một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

pdfcrowd.comopen in browser PRO version Are you a developer? Try out the HTML to PDF API Tin Giáo Dục Kiến Thức Toán Chuyên Đề Toán Học Bài Tập Đề Thi Toán Học 4 Phương Gia Sư Toán Học Toán Tiểu Học Toán Tuổi Thơ Giải Toán Trực Tuyến Và Nhận Luyện Thi 5 Lên 6 HỖ TRỢ TÌM GIA SƯ GIỎI 0 Những Nhà Toán Học Lỗi Lạc Của Kiến Thức Toán​ > ​ Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Trong quá trình giảng dạy và làm toán, tôi đã hệ thống được một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên, hi vọng sẽ giúp các em học sinh biết lựa chọn phương pháp thích hợp khi giải bài toán loại này. Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích Biến đổi phương trình về dạng : vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên. Thí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : y 3 - x 3 = 91 (1) Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x 2 + xy + y 2 ) = 91 (*) Vì x 2 + xy + y 2 > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0. Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x 2 + xy + y 2 đều nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau : y - x = 91 và x 2 + xy + y 2 = 1 ; (I) pdfcrowd.comopen in browser PRO version Are you a developer? Try out the HTML to PDF API Những Nhà Toán Học Lỗi Lạc Của Nhân Loại Augustin Louis Cauchy Fermat và định lý cuối cùng của Fermat Giải thưởng Fields lần đầu thuộc về phụ nữ Jacob Bernoulli Pierre de Fermat Sức mạnh của ý chí Sự Thật Toán Học Viktor Yakovlevich Bunyakovsky Vì sao nước Nga giỏi Toán? 10 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 4 - 5 Bài tập chuyên đề 2 Các bài toán giải bằng phương pháp tính ngược Các bài toán về cấu tạo số thập phân Các bài toán về phép chia có dư Các bài toán về tỉ số phần trăm Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng hoặc một hiệu Các Bài Toán Về Điều Dấu Phép Tính Dãy Chữ Giải Bằng Phương Pháp Thử Chọn Một Số Phép Tính Có Kết Quả Đặc Biệt Tìm số số hạng của dãy số Tìm Thành Phần Chưa Biết Trong Dãy Tính Vận dụng dấu hiệu chia hết để viết các số tự nhiên Xác Định Số A Có Thuộc Dãy Số Đã Cho Không Bài Tập Bài Toán Chia Ba Một Góc Chứng minh BDT: cosA + cosB + cosC <= 3/2 bằng nhiều cách Một số bài bất đẳng thức - y - x = 1 và x 2 + xy + y 2 = 91 ; (II) y - x = 3 và x 2 + xy + y 2 = 7 ; (III) y - x = 7 và x 2 + xy + y 2 = 13 ; (IV) Đến đây, bài toán coi như được giải quyết. Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn Nếu các ẩn x, y, z, có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y ≤ z ≤ để tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện này. Từ đó, dùng phép hoán vị để => các nghiệm của phương trình đã cho. Thí dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x + y + z = xyz (2). Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}. Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí. Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3. Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2. Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3). Thí dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 1/x + 1/y + 1/z = 2 (3) Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Ta có : 2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1. Thay x = 1 vào (3) ta có : 1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2 => y = 1 => 1/z = 0 (vô lí) hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2. pdfcrowd.comopen in browser PRO version Are you a developer? Try out the HTML to PDF API phần 1 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Chuyên Đề Toán Học 15 Chuyên Đề Luyện Thi Đại Học Môn Toán 22 chuyên đề luyện thi đại học môn toán 99 Ví Dụ Và Bài Tập Về Số Phức (Có Lời Giải) Chuyên Đề 01: Phương Trình Và Bất Phương Trình Đại Số Chuyên Đề 02: PT - BPT Chứa Giá Trị Tuyệt Đối Chuyên Đề 03: Hệ Phương Trình Đại Số Chuyên Đề 04: Phương Trình - Bất Phương Trình Chứ Căn Thức Chuyên Đề 05: Bất Đẳng Thức Chuyên Đề 06: PT - BPT Mũ Logarit Chuyên Đề 07: Hệ Phương Trình Siêu Việt Chuyên Đề 08: Lượng Giác Tổng Hợp Chuyên Đề 09: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Chuyên Đề 10: Khảo Sát Hàm Số Chuyên Đề 11: Ứng Dụng Đạo Hàm Chuyên Đề 12: Hình Học Giải Tích Trong Mặt Phẳng Chuyên Đề 13: Hình Học Giải Tích Trong Không Gian Chuyên Đề 14: Hình Học Không Gian Cổ Điển Chuyên Đề 15: Nguyên Hàm Tích Phân Ứng Dụng Chuyên Đề 16: Đại Số Tổ Hợp Chuyên Đề Bồi Dưỡng HSG - Phương Trình Hàm Chuyên đề phần nguyên hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2. Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2). Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương trình. Thí dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x 2 - 2y 2 = 5 (4) Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được : 4k 2 +4k + 1 - 2y 2 = 5 tương đương 2(k 2 + k - 1) = y 2 => y 2 là số chẵn => y là số chẵn. Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có : 2(k 2 + k - 1) = 4t 2 tương đương k(k + 1) = 2t 2 + 1 (**) Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t 2 + 1 là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm. Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên. Thí dụ 5 : Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn : x 3 + y 3 + z 3 = x + y + z + 2000 (5) Lời giải : Ta có x 3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên). Do đó : x 3 - x chia hết cho 3. Tương tự y 3 - y và z 3 - z cũng chia hết cho 3. Từ đó ta có : x 3 + y 3 + z 3 - x - y - z chia hết cho 3. Vì 2000 không chia hết cho 3 nên x 3 + y 3 + z 3 - x - y - z ≠ 2000 với mọi số nguyên x, y, z tức là phương pdfcrowd.comopen in browser PRO version Are you a developer? Try out the HTML to PDF API Chuyên đề phần nguyên Chuyên Đề: Hàm Số Bậc Hai Chuyên Đề: Tổ Hợp - Xác Suất Cách giải phương trình lượng giác trong đề thi đại học Hình Học Dành Cho Học Sinh 10 - 11 - 12 và Luyện Thi Đại Học Sử Dụng Tam Thức Bậc 2 Để CM BĐT Tìm Chữ Số Tận Cùng Các dạng toán bồi dưỡng HSG lớp 5 50 Bài Toán Bồi Dưỡng HSG Lớp 5 Có Lời Giải Bài 1 - Dạng 1 Số chẵn, số lẻ, bài toán xét chữ số tận cùng của một số Bài 1 - Dạng 2 Kĩ thuật tính và quan hệ giữa các thành phần của phép tính Bài 1 - Dạng 3 Bài toán liên quan đến điều kiện chia hết Bài 1 - Dạng 4 Biểu thức và phép tính liên quan đến tính giá trị biểu thức Bài 1 - Dạng 5 Bài toán liên quan đến điều kiện chia hết Bài 1 - Dạng 6 + 7 Dạng 6: Các bài toán về điền dấu phép tính Bài 2: Suy luận Lô gíc - Phần I Bài 2: Suy luận Lô gíc - Phần II PHƯƠNG PHÁP LỰA CHỌN TÌNH HUỐNG Bài 2: Suy luận Lô gíc - Phần III GIẢI BẰNG BIỂU ĐỒ VEN Bài 2: Suy luận Lô gíc - Phần IV PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN ĐƠN GIẢN Bài 3: Số, chữ số, dãy số - Phần I SỐ VÀ CHỮ SỐ Bài 3: Số, chữ số, dãy số - Phần II DÃY SỐ Bài 4: Công việc chung Bài 5: Tỉ số và tỉ số phần trăm Bài tập toán chuyển động - lớp 5 trình (5) không có nghiệm nguyên. Thí dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : xy + x - 2y = 3 (6) Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 không thỏa mãn phương trình nên (6) tương đương với: y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2). Ta thấy : y là số nguyên tương đương với x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương đương với x = 1 hoặc x = 3. Từ đó ta có nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0). Chú ý : Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1. Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này => các giá trị nguyên của ẩn này. Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x 2 - xy + y 2 = 3 (7) Lời giải : (7) tương đương với (x - y/2) 2 = 3 - 3y 2 /4 Vì (x - y/2) 2 ≥ 0 => 3 - 4y 2 /4 ≥ 0 => -2 ≤ y ≤ 2 . Lần lượt thay y = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vào phương trình để tính x. Ta có các nghiệm nguyên của phương trình là : (x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}. Chắc chắn còn nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên và còn nhiều thí dụ hấp dẫn khác. pdfcrowd.comopen in browser PRO version Are you a developer? Try out the HTML to PDF API 5 Bài tập toán chuyển động - lớp 5 Bài tập toán hình - lớp 5 Bài tập toán liên quan đến lập số - lớp 5 Bài tập toán liên quan đến lập số - lớp 5 Bài tập toán liên quan đến phân số - lớp 5 Bài tập toán nâng cao lớp 5 - Phần 1 Bài tập toán nâng cao lớp 5 - Phần 2 Bài tập toán nâng cao lớp 5 - Phần 3 Bài tập toán nâng cao lớp 5 - Phần 4 Bài tập toán nâng cao lớp 5 - Phần 5 Bài tập toán tỷ lệ phần trăm - lớp 5 Bộ đề thi HSG toán lớp 5 - Phần IV Giải Các Bài Toán Bằng Phân Tích Cấu Tạo Số Khai Thác Một Bài Toán Dành Cho Học Sinh Giỏi Toán 6 Luyện tập hình học lớp 5 - Hình HCN, hình LP Luyện tập hình học lớp 5 - Hình tam giác Luyện tập hình học lớp 5 - Hình thang Luyện tập hình học lớp 5 - Hình tròn Thi Olympic toán lớp 5, 2012 - Vòng 1 Thi Olympic toán lớp 5, 2012 - Vòng 2 Thi Olympic toán lớp 5, 2012 - Vòng 3 Thi Olympic toán lớp 5, 2012 - Vòng 4 Thi Olympic toán lớp 5, 2012 - Vòng 5 Tổng hợp các bài toán hình Mong các bạn tiếp tục trao đổi về vấn đề này. Các bạn cũng thử giải một số phương trình nghiệm nguyên sau đây : Bài 1 : Giải các phương trình nghiệm nguyên : a) x 2 - 4 xy = 23 ; b) 3x - 3y + 2 = 0 ; c) 19x 2 + 28y 2 =729 ; d) 3x 2 + 10xy + 8y 2 = 96. Bài 2 : Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : a) 4xy - 3(x + y) = 59 ; b) 5(xy + yz + zx) = 4xyz ; c) xy/z + yz/x + zx/y = 3 ; d) 1/x + 1/y + 1/z = 1/1995. Comments Commenting disabled due to a network error. Please reload the page. You do not have permission to add comments. pdfcrowd.comopen in browser PRO version Are you a developer? Try out the HTML to PDF API học lớp 5 hay Đề luyện Violympic toán lớp 5 - P. 2 Đề luyện Violympic toán lớp 5 - P. 3 Đề luyện Violympic toán lớp 5 - P.1 Gia Sư Toán Bí quyết ôn thi tốt nghiệp môn Toán Dành Cho Gia Sư Dành Cho Phụ Huynh Một số phương pháp giúp học tốt môn Toán Phương pháp học các môn tự nhiên Giải Toán Trực Tuyến Và Nhận Luyện Thi 5 Lên 6 Đề Thi Tuyển Sinh Vào 6 Trường Chuyên Trần Đại Nghĩa - TP.Hồ Chí Minh 2002 - 2003 Đề Thi Tuyển Sinh Vào 6 Trường Chuyên Trần Đại Nghĩa - TP.Hồ Chí Minh 2007 - 2008 Đề Thi Tuyển Sinh Vào 6 Trường Chuyên Trần Đại Nghĩa - TP.Hồ Chí Minh 2009 - 2010 Đề thi vào lớp 6 trường Giảng Võ năm 2012 Học Toán Tiểu Học Bài toán Tìm số có hai chữ số biết tổng hoặc hiệu của hai chữ số đó Bài tập dạng 1 Bài tập dạng 2 Bài tập dạng 3 Bài Tập Dạng 4 Bài Tập Dạng 5 Bài Tập Dạng 7 Dạng 1 : Số chẵn, số lẻ, bài toán xét chữ số tận cùng của một số Dạng 2: Kĩ thuật tính và quan pdfcrowd.comopen in browser PRO version Are you a developer? Try out the HTML to PDF API hệ giữa các thành phần của phép tính Dạng 3 : Bài toán liên quan đến điều kiện chia hết Dạng 4 : Biểu thức và phép tính liên quan đến tính giá trị biểu thức Dạng 5 : Các bài toán về điền chữ số vào phép tính Dạng 6 : Các bài toán về điền dấu phép tính Dạng 7: Vận dụng tính chất của các phép tính để tìm nhanh kết quả của dãy tính Dạng 8 : viết liên tiếp một nhóm chữ số hoặc chữ cái HOẠT ĐỘNG THỰC HÀNH TOÁN HỌC LỚP 2 Một con đường sáng tạo các bài toán Rèn tư duy Toán 2 Số tự nhiên SỐ TỰ NHIÊN_CHỮ SỐ SỐ TỰ NHIÊN_CHỮ SỐ​ P2 Trung bình cộng Tìm hai số khi biết tổng và tỉ Tổng Quan Một Số Dạng Toán Thi Volympic Vật Chuyển Động Trên Dòng Nước Kiến Thức Toán 14 phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng 7 phương pháp chứng minh các đường thẳng đồng qui Bài toán xác định tâm hình cầu ngoại tiếp khối đa diện Bộ số Pitago Cho x,y,z là các số dương, thỏa mãn x + y + z =3 Cho x,y,z là các số dương, thỏa mãn x + y + z =3 Chuyên Đề Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Chuyển động cong Chứng minh bất đẳng thức pdfcrowd.comopen in browser PRO version Are you a developer? Try out the HTML to PDF API bằng phương pháp cosi Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp cosi Chứng minh một số không phải là số chính phương Chứng mình một số là số chính phương Các Bài Toán Dãy Số Trong Các ​Kỳ Thi Olympic 30 - 4 Các phương pháp giải phương trình phổ biến Các Vấn Đề Về Đa Thức Phần 1 Các Vấn Đề Về Đa Thức Phần 2 Công thức tìm giới hạn dãy số Dạy toán dạng bài tìm trung bình cộng Giúp Trí Nhớ Toán THPT Giải phương trình mũ và logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ Giải phương trình mũ và logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ Hình học không gian và những điều cần lưu ý Lớp 10 MỘT PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM ĐỘC ĐÁO Một số bài toán liên quan đến đường tròn và mặt phẳng Một số bài tập về tiệm cận của đồ thị hàm số Một số công thức hình học cần nhớ Một số công thức lượng giác cơ bản Một số công thức đạo hàm và tích phân Một Số Lưu Lý Khi Giải PT Lượng Giác Một số phương pháp giải phương trình mũ và logarit Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Một số phương pháp tìm GTLN - GTNN pdfcrowd.comopen in browser PRO version Are you a developer? Try out the HTML to PDF API Nguyên Lý Dirichlet Và Một Số Bài Toán Áp Dụng Nhắc lại kiến thức về tính đơn điệu của hàm số Những ghi nhớ trước khi làm đề toán Những sai lầm khi giải toán tích phân Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp gien Phương pháp hoán vị vòng quanh Phương pháp học môn toán tốt trong mùa hè dành cho trẻ Phương pháp lập phương trình đường thẳng trong không gian Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến Phương trình Pythagore Phương Trình Và Bất Phương Trình Phương Tích Số pi cuối cùng bằng bao nhiêu? Tháp Hà Nội – Nơi gặp gỡ giữa toán học và tâm lý học VỀ PHÂN HOẠCH TẬP CÁC SÔ NGUYÊN DƯƠNG THÀNH HAI TẬP CÓ TỔNG CÁC PHẦN TỬ BẰNG NHAU Áp dụng thành thạo công thức tích phân từng phần Áp dụng thành thạo công thức tích phân từng phần Đa thức đối xứng ba biến Đa Thức Đối Xứng Hai Biến Luyện Đề Vào 6 Bộ 20 Đề Luyện Thi 5 lên 6 Dành Cho Học Sinh Khá Giỏi Giải chi tiết Đề thi vào 6 AMS 2004 - 2005 Giải chi tiết Đề thi vào 6 AMS 2005 - 2006 Giải chi tiết Đề thi vào 6 AMS 2006 - 2007 pdfcrowd.comopen in browser PRO version Are you a developer? Try out the HTML to PDF API Giải chi tiết Đề thi vào 6 AMS 2007 - 2008 Giải chi tiết Đề thi vào 6 AMS 2008 - 2009 Giải chi tiết Đề thi vào 6 AMS 2009 - 2010 Giải chi tiết Đề thi vào 6 AMS 2010 - 2011 Giải chi tiết Đề thi vào 6 Trần Đại Nghĩa 2010 Tin Giáo Dục "Chăm chỉ và tự giác là bậc thầy của mọi bậc thầy" 10 ngày tang lễ lịch sử của Đại tướng Võ Nguyên Giáp qua ảnh Amsterdam, Nguyễn Huệ - 2 ngôi trường cấp 3 hiện đại nhất Hà Nội Bí kíp đặc biệt vượt ải kỳ thi học sinh giỏi Cận cảnh trường ĐH của chàng "hoàng tử" Lee Seung Gi Hai bài văn tả bố ly kỳ như phim hành động Lưu ý khi chọn trường Đại học cho con Nhiều ngành học bị đình chỉ tuyển sinh Những bài thơ hay và ý nghĩa mừng ngày Nhà giáo Việt Nam 20/11 Những lý do không thể bỏ lỡ Ngày hội Giáo dục Vương Quốc Anh 2013 Phương Pháp học toán hiệu quả nhất Phải làm sao khi đã ra trường nhưng chưa xin được việc Trường Học Quốc Tế Tại Việt Nam ĐH Bách Khoa Hà Nội Được Vụ Trưởng Nhật Bản Ghé Thăm Được điểm cao đôi khi cũng phải học cách ứng xử khéo [...]... trường Nguyễn Huệ Toán Học 4 Phương Bao nhiêu số lẻ (thập phân) là vừa? Bạn có biết nguồn gốc của cách đếm không? Chuyên gia Pháp "chấm điểm" nền Toán học Việt Cuộc đời éo le của Cauchy Gặp gỡ Toán học 2014 Lịch sử Lý thuyết toán tử Người mở đầu 'thế hệ vàng toán học' Việt Nam Số chẵn và số nguyên số nào nhiều hơn? Số nguyên tố là gì? Số thân thiết là gì Sự thú vị của những con số trong toán học ít ai biết... PHÉP PHẢN CHỨNG THÚ VỊ! PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ? Phương pháp tính ngược TÍNH ĐỘ DÀI QUÃNG ĐƯỜNG TRONG BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU Đề Thi 25 bộ đề thi TOÁN luyện thi tốt nghiệp THPT có hướng dẫn lời giải do GV Phan Hữu Huy Trang 54 bộ đề thi TOÁN luyện thi tốt nghiệp THPT , luyện thi cao đẳng và đại học có hướng dẫn lời giải Bộ đề luyện thi đại học môn toán cấp tốc năm 2011 Phương pháp giải bài tập hình học... toán học không? Vẻ đẹp của Toán học Ý nghĩa của số 0 có phải là không có? Toán Tuổi Thơ CÓ NHIỀU CÁCH ĐỂ TÌM RA LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN DÀNH CHO CÁC BẠN LỚP 5 HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ GIẢI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH LUYỆN GIAO LƯU TOÁN TUỔI THƠ NĂM HỌC 2009-2010 LUYỆN GIAO LƯU TOÁN TUỔI THƠ TOÀN QUỐC NĂM HỌC 2009-2010 PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI open in browser PRO version Are you a developer? . toán tích phân Phương ph p chứng minh hai đường thẳng song song Phương ph p gien Phương ph p hoán vị vòng quanh Phương ph p học môn toán tốt trong mùa hè dành cho trẻ Phương ph p l p phương trình đường. l p 5 - Phần 2 Bài t p toán nâng cao l p 5 - Phần 3 Bài t p toán nâng cao l p 5 - Phần 4 Bài t p toán nâng cao l p 5 - Phần 5 Bài t p toán tỷ lệ phần trăm - l p 5 Bộ đề thi HSG toán l p 5 - Phần. TRIỂN TỪ MỘT BÀI pdfcrowd.comopen in browser PRO version Are you a developer? Try out the HTML to PDF API TOÁN CƠ BẢN PH P PHẢN CHỨNG. THÚ VỊ! PHƯƠNG PH P DIỆN TÍCH ? Phương ph p tính ngược TÍNH