tuyển tập các chuyên đề tổ hợp

[...]... 2[n] là tập hợp tất cả các tập con của [n] Tổng quát hơn, ta kí hiệu 2S là tập hợp tất cả các tập con của một tập hợp S bất kì Bài toán 5 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có n (−1)i i=0 n i =0 Lời giải Trước hết, ta sẽ đếm số tập con có chẵn phần tử của [n] Số các tập con này là n 2k 19 Để có một tập con có chẵn phần tử của [n], trước hết ta chọn ra n − 1 phần tử cố định và chọn tiếp một tập con... thành hai tập hợp A và B khi A ∩ B = ∅, A ∪ B = S) Có một bài toán khá thú vị về việc chia tập hợp này là: Bài toán 3 Cho tập hợp S = {1, 2, , n} là tập hợp n số nguyên dương đầu tiên a) Hãy tìm số cách chia S thành 3 tập con A, B, C sau cho A∩B = ∅, B ∩C = ∅, C ∩A = ∅ và A ∩ B ∩ C = ∅ b) Hãy tìm số các bộ ba các tập con A, B, C thỏa mãn A ∪ B ∪ C = S và B ∩ C = ∅ c) Hãy tìm số các bộ bốn các tập con... nhiêu cách chia tập hợp S có n phần tử thành hai tập con (có tính tập rỗng) sao cho hợp của chúng bằng S Ta thấy rằng vấn đề đặt ra ở đây khá tổng quát và các ý tưởng đếm bằng truy hồi, chứng minh bằng quy nạp xuất hiện đầu tiên trong trường hợp này Tuy nhiên, nếu chúng ta thử vẽ một mô hình ra để hình dung thì vấn đề có thể sáng tỏ hơn: x x x x Ta có thể biểu diễn hai tập A, B như trên bởi các hình... trường hợp đặc biệt là khi A = B thì buộc phải có A = B = S nên chỉ có một cách chia Bỏ trường hợp đó ra, chia đôi số trường hợp rồi lại cộng nó vào thì sẽ được số cách chia cần tìm Công thức ở đây hoàn toàn có thể kiểm tra với các giá trị n nhỏ Dựa vào phân tích trên, các bạn hãy thử giải quyết bài toán sau: Bài toán 2 Có bao nhiêu cách phân hoạch tập hợp S gồm n phần tử thành hai tập con?” (tập hợp. .. chú ý đến các biểu thức có ý nghĩa trong tổ hợp : n là số tập con có k phần tử của một tập có n phần tử; n! là số các hoán vị của n k phần tử; n là số các bội số của k trong n số nguyên dương đầu tiên; nk là số chỉnh hợp lặp k chập k của n phần tử Nắm vững được bản chất của các biểu thức trên, ta có thể chứng minh một số đẳng thức và bất đẳng thức tổ hợp bằng phương pháp đếm bằng hai cách 2 Các bài... nhỏ nhất các tập con có l phần tử của [n] sao cho với mọi tập con có k phần tử của [n] đều chứa ít nhất một tập con trên Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương l k n, ta có n l k l T (n, k, l) Lời giải Đặt F là họ nhỏ nhất các tập con l phần tử của [n] sao cho với mọi tập con k phần tử của [n] đều chứa ít nhất một phần tử của F Xét ma trận liên thuộc M = (mA,B ) với các được đánh số theo các tập con... số tập con S có k phần tử của [n + 1] Vế n phải là tổng của hai biểu thức gợi ý cho chúng ta sử dụng quy tắc cộng n và k−1 tương ứng k là số k -tập con và (k − 1) tập con của [n], trong khi tập hợp ban đầu của chúng ta là [n + 1] Từ đó ta xét hai trường hợp sau với một phần tử e bất kì của [n + 1] : 1 e ∈ S : Số các tập S thỏa mãn sẽ là 2 e ∈ S : Số các tập S thỏa mãn là / n k ; n k−1 Vì vậy số tập. .. 1)2 2 b−1 2b (4) Ì Qua các ví dụ trên ta thấy, để vận dụng tốt phương pháp này chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của các đối tượng có trong đẳng thức Với việc xét một bài toán đếm và đếm theo nhiều cách sẽ cho chúng ta các kết quả khác nhau về mặt hình thức và từ đó có được các đẳng thức tổ hợp Các bài tập đề nghị Bài tập 1 Chứng minh đẳng thức 1 1 k Cn = C k+1 k+1 n + 1 n+1 Bài tập 2 Chứng minh đẳng thức... số các tập con có n + 1 phần tử của [n + k + 1] bằng cách chia trường hợp : Có n tập n con có phần tử lớn nhất là n + 1 Có n+1 tập con có phần tử lớn nhất là n + 2 Có n+k n n tập con có phần tử lớn nhất là n + k + 1 Từ các trường hợp trên, ta suy ra rằng số tập con có n + 1 phần tử của [n + k + 1] bằng k n+i n i=0 Mặt khác, số tập con này bằng chứng minh n+k+1 n+1 Theo nguyên lý đếm bằng hai cách,... biệt của S cách đều P Chứng minh rằng k< 1 √ + 2n 2 Bài tập 5 (IMO Shortlist 1986) Cho 5 số có 100 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 2 Ta xếp các số đó thẳng nhau theo các hàng đơn vị, chục, trăm, Biết rằng hai số bất kì trong 5 số đó đều có ít nhất r hàng giống nhau và mỗi hàng sau khi xếp đều có đủ hai chữ số 1, 2 Chứng minh rằng 40 r 60 Bài tập 6 Với các số nguyên n k 0, đặt n là số các hoán . năng toán, các học sinh giỏi quốc gia, quốc tế đến từ mọi miền của Tổ quốc đã cùng nhau viết nên các chuyên đề, các bài giảng về toán tổ hợp nâng cao. Tuyển tập các chuyên đề tổ hợp ra đời. của [n] bằng 2 n , ta còn kí hiệu 2 [n] là tập hợp tất cả các tập con của [n]. Tổng quát hơn, ta kí hiệu 2 S là tập hợp tất cả các tập con của một tập hợp S bất kì. Bài toán 5. Chứng minh rằng. được số các k -tập con bằng số các (n −k) -tập con. Mà điều này là hiển nhiên vì mỗi k -tập con S của [n] tương ứng duy nhất với (n −k) -tập con [n] S. Vậy số các k -tập con bằng s ố các (n −k) -tập con.