một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

 - - 2011. 1   ( ) ( ) n n f x b a af x b    ,a b R (1).     ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) n n g x af x b g x b af x     (2).  ( ) ( ) nn f x b ag x (3)  ( ) ( ) ( ) ( ) n n g x b af x f x b ag x        .   .  .  : : 3 3 1 2 2 1xx   .   2, 1, ( )a b f x x   .  3 3 y 2x 1 y 1 2x     . Vy ta có h  : 3 3 x 1 2y y 1 2x        . Tr a h: 3 3 2 2 x y 2(y x) (x y)(x xy y 2) 0 x y           (Do 2 2 2 2 y3 x xy y 2 (x ) y 2 0 24         ) Thay vào h ta có: 3 3 2 x 1 2x x 2x 1 0 (x 1)(x x 1) 0             - - 2011. 2 x1 15 x 2          . Vm: 15 x 1;x 2   .  2 3 24 2 x xx     , , ( )a b f x .    ()fx . .  ()fx . Ta  22 2 4 2( 2 )x x x x   = 2 2 2 2 4 2( 2 1) 2 2( 1) 2x x x x x        .  ()fx =   .  ()fx  2 (x 1) 2 2(x 1) 2 2     2 1 x 1 (x 1) 1 1 22       .    1 2 ,   . t 2 t y1 x 1 t t x 1;y 1 1 2 22 y0                . Ta có h : 2 2 1 t 1 y 2 1 y 1 t 2          ty 1 (t y)(t y ) 0 1 2 yt 2               * 2 2 t t1 2t t 2 0 ty 2 t0 t y 0                  1 17 3 17 tx 44        (tha x3 ).  - - 2011. 3 * 2 2 1t (t ) 1 4t 2t 3 0 1 22 yt 1 1 2 t t 2 2                       1 13 5 13 tx 44         (th x3 ). Vm: 3 17 5 13 x ;x 44      . Gi 2 x x 1000 1 8000x 1000    .   1 x 8000   2 1000 1000 1 8000x x x    .  ()fx .  .  PT 2 4x 4x 4000 4000 4000(2x 1) 3999      2 (2x 1) 4001 4000 4000(2x 1) 4001       ()fx = 2 1, 4000, 4001x a b   ). t u 2x 1; v 1 8000x    ; 4001 v 0,u 4000 , ta có h  22 2 2 2 u 4001 4000v u 4001 4000v v 4001 4000u u v 4000(v u)                2 u 4001 4000v (1) (u v)(u v 4000) =0 (2)           . Do u v 4000 0   nên T (2) ta có: uv c: 2 u 4000u 4001 0 u0           - - 2011. 4 u 4001 x 2001    . Vm: x 2001 .  , , ( )a b f x .  ,ab  do . Gi 2 4x 7x 1 2 x 2    .   ()fx  a =2). 22 4 (2 )xx  2 ( ) (2 )f x x c  c .  ()fx o. 2 (2x 1) 3x 2 2(2x 1) 3x     ..  t 2 t 2x 1;y 2t 3x y 3x 2t       và y0 . Ta có : 2 2 t 3x 2y y t (t y)(t y 2) 0 y t 2 y 3x 2t                      . * 2 2 4x 3x 1 0 1 t 2t 3x 0 y t x 1 4 t0 x 2                      . * 2 2 4x 11x 7 0 t 3x 2(t 2) 0 y t 2 3 t2 x 2                       7 x 4    . Vm: 71 x ;x 44    . Gi 22 4x 11x 10 (x 1) 2x 6x 2      .   2 ( ) (2 )f x x c .  - - 2011. 5  c : 2 2 2 2 2 4 4 ( 11 4 ) 10 ( 1) ( 1)(2 ) ( 11 4 ) 10 (11 4 ) 10 . x cx c c x c x x x c c x c b c x c                      3c  .  PT 2 (2x 3) x 1 (x 1) (x 1)(2x 3) x 1          t u 2x 3; v (x 1)(2x 3) x 1       , Ta có h  2 2 u x 1 (x 1)v v x 1 (x 1)u              22 u v (x 1)(v u) (u v)(u v x 1) 0           * 2 u v u x 1 (x 1)u      2 (2x 3) x 1 (x 1)(2x 3)       2 2x 6x 7 0    m. * 2 u v x 1 0 2x 3 2x 6x 2 x 1 0            2 2x 6x 2 4 3x     2 4 x 3 7x 18x 14 0           h vô nghim. Vm.  3 2 2 3 3 6 3 17 3 9( 3 21 5)x x x x x       .  vn.com.   ( ) (3 ) ( )f x x c f x x c      ( ) (3 )f x x c . PT 3 2 2 3 27 54 27 153 27 9( 3 21 5)x x x x x        . (*)  - - 2011. 6 Tuy nhiên .  .  .       c b  =    ).    b  = 2 81x .  2 27xc  3c  .        .  3 2 2 2 33 (3 3) (27 126 108 ) 27 9( 3 21 5) 27 27(3 3) (27 126 108 )x x x x x x x x             . .  2 3 3 3; 27(3 3) (27 126 108 )u x v x x x       .  32 32 (27 126 108 ) 27 (27 126 108 ) 27 u x x v v x x u               .  3 3 2 2 10 2 7 23 12x x x x x      .    32 ( ) ( 2) ; 7 22 10, 1f x x b x x a       .  3 22 3 2; 7 23 12 ( 2) ( 7 22 10)u x v x x x x x           .  32 33 32 22 3 2 22 22 7 22 10 7 22 10 ( )( 1) 0 ( 2) 7 23 12(*) 3 10 ( ) 1 0(**) 24 u x x v u v v u v x x u u v u v uv x x x uv v u v uv uv                                               - - 2011. 7 3 2 2 (*) 5 11 4 0 ( 4)( 3 1) 0 4 35 2 35 2 x x x x x x x x x                           3 5 3 5 4; ; 22 x x x        .  .   .    3 2 7 23 12xx     .  4tx . Thay  3 2 7 23 12 6xx   = t   , do 4t  2     .  3 2 2 7 23 12t x x     .  3 2 2 32 3 3 2 2 2 2 6 12 7 23 4 10 4 6 6 13 13 0 ( )( 6 6 13) 0 t t t x x x x x t t x t x x t t x t x tx t x                              . 22 6 6 13 0 tx t x tx t x           32 3 2 2 22 ( 2) 7 23 12(*) 2 7 23 12 3 [( 3) ] 3 4 0(**) ( 3) ( 3) 3 4 0 24 x x x x x x x t x x t x t x x                                 - - 2011. 8 3 2 2 (*) 5 11 4 0 ( 4)( 3 1) 0 4 35 2 35 2 x x x x x x x x x                           3 5 3 5 4; ; 22 x x x        .    a  ""  a "" B8: Gi 3 22 1 8x 13x 7 (1 ) 3x 2 x      .  .  3 3 2 2 8x 13x 7x (x 1) 3x 2      . (*)         v   . v .  ( ) (2 1)f x x  (*) 3 2 2 3 (2x 1) (x x 1) (x 1) (x 1)(2x 1) x x 1             3 2 u 2x 1; v 3x 2    Ta  32 22 32 u (x x 1) (x 1)v (u v)(u uv v x 1) 0 v (x x 1) (x 1)u                        - - 2011. 9 * 3 2 3 2 u v 2x 1 3x 2 8x 15x 6x 1 0          2 x1 (x 1)(8x 7x 1) 0 1 x 8              . * 2 2 2 2 u3 u uv v x 1 0 (v ) (2x 1) x 1 0 24             22 u 4(v ) 12x 8x 7 0 2       2 2 2 u 4(v ) 4x 2(2x 1) 5 0 2        m. 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(*)  1 t x  .  3 3 2 2 8t 13t 7t 2 t 3t 3     . 3 2 2 3 (2t 1) (t t 1) 2 2(2t 1) t t 1          . t 2 3 u 2t 1, v 2(2t 1) t t 1       , ta có h  32 33 32 u t t 1 2v u v 2v 2u v t t 1 2u                  22 (u v)(u uv v 2) 0       - - 2011. 10 3 2 u v 2t 1 t 3t 3       32 8t 13t 3t 2 0     2 (t 1)(8t 5t 2) 0     2 t1 t1 5 89 t 8t 5t 2 0 16                  . Th li ta thy ba nghim này th Vm: 16 x 1; x 5 89   . 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(**) Xem (**  22 1 2 (4 1) 8(2 1) (4 3) 4 1 4 3 1 1 42 (*) 4 1 4 3 21 4 x x x xx t xx tx                             1 t do (*).  2 tt  v 2 22 2 2 1 1 2 1, 1 2 1 1 (2 1) 1 4 . 3 3 4 0 x t x x x xx x x xx                      .  .  PT 2 4x 4x 4000 4000 4000(2x 1) 3999      2 (2x 1) 4001 4000 4000(2x 1) 4001       ()fx =.  3c  .  PT 2 (2x 3) x 1 (x 1) (x 1)(2x 3) x 1          t u 2x 3; v (x 1)(2x 3) x 1  .  ( ) (3 ) ( )f x x c f x x c      ( ) (3 )f x x c . PT 3 2 2 3 27 54 27 153 27 9( 3 21 5)x x x x x        . (*)  -