Đáp án đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 và 2014

Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải.. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa.. Với các cách giải đúng như

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2013 - 2014

Môn: Toán – Lớp 12 – THPT

Giao điểm của (C) với Ox là A 1; 0 , giao điểm của (C) với Oy là B0; 1 

Do hoành độ của A và B đều lớn hơn 1 nên tọa độ của ; 1 , 1

1

x

x



1 1

MAB

x x x





0,5

 

3

x

x

 



Từ đó tìm được tọa độ điểm M là M2;3 hoặc M3; 2 0,5

PT 1 2 cos(2 2 ) 1 cos(2 4 ) 1 sin 2 cos(2 ).cos sin 1

2

2 6 5

6



  







 





Đặt tlog2 yhệ trở thành    

3





2

x  t   y (thỏa mãn)

TH2: 3 2

0

1 1

2

x







TH3:

3

2 0

x



1,0

   

2

Nếu x2 thì t1thỏa mãn

Nếu t1 thì x2thỏa mãn

0,5

Với x2 và t    1 x 1,t 2 ta có

     2  2     2  2  

t x   x t t x   x t  t x 

nghiệm)

Vậy nghiệm của hệ là   1 1    

; 0; , 2; , 2;32 , 2; 2

0,5

Gọi I BECD, đặt BC c 0

Ta có BA EA

BC  EC nên E là chân đường phân giác trong góc B của

tam giác ABC

Do đó, CBE450BECD (Vì BCDvuông cân tại B)

1,0

PT của BE: 3x y 170

Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ 3 17 0 5  5; 2

I

Từ đó tìm được tọa độ điểm B 4;5

0,5

Gọi C3a1;ata có

3

a

a







0,5

Với a 1 C  2;1 ,A 12;1

Mặt cầu  S có tâm I1; 2; 3  bán kính R3, d I P ,   3 2d M , P , 3 3

2

nên M nằm trong (S) Gọi K MI P

Do d I P ,  2d M , P IK 2MKmà IK IM nên M là trung điểm của KI nên tọa độ

2;1; 2

K

0,5



ta có

d P  a b  c  b c a n a c a c

PT của (P) có dạng a x  2 2c2ay 1 c z2 0

0,5

D

C B

A

Ta lại có    

2

2







0,5

Với a2c chọn a  2 c 1,b 2 PT của  P : 2x2y  z 4 0

Với 2ac chọn a  1 c 2,b2 PT của  P :x2y2z 8 0 1,0

H F

E

M

D

A'

A

2

M ABC C ABC C ABB A

1,0

Gọi H là hình chiếu của M trên (ABC), D, E, F là lượt là hình chiếu của H trên AB, AC, BC

Đặt xHD y, HE z, HF

M ABC ABC

ABC

V

S

tp

24 225 9x 400 16y 625 25z

0,5

Sử dụng bất đẳng thức u   v w   u  v w

với u15;3x v,20; 4y,w25, 5z

ta

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 3 4 5

15 20 25

Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ thì diện tích toàn phần hình chóp M.ABC

nhỏ nhất

0,5

2

3

1

7

4

3 37

3

3

t

Lưu ý:Học sinh sử dụng biến đổi

2

3

1

1

0,5

2014 2014 2014 2014 2

Chứng minh kC2014k 2014C2013k1,k n, , 0 k n

2C 4C   2014C 2014 C C   C 2014.2

2014.2 3.2 1010.2

Lưu ý:Học sinh có thể sử dụng đạo hàm để giải bài toán này.

1,0

Từ giả thiết ta chứng minh ac b, d

Nếu a    b 0 c d 0 (loại)

Nếu a0,b0, đặt u c 1,v d

   ta được

2012 2012

2014 2014

1 1







Từ hệ suy ra, u 1,v  nên1 2014 2014 2012 2012

1

u v u v  dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

 

0, 1

0

v v



Do vai trò như nhau nên trường hợp một trong các biến b, c, d bằng 0 cũng tương tự đều dẫn đến ac b, d

0,5

Nếu abcd0, đặt 2012 0, 2012 0, 2012 0, 2012 0, 2014 1007 1

2012 1005

Theo đề ra ta có: (1)

(2)

  







Từ (1) và (2) ta có: x (m n x) m n 

Xét hàm số f x( )x  (m n x)m  n  ; 1; x0

f x x   m n x   '( ) 0

2

m n

Từ bảng biến thiên suy ra PT f(x) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm

Mà f m( ) f n( )0 nên f x  0 x m





   



;

x  m y n x  n y m Vậy a c





 



0,5

a b  c d  c d  a b  a d  c

2 2 2 2 2 2

 2  2  2  2  2

2

2

    

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a    b 0 c d 0 (không thỏa mãn giả thiết)

Vậy a2b22c2 3d 4 c2d22a2 3b 4 a2d24c 4 6

0,5

1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa

2 Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ

3 Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm