2. Ứng dụng hăm sinh giải câc băi toân đếm điển hình
2.1. Ứng dụng hăm sinh giải băi toân chia kẹo Euler
Ý tưởng chung của phương phâp sử dụng hăm sinh giải băi toân đếm lă đi tìm hệ số của xr
trong khai triển của hăm sinh với r lă số phần tử được chọn ra trong n đối tượng với những điều kiện rằng buộc cho trước. Bđy giờ chúng ta sẽ vận dụng những kiến thức hăm sinh trín văo việc giải quyết câc băi toân đếm tổ hợp nđng cao. Thông qua nhiều ví dụ khâc nhau dưới đđy chúng ta sẽ định hình vă nắm chắc được câch sử dụng hăm sinh trong việc giải băi toân đếm tổ hợp nđng cao.
Ví dụ 1. Văo ngăy nghỉ chủ nhật, cô Hoa đi chơi vă mua quă lă 12 quả cam cho 3 đứa trẻ An, Bình, Chi.Hỏi cô Hoa có bao nhiíu câch phđn phối 12 quả cam sao cho An có ít nhất 4 quả, Bình vă Chi mỗi người đều có ít nhất 2 quả, nhưng Chi không được nhiều hơn 5 quả?
Lời giải. Hăm sinh cho số câch chọn quả cho An lă
A(x) = x4+x5 +x6+x7+x8 =x4(1 +x+x2+x3+x4) =x4· 1−x 5
1−x Hăm sinh cho số câch chọn quả cho Bình lă
B(x) =x2+x3+x4+x5 +x6 =x2(1 +x+x2+x3 +x4) = x2· 1−x 5
1−x Hăm sinh cho số câch chọn quả cho Chi lă
C(x) = x2+x3+x4+x5 =x2(1 +x+x2+x3) = x2· 1−x 4
Hăm sinh cho số câch phđn phối 12 quả cam thỏa mên điều kiện đề băi lă G(x) =A(x)B(x)C(x) = x4· 1−x 5 1−x ·x2· 1−x 5 1−x ·x2· 1−x 4 1−x = x8(1−x5)2(1−x4) (1−x)3 =x8(1−2x5+x10)(1−x4) 1 x−1 3 = (x8−x12−2x13+ 2x17+x18−x22) 1 x−1 3
Do cần tìm hệ số của x12 trong khai triển củaG(x) nín ta chỉ quan tđm tới hệ số của U(x) = (x8−x12−2x13+ 2x17+x18−x22) với bậc 6 12. Do đó U(x) chỉ có câc hệ số a8, a12 lă thỏa mên.
Vă hệ số của xr trong khai triển V(x) = x−113 lă br =Cr r+2. Vậy hệ số của x12 trong khai triển củaG(x)lă a8b4+a12b0 = 1.C4
6 −1.C0 2 = 14.
Kết luận : Cô Hoa có 14 câch phđn chia 12 quả cam cho 3 đứa trẻ thỏa mên yíu cầu An có ít nhất 4 quả, Bình vă Chi mỗi người đều có ít nhất 2 quả, nhưng Chi không được nhiều hơn 5
quả. ❒
Nhận xĩt.Thoạt nhìn ban đầu chúng ta thấy câch giải bằng liệt kí cho lời giải ngắn gọn hơn câch hăm sinh nhưng suy nghĩ sđu thím chúng ta sẽ thấy đối với băi toân có dữ kiện lớn thì câch lăm liệt kí tỏ ra kĩm hiệu quả thậm chí khó lăm ra được, chẳng hạn băi toân trín chúng ta thay đổi một chút như sau : “Văo ngăy nghỉ chủ nhật, cô Hoa đi chơi vă mua quă lă 50 câi kẹo cho 3 đứa trẻ An, Bình, Chi.Hỏi cô Hoa có bao nhiíu câch phđn phối 50 câi kẹo sao cho An có ít nhất 4 kẹo, Bình vă Chi mỗi người đều có ít nhất 2 kẹo, nhưng Chi không được nhiều hơn 5 kẹo?”
Rõ răng câch lăm liệt kế đối với băi toân năy trở nín kĩm hiệu quả, khó khăn vă mất thời gian hơn rất nhiều vì chúng ta phải xĩt quâ nhiều trường hợp. Khi đó giải phâp hăm sinh trong băi toân năy đem lại cho chúng ta hiệu quả rõ rệt vì chúng ta chỉ cần quan tđm tới hệ số trong khai triển của hăm sinh tương ứng đề băi.
Trong thực tiễn thì dữ liệu rất đa dạng, với những băi toân đếm có nhiều điều kiện rằng buộc khâc nhau việc sử dụng hăm sinh sẽ cho chúng ta lời giải hiệu quả.
Ví dụ 2. Có bao nhiíu câch xếp một giỏ gồm n trâi cđy gồm (tâo, chuối, cam,đăo), sao cho số tâo phải lă chẵn, số chuối chia hết cho năm, chỉ có thể nhiều nhất 4 quả cam vă nhiều nhất 1 quả đăo.
Lời giải. Hăm sinh cho số câch chọn quả tâo (số chẵn) lă A(x) = 1 +x2+x4+x6+· · ·= 1
1−x2 Hăm sinh cho số câch chọn quả chuối (số chia hết cho 5) lă
B(x) = 1 +x5+x10+x15+· · ·= 1 1−x5 Hăm sinh cho số câch chọn quả cam (nhiều nhất 4 quả) lă
C(x) = 1 +x+x2+x3+x4 = 1−x5
Hăm sinh cho số câch chọn quả đăo (nhiều nhất 1 quả) lă D(x) = 1 +x= 1−x2
1−x Hăm sinh cho số câch chọn cả 4 loại quả lă
G(x) =A(x)B(x)C(x)D(x) = 1 1−x2 · 1 1−x5 ·1−x 5 1−x · 1−x 2 1−x = 1 (1−x)2 = ∞ X i=0 (i+ 1)xi
Vậy số câch chọn trâi cđy thỏa mên đề băi lă n+ 1 câch. ❒
Ví dụ 3. Có bao nhiíu câch chọn ra 15 USD từ 20 người nếu 19 người đầu, mỗi người có thể đưa ra nhiều nhất 1 USD, người thứ 20 có thể đưa ra 1 USD hoặc 5 USD hoặc không USD năo.
Lời giải. Hăm sinh cho số câch chọn nhiều nhất 1 USD từ 19 người lă A(x) = (1 +x)19
Hăm sinh cho số câch chọn 1 USD hoặc 5 USD hoặc không USD năo ở người thứ 20 lă B(x) = 1 +x+x5
Hăm sinh cho số câch chọn ra 15 USD lă
G(x) = A(x)B(x) = (1 +x)19(1 +x+x5)
Chúng ta tìm hệ số của x15 trong khai triển của G(x). Ta có: (1 +x)19 = 19 X k=0 C19kx19−k
Đặt ar lă hệ số của xr trong khai triển của A(x), br lă hệ số của xr trong khai triển của B(x). Khi đó ta cóar=Cr
19 vă b0 =b1 =b5 = 1. Vậy hệ số của x15 trong khai triển của G(x) lă
a15b0+a14b1+a13b2+· · ·+a0b15 Ta có a15b0+a14b1 +a10b5 =C15 19+C14 19+C10 19 = 107882
Vậy có 107882 câch chọn ra 15 USD thỏa mên điều kiện đề băi. ❒
Ví dụ 4. Tìm số nghiệm nguyín dương của phương trình
u+v+w+z = 27 với 36u, v, w, z 68
Lời giải. Hăm sinh cho số nghiệm nguyín dương của phương trình lă G(x) = (x3+x4+· · ·+x8)4
=[x3(1 +x+x2+· · ·+x5)]4
Số nghiệm nguyín dương của phương trình lă hệ số củax27 trong khai triển của G(x)vă lă hệ số của x15 trong khai triển của H(x) = (1 +x+x2+· · ·+x5)4.
Ta có H(x) = (1 +x+x2+· · ·+x5)4 = 1−x6 1−x 4 = (1−x6)4 1 1−x 4 Đặt A(x) = (1−x6)4, B(x) = 1 1−x 4 . Ta có A(x) = (1−x6)4 = 1−C41x6+C42x12−C43x18+x24 B(x) = 1 1−x 4 = 1 +C41x+C52x2+C63x3+· · ·
Do tìm hệ số của x15 trong khai triển củaH(x)nín ta chỉ quan tđm tới hệ số của A(x)với bậc 615.Do đó A(x)chỉ có câc hệ số a0, a6, a12lă thỏa mên.
Vă hệ số của xr trong khai triển B(x) = x−114lă br =Cr
r+4−1 =Cr r+3. Vậy hệ số của x15 trong khai triển củaH(x)lă
a0b15+a6b9+a12b3 = 1·C15 18 −C1 4C9 12+C2 4C3 6 Vậy số nghiệm nguyín dương của phương trình lă C15
18 −C14C9 4C9 12+C2 4C3 6. ❒ Ví dụ 5. Phương trình x1+x2+x3+x4+x5 = 30
có bao nhiíu nghiệm nguyín dương thỏa mên
06x1, x2 610; 36x3, x4, x5 65 vă x1, x2 chẵn
Hướng dẫn. Hăm sinh cho số nghiệm nguyín dương của phương trình lă G(x) = 1 +x2 +x4+· · ·+x102 x3+x4+x53
Công việc tìm hệ số x30 xin dănh cho bạn đọc. ❒
2.2. Ứng dụng hăm sinh chứng minh đẳng thức tổ hợpVí dụ 6. Chứng minh đẳng thức sau với n lă số tự nhiín