Trong khi tự giải một bài toán , tránh cho học sinh giải bài toán một cách máy móc , do đó việc phân chia các dạng toán ở mức độ nhất định , phải coi trọng phân tích đặc điểm bài toán để
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP THANH HÓA
ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ CÁCH GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4
Họ và tên: TRƯƠNG MẠNH HÙNG Chức vụ: HIỆU TRƯỞNG
Đơn vị công tác:
Trường THCS Đông Hương - TP Thanh Hóa
SKKN thuộc môn: TOÁN
NĂM HỌC 2010 – 2011
Trang 2I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong việc giảng dạy môn toán ở nhà trường THCS hướng dẫn học sinh giải bài tập là thể hiện phương pháp dạy học
Hướng dẫn cách giải bài tập giúp học sinh nắm bắt con đường từ xuất phát đến nút cuối cùng của một bài toán
Từ đó học sinh tụ mình từng bước xây dựng được phép suy luận khi phải độc lập giải quyết vấn đề
Trong khi tự giải một bài toán , tránh cho học sinh giải bài toán một cách máy móc , do đó việc phân chia các dạng toán ở mức độ nhất định , phải coi trọng phân tích đặc điểm bài toán để có lời giải hợp lý thông qua các bài tập mà cung cấp thêm kinh nghiệm giải toán và rèn luyện phương pháp suy luận
Trong quá trình dạy học môn toán , tôi suy ngẫm vẫn khẳng định rằng : phương pháp dạy giải toán theo yêu cầu của phương pháp tìm tòi lời giải Có nhiều yêu điểm và phát huy được tác dụng tốt cho nhiều đối tượng - dạy toán theo yêu cầu của phương pháp tìm tòi lời giải của bài toán gồm hai nội dung:
a - Dạy cách tìm tòi lời giải của bài toán
b - Dạy cách giải toán
c Từ những bài toán (giải phương trình bậc cao) đưa về những phương trình cơ bản đã được học
Quả vậy vai trò của người thầy chủ yếu và quyết định ở khâu hướng dẫn tìm lời giải , thầy giáo phải dự định được các hướng giải và phân tích nên chọn hướng nào Đồng thời xây dựng được một phương pháp “Nhìn” bài toán dưới “góc độ “ tư duy sáng tạo cho học sinh ở mức độ nào đó
Từ đó tôi suy nghĩ rằng một phương pháp dạy tốt là một phương pháp xích gần nhận thức trong học tập của học sinh với nhận thức sáng tạo - hay nói cách khác là phương pháp dạy cho học sinh tư duy sáng tạo - cốt lõi của hoạt động dạy và học , vì vậy tôi chỉ chọn một khía cạnh trong việc hường
Trang 3dẫn học sinh có cách tư duy sáng tạo cho các bài toán và các em đưa ra những cách giải cơ bản ở một số phương trình bậc bốn nói chung, mà hiện nay trong chương trình Đại số cấp THCS chỉ đề cập đến phương trình bậc bốn đặc biệt
II/ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
Thông qua một số ví dụ cụ thể để hình thành những nét đặc trưng của quá trình sáng tạo của học sinh THCS và nó biểu hiện cụ thể như thế nào trong hoạt động dạy và học , đặc biệt trong việc hướng dẫn học sinh tìm ra
“phương hướng” giải các dạng bài tập đó
III/ PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI:
Do điều kiện về thời gian , đề tài này chỉ đề cập đến một số ví dụ mang tính đặc trưng
IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Chủ yếu phương pháp tổng kết kinh nghiệm
\
B - NỘI DUNG:
Trang 4I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Thực sự trong quá trình giải toán là hoạt động tư duy sáng tạo toán học
mà cụ thể là hoạt động tìm tòi , do đó để tìm con đường hoạt động độc lập và sáng tạo cho học sinh , thầy giáo cần tổ chức hoạt động giải toán cho học sinh
ở dạng hoạt động tìm tòi , đặc biệt trong quá trình luyện tập
Để tổ chức hoạt động tìm tòi , để rèn luyện năng lực hoạt động sáng tạo cho học sinh thì cần làm tốt những vấn đề sau:
1- Rèn luyện kỷ năng vận dụng lý thuyết để giải bài tập , cần phận loại mức độ
2- Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng đặc biệt hoá , tổng quát hoá và tương tự để giải các bài tập
3- Rèn luyện cho học sinh cách mò mẫm , dự đoán kết quả khi giải các bài toán
4- Tạo cho học sinh thói quen nhìn bài toán ( dự kiến kết quả ) dưới nhiều khía cạnh khác nhau
Khi thực hiện các biện pháp trên , thầy giáo có điều kiện đề xuất cho học sinh ( hoặc tự học sinh đề xuất những tình huống mới )mà quá trình giải quyết thúc đẩy hoạt động độc lập sáng tạo của học sinh
II MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH x4ax3bx2cxd 0 (I)
1 Giải phương trình bậc bốn bằng phương pháp phân tích ra thừa số:
Đối với một phương trình bậc bốn nói trên ta có thể giải bằng cách phân tích vế trái ra thừa số, bằng nhiều phương pháp phân tích khác nhau
* Ví dụ 1: Giải phương trình 4 2 3 6 2 2 1 0
A Bùi Thị Xuân 30.7.1994)
ở đây ta nhận thấy , phương trình (1) không phải là phương trình trùng phương, cách giải như thế nào ? Ta thử phân tích ra thừa số của vế trái để làm
hạ bậc rồi đưa về dạng phương trình cơ bản để giải Thật vậy ta có:
0 ) 1 ( 2 ) 1 ( 0 ) 2 4 2 ( ) 1 2 ( )
1
Trang 5
0 1 4
0 1 0
2 ) 1 ( ) 1
x x
x x
x
đơn giản và tìm ra nghiệm của (1)
* Ví dụ 2: Giải phương trình 4 10 3 26 2 1 0
Quí Đôn Q5 TP HCM) ở phương trình nay ta thấy không thể phân tích được thành nhân từ mà chỉ ở dưới dạng tổng các bình phương, nên suy ra phương
0 1 0 5 0
) 1 ( ) 5 ( ) 2
2 2
2 2
x x x x
x
xẩy ra
* Ví dụ 3: Giải phương trình x4 4x3 10x2 37x 14 0 (3)
Ta thử phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai x2pxq và x2rxs
trong đó p,q,r,s là các hệ số nguyên chưa xác định
Ta có: 4 4 3 10 2 37 14
x = (x2pxq)(x2rxs) (3’) Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng nhất thức ta có:
14
3 7
10 4
qs
qr ps
pr q
s
r p
Nhờ phương trình cuối cùng của hệ số này ta dự đoán và nhận thấy các giá trị nguyên tương ứng
có thể lấy được của q và s nha sau:
Thử lần lượt các giá trị trên của q thì thấy với q = 2 , s = -7 phương trình thức hai và thứ ba của hệ cho ta hệ phương trình mới
37 2 7 5
r p pr
khi
đó khử p ta được 2r2 37r 35 0 giải phương trình này ta có r = 1 Vậy suy
ra p = -5
Thay các giá trị p,q,r,s vào (3’) ta có
) 7 )(
2 5 ( 14 37 10
4
x
Vậy phương trình (3) ( 2 5 2 )( 2 7 ) 0
x x x x giải ra ta có các
nghiệm như sau:
2
29 1
; 2 17
Trang 6Đây chính là giải phương trình bậc bốn bằng phương pháp phân tích thành nhân từ mà cụ thể ở ví dụ 3 này là phân tích bằng phương pháp hệ số bất định
2 Giải phương trình bậc bốn với cách nhìn sáng tạo, biết biến đổi hợp lý
(trong một số trường hợp cụ thể nào đó)
* Ví dụ 4: Giải phương trình
a x4 5x3 12x2 5x 1 0 (4) (Thi học sinh giỏi Quận 1 TPHCM năm 1992-1993)
Ở phương trình (4) ta có thể dùng phương pháp như trên cũng được ,
Song ta nhận thấy nếu x = 0 thì phương trình vô nghiệm vậy x 0 ta chia cả
hai vế của phương trình cho x 2 : (4) ( 2 12) 5 ( 1) 12 0
x
x x
x
x
t 1 như vậy (4’) 2 2 5 12 0 2 5 14 0 2 ; 7
ta có:
2 45 7
1 0
1 7
0 1 2
2
2
x
x x
x
x x
đây cũng chính là nghiệm của (4)
Đây được gọi là phương trình phản thương loại 1 (Nghĩa là: Hệ số của hạng tử bậc bốn bằng hệ số tự do và hệ số của hạng tử bậc ba bằng hệ số của hạng tử bậc nhất)
Nhìn chung khi gặp phương trình dạng này ta chỉ cần chia hai vế của
phương trình cho x 2 đối với phương trình bậc bốn Ta cũng có thể khái quát
với phương trình bậc 2n+1.
* Ví dụ 5: Giải phương trình ( 2 ) 4 ( 3 ) 4 1
(Thi vào 10 chuyên Toán - Tin học ĐHTH TP HCM 22-06-1996)
Cũng như trên nếu ta “phá” ra thì hết sức phức tạp, Từ đó ta phải suy nghỉ như thế nào để có cánh giải quyết một cách “nhanh gọn”, cỉ có cánh đặt
Trang 7ẩn phụ Song đặt như thế nào ? làm ra sao ? Ta đưa ra dạng tổng quát như sau:
c b x
a
( (5’) Từ đó ta xây dựng cách làm như sau:
Đặt: yxa2b xy a2b xay a2baya2 b
Tương tự xby a2b by a2b
Thay vào (5’) ta được phương trình trùng phương:
0 )
( 8
1 )
( 3
y (5’’) đến đây ta giải hết sức đơn giản bài toán ở ví dụ 5 Bằng hai cách:
+ Đặt x 2 y 22(3) y21; x 3 y 22(3) y 21 Ta có:
8
7 3 2 0 1 ) 3 2 ( 8
1 )
3 2 ( 3
Đến đây ta đặt t = y 2 đưa về phương trình bậc hai: 16t2 24t 7 0
Giải ra ta được
4
1
t
2
1
y Thay vào ta có nghiệm của (5) là 3
;
2
x
x
Đây là cách mà chúng ta đưa phường trình bậc bốn như trên về phương trình trung phương mà chúng ta đã học ở lớp 9
+ Ta cũng có thể đặt ẩn phụ tuỳ theo từng bài toán cụ thể, như ở bài ví dụ này ta đặt như sau: x 3 t x 2 t 1 vậy (5) ( 1 ) 4 4 1
1 0 0
2
0 1 0 2 0 ) 2 )(
1 ( 2 0 ) 2 3 2
(
2
2
2 2
3
t t
t t t
t t
t t t t
t t
ta có x1 = 3 hoặc x2 = 2 là nghiệm của phương trình (5)
ở đây ta lại đặt cách khác (linh hoạt) đưa phương trình như trên về dạng phương trình tích
* Ví dụ 6: Giải phương trình 4 3 3 6 2 3 1 0
(Thi lớp 10 Lê Hồng Phong TPHCM 1997-1998 ban A-B)
Trang 8Nhận thấy ở phương trình (6) có hệ số của hạng tử bậc bốn bằng hệ số của hạng tử tự do và hệ số của hạng tử bậc ba và hệ số hạng tử bậc nhất đối nhau Đây chính là phương trình phản thương loại 2 Cách giải như cũng giồng như phương trình phản thương loại 1
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình
Nếu x 0: Chia cả hai vế của phương trình cho x2 ta được phương
trình mới: 3 6 3 1 0 ( 2 12) 3 ( 1) 0
2 2
x
x x
x x
x x
x
2 2
x x t x
x ta nhận được phương trình 2 3 4 0
t t
5 2
5 2
0 1
4 4
1
2 5 1
2 5 1
0 1
1 1
4 3 2
2
1 2
x
x x
x x
x
x
x x
x x
x
* Ví dụ 7: Giải phương trình
x4 x3 5x2 4x 4 0(7)
Ta nhận thấy theo cách giải bằng cách phân tích ra thừa số thì ta có
nghiệm của vế trái là x 2 ; x 2 như vậy vế trái sẽ chứa nhân tử là 2 4
x và dùng so đồ Hoocne ta phân tích được như sau: (7) ( 2 4 )( 2 1 ) 0
tìm ra nghiệm một cách dễ dàng đó là phương trình (7) có 4 nghiệm
2
5 1
; 2
5 1
; 2
;
1
x
Song nếu ta có cánh nhìn sáng tạo, thì cũng có:
(7) 4 3 2 ( 4 2 4 4 ) 0 2 ( 2 1 ) 4 ( 2 1 ) 0
2
5 1
; 2
5 1
; 2
; 2 0
1
0 4 0
) 1 )(
4
2 2
x x
x x
x
x
Trang 9Như vậy cách trên hoặc cách này hoàn toàn đều được ở một bài toán này
* Ví dụ 8: Giải phương trình
32x4 48x3 10x2 21x 5 0 (8)
Ta viết (8) dưới dạng 2 ( 16 4 24 3 9 2 ) 7 ( 4 2 3 ) 5 0
x
Đặt y 4x2 3x
lúc này (8) 2y2 7y 5 0 y1 1 vµ y2 25
Giải tiếp các phương trình bậc hai đối với x sau đây (sau khi đã thay
2
5
;
1 2
1 y
y vào y 4x2 3x
0 5 6 8
0 1 3 4
2 2
x x x x
Nghiệm của phương trình
(8) đã tìm là
2
1
; 4
5
; 4
1
;
1 x x x
x
* Ví dụ 9: Giải phương trình
( 2 ) 2 6 2 4 2 0
Đây là phương bậc bốn đối với biến x, mặt khác chúng còn có thêm một biến a: (9) 4 ( 2 6 ) 2 4 2 2 0
x a x x a a (9’)
Nếu sử dụng phương giải phương trình bậc bốn bằng cách phân tích
ra thừa số thì hết sức khó khăn
Song chúng chú ý đến nếu chúng ta nhìn theo quan điểm đây là phương trình bậc hai đối với biến a thì việc giải phương trình bậc hai lại trong
“tầm tay”
Như vậy ta viết phương trình (9) 2 2 ( 2 1 ) 4 6 2 4 0
a x a x x x (9’’) Lúc này phương trình (9’’) chính là phương trình bậc hai với ânr là a Với cách nhìn này ta tìm được x theo x và có nghiệm là:
) 1 2 ( 1 1
4 4 1 4
6 1
2
1 4 2 4 2 2 2 2 2
2
,
1 x x x x x x x x x x x
a
Như vậy ta lại giải phương trình bậc hai đối với x:
(**) 0 2
(*) 0 2
2
trình (9)
Trang 10Điều kiện để (*) có nghiệm là 3 a 0 và các nghiệm của phương trình (*) là: x1,2 1 3 a
Điều kiện để (**) có nghiệm là 1 a 0 và các nghiệm của phương trình (**) là: x3,4 1 1 a
Tổng kết:
Như vậy với một số vía dụ ta giải được phương trình bậc bốn nhờ biết biến đổi sáng tạo vế trái của phương trình dễ dần tới việc giải các phương trình tích và phương trình quen thuộc
* Ví dụ 10: Cho phương trình
4 10 3 2 ( 11 ) 2 2 ( 5 6 ) 2 2 0
a Giải phương trình khi a 2
b Giải và biện luận theo tham số a Đây là phương trình bậc 2 đối với x và có tham số a tham dự vào phương trình
Trước hết ta xem xét câu a: ở đây ta chỉ việc thay a 2 vào phương trình (10) 4 10 3 26 2 8 0 ( 4 )( 2 6 2 ) 0
0 20 6
0 4
0
2 x
x
x
x
khi đó ta có nghiệm của phương trình như sau:
7 3
; 7 3
;
4
;
1 x x x
x như vậy phương trình (10) có 4 nghiệm khi
2
a
a -3 -1
Phương trình (*) Vô mghiệm 2 nghiệm 2 nghiệm
Phương trình (**) Vô nghiệm Vô nghiệm 2 nghiệm
Phương trình (9) Vô nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm
Trang 11Câu b: Để giải và biện luận phương trình này, chúng ta chưa có đường lối cụ thể với phương trình bậc bốn Nhưng nhờ có cách nhìn sáng tạo và vai trò của các chữ trong phương trình là như nhau nên ta có thể coi phương trình (10) dưới phương trình ẩn là a và ta có:
0 ) 12 22 10
( ) 5
1
(
2
Xem (10’) là phương trình bậc hai của a ta có:
2 2
2 3
4 2
5 1
(
Suy ra phương trình (10’) phân tích được thành:
0 ) 2 4 )(
6
a
(**) 0 2 4
(*) 0 6
2 2
a x x
a x
x Khi này ta giải và
biện luận các phương trình (*) và (**) theo tham số a
* Ví dụ 11: Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm
1999 4 1998 3 2000 2 1997 1999 0
( Thi Học sinh giỏi quận I TPHCM 1998-1999 )
Để chứng minh phương trình này vô nghiệm ta làm như thế nào ? nên xuất phát từ đâu ? đâu có như các dạng phương trình đã được học Nhưng nếu ta chọn một khoảng nào đó mà xét thì thấy nó cũng đâu là hướng đi thích hợp chăng ! Thật vậy ta có:
* Nếu x 0: Thì vế trái là dương
* Nếu 1 x 0: Vế trái lúc này vẫn dương nếu ta nhóm hợp lý
* Nếu x 1: Vế trái dương bằng cách nhóm hợp lý
a -9 -6
Phương trình (*) Vô mghiệm 2 nghiệm 2 nghiệm
Phương trình (**) Vô nghiệm Vô nghiệm 2 nghiệm
Phương trình (10) Vô nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm
Trang 12Chỉ cần xét một khoảng hợp lý nào đó ( như trên ) thì nhận thấy phương trình (11) vô nghiệm x
Hay chúng ta đi xét một ví dụ về phương trình trùng phương sau:
* Ví dụ 12: Tìm điều kiện của a và b để phương trình sau đây có ba
nghiệm phân biệt: 4 2 ( 2 2 1 ) 2 ( 2 2 1 ) 2 4 2 0
Ở bài toán này thì ta đưa về phương trình bậc hai khi ta đặt 2 0
x
Khi đó phương trình (12) 2 2 ( 2 2 1 ) ( 2 2 1 ) 2 4 2 0
Như thế, để cho phương trình (12) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (12’) phải có thoả mãn điều kiện:
0 0
2
t t
thật vậy ta có:
1 ) ( 2 ) 1 (
1 ) ( 2 ) 1 (
4 4 ) 1 (
) 1 (
2
2 2
2 1 2 2 2 2 2 2 2 2
2
b a ab b
a t
b a ab b
a t b a a b
a b
a
Do t2 0 với mọi a,b do đó để phương trình đã cho có ba nghiệm phân
1
1 0
) 1 )(
1 (
0 1 ) (
0 2
b a b
a b a a
a
Ngoài ra còn một số cách nưa như giải phương trình bằng phương pháp
đồ thị thì ta chuyển phương trình : 4 3 2 0
ax bx cx d
mx
y
x2 khi đó ta được hệ phương trình:
(**) ) 1 4 ( ) 2 8 2 (
(*) 2
2 3
2 2 4
d y a b x ab a a y x x a x y
Hoành độ các giao điểm của parabôn, đồ thị của (*) và của đường tròn
đồ thị (**) là nghiệm của phương trình (I) Hay chúng ta cũng có thể xây dựng được công thức nghiệm
Do thời gian không cho phép nên trong bài viết này tôi chỉ nêu ra hai phương pháp để giải phương trình bậc bốn mà trong quá trình giảng bản thân
đã tích luỹ củng như thường xuyên phải sử lý bằng những cách giải trên là cơ bản