z 2 ≤ 3z − 2 ng 3y − 2 tự và ⇒ x2 + y2 + z2 ≤ 3( x + y +z) – 6 ≤ 3 5 –6=9 16 Bài 36: Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư 7 x y VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 34: Cho... nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi a = b = c = 3 Bài 41: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 Chứng minh rằng 2 1 3 3 3 ≤ a + b + c + 3abc < 9 4 Giải: 3 3 3 *P = a + b + c + 3abc 3 3 3 2 2 2 Tacó a + b + c − 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ac) 3 3 3 2 2 2 ⇔ a + b + c − 3abc = (a + b + c − ab − bc − ac) (1) có abc ≥ (−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) = (1− 2a)(1−... 4+y  + 16x+z  + 4 y+z  16 P= 16x y x 1 z x 1 z y + ≥ có =khi y=2x; + ≥ khi z=4x; + ≥ 1 khi z=2y =>P ≥ 49/16 16x 4 y 4 16x z 2 4 y z Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 34: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 4 x + 5 ≥ 23 y 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = G 8x + iả + 18y + i: 2 3 6 7  2 B = 8x + + 18y + = 8x... mẫu miễn phí Bài 27: Cho hai số a, b thỏa mãn: a ≥ 1;b ≥ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A = a + Giải: a+ b 1 ≥ 2;b + a 1 = a  15b b + 1  15.4 1 17 21 + ≥ + 2 = ⇒A≥ 16  16 16 4 4 4 b   4 4 1 +b+ 1 b Bài 28: 3 3 Chứng minh rằng a + b ≥ a b + ab Giải:  a 2 2 + b 2 2  (12 +12 ) ≥ a 2 + b 2 2 = a 2 + b 2 a 2 + b 2 ≥ 2ab a 2 + b 2 => a 4 + b 4 ≥ a 3b ( )3 ( ) ( ) ( )( ) ( ) + ab   Bài 29: Tìm... ≤ 0; c2 − c − 2 ≤ 0 2 2 2 ⇒a+b+c≥a +b +c −6=0 Bài 37: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c ≤ 2 Chứng minh rằng: a2  +1 b+2 b2  1 97 ≥c2 2 ;  cộng các vế lại 4  9 c+ ≥ b ≥ c2  1 a2 Giải: 17 a +  ≥9 4 ;  b2  1 c2 9  Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư     VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 38: Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p Chứng... 4 ≥ a 3b ( )3 ( ) ( ) ( )( ) ( ) + ab   Bài 29: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 (x + y +1) (Với x; y là các số thực dương) A = + xy + y + x xy + y + x (x + y 2 +1) Giải: = a; a > 0 ⇒ A = a + (x + y 2 +1) Đặt xy + y + x 1 8a a 1 8 A=a+ = + ( + ) ≥ 3 + a 1 9 a 2 a 9 9 a 9 1 Có a = 8 3 + 2 3 = 10 ⇒A≥ 3 10 3 Bài 30: Cho ba số thực a,b, c đôi một phân biệt Chứng minh a2 b2 c2 2+ 2+ 2 ≥ 2 (b... (1), (2), (3) đều dương Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có: abc ≥ (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) (*) Từ a + b + c = nên (*) ⇔ abc ≥(2−2a)(2−2b)(2−2c) ⇔ 8 −8(a + b + c) +8(ab + bc + ca) −9abc ≤ 2 0 ⇔ 8 + 9abc − 8(ab + bc + ca) ≥ 0 ⇔ 9abc − 8(ab + bc + ca) ≥ −8 (*) VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí Bài 38: 3 3 3 3 Ta có a + b + c = (a + b + c) − 3(a + b + c)(ab + bc + ca)... 1 1 2007 2 = 2 + + + a +b + ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + 2 c ca ≥ 9 (a + b + c )2 2007 (a + b + c )2 3 + Bài 32: ≥ 670 Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 2 2 + P a 2 + b + ab + bc + ca c 2 2 a b +2 b c + ca Giải: Bài 33: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2 ... 21 −3= 51  −3  Bài 25: Chứng minh bất đẳng thức: 2 a + b +1 ≥ ab + a + b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26: Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi... ⇒ dpcm a ⇔ 2 Có chứng minh 3(a + b + c ) + 2abc < 18 hay không? Bài 40: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc Giải: 2 Có a ≥ a − (b... 12⇒ dpcm Bài 18: Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng: 1 + a b c + 1  1 ≥3 + +   a + 2b b + 2c c + 2a  Giải: a + b + b ≥ ; + a +≥ 2b b c + c b + 2c ; + c a + a ≥ c + 2a cộng ba bất đẳng thức =>đpcm