1. [x]0 = 1,[x]n =x(x−1)(x−2)· · ·(x−n+ 1) với n= 1,2,3, . . . 2. [x]0 = 1,[x]n =x(x+ 1)(x+ 2)· · ·(x+n+ 1) với n = 1,2,3, . . . 1. Định nghĩa
Trước khi đến định nghĩa chúng ta bắt đầu với ví dụ sau:
Ví dụ 1. Hêy chỉ ra rằng có 7 câch phđn hoạch tập hợp {1,2,3,4} gồm 4 phần tử thănh hai tập con khâc rỗng.
Lời giải. Chúng ta sẽ chỉ ra có 7 câch phđn hoạch thỏa mên đề băi:
{1} ∪ {2,3,4},{2} ∪ {1,3,4},{3} ∪ {1,2,4},{4} ∪ {1,2,3},{1,2} ∪ {3,4},{1,3} ∪ {2,4},{1,4} ∪
{2,3}. ❒
Định nghĩa 1. Số phđn hoạch tập hợp n phần tử thănh k khối không rỗng (partittions in k blocks) gọi lă số Stirling loại II, kí hiệu n
k .
Nói câch khâc, số Stirling loại 2 lă số câch phđn phối n quả bóng phđn biệt văo k hộp giống nhau mă không có hộp năo rỗng.
Điều khó khăn đối với chúng ta lă đi tìm công thức tổng quât cho số Stirling loại 2. Băi viết sau sẽ chỉ ra một số câch chứng minh vă câc vấn đề liín quan đến số Stirling loại 2.
Mệnh đề 1. Số toăn ânh từ tập n phần tử văo tập k phần tử bằng k!nk .
Chứng minh. Lấy câc tập hợp X ={x1, x2, . . . , xk} vă Y ={y1, y2, . . . , yk}.
Ta biết rằng mỗi câch phđn hoạch một tập hợp tương ứng 1-1 với một quan hệ tương đương trín tập hợp đó. Có k! toăn ânh 1-1 như vậy vă theo định nghĩa có n
k câch phđn chia tậpX. Do đó ta có số toăn ânh từ tập n phần tử văo tập k phần tử bằng k!nk . ❒