1 K39, THPT chuyín Phan Bội Chđu, Nghệ An.
2.2. Sử dụng nguyín lí Dirichlet
Nguyín lí Dirichlet được phât biểu lần đầu tiín bởi G. Lejeune Dirichlet (1805-1859), nhătoân học gốc Phâp như sau
Nguyín lý 1 (Nguyín lý Dirichlet). Nếu nhốt m con thỏ văo n câi chuồng (m, n ∈ N∗) thì luôn tồn tại ít nhất một chuồng có m−1
n
+ 1 con thỏ.
Nguyín lý 2 (Nguyín lí Dirichlet đối ngẫu). Cho tập hữu hạn S 6=∅ vă S1, S2, . . . , Sn lă câc tập con Si, i= 1, n của S sao cho |S1|+|S2|+· · ·+|Sn|> k|S|. Khi đó tồn tại một phần tử x
thuộc S sao cho x lă phần tử chung của k+ 1 tập Si, i= 1, n.
Ví dụ 13 (Czech 1998). Cho X lă một tập hợp gồm 14 số nguyín dương phđn biệt.Chứng minh rằng có một số nguyín dương k < 8 vă có hai tập con k phần tử {a1, a2, . . . , ak} vă {b1, b2, . . . , bk} rời nhau của X sao cho
1 a1 + 1 a2 +· · ·+ 1 ak − 1 b1 + 1 b2 +· · ·+ 1 bk < 1 1000
Lời giải. Có 3432 tập con 7 phần tử của X.
Tổng nghịch đảo câc phần tử của mỗi tập con 7 phần tử của X không vượt quâ1 +1
2+· · ·+1 7 < 2,6. Xĩt 2600 khoảng 0, 1 1000 , 1 1000, 2 1000 , . . . , 2599 2600,2600 1000 .
Theo nguyín lí Dirichlet tồn tại hai tập con 7 phần tử của X có tổng nghịch đảo câc phần tử thuộc cùng một khoảng trong câc khoảng trín.
Bỏ câc phần tử giống nhau của hai tập trín ta thu được hai tập con thỏa mên băi toân. ❒
Ví dụ 14. Một tập hợpM lă hợp của câc đoạn thẳng nằm trong đoạn[0; 1]. Biết rằng khoảng câch giữa hai điểm bất kì của M khâc0,1. Chứng minh rằng tổng độ dăi của những đoạn tạo nín M không vượt quâ 0,5.
Lời giải. Gỉa sử tổng độ dăi câc đoạn trongM lớn hơn0,5. Chia đoạn [0; 1] thănh 10 phần 0, 1
10 ,1 10, 2 10 , . . . , 9 10,1. Kí hiíu Mi lă phần của M nằm trong đoạn i
10,i+110 10
,(i = 0,9) vă Di lă tổng câc đoạn thẳng tạo ra Mi.
Bằng câc phĩp tịnh tiến thích hợp ta chuyển câc đoạn 1 10, 2 10 ;. . .; 9 10,1 về đoạn 0; 1 10 . Kí hiệuM′ i lă ảnh của Mi.
Ta có D=D0+D1+· · ·+D9 >0,5 = 5.0,1
Theo nguyín lí Dirichlet đối ngẫu có ít nhất 6 tập hợp trongM0, M′
1, M′
2, . . . , M′
9 có điểm chung. Tức lă một số năo đó trong 0;101lă kết quả của 6 điểm khâc nhau x1, x2, . . . , x6 của M trừ đi những số tương ứng có dạng k1
10,k210, . . . ,k610với ki lă một số năo đó trong {0; 1; 2;. . .; 9} vă i= 1,6
Theo nguyín lí Dirichlet có ít nhất hai trong câc số k1, k2, . . . , k6 lă hai số tự nhiín liín tiếp. Gỉa sửk2 =k1+ 1, suy rax2−x1 = k210−k1 = 101 (mđu thuẫn với giả thiết). Ta có điều cần chứng
minh. ❒
Nhận xĩt. Nguyín lí Dirichlet còn có ứng dụng rất quan trọng như sau : Xĩt đoạn [m;n]
vă k số thực x1, x2, . . . , xk (k > n−m) thì luôn tồn tại hai số xi, xj(i, j = 1, k) thỏa mên |xi−xj|= 1.
Ví dụ 15. Chứng minh rằng với mọi số nguyín dươngn >1, từ n+ 2 phần tử bất kì của tập {1; 2;. . .; 3n} có thể chọn ra hai số có hiệu lớn hơn n vă nhỏ hơn 2n.
Lời giải. Đặt A={1; 2;. . .; 3n}. Xĩt B ⊂A vă |B|=n+ 2.
Khi thím văo hai số cùng một lượng thì hiệu của chúng không thay đổi nín ta có thể thím văo câc phần tử của B cùng một lượng sao cho phần tử lớn nhất sau khi thím lă 3n.
Nếu tồn tại phần tửx∈ {n+1, n+2, . . . ,2n−1}sau khi thím văoB thì, ta cón <3n−x <2n (thỏa mên băi toân).
Giả sử không tồn tại phần tửx∈ {n+1, n+2, . . . ,2n−1}sau khi thím văoB. XĩtC =B\{3n}, khi đó C lă một tập con n+ 1 phần tử của tập{1; 2;. . .; 3n−1}.
Phđn hoạch tập trín thănh câc tập sau : T1 ={1; 2n}, T2 ={2; 2n+ 1}, . . . , Tn ={n; 3n−1}. Theo nhận xĩt trín ta suy ra tồn tại ít nhất một tập Ti chứa hai phần tử của B, hai phần tử
năy thỏa mên băi toân. ❒
Nhận xĩt.Ta có thể mở rộng băi toân trín như sau : Với mọi số nguyín dươngn >1, k, i ∈N∗
thì trong kn+ 2 phần tử của tập {1; 2;. . .; (2k+i)n} luôn chọn được hai phần tử có hiệu lớn hơn kn vă nhỏ hơn (2k+i)n.