Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 176 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Cấu trúc
Lời nói đầu
Mục lục
Sử dụng phép đếm để chứng minh các đẳng thức tổ hợp
Các bài tập đề nghị
Hướng dẫn và gợi ý
Phương pháp đếm bằng hai cách
Cơ sở lý thuyết
Các bài toán áp dụng phương pháp đếm bằng hai cách
Đếm số tập con, số cặp và số hoán vị
Phương pháp đếm bằng hai cách và đồ thị hữu hạn
Phương pháp ma trận liên thuộc
Các bài tập đề nghị
Tài liệu tham khảo
Phương pháp xây dựng mô hình trong giải toán tổ hợp
Một số vấn đề về xây dựng mô hình trong giải toán tổ hợp
Xây dựng đồ thị
Đồ thị một chiều
Đồ thị hai chiều
Tài liệu tham khảo
Phương pháp hàm sinh
Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa
Một số đẳng thức liên quan đến hàm sinh
Ứng dụng hàm sinh giải các bài toán đếm điển hình
Ứng dụng hàm sinh giải bài toán chia kẹo Euler
Ứng dụng hàm sinh chứng minh đẳng thức tổ hợp
Ứng dụng hàm sinh giải bài toán phân hoạch
Một số bài toán tổng hợp
Các bài tập tự luyện
Phương pháp hàm sinh
Cơ sở lý thuyết
Hàm sinh
Một số công cụ bổ sung
Khai triển của một số hàm
Một số kĩ thuật dùng hàm sinh
Tìm công thức tổng quát của dãy số
Tính các tổng tổ hơp
Các bài toán đếm
Các bài toán chứng minh
Bài tập
Lời giải
Giải toán tổ hợp bằng đại lượng bất biến
Thuật toán
Các bài toán về thuật toán
Hàm bất biến
Các ví dụ
Các bài toán luyện tập
Một số bài toán tô màu
Tóm tắt lý thuyết
Nguyên lí Dirichlet
Nguyên lí cực hạn
Tính chất bất biến
Một số dạng toán thường gặp về tô màu
Bài toán liên quan đến đồ thị
Bài toán tô màu bảng ô vuông
Các bài toán khác
Các bài toán tổng hợp
Cực trị và bất đẳng thức rời rạc
Cực trị trong dãy số nguyên
Một số bài toán bất đẳng thức tổ hợp
Sử dụng một số tính chất của ánh xạ
Sử dụng nguyên lí Dirichlet
Phương pháp ghép cặp
Một số bài toán khác
Một số bài toán tìm cực trị tổ hợp
Tài liệu tham khảo
Một số bài toán tổ hợp điển hình về bàn cờ
Tài liệu tham khảo
Số Stirling loại hai
Định nghĩa
Công thức tính số Stirling
Một số bài toán về số Stirling loại 2
Nội dung
[...]... tra với các giá trị n nhỏ Dựa vào phân tích trên, các bạn hãy thử giải quyết bài toán sau: Bài toán 2 Có bao nhiêu cách phân hoạch tậphợp S gồm n phần tử thành hai tập con?” (tập hợp S phân hoạch thành hai tậphợp A và B khi A ∩ B = ∅, A ∪ B = S) Có một bài toán khá thú vị về việc chia tậphợp này là: Bài toán 3 Cho tậphợp S = {1, 2, , n} là tậphợp n số nguyên dương đầu tiên a) Hãy tìm số cách chia... 2[n] là tậphợp tất cả cáctập con của [n] Tổng quát hơn, ta kí hiệu 2S là tậphợp tất cả cáctập con của một tậphợp S bất kì Bài toán 5 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có n (−1)i i=0 n i =0 Lời giải Trước hết, ta sẽ đếm số tập con có chẵn phần tử của [n] Số cáctập con này là n 2k 19 Để có một tập con có chẵn phần tử của [n], trước hết ta chọn ra n − 1 phần tử cố định và chọn tiếp một tập con... điều kiện dưới đây: (i) Hai ô vuông kề nhau (tức là hai ô chứa hai số liền nhau hoặc hai số cách nhau n đơn vị) sẽ không được chọn đồng thời (ii) Hai ô chứa số n và n + 1 cũng sẽ không được chọn đồng thời Rõ ràng số cách chọn này chính là số tậphợp con S của tậphợp T cần tìm, đặt số cách chọn này là S(n) Ta sẽ xét thêm số cách chọn một số ô vuông A(n), B(n), C(n) từ các bảng (A), (B), (C) cũng thỏa... số tập con S có k phần tử của [n + 1] Vế n phải là tổng của hai biểu thức gợi ý cho chúng ta sử dụng quy tắc cộng n và k−1 tương ứng k là số k -tập con và (k − 1) tập con của [n], trong khi tậphợp ban đầu của chúng ta là [n + 1] Từ đó ta xét hai trường hợp sau với một phần tử e bất kì của [n + 1] : 1 e ∈ S : Số cáctập S thỏa mãn sẽ là 2 e ∈ S : Số cáctập S thỏa mãn là / n k ; n k−1 Vì vậy số tập. .. 1)2 2 b−1 2b (4) Ì Qua các ví dụ trên ta thấy, để vận dụng tốt phương pháp này chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của các đối tượng có trong đẳng thức Với việc xét một bài toán đếm và đếm theo nhiều cách sẽ cho chúng ta các kết quả khác nhau về mặt hình thức và từ đó có được các đẳng thức tổhợpCác bài tậpđề nghị Bài tập 1 Chứng minh đẳng thức 1 1 k Cn = C k+1 k+1 n + 1 n+1 Bài tập 2 Chứng minh đẳng thức... con có k phần tử của [n] đều chứa ít nhất một tập con trên Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương l k n, ta có n l k l T (n, k, l) Lời giải Đặt F là họ nhỏ nhất cáctập con l phần tử của [n] sao cho với mọi tập con k phần tử của [n] đều chứa ít nhất một phần tử của F Xét ma trận liên thuộc M = (mA,B ) với các được đánh số theo cáctập con A của F, các cột được đánh số theo cáctập con k phần tử B của... cầu của bài toán là hợp của hai tập con là S” nên không thể tính trường hợp thứ 4 ở trên được Do đó, ứng với mỗi phần tử, ta có đúng 3 cách xếp vào hai tậphợp n −1 n +1 Từ đây, ta có thể tính ra đáp số của bài toán là 3 2 + 1 = 3 2 Giải thích thêm về kết quả này, ta thấy rằng có một vấn đề cần giải quyết khi đếm là các trường hợp bị trùng nhau Nếu đề ban đầu đã cho sẵn hai tập con A và B rồi thì... pháp đếm bằng hai cách, ta cần chú ý đến các biểu thức có ý nghĩa trong tổhợp : n là số tập con có k phần tử của một tập có n phần tử; n! là số các hoán vị của n k phần tử; n là số các bội số của k trong n số nguyên dương đầu tiên; nk là số chỉnh hợp lặp k chập k của n phần tử Nắm vững được bản chất của các biểu thức trên, ta có thể chứng minh một số đẳng thức và bất đẳng thức tổhợp bằng phương pháp... sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được số các k -tập con bằng số các (n − k) -tập con Mà điều này là hiển nhiên vì mỗi k -tập con S của [n] tương ứng duy nhất với (n − k) -tập con [n] \ S Vậy số các k -tập con bằng số các (n − k) -tập con Ta có điều cần chứng minh Ì Bài toán 2 Chứng minh rằng với n, k là các số nguyên và 1 k n k =n n−1 k−1 = (n − k + 1) k n, ta luôn có đẳng thức n k−1 Lời giải Tích của k... nó tương ứng với bảng: 1 2 3 ··· n−3 n+2 n+3 ··· 2n − 3 2n − 2 Rõ ràng, số cách chọn các ô vuông từ bảng này và thỏa điều kiện (i) chính là C(n−2) Do các trường hợp ở trên là rời nhau nên A(n) = S(n) + C(n − 2) (2) Cũng để tính số cách chọn A(n) các ô vuông từ bảng (A), ta chia làm 3 trường hợp: • Các ô vuông chứa 1 và n + 1 không được chọn bảng (A) có dạng: 2 3 ··· n−1 n n+2 n+3 ··· 2n − 1 2n Ta thấy . năng toán, các học sinh giỏi quốc gia, quốc tế đến từ mọi miền của Tổ quốc đã cùng nhau viết nên các chuyên đề, các bài giảng về toán tổ hợp nâng cao. Tuyển tập các chuyên đề tổ hợp ra đời. của [n] bằng 2 n , ta còn kí hiệu 2 [n] là tập hợp tất cả các tập con của [n]. Tổng quát hơn, ta kí hiệu 2 S là tập hợp tất cả các tập con của một tập hợp S bất kì. Bài toán 5. Chứng minh rằng. được số các k -tập con bằng số các (n −k) -tập con. Mà điều này là hiển nhiên vì mỗi k -tập con S của [n] tương ứng duy nhất với (n −k) -tập con [n] S. Vậy số các k -tập con bằng s ố các (n −k) -tập con.