tìm tòi sáng tạo một số cách giải phương trình vô tỷ nguyễn minh tuấn

tìm tòi sáng tạo một số cách giải phương trình vô tỷ nguyễn minh tuấn tìm tòi sáng tạo một số cách giải phương trình vô tỷ nguyễn minh tuấn tìm tòi sáng tạo một số cách giải phương trình vô tỷ nguyễn minh tuấn tìm tòi sáng tạo một số cách giải phương trình vô tỷ nguyễn minh tuấn tìm tòi sáng tạo một số cách giải phương trình vô tỷ nguyễn minh tuấn tìm tòi sáng tạo một số cách giải phương trình vô tỷ nguyễn minh tuấn

Nguyễn Minh Tuấn Lớp 11A – Trường THPT Bình Minh Tìm tịi Sáng tạo số cách giải phương trình vơ tỷ BÌNH MINH - 2017 LỜI NĨI ĐẦU Phương trình vơ tỷ vấn đề quan trọng đại số sơ cấp, có nhiều tài liệu nói vấn đề này, nhiên viết giới thiệu tới bạn đọc vài kỹ thuật hay bao gồm kỹ thuật giải tốn khơng cần CASIO toán kết hợp với vài kỹ thuật CASIO nhỏ để giải toán hay khó Trong viết gồm chủ đề:  Một số kỹ thuật nhỏ phương trình vơ tỷ  Kỹ thuật nhân liên hợp, phân tích nhân tử số phương trình vơ tỷ tầm trung  Kỹ thuật chứng minh vô nghiệm  Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu hàm số  Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bài viết kinh nghiệm, thủ thuật mà tơi tích lũy trình học tập Một số kỹ thuật viết sưu tầm phát triển lên, nhiên nhớ hết tác giả kỹ thuật đó, mong tác giả bỏ qua cho thiếu sót Chủ yếu viết tham khảo từ anh, chị, thầy cô, diễn đàn sau: Anh Bùi Thế Việt Anh Lâm Hữu Minh Thầy Lã Duy Tiến Thầy Đồn Trí Dũng Diễn đàn k2pi.net Diễn đàn VMF: diendantoanhoc.net Ngồi bạn đọc tham khảo số viết, tài liệu mạng để hiểu biết Hầu hết tất toán viết giải theo cách giải nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót, nên mong bạn đọc góp ý để viết hồn thiện Mọi ý kiến đóng xin gửi tác giả Nguyễn Minh Tuấn - Lớp 12A THPT Bình Minh Email: tuangenk@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/khanhhuyenhth Fanpage: https://www.facebook.com/DinhXuanHung.KinhNghiemHocToan/ Địa Blog: https://kinhnghiemhoctoan.wordpress.com/ Nguyễn Minh Tuấn Trang Tìm tịi sáng tạo cách giải phương trình vơ tỷ MỤC LỤC A MỘT VÀI KỸ THUẬT NHỎ - I KIỂM TRA NGHIỆM BỘI a) Kiểm tra đạo hàm b) Kiểm tra giới hạn hàm số Một số mẹo khác II TÌM NHÂN TỬ Cách tìm nhân tử chứa nghiệm hữu tỷ đơn Cách tìm nhân tử chứa nghiệm hữu tỷ kép Cách tìm nhân tử chứa nghiệm bội cao Cách tìm nhân tử chứa nghiệm vô tỷ Cách tìm nhân tử chứa nghiệm hữu tỷ nghiệm vô tỷ III KỸ THUẬT PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNG IV KỸ THUẬT HOÁN ĐỔI NHÂN TỬ 11 V KỸ THUẬT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TỒN 15 VI KỸ THUẬT CHIA CĂN 17 Công thức chia 17 Công thức chia 17 Công thức chia 19 VII MỘT KỸ THUẬT NHỎ ĐÁNH GIÁ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM KÉP 22 B KỸ THUẬT NHÂN LIÊN HỢP, PHÂN TÍCH NHÂN TỬ MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ CƠ BẢN VÀ TẦM TRUNG 25 I ĐỀ BÀI 25 II HƯỚNG DẪN GIẢI 26 C KỸ THUẬT CHỨNG MINH VÔ NGHIỆM - 41 I PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 41 Phương trình bậc 41 Phương trình bậc 43 Phương trình bậc chẵn khơng chặt 44 Chứng minh khoảng 46 Chứng minh đoạn 48 II PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ 53 Đề 53 HƯỚNG DẪN GIẢI 55 D KỸ THUẬT SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU. Nguyễn Minh Tuấn Trang Tìm tịi sáng tạo cách giải phương trình vơ tỷ I Kiến thức cần nhớ 77 Định lý 77 Định lý 77 Định lý 77 II Bài toán minh họa 78 E KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC - 96 I CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ 96 Bất đẳng thức Cauchy – AM – GM 96 Bất đẳng thức Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz (BCS) 96 Bất đẳng thức Minkowski 96 Bất đẳng thức Holder 96 II ĐỀ BÀI 97 III CÁC BÀI TOÁN 100 Nguyễn Minh Tuấn Trang Tìm tịi sáng tạo cách giải phương trình vơ tỷ A MỘT VÀI KỸ THUẬT NHỎ I KIỂM TRA NGHIỆM BỘI Xét phương trình f  x   ta phân tích phương trình thành  x  x  k g  x    Nếu k  phương trình có nghiệm đơn  Nếu k  phương trình có nghiệm bội k Sau cách để kiểm tra nghiệm xem có phải nghiệm bội hay khơng phương trình a) Kiểm tra đạo hàm f  x    f '  x0    Xét phương trình f  x   có nghiệm x  x nghiệm bội n khi:  Khi   n  1  x0   f f  n  x    0 phương trình f  x   có nghiệm bội n Ví dụ : Kiểm tra nghiệm bội x  phương trình: x  4x  6x  4x   Ta có:  f '  x   4x  12x  12x   x1  f ''  x   12x  24x  12  f '''  x   24x  24 x 1  x 1 0 f ''''  x   24  Vậy phương trình có nghiệm bội x  Nhận xét: Cách kiểm tra nghiệm bội đạo hàm nhanh với phương trình đa thức Nhưng nhiên gặp phải phương trình vơ tỷ có trở lên mà nghiệm bội cao ví dụ bội có mà tính đạo hàm tay chết ln đừng có nói đủ tâm làm tiếp Do ta sử dụng cách  b) Kiểm tra giới hạn hàm số k Xét phương trình f  x   ta phân tích phương trình thành  x  x  g  x   có nghiệm bội k x  x  f  x 0  lim k 1 x  x0 x  x     Khi  phương trình có nghiệm bội k  lim f  x    x  x0  x  x  k   f i  x   0i  0, k   Về mặt đạo hàm ta có  i f  x   0i  k Ví dụ: Kiểm tra nghiệm bội x  phương trình:  x   x    x    x  x  4x  Ta có: Nguyễn Minh Tuấn Trang Tìm tịi sáng tạo cách giải phương trình vô tỷ lim x  2 x 0 lim x  2 x 0 lim x  2 x 0 lim x  2 x 0 lim x  2 x 0 x    x    x  x  4x 0 x x    x    x  x  4x 0 x2 x    x    x  x  4x 0 x3 x    x    x  x  4x 0 x4 x    x    x  x  4x 0 x5 Lời giải là:  x   x    x    x  x5  4x    x1  1x 2  x  6x  8x  16  2  x1  1x   x     x  6x  8x  16   x    x   x  18  12x  Việc tính lim cuối máy tính để kết xác khó Nhưng nhiên cần kiểm tra nghiệm bội phương trình nên cần cuối khác được, khơng cần quan tâm đến điều khác Cịn điều nữa, tính lim bạn nên CALC X  0, 01 khơng kết toàn làm bạn khó suy đốn Việc tính lim nên CALC nhiều giá trị khác để đánh giá tính chất nghiệm Một số mẹo khác  Do đề thi đại học tối đa cho nghiệm kép hết cỡ ta kiểm tra nghiệm kép cách sau: + Dùng MODE ta thấy hàm không đổi dấu qua mốc nghiệm kép d + Dùng tổ hợp phím SHIFT  tức tính đạo hàm Tính  f  x    nghiệm dx x  x0 kép  Kiểm tra nghiệm bội 3: Nếu dùng MODE mà thấy hàm đổi dấu qua mốc 0, mà thức phép tính d  f  x    chứng tỏ nghiệm bội dx x  x0 Nói chung có phát trình làm bài! Nguyễn Minh Tuấn Trang Tìm tịi sáng tạo cách giải phương trình vơ tỷ II TÌM NHÂN TỬ Đây điều quan trọng việc giải phương trình vơ tỷ, làm tốt bước chuyển sang bước sau Sau đưa cho bạn loại nhân tử gặp giải, số khơng có đề thi học sinh giỏi hay THPT Quốc Gia mà mang tính chất tham khảo Ngồi tơi nhắc bạn phải nắm cách tìm loại nhân tử hay gặp đề thi để xử lí tốt gặp phải Cách tìm nhân tử chứa nghiệm hữu tỷ đơn Đối với phương trình căn:khi gặp phải loại bạn thay trực tiếp nghiệm x  x vào thức + Nếu kết ngun ta ln nhân tử chứa nghiệm đơn + Nếu kết vơ tỷ dạng phải dùng ẩn phụ khơng hồn tồn để giải dùng cơng thức chia để giải quyết, nói chung cịn nhiều cách   f  x  a g x  b Đối với phương trình lúc nhân tử có dạng tối ưu Cũng tương tự căn, phương trình có hệ số vơ tỷ, trường hợp bạn phải suy đoán loại nhân tử khác chứa nghiệm khơng phải cho phân tích thành nhân tử được, thay kết vào mà thấy dễ dàng suy nhân tử Để tìm nhân tử ta cho a tùy ý để tìm b cho số a số vừa nhỏ, tối ưu Với cách làm có nhiều nhân tử sinh ra, để kiểm tra nhân tử tối ưu nên chọn số a 1,-1 ta lấy biểu thức đầu chia cho nhân tử suy đoán CALC giá trị bé chạy từ -3 đến 3, kết số hiển thị dạng nhân tử đẹp Chú ý chọn nhân tử có nghiệm ngoại lai làm chia bị lẻ Nếu gặp trường hợp thể tìm nghiệm ngoại lai trước ( bình phương nhân tử để tìm nghiệm) nhân nhân tử vào phương trình đầu Nếu thử hết cách mà khơng chuyển sang liên hợp chứng minh vơ nghiệm ( đọc phần chứng minh vơ nghiệm thấy thích cách J) Cách tìm nhân tử chứa nghiệm hữu tỷ kép  Phương trình vơ tỷ Nhân tử thức chứa nghiệm kép có dạng tổng quát sau: f  x   ax  b Do chứa nghiệm  d a   dx f  x   f  x   ax  b    kép x  x nên có hệ phương trình sau:    f  x   ax  b '  b   f  x   d  dx  Từ ta suy nhân tử toán  Phương trình vơ tỷ    Cũng tương tự trên, nhân tử chứa nghiệm bội kép có dạng  x  x0  f x  x  x0 f  x   a g  x   b Do nghiệm hữu tỷ kép nên đạo hàm chứa nghiệm kép x  x phương trình f '  x   x  x nghiệm đơn, có hệ sau: Nguyễn Minh Tuấn Trang Tìm tịi sáng tạo cách giải phương trình vơ tỷ  d f  x  dx x  x0 a   d  g  x   f x  a g x  b  dx x  x0      d  f  x   a g  x   b '    dx f  x   b   f  x     d   dx g  x     nhân tử toán             x  x0  g  x   x  x0  Từ ta suy Cách tìm nhân tử chứa nghiệm bội cao  Phương trình vơ tỷ Xét phương trình f  x   có nghiệm x  x nghiệm bội n  n   Khi để tìm nhân tử f  x    f '  x   chứa nghiệm bội n x  x ta làm sau: Giải hệ phương trình:  Khi nhân tử có  f  n 1  x    dạng  f  x   a.x n 1  b.x n 2  c.x n 3   dx  e Và sau giải hệ ta tìm hệ số nhân tử Ngoài cần ý nhân tử nghiệm bội cao bậc bậc khơng nên tìm nhân tử theo mà nên kiểm tra xem tách thành nhân tử nghiệm kép bình phương hay khơng ( nghiệm bội 4) hay tách thành nhân tử nghiệm bội nhân với nhân tử chứa nghiệm đơn hay không ( nghiệm bội ) để giảm bớt độ cồng kềnh nhân tử  Phương trình vơ tỷ Thơng thường gặp phương trình vơ tỷ hay nhiều chứa nghiệm bội trở lên cách làm mà nhiều người sử dụng tách sau tìm nhân tử liên hợp nhân liên hợp sau chứng minh phương trình cịn lại vơ nghiệm Tuy nhiên tìm nhân tử chứa nghiệm bội sau + Nếu phương trình có nghiệm bội ( có nghiệm hữu tỷ), lúc nhân tử có dạng sau:   f  x   a g  x   bx  c   f  x   a g  x   bx  c Để tìm hệ số a,b,c ta giải hệ  f  x   a g  x   bx  c '     f  x   a g  x   bx  c ''   Nhân tử + Nếu phương trình có nghiệm bội ta tìm nhân tử chứa nghiệm bội kép sau bình phương lên thành nhân tử chứa nghiệm bội + Nếu phương trình có nghiệm bội ta kiểm tra xem tách thành nhân tử nghiệm bội nhân với nhân tử chứa nghiệm đơn hay khơng + Ngồi nghiệm bội cao ta tư theo hướng để tìm nhân tử Và nên làm theo phương pháp nhân liên hợp     Cách tìm nhân tử chứa nghiệm vơ tỷ  Cách tìm nhân tử chứa nghiệm vơ tỷ dạng a  b c Đây dạng nghiệm phương trình bậc nên ta có cách tìm nhân tử sau: Nguyễn Minh Tuấn Trang Tìm tịi sáng tạo cách giải phương trình vơ tỷ + Đối với nhân tử có dạng  f  x   ax  b Khi dùng MODE với hàm  f  A   XA với A nghiệm vô tỷ phương trình đầu Ta cho kiện máy hỏi theo ý định tìm nhân tử ( tức tìm giá trị X làm F  X  hữu tỷ) Nếu khơng tìm nhân tử cho   ta tiếp tục nâng hệ số  lên tìm nhân tử Thơng thường giải phương trình mà tìm nghiệm vơ tỷ ta nên nghĩ đến trường hợp đề thi đại học hay số đề thi thử hầu hết cho nghiệm dạng Để tìm dạng nghiệm chuẩn xác a  b c ta dùng MODE với hàm f  X   A  XA sau tìm tương tự ta phương trình bậc chứa nghiệm vơ tỷ vừa tìm + Đối với phương trình vơ tỷ ta nhân tử có dạng sau  f  x   a g  x   b sau dùng MODE với hàm F  X    f  A   X g  A  sau tìm tương tự ta nhân tử chứa nghiệm vơ tỷ Nếu thi ta gặp trường hợp nghiệm vô tỷ kép làm tương tự trên, khác sau tìm nhân tử chứa nghiệm vơ tỷ đơn phải bình phương nhân tử lên Cách tìm nhân tử chứa nghiệm hữu tỷ nghiệm vô tỷ Ngồi dạng nhân tử tơi nói dạng dạng hay gặp đề thi Tuy nhiên cách làm tổng quát mà người đề muốn nhắm tới lơi hai nghiệm ( thơng thường nghiệm vơ tỷ trước ) sau phải dùng hàm số khảo sát để nghiệm Mặc dù lơi nghiệm lúc mà nhiều người cho không thể, cụ thể sau: Ta xét phương trình tổng quát f  x   phân tích thành  x  x   ax  bx  c  g  x   g  x  ln vơ nghiệm ax  bx  c phương trình bậc chứa nghiệm vơ tỷ phương trình đầu Khi để tìm nhân tử chứa nghiệm này( áp dụng cho căn) ta làm theo bước sau:  Bước 1: Ta tìm nhân tử bậc chứa nghiệm lẻ X  A MODE với hàm f  X   A  XA  Bước 2: Ta tìm nhân tử chứa nghiệm lẻ X  A MODE với hàm f  X    n f  A   XA  Bước 3: Khi nhân tử có dạng: n f  A   ax  b  k  cx  dx  e   Ta thay nghiệm hữu tỷ vào tìm k, k   n f  x   ax  b cx  dx  e Vậy ta tìm xong nhân tử chứa nghiệm vô tỷ bậc nghiệm hữu tỷ đơn Nguyễn Minh Tuấn Trang Tìm tịi sáng tạo cách giải phương trình vơ tỷ III KỸ THUẬT PHÂN TÍCH TỔNG BÌNH PHƯƠNG 3x3  2x2   3x3  x2  2x   2x2  2x  Vídụ 1: Giải phương trình: Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016 lần – THPT Chuyên ĐH Sư phạm – Hà Nội  Lời giải ngắn gọn sau: 3x  2x   3x  x  2x   2x  2x  2 1  3x  2x    3x  x  2x     x    2  3x  2x      Dễ thấy VT  nên dấu "  " xảy  3x  x  2x     x  1 x    Vậy x  1 nghiệm phương trình  Thế nào, sau đọc xong có thấy dài cách làm Cauchy không? Thực chất cách dùng bất đẳng thức, tên tiếng Anh Sum of square hay ta gọi SOS  Đầu tiên để làm theo cách ta làm theo bước sau:( ý áp dụng cho đa số đứng đơn lẻ,đa thức bậc có nghiệm kép) Tìm nghiệm phương trình Tìm nhân tử chứa nghiệm đơn cho Xác định dấu phương trình đầu CASIO Khi phân tích phương trìnhthành:       f  x  a     f1  x   b     fn  x   z  0 f  x   a; f1  x   b nhân tử chứa nghiệm đơn vừa Với  ,  , ,  dấu,   tìm Áp dụng vào  3x  2x   1 Ta có x  1   3x  x  2x   Nhận thấy VT  nên ta tách phương trình thành: 3x  2x   3x  x  2x   2x  2x     3x  2x      3x  x  2x     x  1  Vídụ 2: Giảiphươngtrình: x2  2x   x  2x   x  2x   Áp dụng cách làm ta được: x  2x   x  2x    x  2x      x  2x     x  2x      x  2x    0 Đến xong Nguyễn Minh Tuấn Trang ... Cách tìm nhân tử chứa nghiệm vơ tỷ  Cách tìm nhân tử chứa nghiệm vô tỷ dạng a  b c Đây dạng nghiệm phương trình bậc nên ta có cách tìm nhân tử sau: Nguyễn Minh Tuấn Trang Tìm tịi sáng tạo cách. ..  x0 Nói chung có phát trình làm bài! Nguyễn Minh Tuấn Trang Tìm tịi sáng tạo cách giải phương trình vơ tỷ II TÌM NHÂN TỬ Đây điều quan trọng việc giải phương trình vơ tỷ, làm tốt bước chuyển... 100 Nguyễn Minh Tuấn Trang Tìm tịi sáng tạo cách giải phương trình vô tỷ A MỘT VÀI KỸ THUẬT NHỎ I KIỂM TRA NGHIỆM BỘI Xét phương trình f  x   ta phân tích phương trình thành  x