Tuyển tập các đề thi dự tuyển học sinh giỏi toán đồng bằng sông Cửu long lần thứ 16

Lần thứ 16 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 1 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 2 Mục lục Tỉnh Trang An Giang 3(18) Bạc Liêu 4(22) Bến Tre 5(25) Cà Mau 6(29) Cần Thơ 7(34) Đồng Tháp (TP.Cao Lãnh) 8(38) Đồng Tháp (Sa Đéc) 9(42) Hậu Giang 10(46) Kiên Giang 11(50) Long An 12(56) Sóc Trăng 13(61) Tiền Giang (Cái Bè) 14(66) Tiền Giang 15(70) Trà Vinh 16(76) Vĩnh Long 17(83) Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 3 ĐỀ DỰ TUYỂN HSG TOÁN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG Tỉnh An Giang Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu Câu 1: (3 điểm) Xác định a để hệ phương trình 2 2 2 ax a 1 y sin x tan x y 1            có nghiệm duy nhất. Câu 2: (3 điểm) Cho ABC  , M là điểm thuộc miền trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến cạnh BC, CA, AB. Chứng minh 2 2 2 a b c x y z 2R      . Dấu bằng xảy ra khi nào?  a BC;b AC;c AB;R    là bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC  . Câu 3: (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số   x; y với x,y   sao cho: 3 3 2 x y 2y 1    Câu 4: (3 điểm) Cho dãy số   n u thỏa mãn điều kiện   n n n 1 0 u 1 ;n 2,3,4, 1 u 1 u 4            Tìm n n lim u  Câu 5: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của số tự nhiên n sao cho n! tận cùng đúng bằng 1987 chữ số 0. Câu 6: (3 điểm) Tìm các hàm f :    thỏa:         f 0 2008,f 2009 2 f x y f x y 2f x .cos y, x, y                      Câu 7: (3 điểm) Cho hình cầu tâm O, bán kính R. Từ điểm S bất kỳ trên mặt cầu kẻ 3 cát tuyến bằng nhau cắt mặt cầu tại A,B,C và đôi một tạo với nhau một góc  . Gọi V là thể tích của tứ diện S.ABC. Định  để V lớn nhất. Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 4 Tỉnh Bạc Liêu SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU Câu 1: ( 3 điểm ) Giải phương trình 4 3 4 4 4 3x 4 2x 18 3 0    Câu 2: ( 3 điểm ) Trên các cạnh của tam giác ABC lấy các điểm M’, N’, P’ sao cho mỗi đường thẳng MM’, NN’, PP’ đều chia chu vi tam giác ABC thành hai phần bằng nhau trong đó M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh ba đường thẳng MM’, NN’, PP’ đồng qui tại một điểm. Câu 3: ( 2 điểm ) Cho số nguyên tố p dạng 4k 3  . Chứng minh rằng không có số nguyên x nào thỏa điều kiện 2 (x 1) p   . Câu 4: ( 3 điểm ) Cho dãy số nguyên dương   n a thỏa mãn điều kiện 2 n n 1 n 1 a a a    n N*   Tính n lim  2 1 2 n 1 1 2 n n a a a          . Câu 5: ( 3 điểm ) Xung quanh bờ hồ hình tròn có 17 cây cau cảnh. Người ta dự định chặt bớt 4 cây sao cho không có 2 cây nào kề nhau bị chặt. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện khác nhau? Câu 6: ( 3 điểm ) Tìm tất cả các hàm số   f x liên tục trên R thỏa:   x f x f x; x R. 2            Câu 7: ( 3 điểm ) Cho 8 số thực a,b,c,d,x, y,z,t. Chứng minh rằng trong 6 số sau đây có ít nhất một số không âm: ac bd, ax by, az bt,    cx dy, cz dt, xz yt.    Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 5 Tỉnh Bến Tre Trường THPT chuyên Bến Tre Câu 1: (3 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 3 3 3 3 (x 3y 4z t) 27(x y z t ) x y z t 93                 Câu 2: (3 điểm) Cho một đường tròn với hai dây AB và CD không song song. Đường vuông góc với AB kẻ từ A cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại M và P. Đường vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BC, MN đồng quy; các đường thẳng AC, BD, PQ đồng quy. Câu 3: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 3 2 2 2 2 2 2 4y 4x y 4xy x y 5x 4y 4xy 8x 0         Câu 4: (3 điểm) Cho dãy số n (u ) xác định như sau: 1 2 n n 1 2008 u 2009 u 2u 1 0 , n 1,2,3,             Tìm n n lim u  Câu 5: (3 điểm) Cho hai số tự nhiên n, k thỏa : 0 k n   . Chứng minh rằng : n n 0 2 1 2 n 2 2 2n k 2n k n n n C .C ((C ) (C ) (C ) )       Câu 6: (3 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 x y z 1.    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy yz zx f . z x y    Câu 7: (3 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Các điểm X,Y,Z lần lượt di động trên các cạnh C’D’, AD, BB’. Định vị trí của X,Y,Z để chu vi tam giác XYZ nhỏ nhất. Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 6 Tỉnh Cà Mau Trường THPT chuyên Phan Ngọc Hiển Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình: 2 6 2 2008 6 2 4x 2 log x 3x 1 x x 1       . Câu 2: (3 điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, CA = b, BC = a. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. Chứng minh rằng: 2 2 2 IA IB IC 1 bc ca ab    . Câu 3: (2 điểm) Tìm ba số nguyên tố liên tiếp nhau sao cho tổng bình phương của ba số đó cũng là một số nguyên tố. Câu 4: (3 điểm) Xét dãy   n x trong đó n x là nghiệm dương duy nhất của phương trình: n 2 x x x 1    Dãy số   n y : n y = n n(x 1)  . Chứng minh rằng:   n y có giới hạn. Tìm n n lim y  . Câu 5: (3 điểm) Cho tập hợp   A 1,3,5, ,2n 1   (n    ). Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho tồn tại 12 tập con B 1 , B 2 , …, B 12 của A thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: i) i j B B (i 1,12; j 1,12;i j)       ; ii) 1 2 12 B B B A     ; iii) tổng các phần tử trong mỗi tập B i ( i 1,12  ) bằng nhau. Câu 6: (3 điểm) Cho hàm số f liên tục trên  và thoả mãn: f(x y) f(x).f(y) f(xy) f(x) f (y); x, y f(0) 2,f(2) 0              Chứng minh rằng: f(x + y) = f(x) + f(y), x,y    . Câu 7: (3 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M, N là hai điểm di động lần lượt thuộc AD’, DB thoả điều kiện: AM = DN = x ( 0 x a 2   ). a. Tìm x để đoạn MN ngắn nhất. b. Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN // A’C. Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 7 Thành phố Cần Thơ Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Câu 1 : ( 3 điểm ) Tìm các giá trị thực của a sao cho tồn tại 5 số thực không âm 1 2 3 4 5 x , x , x , x , x thỏa đồng thời các điều kiện 5 5 5 3 2 5 3 k k k k 1 k 1 k 1 k.x a; k .x a ; k .x a          Câu 2 : ( 3 điểm ) Cho ABC nhọn, H là trực tâm của tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của HA, HB, HC với đường tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh 1 1 1 1 1 1 HA' HB' HC' HA HB HC      Câu 3 : ( 2 điểm ) a) Chứng minh phương trình 2 2 2 z (x 1)(y 1) 2010 (1)     vô nghiệm với x, y, z  Z. b) Chứng minh phương trình 2 2 2 z (x 1)(y 1) 2008 (2)     có nghiệm với x, y, z  Z. Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho dãy số (a n ) bị chặn và   n 2 n 1 n 1 5 a a a n 1 6 6      Chứng minh rằng dãy (a n ) hội tụ. Câu 5 : ( 3 điểm ) Cho 15 bài toán trắc nghiệm, đánh số từ 1 đến 15. Mỗi bài chỉ có 2 khả năng trả lời: Đúng hoặc Sai. Có 1600 thí sinh tham gia thi, nhưng không có ai trả lời đúng 2 bài liền nhau.( Nếu xem bài làm của mỗi thí sinh tương ứng với một dãy 15 phần tử Đ, S thì không bài làm nào có dạng: ĐSĐĐSSSSSSĐSĐSS 2 chữ đúng kề nhau.) Chứng minh rằng có ít nhất 2 thí sinh trả lời toàn bộ 15 bài giống hệt như nhau. Câu 6 : ( 3 điểm ) Tìm các hàm f: R  R khả vi và thỏa điều kiện f(x f(y)) f (y f(x)) x,y R      Câu 7 : ( 3 điểm ) Cho tứ diện ABCD có các trung điểm các cạnh đều thuộc một mặt cầu. AB 3.CD, AC 3.DB, AD 3.BC    . Hãy tính thể tích tứ diện ABCD theo BC . Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 8 Tỉnh Đồng Tháp Trường THPT TP.Cao Lãnh Câu 1 : ( 3 điểm ) Giải bất phương trình: 2 12x 8 2x 4 2 2 x 9x 16       Câu 2 : ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O. Các tiếp tuyến với (O) tại B, C cắt nhau tại M, AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng : 2 2 NB.AC NC.AB 0   . Câu 3 : ( 2 điểm ) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho 2a+1 chia hết cho b và 2b+1 chia hết cho a. Câu 4 : ( 3 điểm ) Tìm giới hạn của dãy n (u ) với n n n 1 n 1 n n 6 36 6 u (9 4)(3 2) (27 8)(9 4) (3 2 )(3 2 )             Câu 5 : ( 3 điểm ) Cho hình hộp chử nhật có độ dài ba kích thước là các số tự nhiên. Các mặt của hình hộp được sơn màu xanh. Chia hình hộp này thành các khối lập phương đơn vị bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình hộp. Tìm các kích thước của hình hộp , biết rằng số các khối lập phương đơn vị không có mặt nào màu xanh bằng 3 1 tổng số các khối lập phương đơn vị. Câu 6 : ( 3 điểm ) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước phương trình : 2n 1 x x 1 0     có đúng một nghiệm số thực. Gọi nghiệm số thực ấy là x n . Hãy tìm n lim x . Câu 7 : ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O,R) và một đường kính PQ cố định của đường tròn. Trên tia PQ ta lấy một điểm S cố định ( khác P và Q). Với mỗi điểm A thuộc đường tròn ta dựng tia Px vuông góc với tia PA và nằm cùng phía với nó đối với đường thẳng PQ. Gọi B là giao điểm của Px và SA. Tìm tập hợp điểm B, khi điểm A di động trên đường tròn (O,R). Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 9 Tỉnh Đồng Tháp Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu Câu 1 : ( 3 điểm ) Giải phương trình 2 6 2 2008 6 2 4x 2 log x 3x 1 x x 1       Câu 2 : ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC có 2 sin A , 2 sin B , 2 sin C lập thành một cấp số cộng và có tổng 2 2 2 3 sin A sin B sin C 2    . Đường cao kẻ từ A và đường phân giác trong góc B cắt nhau tại I, biết I thuộc miền trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: IAC IBC S S    Câu 3 : ( 2 điểm ) Tìm ba phân số tối giản a b c ; ; d d d tạo thành cấp số cộng biết : b 1 a c 1 b ; a 1 d b 1 d       Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho dãy (U n ), biết U 1 = 1, và dãy (V n ) với V n = U n+1 - U n , n = 1,2 …. Lập thành cấp số cộng, trong đó V 1 = 3; d = 3 . Tính : 1 2 n S U U U      Câu 5 : ( 3 điểm ) Trong thư viện có 12 bộ sách gồm 3 bộ sách Toán giống nhau, 3 bộ sách Vật lý giống nhau, 3 bộ sách Hóa học giống nhau và 3 bộ sách Sinh học giống nhau được xếp thành một dãy sao cho không có ba bộ nào cùng một môn đứng kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy ? Câu 6 : ( 3 điểm ) Cho z y x , , thỏa điều kiện 2 2 2 x y 2 z 2z(x y) 8         Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A z(y x)   Câu 7 : ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a và (d) là đường thẳng tùy ý cắt các đường thẳng BC, CA, AB. Gọi x, y, z tương ứng là các góc giữa đường thẳng (d) và các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh 2 2 2 2 2 2 1 sin x.sin y.sin z cos x.cos y.cos z 16   . [...]... xúc với tất cả các đường sinh của nón và với S1 ; S3 là hình cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với S2 ; ; S2009 là hình cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với S2008 Gọi V2 , V3 , , V2009 lần lượt kà thể tích của các hình cầu S2 ,S3 , ,S2009 Chứng minh rằng : V1  V2   V2009  1 V 2 Trang 10 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Kiên Giang Trường.. .Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Hậu Giang SỞ GD&ĐT HẬU GIANG Bài 1: Cho hệ: x 2  y2  4  2 2  u  v  16  xu  yv  8  Tìm nghiệm của hệ để biểu thức A   x  1 u  1 đạt giá trị lớn nhất Bài 2 : Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ là các điểm bất ký trên cạch BC, AC, AB sao cho các đường thẳng AA’ , BB’ CC’ đồng qui Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = AB’.CA’.BC’... của mỗi tập Bi ( i  1,12 ) là 3k2 0,25đ Với n  6k  2n  1  12k  1 thuộc ít nhất một tập Bi nào đó  12k  1  3k 2 0,5đ k  4 0,25đ Khi k = 4  n = 24: A  1,3,5, 47 0,25đ Xét các tập Bi ( i  1,12 ): Bi  2i  1, 49  2i , ( i  1,12 ) 0,5đ Dễ thấy: B1  1,47 , B2  3, 45, B3  5, 43, , B12  23, 25 0,25đ Trang 31 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 là 12 tập con... các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A ', B',C ' Đặt V, VA , VB , VC lần lượt là thể tích của các tứ diện SABC, SMBC, SMCA, SMAB V V V Chứng minh : V  A  B  C SA ' SB' SC' Trang 15 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Trà Vinh Trường THPT chuyên Trà Vinh Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình: 32x 5  32x 4  16x 3  16x 2  2x  1  0 (1) Câu 2 : (3 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a;... sao cho tập hợp A được phân thành 12 tập con B1, B2,…, B12 thỏa các điều kiện đề bài, tức là: đôi một không giao nhau, B1  B2   B12  A , đồng thời tổng các phần tử của mỗi tập Bi ( i  1,12 ) bằng nhau Ta có tổng tất cả các phần tử của tập A là: 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2 0,25đ Do tổng các phần tử của mỗi tập Bi ( i  1,12 ) bằng nhau nên n2    n  6k , k    12 0,5đ Khi đó tổng các phần... 4 với mọi x Câu 7 : ( 3 điểm ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 3 ; Gọi N là 2 điểm trên cạnh SC sao cho CN = SC ; mặt phẳng (  ) thay đổi đi qua AN và cắt SB, SD 3 tại M, P Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thi t diện AMNP khi mặt phẳng (  ) thay đổi Trang 14 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Tiền Giang Trường THPT chuyên Tiền Giang Câu... đặt 4 cây vào 4 trong số 13 vị trí xen kẽ giữa 12 cây (kể cả 2 đầu), nên: 4 Số cách chặt 4 cây ở trường hợp 1 là: C13  715 (cách) (1đ) Trang 23 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trường hợp 2: Cây A bị chặt Khi đó hàng cây còn lại 16 cây Ta sẽ chặt 3 cây trong số 16 cây còn lại sao cho không có hai cây nào kề nhau bị chặt ( hai cây ở hai phía của cây A cũng không được chặt) 0,5đ) Giả... hệ thức (**), ta được hệ thức: a 2 IA2  b 2 IB 2  c 2 IC 2  ab( IA2  IB 2  c 2 )  bc( IB 2  IC 2  a 2 )  ca ( IA2  IC 2  b2 )  0  ( a 2  ab  ac ) IA2  (b 2  bc  ba ) IB 2  (c 2  ca  cb) IC 2  abc 2  acb 2  bca 2  (a  b  c )  aIA2  bIB 2  cIC 2   abc(a  b  c )   0,5đ Trang 29 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16  IA2 IB 2 IC 2    1 bc ca ab 0,5đ Cách... thẳng (  ): x + 2y – 4 = 0 Xét điểm M chuyển động trên  Các tiếp tuyến của (E) kẻ từ M tiếp xúc với (E) tại A và B Chứng minh rằng khi M chuyển động trên  thì đường thẳng AB luôn qua một điểm cố định Xác định điểm cố định ấy Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đ các vuông góc Oxy, cho elip (E): Trang 12 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Sóc Trăng SỞ GD&ĐT SÓC TRĂNG Câu 1: (3 điểm) 2... M,N lần lượt là trung điểm AB và SC Một mặt phẳng  thay đổi quay xung quanh MN cắt các cạnh SA và BC theo thứ tự ở P và Q không trùng với S AP b 1) Chứng minh rằng  BQ a AP 2) Xác định tỉ số sao cho diện tích MPNQ nhỏ nhất AS Trang 16 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Vĩnh Long Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Bài 1: (3 điểm) 3 2 Giải phương trình log 3  x  1  3  x  . Lần thứ 16 Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 1 Tuyển tập. 11(50) Long An 12(56) Sóc Trăng 13(61) Tiền Giang (Cái Bè) 14(66) Tiền Giang 15(70) Trà Vinh 16( 76) Vĩnh Long 17(83) Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 . Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 16 Tỉnh Trà Vinh Trường THPT chuyên Trà Vinh Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình: 5 4 3 2 32x 32x 16x 16x 2x 1