Tuyển tập các chuyên đề tổ hợp ôn thi đại học

[...]... tra với các giá trị n nhỏ Dựa vào phân tích trên, các bạn hãy thử giải quyết bài toán sau: Bài toán 2 Có bao nhiêu cách phân hoạch tập hợp S gồm n phần tử thành hai tập con?” (tập hợp S phân hoạch thành hai tập hợp A và B khi A ∩ B = ∅, A ∪ B = S) Có một bài toán khá thú vị về việc chia tập hợp này là: Bài toán 3 Cho tập hợp S = {1, 2, , n} là tập hợp n số nguyên dương đầu tiên a) Hãy tìm số cách chia... 2[n] là tập hợp tất cả các tập con của [n] Tổng quát hơn, ta kí hiệu 2S là tập hợp tất cả các tập con của một tập hợp S bất kì Bài toán 5 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có n (−1)i i=0 n i =0 Lời giải Trước hết, ta sẽ đếm số tập con có chẵn phần tử của [n] Số các tập con này là n 2k 19 Để có một tập con có chẵn phần tử của [n], trước hết ta chọn ra n − 1 phần tử cố định và chọn tiếp một tập con... điều kiện dưới đây: (i) Hai ô vuông kề nhau (tức là hai ô chứa hai số liền nhau hoặc hai số cách nhau n đơn vị) sẽ không được chọn đồng thời (ii) Hai ô chứa số n và n + 1 cũng sẽ không được chọn đồng thời Rõ ràng số cách chọn này chính là số tập hợp con S của tập hợp T cần tìm, đặt số cách chọn này là S(n) Ta sẽ xét thêm số cách chọn một số ô vuông A(n), B(n), C(n) từ các bảng (A), (B), (C) cũng thỏa... số tập con S có k phần tử của [n + 1] Vế n phải là tổng của hai biểu thức gợi ý cho chúng ta sử dụng quy tắc cộng n và k−1 tương ứng k là số k -tập con và (k − 1) tập con của [n], trong khi tập hợp ban đầu của chúng ta là [n + 1] Từ đó ta xét hai trường hợp sau với một phần tử e bất kì của [n + 1] : 1 e ∈ S : Số các tập S thỏa mãn sẽ là 2 e ∈ S : Số các tập S thỏa mãn là / n k ; n k−1 Vì vậy số tập. .. 1)2 2 b−1 2b (4) Ì Qua các ví dụ trên ta thấy, để vận dụng tốt phương pháp này chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của các đối tượng có trong đẳng thức Với việc xét một bài toán đếm và đếm theo nhiều cách sẽ cho chúng ta các kết quả khác nhau về mặt hình thức và từ đó có được các đẳng thức tổ hợp Các bài tập đề nghị Bài tập 1 Chứng minh đẳng thức 1 1 k Cn = C k+1 k+1 n + 1 n+1 Bài tập 2 Chứng minh đẳng thức... con có k phần tử của [n] đều chứa ít nhất một tập con trên Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương l k n, ta có n l k l T (n, k, l) Lời giải Đặt F là họ nhỏ nhất các tập con l phần tử của [n] sao cho với mọi tập con k phần tử của [n] đều chứa ít nhất một phần tử của F Xét ma trận liên thuộc M = (mA,B ) với các được đánh số theo các tập con A của F, các cột được đánh số theo các tập con k phần tử B của... cầu của bài toán là hợp của hai tập con là S” nên không thể tính trường hợp thứ 4 ở trên được Do đó, ứng với mỗi phần tử, ta có đúng 3 cách xếp vào hai tập hợp n −1 n +1 Từ đây, ta có thể tính ra đáp số của bài toán là 3 2 + 1 = 3 2 Giải thích thêm về kết quả này, ta thấy rằng có một vấn đề cần giải quyết khi đếm là các trường hợp bị trùng nhau Nếu đề ban đầu đã cho sẵn hai tập con A và B rồi thì... pháp đếm bằng hai cách, ta cần chú ý đến các biểu thức có ý nghĩa trong tổ hợp : n là số tập con có k phần tử của một tập có n phần tử; n! là số các hoán vị của n k phần tử; n là số các bội số của k trong n số nguyên dương đầu tiên; nk là số chỉnh hợp lặp k chập k của n phần tử Nắm vững được bản chất của các biểu thức trên, ta có thể chứng minh một số đẳng thức và bất đẳng thức tổ hợp bằng phương pháp... sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được số các k -tập con bằng số các (n − k) -tập con Mà điều này là hiển nhiên vì mỗi k -tập con S của [n] tương ứng duy nhất với (n − k) -tập con [n] \ S Vậy số các k -tập con bằng số các (n − k) -tập con Ta có điều cần chứng minh Ì Bài toán 2 Chứng minh rằng với n, k là các số nguyên và 1 k n k =n n−1 k−1 = (n − k + 1) k n, ta luôn có đẳng thức n k−1 Lời giải Tích của k... nó tương ứng với bảng: 1 2 3 ··· n−3 n+2 n+3 ··· 2n − 3 2n − 2 Rõ ràng, số cách chọn các ô vuông từ bảng này và thỏa điều kiện (i) chính là C(n−2) Do các trường hợp ở trên là rời nhau nên A(n) = S(n) + C(n − 2) (2) Cũng để tính số cách chọn A(n) các ô vuông từ bảng (A), ta chia làm 3 trường hợp: • Các ô vuông chứa 1 và n + 1 không được chọn bảng (A) có dạng: 2 3 ··· n−1 n n+2 n+3 ··· 2n − 1 2n Ta thấy . năng toán, các học sinh giỏi quốc gia, quốc tế đến từ mọi miền của Tổ quốc đã cùng nhau viết nên các chuyên đề, các bài giảng về toán tổ hợp nâng cao. Tuyển tập các chuyên đề tổ hợp ra đời. của [n] bằng 2 n , ta còn kí hiệu 2 [n] là tập hợp tất cả các tập con của [n]. Tổng quát hơn, ta kí hiệu 2 S là tập hợp tất cả các tập con của một tập hợp S bất kì. Bài toán 5. Chứng minh rằng. được số các k -tập con bằng số các (n −k) -tập con. Mà điều này là hiển nhiên vì mỗi k -tập con S của [n] tương ứng duy nhất với (n −k) -tập con [n] S. Vậy số các k -tập con bằng s ố các (n −k) -tập con.