Sáng kiến kinh nghiệm một số cách giải phương trình bậc 4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP THANH HÓA ĐỀ TÀI: MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC Họ tên: TRƯƠNG MẠNH HÙNG Chức vụ: HIỆU TRƯỞNG Đơn vị công tác: Trường THCS Đơng Hương - TP Thanh Hóa SKKN thuộc mơn: TỐN NĂM HỌC 2010 – 2011 A- PHẦN MỠ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong việc giảng dạy mơn tốn nhà trường THCS hướng dẫn học sinh giải tập thể phương pháp dạy học Hướng dẫn cách giải tập giúp học sinh nắm bắt đường từ xuất phát đến nút cuối tốn Từ học sinh tụ bước xây dựng phép suy luận phải độc lập giải vấn đề Trong tự giải toán , tránh cho học sinh giải tốn cách máy móc , việc phân chia dạng tốn mức độ định , phải coi trọng phân tích đặc điểm tốn để có lời giải hợp lý thông qua tập mà cung cấp thêm kinh nghiệm giải toán rèn luyện phương pháp suy luận Trong q trình dạy học mơn tốn , suy ngẫm khẳng định : phương pháp dạy giải tốn theo u cầu phương pháp tìm tòi lời giải Có nhiều u điểm phát huy tác dụng tốt cho nhiều đối tượng - dạy tốn theo u cầu phương pháp tìm tòi lời giải toán gồm hai nội dung: a - Dạy cách tìm tòi lời giải tốn b - Dạy cách giải toán c Từ toán (giải phương trình bậc cao) đưa phương trình học Quả vai trò người thầy chủ yếu định khâu hướng dẫn tìm lời giải , thầy giáo phải dự định hướng giải phân tích nên chọn hướng Đồng thời xây dựng phương pháp “Nhìn” tốn “góc độ “ tư sáng tạo cho học sinh mức độ Trang Từ tơi suy nghĩ phương pháp dạy tốt phương pháp xích gần nhận thức học tập học sinh với nhận thức sáng tạo - hay nói cách khác phương pháp dạy cho học sinh tư sáng tạo - cốt lõi hoạt động dạy học , tơi chọn khía cạnh việc hường dẫn học sinh có cách tư sáng tạo cho toán em đưa cách giải số phương trình bậc bốn nói chung, mà chương trình Đại số cấp THCS đề cập đến phương trình bậc bốn đặc biệt II/ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: Thông qua số ví dụ cụ thể để hình thành nét đặc trưng trình sáng tạo học sinh THCS biểu cụ thể hoạt động dạy học , đặc biệt việc hướng dẫn học sinh tìm “phương hướng” giải dạng tập III/ PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI: Do điều kiện thời gian , đề tài đề cập đến số ví dụ mang tính đặc trưng IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Chủ yếu phương pháp tổng kết kinh nghiệm Trang \ B - NỘI DUNG: I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN: Thực q trình giải tốn hoạt động tư sáng tạo toán học mà cụ thể hoạt động tìm tòi , để tìm đường hoạt động độc lập sáng tạo cho học sinh , thầy giáo cần tổ chức hoạt động giải tốn cho học sinh dạng hoạt động tìm tòi , đặc biệt q trình luyện tập Để tổ chức hoạt động tìm tòi , để rèn luyện lực hoạt động sáng tạo cho học sinh cần làm tốt vấn đề sau: 1- Rèn luyện kỷ vận dụng lý thuyết để giải tập , cần phận loại mức độ 2- Rèn luyện cho học sinh khả sử dụng đặc biệt hoá , tổng quát hoá tương tự để giải tập 3- Rèn luyện cho học sinh cách mò mẫm , dự đoán kết giải tốn 4- Tạo cho học sinh thói quen nhìn tốn ( dự kiến kết ) nhiều khía cạnh khác Khi thực biện pháp , thầy giáo có điều kiện đề xuất cho học sinh ( tự học sinh đề xuất tình )mà trình giải thúc đẩy hoạt động độc lập sáng tạo học sinh II MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH x  ax3  bx  cx  d 0 (I) Giải phương trình bậc bốn phương pháp phân tích thừa số: Đối với phương trình bậc bốn nói ta giải cách phân tích vế trái thừa số, nhiều phương pháp phân tích khác * Ví dụ 1: Giải phương trình x  x3  x  x  0 (1) (Đề thi chuyên A Bùi Thị Xuân 30.7.1994) Trang ta nhận thấy , phương trình (1) khơng phải phương trình trùng phương, cách giải ? Ta thử phân tích thừa số vế trái để làm hạ bậc đưa dạng phương trình để giải Thật ta có: (1)  ( x  x  1)  (2 x  x  x) 0  ( x  1)  x( x  1) 0  x  0  ( x  1) ( x  1)  x 0   đến ta giải  x  x  0   đơn giản tìm nghiệm (1) * Ví dụ 2: Giải phương trình x  10 x  26 x  0 (2) (Đề thi HSG Lê Q Đơn Q5 TP HCM) phương trình ta thấy khơng thể phân tích thành nhân từ mà dạng tổng bình phương, nên suy phương  x  x 0 2 ( )  ( x  x )  ( x  )   trình vơ nghiệm, cụ thể:   x  0 khong thể xẩy * Ví dụ 3: Giải phương trình x  x3  10 x  37 x  14 0 (3) Ta thử phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai x  px  q x  rx  s p,q,r,s hệ số nguyên chưa xác định Ta có: x  x3  10 x  37 x  14 = ( x  px  q )( x  rx  s ) (3’) Đồng hệ số số hạng bậc hai vế đồng  p  r   s  q  pr   10  thức ta có:  Nhờ phương trình cuối hệ số ta  ps  qr 37  qs   14 dự đoán nhận thấy giá trị nguyên tương ứng lấy q s nha sau: q s Trang -14 -7 -2 14 -1 14 -2 -7 -14 Thử giá trị q thấy với q = , s = -7 phương  pr     p  2r 37 trình thức hai thứ ba hệ cho ta hệ phương trình  khử p ta 2r  37r  35 0 giải phương trình ta có r = Vậy suy p = -5 Thay giá trị p,q,r,s vào (3’) ta có x  x  10 x  37 x  14 ( x  x  2)( x  x  7) Vậy phương trình (3)  ( x  x  2)( x  x  7) 0 giải ta có nghiệm sau:  17   29 ; 2 Đây giải phương trình bậc bốn phương pháp phân tích thành nhân từ mà cụ thể ví dụ phân tích phương pháp hệ số bất định Giải phương trình bậc bốn với cách nhìn sáng tạo, biết biến đổi hợp lý (trong số trường hợp cụ thể đó) * Ví dụ 4: Giải phương trình a x  x3  12 x  x  0 (4) (Thi học sinh giỏi Quận TPHCM năm 1992-1993) Ở phương trình (4) ta dùng phương pháp , Song ta nhận thấy x = phương trình vơ nghiệm x 0 ta chia hai vế phương trình cho x2 : (4)  ( x  t x  1 )  5( x  )  12 0 (4’) Đặt x x (4’)  t   5t  12 0  t  5t  14 0  t  2; t   Thay x vào ta có:  x 1  x  x  0     x    45  x  x  0  Trang nghiệm (4) Đây gọi phương trình phản thương loại (Nghĩa là: Hệ số hạng tử bậc bốn hệ số tự hệ số hạng tử bậc ba hệ số hạng tử bậc nhất) Nhìn chung gặp phương trình dạng ta cần chia hai vế phương trình cho x2 phương trình bậc bốn Ta khái qt với phương trình bậc 2n+1 * Ví dụ 5: Giải phương trình ( x  2)4  ( x  3) 1 (5) (Thi vào 10 chuyên Toán - Tin học ĐHTH TP HCM 22-06-1996) Cũng ta “phá” phức tạp, Từ ta phải suy nghỉ để có cánh giải cách “nhanh gọn”, cỉ có cánh đặt ẩn phụ Song đặt ? làm ? Ta đưa dạng tổng quát sau: ( x  a)  ( x  b) c (5’) Từ ta xây dựng cách làm sau: Đặt: y  x  a b a b a b a b  x y   x  a y   a y  2 2 Tương tự x  b  y  a b a b b y  2 Thay vào (5’) ta phương trình trùng phương: y  3(a  b) y  (a  b)  c 0 (5’’) đến ta giải đơn giản tốn ví dụ Bằng hai cách: + Đặt x   y    ( 3)   ( 3) y  ; x  y  y  2 2 Ta có: (5)  y  3(  3) y  (  3)  0  y  y  0 Đến ta đặt t = y2 đưa phương trình bậc hai: 16t  24t  0 Giải ta t  x 2; x 3 Trang 1  y   Thay vào ta có nghiệm (5) Đây cách mà đưa phường trình bậc bốn phương trình trung phương mà học lớp + Ta đặt ẩn phụ tuỳ theo toán cụ thể, ví dụ ta đặt sau: x  t  x  t  (5)  (1  t )4  t 1  2t 0   hay 2t (t  2t  3t  2) 0  2t (t  1)(t  t  2) 0  t  0 t  t    2 t  t   từ  ta có x1 = x2 = nghiệm phương trình (5) ta lại đặt cách khác (linh hoạt) đưa phương trình dạng phương trình tích * Ví dụ 6: Giải phương trình x  3x  x  3x  0 (6) (Thi lớp 10 Lê Hồng Phong TPHCM 1997-1998 ban A-B) Nhận thấy phương trình (6) có hệ số hạng tử bậc bốn hệ số hạng tử tự hệ số hạng tử bậc ba hệ số hạng tử bậc đối Đây phương trình phản thương loại Cách giải giồng phương trình phản thương loại Vì x = khơng phải nghiệm phương trình Nếu x  0: Chia hai vế phương trình cho x ta phương trình x mới: x  3x    đặt x  1 0  ( x  )  3( x  ) 0 x x x 1 t  x  t  ta nhận phương trình t  3t  0 x x   x   t   ; t  giải ta có hay    x    x x   1  x1     x  x  0     1  x2    x3     x  x  0    x4   * Ví dụ 7: Giải phương trình Trang x  x  x  x  0 (7) Ta nhận thấy theo cách giải cách phân tích thừa số ta có nghiệm vế trái x  2; x   vế trái chứa nhân tử x  dùng so đồ Hoocne ta phân tích sau: (7)  ( x  4)( x  x  1) 0 tìm nghiệm cách dễ dàng phương trình (7) có nghiệm x1  2; x2   2; x3  1 ; x4  1 Song ta có cánh nhìn sáng tạo, có: (7)  x  x3  x  (4 x  x  4) 0  x ( x  x  1)  4( x  x  1) 0  x  0 1 1  ( x  4)( x  x  1)     x1  2; x2   2; x3  ; x4  2  x  x  0 2 Như cách cách hoàn toàn tốn * Ví dụ 8: Giải phương trình 32 x  48 x  10 x  21x  0 (8) Ta viết (8) dạng 2(16 x  24 x  x )  7(4 x  3x)  0 Đặt y  x  3x lúc (8)  y  y  0  y1 1 vµ y2  Giải tiếp phương trình bậc hai x sau (sau thay  x  x  0  Nghiệm phương trình   x  x  0 y1 1; y2  vào y  x  x ): (8) tìm x1 1; x2   ; x3  ; x4   * Ví dụ 9: Giải phương trình ( x  a )  x  x  2a 0 (9) Trang Đây phương bậc bốn biến x, mặt khác chúng có thêm biến a: (9)  x  (2a  6) x  x  a  2a 0 (9’) Nếu sử dụng phương giải phương trình bậc bốn cách phân tích thừa số khó khăn Song chúng ý đến nhìn theo quan điểm phương trình bậc hai biến a việc giải phương trình bậc hai lại “tầm tay” Như ta viết phương trình (9)  a  2( x  1)a  x  x  x 0 (9’’) Lúc phương trình (9’’) phương trình bậc hai với ânr a Với cách nhìn ta tìm x theo x có nghiệm là: a1,  x   x  x   x  x  x  x   x  x   x  (2 x  1) Như ta lại giải phương trình bậc hai x: x  x  a  0 (*) vµx  x  a 0 (**) ta tìm nghiệm phương trình (9) Điều kiện để (*) có nghiệm  a 0 nghiệm phương trình (*) là: x1,     a Điều kiện để (**) có nghiệm  a 0 nghiệm phương trình (**) là: x3, 1   a Tổng kết: a Phương trình (*) -3 nghiệm nghiệm Phương trình (**) Vơ nghiệm Vơ nghiệm nghiệm Phương trình (9) nghiệm nghiệm Trang 10 Vô mghiệm -1 Vô nghiệm Như với số vía dụ ta giải phương trình bậc bốn nhờ biết biến đổi sáng tạo vế trái phương trình dễ dần tới việc giải phương trình tích phương trình quen thuộc * Ví dụ 10: Cho phương trình x  10 x  2( a  11) x  2(5a  6) x  2a  a 0 (10) a Giải phương trình a  b Giải biện luận theo tham số a Đây phương trình bậc x có tham số a tham dự vào phương trình Trước hết ta xem xét câu a: ta việc thay a  vào phương  x 0  trình (10)  x  10x  26 x  x 0  x( x  4)( x  x  2) 0   x  0  x  x  20 0  ta x1 0; x2  4; x3 3  có nghiệm phương trình sau: ; x4 3  phương trình (10) có nghiệm a 2 Câu b: Để giải biện luận phương trình này, chưa có đường lối cụ thể với phương trình bậc bốn Nhưng nhờ có cách nhìn sáng tạo vai trò chữ phương trình nên ta coi phương trình (10) phương trình ẩn a a  2(1  x  x )a  ( x  10 x  22 x  12 x) 0 (10’) Xem (10’) phương trình bậc hai a ta có:  ' (1  x  x )  ( x  10 x  22 x  12 x)  x  x  ( x  1) Suy phương trình (10’) phân tích thành: Trang 11 ta có: a -9 Phương trình (*) Vơ mghiệm -6 nghiệm nghiệm Phương trình (**) Vơ nghiệm Vơ nghiệm nghiệm Phương trình (10) nghiệm nghiệm Vô nghiệm  x  x  a 0 (*) (a  x  x)(a  x  x  2) 0   Khi ta giải  x  x  a  0 (**) biện luận phương trình (*) (**) theo tham số a * Ví dụ 11: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm 1999x  1998x  2000 x  1997 x  1999 0 (11) ( Thi Học sinh giỏi quận I TPHCM 1998-1999 ) Để chứng minh phương trình vơ nghiệm ta làm ? nên xuất phát từ đâu ? đâu có dạng phương trình học .Nhưng ta chọn khoảng mà xét thấy đâu hướng thích hợp ! Thật ta có: * Nếu x 0 : Thì vế trái dương * Nếu   x  : Vế trái lúc dương ta nhóm hợp lý * Nếu x   : Vế trái dương cách nhóm hợp lý Chỉ cần xét khoảng hợp lý ( ) nhận thấy phương trình (11) vơ nghiệm x Hay xét ví dụ phương trình trùng phương sau: * Ví dụ 12: Tìm điều kiện a b để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x  2(a  b  1) x  (a  b  1)  4a 0 (12) Ở tốn ta đưa phương trình bậc hai ta đặt t x 0 Khi phương trình (12)  t  2(a  b  1)t  (a  b  1)  4a 0 (12’) Trang 12 Như thế, phương trình (12) có ba nghiệm phân biệt phương trình (12’) phải có thoả mãn điều kiện:  t    t1 0 ta có: t   t1 (a  b  1)  2ab (a  b)  ' (a  b  1)  (a  b  1)  4a  4a b   2 t2 (a  b  1)  2ab (a  b)  2 2 2 2 Do t2  với a,b để phương trình cho có ba nghiệm phân  a b  biệt, t2 0  (a  a)  0  (a  b  1)(a  b  1) 0   b  a  Ngoài số cách nưa giải phương trình phương pháp đồ thị ta chuyển phương trình : x  ax  bx  cx  d 0 (I) cách ta đặt x  y  mx ta hệ phương trình: a   y  x  x (*)   x  y  ( a  a  ab  c) x  (b  a  1) y  d  (**) Hoành độ giao điểm parabôn, đồ thị (*) đường tròn đồ thị (**) nghiệm phương trình (I) Hay xây dựng cơng thức nghiệm Do thời gian không cho phép nên viết nêu hai phương pháp để giải phương trình bậc bốn mà trình giảng thân tích luỹ củng thường xuyên phải sử lý cách giải Trang 13 Tóm lại thơng qua sơ đồ sau: ax  bx  cx  dx  e 0 (a 0) ax  cx  e 0 (*) ax  bx  cx  bx  a 0 ax  bx  cx  bx  a 0 Phương trình phản thương loại () Phương trình phản thương loại at  ct  e 0 (**) a( x  12 )  b( x  )  c 0 a( x  12 )  b( x  )  c 0 x Phương trình (**)Phương trình (*)Vơ nghiệmVơ nghiệm2 nghiệm x x at  bt  c 0 at  bt  c 0 âmVô nghiệmNghiệm kép âmVô nghiệm nghiệm dương2 nghiệm2 nghiệm dương4 nghiệm cặp nghiệm đối Trang 14 Đặt x Đặt C KẾT LUẬN Trong học toán, cách giải tập đường từ điều biết, kết hợp kiện , mối quan hệ chúng để đạt chân lý, hay tìm đáp số Việc phát ý đồ toán ( cúng ý đồ người đề toán ) quan trọng Quyết định lời giải đúng, ngắn nhất, logic chặt chẽ nhất, Nếu chưa thể phát dấu hiệu chất vấn đề tổng hợp liệu, xây dựng mối liên hệ chúng để kết ban đầu, từ phát hướng giải toán Trong hướng này, phải khai thác triệt để giả thiết mà đề cho, dấu hiệu giúp người giải tốn nắm bắt ý định người đề Hãy tôn trọng ý kiến học sinh cách giải toán cho dù chưa sắc sảo lắm, kể ý kiến có tính chất rời rạc để xây dựng lòng tin , đoán học sinh Hãy giúp đỡ, góp ý cho dù em lúc đầu gặp khó khăn suy luận tốn học Có nhiều toán hay mang màu sắc thực tế gần gủi với đời sống, sản xuất để kích thích lòng ham mê học toán em, làm cho em thấy vẻ đẹp tốn học Có người dạy tốn hồn thành nhiệm vụ Như để giải phường trình bậc bốn, sử dụng nhuần nhiễu phương pháp lúc Mà thực chất biến đổi cách sáng tạo, linh hoạt vế trái phương trình phương trình tích phương trình quen thuộc Việc biến đổi chủ yếu: * Nếu dùng phương pháp phân tích thừa số cần ý: - Dùng phương pháp phân tích học lớp - Đặc biệt phương pháp nhẫm nghiệm, phương pháp hệ số bất định, Phương pháp tách hay nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt, Trang 15 phương pháp nghiệm riêng để nhằm đưa vế trái phương trình dạng tích áp dụng giải phương trình tích * Nếu phương pháp sáng tạo, biến đổi hợp lý cần: - Khai thác sâu đầu - Coi chữ có mặt phương trình có vai trò ta cỏ thể xem chữ ẩn chữ ẩn - Hoặc dùng cách đổi biến (đặt ẩn phụ) cách hợp lý Trang 16 D KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Trong suốt trình áp dụng đường lới phân tích để gải tốn phương trình bậc bốn, thân tơi đạt số kết khả quan * Học sinh thấy yêu môn học hơn, không thấy “ngợp”trước tốn khó tốn phương trình bậc bốn * Có nhiều em đạt giải kỳ thi học sinh giỏi từ cấp trường trởt lên * Số học sinh biết lựa chọn phương pháp phối hợp phương pháp giải phương trình bậc bốn linh hoạt Mong kinh nghiệm trình bày sáng kiến này, đóng góp phần nhỏ phương pháp giải tốn theo hướng tích cực tư sáng tạo học sinh thơng qua đường tìm tòi lời giải Đặc biệt đưa số ví dụ giải phương trình bậc bốn cách phân tích thừa số cách nhìn sáng tạo, linh hoạt Chắn chắn khơng thể có thiếu sót , mong thơng cảm Đơng Hương, tháng 03 năm 2011 Người viết TRƯƠNG MẠNH HÙNG Trang 17 Trang 18 ... a Phương trình (*) -3 nghiệm nghiệm Phương trình (**) Vơ nghiệm Vơ nghiệm nghiệm Phương trình (9) nghiệm nghiệm Trang 10 Vô mghiệm -1 Vô nghiệm Như với số vía dụ ta giải phương trình bậc bốn nhờ... II MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH x  ax3  bx  cx  d 0 (I) Giải phương trình bậc bốn phương pháp phân tích thừa số: Đối với phương trình bậc bốn nói ta giải cách phân tích vế trái thừa số, nhiều... hệ số hạng tử bậc ba hệ số hạng tử bậc nhất) Nhìn chung gặp phương trình dạng ta cần chia hai vế phương trình cho x2 phương trình bậc bốn Ta khái qt với phương trình bậc 2n+1 * Ví dụ 5: Giải phương