3. Câc băi toân tổng hợp
5 phải được tô mău xanh.
phải được tô mău xanh.
Ta thấy rằng tất cả câc đường chĩo của ngũ giâc A′
1A′
2A′
3A′
4A′
5 đều được tô mău vă luôn tồn tại ít nhất một cạnh của ngũ giâc được tô mău (bởi vì không xảy ra trường hợp cả5 cạnh của ngũ giâcA′
1A′
2A′
3A′
4A′
5 đều lă cạnh của đa giâc9đỉnhA1A2. . . A9). Khi đó tam giâc có ba đỉnh mă hai trong số đó lă đầu mút của cạnh ngũ giâc A′
1A′
2A′
3A′
4A′
5 được tô mău, đỉnh còn lại lă đỉnh đối diện với cạnh đó, lă tam giâc cần tìm. Băi toân được chứng minh. ❒
Băi toân 14 (IMO 1979). Cho hình lăng trụ có đây trín vă đây dưới lă hai ngũ giâc A1A2A3A4A5 vă B1B2B3B4B5. Mỗi cạnh của hai ngũ giâc cũng như câc đoạn thẳng AiBj
(i, j = 1,5) đều được tô bởi chỉ một trong hai mău xanh hoặc đỏ. Biết rằng bất kì tam giâc năo có ba đỉnh lă đỉnh của lăng trụ mă cả ba cạnh đều được tô mău thì luôn tồn tại hai cạnh có mău khâc nhau. Chứng minh tất cả 10 cạnh của hai ngũ giâc năy (ở đây trín vă đây dưới) có cùng một mău.
Lời giải. Trước tiín ta chứng minh rằng tất cả5cạnh của ngũ giâcA1A2A3A4A5 đều có cùng mău.
Thật vậy, giả sử điều ngược lại xảy ra, tức lă tồn tại hai cạnh kề nhau của ngũ giâcA1A2A3A4A5 khâc mău. Giả sử cạnh A1A2 tô xanh vă A1A5 tô đỏ. Xĩt 5 đoạn thẳng A1Bi với 1,5. Theo nguyín lí Dirichlet tồn tại ba trong 5 đoạn thẳng ấy cùng mău, không mất tính tổng quât có thể giả sử ba đoạn thẳng năy mău xanh, vă ba cạnh đó lă A1Bk, A1Bm, A1Bn. Lúc năy ta xĩt câc tam giâc A1A2Bk, A1A2Bm, A1A2Bn, ta có ba cạnh A2Bk, A2Bm, A2Bn cùng mău đỏ. Mặt khâc hai trong ba đỉnh Bk, Bm, Bn lă hai đỉnh kề nhau của ngũ giâc B1B2B3B4B5 nín chúng được tô xanh hoặc đỏ, giả sử hai đỉnh đó lăBk, Bm. Từ đđy ta thấy:
• NếuBkBm tô xanh thì tam giâc A1BkBm có ba cạnh tô xanh. • NếuBkBm tô đỏ thì tam giâc A2BkBm có ba cạnh tô đỏ.
Từ đđy suy ra điều mđu thuẫn nín giả sử sai. Như vậy 5 cạnh của ngũ giâc A1A2A3A4A5 có cùng mău.
Hoăn toăn tương tự ta chứng minh được 5 cạnh của ngũ giâcB1B2B3B4B5 tô cùng mău. Bđy giờ chỉ cần chứng minh mău câc cạnh của hai ngũ giâc giống nhau thì băi toân kết thúc. Giả sử ngược lại, chẳng hạn 5 cạnh của ngũ giâc A1A2A3A4A5 mău xanh, còn của ngũ giâc B1B2B3B4B5 mău đỏ. Chứng minh tương tự như trín ta có ba trong 5 cạnh A1Bi với i= 1,5
có cùng mău vă hai trong ba đỉnh Bi lă hai đỉnh kề nhau, từ đó ta có hai đỉnh năy tạo với A1 thănh tam giâc có ba cạnh đỏ (mđu thuẫn). Như vậy ba trong 5cạnhA1Bi với i= 1,5có cùng mău xanh.
Trong số ba cạnh A1Bi (tập hợp một) vă ba cạnh A2Bi (tập hợp hai) vừa chỉ ra ở trín, chắc chắn có Bk năo đó cùng ở tập một vă tập hai. Khi đó tam giâcA1A2Bk có ba cạnh mău xanh (mđu thuẫn), do đó giả sử sai.
Tóm lại ta đê có điều cần chứng minh. ❒
Băi toân 15. Tô mău câc đỉnh của đa giâc đều12cạnh bằng hai mău khâc nhau. Hêy tìm tất cả câc câch tô mău sao cho không có đa giâc đều năo có câc đỉnh cùng mău.
Lời giải. Ta gọi một đa giâc có câc đỉnh cùng mău lă đa giâc cùng mău.
Trong đa giâc đều12cạnhA1A2. . . A12có4tam giâc đều(A1A5A9, A2A6A10, A3A7A11, A4A8A12), 3 hình vuông (A1A4A7A10, A2A5A8A11, A3A6A9A12) vă hai lục giâc đều. Nếu câc đỉnh của lục giâc đều cùng mău thì sẽ có hai tam giâc đều có câc đỉnh cùng mău. Do vậy ta chỉ cần quan tđm đến số câch tô mău câc đỉnh của câc tam giâc đều vă câc hình vuông đê liệt kí trín. Với mỗi tam giâc đều, số câch tô mău để không có ba đỉnh cùng mău lă23−2 = 6câch, do đó có tất cả 64 = 1296 câch tô mău sao cho không có tam giâc đều cùng mău.
Trong 1296 câch tô năy có những câch tô không thoả mên yíu cầu băi toân vì tồn tại hình vuông cùng mău. Bđy giờ ta sẽ đếm số câch tô mău sao cho tồn tại ít nhất một hình vuông cùng mău.
Để có một hình vuông cùng mău ta có 2·34 = 162 câch vì chẳng hạn nếu một hình vuông có cùng mău đỏ, đồng nghĩa với việc mỗi tam giâc đều chắc chắn có một đỉnh mău đỏ thì hai đỉnh còn lại của mỗi tam giâc không cùng mău chỉ có thể nhận một trong ba trạng thâi mău lă : xanh - đỏ, đỏ - xanh, xanh - xanh.
Để có hai hình vuông cùng mău (câc đỉnh của hai hình vuông năy có thể có cùng mău hoặc 4
đỉnh hình vuông năy khâc mău 4 đỉnh hình vuông kia) ta có số câc câch tô lă: 2 + 2·24 = 34
câch.
Để có ba hình vuông cùng mău (lưu ý chỉ cần xĩt trường hợp mỗi hình vuông có 4 đỉnh cùng mău nhưng cả 12 đỉnh của ba hình vuông không cùng mău), có tất cả6 câch.
Do vậy số câc câch tô mău để không có đa giâc đều năo cùng mău lă
1296−(3·162−(3·34−6)) = 906(câch)
❒
Băi toân 16. Cho lục giâc đều ABCDEF, trong đó đỉnhA được tô đỏ, câc đỉnh còn lại được tô xanh. Đổi mău câc đỉnh của lục giâc theo quy tắc mỗi lần đổi mău đồng thời ba đỉnh liín tiếp (xanh thănh đỏ, đỏ thănh xanh). Hỏi sau một số hữu hạn lần đổi mău như vậy có thể đạt được kết quả lă đỉnh B tô đỏ còn câc đỉnh còn lại tô xanh hay không?
Lời giải. Cđu trả lời lă không.
Thật vậy. Xĩt hai cặp đỉnh đối xứng nhau qua tđm O của lục giâc lă (A, D)vă (C, F). Khi ta đổi mău ba đỉnh liín tiếp của lục giâc thì không bao giờ xảy ra trường hợp cả hai điểm trong một cặp nói trín đều đổi mău.
b A bB b C b D b E b F bO
Ban đầu điểmA tô đỏ, điểm D tô xanh nín muốn chúng cùng mău xanh thì cần một số lẻ lần đổi mău.
Trong khi đó, ban đầu điểm C tô xanh, điểmF tô xanh nín muốn chúng vẫn cùng mău xanh thì cần một số chẵn lần đổi mău.
Hai điều trín mđu thuẫn nhau nín không xảy ra trường hợpB tô đỏ, câc đỉnh còn lại tô xanh
sau một số hữu hạn lần đổi mău. ❒
Nhận xĩt : Băi toân sử dụng phương phâp phản chứng bằng câch chỉ ra sau một số m lần đổi mău, nếu xĩt một cặp đỉnh năy thì m lă số chẵn, xĩt một cặp đỉnh khâc thìm lă số lẻ. Đối với băi toân tổng quât hơn cho 2n giâc đều(n ∈N;n >3)thì ta cũng có lời giải tương tự như trín.
Bằng phương phâp tương tự, ta giải quyết được hai băi toân sau :
Băi toân 17. Cho lục giâc đềuABCDEF, trong đó đỉnhAvăD được tô đỏ, câc đỉnh còn lại được tô xanh. Đổi mău câc đỉnh của lục giâc theo quy tắc mỗi lần đổi mău đồng thời ba đỉnh của một tam giâc cđn có đỉnh lă đỉnh lục giâc (xanh thănh đỏ; đỏ thănh xanh). Hỏi sau một số hữu hạn lần đổi mău như vậy có thể đạt được kết quả lă đỉnh B tô đỏ còn câc đỉnh còn lại tô xanh hay không?
Băi toân 18. Có 41học sinh của hai lớp Toân vă Văn xếp thănh một hăng dọc. Biết rằng số học sinh mă người đứng liền trín lă bạn cùng lớp bằng số học sinh mă người đứng liền trín lă bạn khâc lớp. Người đứng đầu lă học sinh lớp Toân. Hỏi người đứng cuối cùng lă học sinh lớp năo? Nếu có43 học sinh thì người đứng cuối lă học sinh lớp năo?
Tổng quât băi toân : Nếu có 4k+ 1học sinh thì học sinh đứng đầu vă học sinh đứng cuối cùng lớp. Nếu có 4k+ 3 học sinh thì học sinh đứng đầu vă học sinh đứng cuối khâc lớp.
Băi toân 19. Cho hai đĩa hình tròn bằng nhau, mỗi đĩa được chia thănh 12hình quạt bằng nhau vă tô mău đỏ 5 hình quạt một câch tuỳ ý. Đặt đĩa thứ hai lín trín đĩa thứ nhất sao cho câc hình quạt ở hai đĩa trùng nhau. Lần lượt quay đĩa thứ hai quanh tđm của nó một góc 30◦
theo chiều kim đồng hồ, ta có tất cả12 vị trí. Chứng minh rằng trong12 vị trí đó, số vị trí có từ ba cặp hình quạt đỏ trùng nhau trở lín không quâ 8.
Lời giải. Mỗi hình quạt được tô mău đỏ ở đĩa thứ nhất sẽ lần lượt trùng với 5 hình quạt đỏ ở đĩa thứ hai. Như vậy số cặp hình quạt đỏ trùng nhau trong 12vị trí lă 5·5 = 25.
Gọi a lă số vị trí có từ ba cặp hình quạt đỏ trùng nhau trở lín vă n lă số cặp hình quạt đỏ trùng nhau trong a vị trí đó
Ta có 3a6n văn 625. Suy ra 3a625 hay a68. ❒
Băi toân 20. Cho hai đĩa hình tròn bằng nhau, mỗi đĩa được chia thănh2000hình quạt bằng nhau vă tô mău đỏ 200 hình quạt một câch tuỳ ý. Đặt đĩa thứ hai lín trín đĩa thứ nhất sao cho câc hình quạt ở hai đĩa trùng nhau. Lần lượt quay đĩa thứ hai quanh tđm của nó một góc
360◦
2000 theo chiều kim đồng hồ, ta có tất cả2000 vị trí. Chứng minh rằng trong2000 vị trí đó, có ít nhất 96vị trí có không quâ 20cặp hình quạt đỏ trùng nhau.
Lời giải. Gọi m lă số vị trí có không quâ 20 cặp hình quạt đỏ trùng nhau trở lín vă n lă số vị trí có từ 21 cặp hình quạt đỏ trùng nhau trở lín. Khi đóm+n = 2000.
Tương tự băi toân trín, ta có 21n640000. Vì n lă số tự nhiín nínn 61904.
Do đóm >2000−1904 = 96. ❒
Băi toân 21. Cho một lục giâc lồi. Chứng minh có thể chia lục giâc đó thănh câc tam giâc con vă tô hai mău đen trắng sao cho hoặc có cạnh chung (khi đó chúng được tô bởi hai mău khâc nhau), hoặc có chung đỉnh, hoặc không có điểm chung. Ngoăi ra mỗi cạnh của lục giâc lă cạnh của một tam giâc mău đen.
Nếu thay lục giâc lồi bằng đa giâc có 8 cạnh, 10 cạnh thì băi toân còn đúng hay không?
Lời giải. Hình vẽ dưới đđy sẽ chỉ ra một câch tô thoả mên yíu cầu băi toân khi đa giâc có6
cạnh. b b b b b b b b b b b b
Ta sẽ chứng minh nếu đa giâc cók cạnh măk không lă bội của ba thì băi toân không còn đúng. Thật vậy. Gọi số tam giâc trắng lă n. Ta có số cạnh tam giâc trắng lă 3n.
Mỗi cạnh của một tam giâc trắng sẽ lă cạnh của duy nhất một tam giâc đen, mặt khâc ta có mỗi cạnh của đa giâc lă cạnh của một tam giâc đen, do đó số tam giâc đen lă 3n+k
3 .Vì k không lă bội của 3 nín 3n+k