Nguyễn Việt Dũng1
Tổ hợp băn cờ bao gồm câc băi toân hay vă khó. Băi viết năy thông qua một số băi toân điển hình nhằm giúp cho bạn đọc có nhìn tổng quan vă phương hướng giải quyết khi gặp câc băi toân băn cờ dạng năy.
Băi toân 1.
(a) Tìm số lớn nhất câc quđn xe có thể đặt trín băn cờ n×n để sao cho không có hai quđn năo tấn công lẫn nhau? Vă có bao nhiíu câch đặt thỏa mên với số lượng quđn xe đó? (b) Tìm số nhỏ nhất câc quđn xe có thể sắp xếp trín một băn cờn×nsao cho bất kì ô vuông
năo trín băn cờ đều bị khống chế bởi ít nhất một quđn xe trong số chúng? Có bao nhiíu câch xếp thỏa mên với số lượng quđn xe đó?
Lời giải. (a) Do không có quđn xe năo trín băn cờ tấn công quđn khâc nín điều kiện cần vă đủ lă không có hai quđn năo nằm trín cùng hăng hoặc cùng cột. Do đó tổng số câc quđn xe không vượt quâ n. Ta chỉ ra câch đặt n quđn thỏa mên điều kiện băi toân lă đặt n quđn xe trín đường chĩo chính của băn cờ.
Chúng ta sẽ xâc định số câch sắp xếp n quđn xe thỏa mên điều kiện băi toân. Trước hết chúng ta gọi quđn xe ở cột đầu tiín lă quđn xe đầu tiín, quđn xe ở cột thứ 2 lă quđn xe thứ 2,. . . vă quđn xe ở cột thứn lă quđn xe thứ n. Quđn xe đầu tiín có thể di chuyển trongn ô. Với bất kì câch đặt quđn xe đầu tiễn ở hăng năo thì còn lại n−1 hăng để câc quđn xe còn lại có thể di chuyển. Hay quđn xe thứ 2 có thể di chuyển trong n−1 hăng. Vă câc quđn xe còn lại có khả năng di chuyển trong n−2 hăng. . . Cuối cùng chỉ có duy nhất một hăng cho quđn xe thứn có thể đặt. Theo quy tắc nhđn, số câch đặtnquđn xe thỏa mên băi ra lăn(n−1)(n−2)· · ·1 = n!
câch đặt khâc nhau.
(b) Rõ răng không thể dùng ít hơnn quđn xe để đặt lín băn cờn×n thỏa mên băi ra vì trâi lại dùng ít hơn n quđn thì sẽ có một cột vă một hăng không chứa quđn xe năo, khi đó ô giao nhau của cột vă hăng đó không bị kiểm soât bởi bất kì quđn xe năo. Mặt khâc, rõ răng có thể đặt n quđn xe trín băn cờ thỏa mên băi toân nín n lă số nhỏ nhất thỏa mên băi ra.
Nếu n quđn xe trín băn cờ n×n kiểm soât mọi ô vuông trín băn cờ thì có hoặc một quđn xe trín mỗi cột hoặc một quđn xe trín mỗi hăng. Ngược lại nếu có một quđn xe trín mỗi hăng hoặc một quđn xe trín mỗi cột thì chúng sẽ kiểm soât cả băn cờ. Số câc câch sắp xếpnquđn xe trín mỗi cột lă nn (mỗi quđn có thể đặt trín n hăng). Tương tự có nn câch sắp xếp câc quđn