A
B C
D Gọi 6 điểm lăA, B, C, D, E, F.
Từ điểmA ta kẻ được5đoạn thẳng lă AB, AC, AD, AE, AF. Theo nguyín lí Dirichlet, tồn tại ba đoạn thẳng được tô bởi cùng một mău. Không mất tính tổng quât giả sử đó lă câc đoạn thẳng AB, AC, AD vă cùng tô mău xanh.
Nếu tồn tại ít nhất một đoạn thẳng trong ba đoạn thẳng BC, CD, DB được tô xanh thì băi toân được chứng minh (giả sử BC được tô xanh thì tam giâc ABC thoả mên)
Nếu cả ba đoạn thẳng BC, CD, DB đều được tô đỏ thì tam giâc BCD thoả mên.
Vậy băi toân đê được chứng minh. ❒
Ví dụ 2. Mỗi điểm trín mặt phẳng được tô bởi một trong hai mău. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm cùng mău có khoảng câch bằng 1.
Lời giải. Chọn ba điểm bất kì trong mặt phẳng sao cho chúng tạo thănh một tam giâc đều cạnh 1. Theo nguyín lí Dirichlet, vì ba điểm được tô bởi hai mău nín tồn tại hai điểm cùng
mău vă đó chính lă hai điểm cần tìm. ❒
Ví dụ 3. Mỗi điểm trín mặt phẳng được tô bởi một trong hai mău. Chứng minh tồn tại một hình chữ nhật có 4 đỉnh được tô bởi cùng một mău. Hêy phât biểu vă chứng minh mệnh đề tổng quât.
Lời giải. Xĩt câc giao điểm của ba đường thẳng ngang vă9 đường thẳng đứng như hình vẽ. Số câch tô mău ba giao điểm trín cùng một đường thẳng đứng lă 2·2·2 = 8 câch.
Do có 9đường thẳng đứng nín tồn tại hai đường thẳng có câch tô mău ba giao điểm giống hệt nhau.
Giả sử hai đường thẳng đó lă hai đường thẳng chứa câc giao điểm lă A1, A2, A3 vă B1, B2, B3 như hình vẽ. A1 A3 B3 B1 A2 B2
Ba điểm A1, A2, A3 được tô bởi hai mău nín tồn tại hai điểm cùng mău. Giả sử lă A1 vă A3. Như vậy hình chữ nhật A1A3B3B1 có 4đỉnh được tô bởi cùng một mău. ❒
Mệnh đề tổng quât: Mỗi điểm trín mặt phẳng được tô bởi một trong n mău (n lă số nguyín dương). Chứng minh tồn tại một hình chữ nhật có 4đỉnh được tô bởi cùng một mău.
Chứng minh mệnh đề tổng quât tương tự như với trường hợp n = 2. Ta sẽ xĩt giao điểm của của ba đường thẳng ngang vă n3+ 1 đường thẳng đứng.
1.2. Nguyín lí cực hạn
Nguyín lý 3 (Nguyín lý cực hạn). Trong một tập hợp hữu hạn (khâc rỗng) câc số thực, luôn tồn tại số nhỏ nhất vă số lớn nhất.
Nhờ nguyín lí cực hạn ta có thể xĩt câc phần tử mă một đại lượng năo đó có giâ trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất như khoảng câch nhỏ nhất (lớn nhất) trong câc khoảng câch giữa hai điểm hay giữa một điểm với một đường thẳng, xĩt điểm ở phía bín trâi nhất hay bín phải nhất trong câc điểm nằm trín một đoạn thẳng, điểm được nối với nhiều điểm nhất,. . . Ta cùng đến với câc ví dụ dưới đđy:
Ví dụ 4. Cho một số hữu hạn điểm, trong đó có một số điểm mău đen, còn lại lă điểm trắng. Biết rằng:
(i) Mỗi điểm đen đều được nối với ít nhất một điểm trắng. (ii) Không có điểm trắng năo được nối với tất cả câc điểm đen.
Chứng minh rằng tồn tại một nhóm 4 điểm gồm 2 điểm trắng, 2 điểm đen mă mỗi điểm được nối với đúng một điểm khâc mău của nhóm đó.
Lời giải. Gọi A lă điểm trắng được nối với nhiều điểm đen nhất.
Do điều kiện (ii) nín tồn tại điểm đen không được nối với A, gọi điểm đó lă B. Do điều kiện (i) mă B phải được nối với 1 điểm trắng khâc A, gọi điểm đó lă C.
Trong tất cả câc điểm đen được nối vớiA tồn tại một điểm không được nối với C, gọi đó lă D (vì nếu không tồn tại thì điểm trắng C được nối với nhiều điểm đen hơn A, trâi với câch chọn điểm A).
Như vậy nhóm 4 điểm A, B, C, D lă nhóm cần tìm. ❒
Ví dụ 5. Cho tập hợp X gồm hữu hạn câc điểm trín mặt phẳng. Mỗi cặp điểm bất kì được nối với nhau bởi một đoạn thẳng vă tô bằng một trong hai mău xanh hoặc đỏ. Biết rằng nếu hai điểmA văB thuộc tập hợpX lă đầu mút của cùng một số đoạn thẳng xanh thì không tồn tại điểm C thuộc tập hợp X sao cho AC vă BC cùng tô xanh. Chứng minh rằng tồn tại một điểm mă nó chỉ lă đầu mút của đúng một đoạn thẳng xanh.
Lời giải. Vì số điểm thuộc X lă hữu hạn nín có thể tìm được một điểm A lă đầu mút của nhiều đoạn thẳng tô mău xanh nhất. Giả sửAB1, AB2, . . . , ABk tô mău xanh văBi lă đầu mút của ni đoạn thẳng xanh.
Từ điều kiện băi toân ra ta suy ra n1, n2, . . . , nk đôi một khâc nhau.
Mặt khâc câc số n1, n2, . . . , nk nhận câc giâ trị nguyín trong khoảng từ một đến k nín chắc
chắn tồn tại ni = 1. Ta có điều cần chứng minh. ❒
1.3. Tính chất bất biến
Trong câc băi toân tổ hợp, ngoăi câc băi toân sử dụng nguyín lí Dirichlet vă nguyín lí cực hạn, ta còn gặp câc băi toân sử dụng tính chất bất biến của câc đối tượng khi chúng thay đổi. Mặc dù câc đối tượng năy thay đổi nhưng vẫn có những tính chất không bị thay đổi trong suốt quâ
trình biến đổi vă đó được gọi lă tính chất bất biến. Sử dụng tính chất bất biến ta có thể loại bỏ những trường hợp, những khả năng không thể xảy ra.
Một bất biến đơn giản nhất vă thường gặp lă tính chẵn lẻ của số, tức lă ta sẽ xĩt số dư khi chia cho 2. Ngoăi ra ta cũng có thể xĩt số dư cho câc số bất kì khâc.
Để thiết lập câc bất biến đôi khi ta cũng sử dụng phương phâp tô mău, tức lă chia câc đối tượng đang xĩt ra lăm nhiều nhóm, câc phần tử của mỗi nhóm được tô bởi cùng một mău.
Ví dụ 6. Cho 13 đoạn thẳng thẳng đứng, đầu trín tô đỏ, đầu dưới tô xanh. Mỗi lượt người ta đổi mău hai đầu của 4đoạn thẳng: đỏ thănh xanh, xanh thănh đỏ. Có câch năo sau một số lượt đổi mău, đầu trín của 13đoạn thẳng được tô xanh hay không?
Lời giải. Nhận thấy rằng sau mỗi lần đổi mău thì số đầu trín mău đỏ của13đoạn thẳng luôn thay đổi một số chẵn, mă ban đầu số đầu trín mău đỏ lă số lẻ (13) nín không thể có khả năng không có đầu trín năo mău đỏ sau một số lần đổi, tức lă không xảy ra trường hợp cả 13 đầu
trín của 13 đoạn thẳng đều có mău xanh. ❒
Ví dụ 7. Một hình tròn được chia thănh 6 hình quạt, trong mỗi hình quạt ta đặt một viín bi. Thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần chuyển một viín bi ở một hình quạt năo đó sang hình quạt kề với nó. Hỏi sau 20lần chuyển bi ta có thể nhận được trạng thâi mă cả 6viín bi đều ở cùng một hình quạt hay không?
Lời giải. Tô mău câc hình quạt như hình vẽ. Gọi Sn lă tổng số viín bi trong câc hình quạt mău đen sau lần chuyển bi thứ n.
b b b b b b b
Ta thấy Sn thay đổi sau mỗi lần chuyển bi, tuy nhiín Sn ≡n+ 1 (mod 2) với mọi n>0. Suy ra S20 lă số lẻ. Nếu sau 20lần chuyển bi mă ta có thể nhận được khả năng6 viín bi cùng thuộc một hình quạt thì Sn = 0 hoặc Sn= 6.
Vậy sau 20lần chuyển bi ta không thể nhận được kết quả mă cả6 viín bi đều thuộc một hình
quạt. ❒
Ví dụ 8. Cho một băn cờ quốc tế. Được phĩp sơn lại câc ô của một đường nằm ngang hoặc đường thẳng đứng năo đó thănh mău khâc. Hỏi bằng câch đó có thể nhận được một băn cờ chỉ gồm duy nhất một ô đen hay không ?
Lời giải. Khi tô lại một đường nằm ngang hoặc một đường thẳng đứng có k ô đen vă 8−k ô trắng ta được 8−k ô đen vă k ô trắng. Do đó số ô đen thay đổi đi(8−k)−k= 8−2k, tức lă thay đổi một số chẵn ô. Bởi vì tính chẵn lẻ của số ô đen không thay đổi, mă ban đầu có một số chẵn câc ô đen (32ô) nín ta không thể nhận được khả năng băn cờ chỉ có duy nhất một ô