Đáp án đề thi học sinh giỏi chuyên toán tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 và 2014

Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm.. Trong trường hợp mà

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán - Lớp 12 – THPT chuyên

Câu 1

(4 điểm)

2

1

x



2

1

2014 1 ln 2014

1

x

x



2,0 điểm

Vì 2

2

1

1

x

0

f x    x

Suy ra hàm số đồng biến trên 

1,0 điểm

Mà f  0  nên PT có nghiệm duy nhất0 x0 1,0

điểm

Câu 2

(4 điểm)

2

n

x



 

Bằng quy nạp suy ra x n    3 n *

*/ Chỉ ra   xn là dãy tăng

Nếu dãy   xn bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn là a Khi đó a là nghiệm

dương của phương trình:

4

3

9 6

a a





  Từ đó tìm được a suy ra vô lí.3 Vậy limx n  

2,5 điểm

Từ đó suy ra

1

1 1

3

n

n

y

x 

 



1,0 điểm

điểm

Câu

(5 điểm)

Trong mp(ACM) kẻ NI//CM (IAM), Trong mp(BCD) kẻ BK//CM (KCD)

Trong (ABD): DI cắt AB tại P, Trong (AKD): DN cắt AK tại Q

Do NI//CM, BK//CM nên PQ//CM

Gọi E là trung điểm PB ME//PD hay ME//PI 1

3

AP AB

Từ cách dựng ta có I là trung điểm AM nên P là trung điểm AE

2,0 điểm

Tứ diện đều ABCD có cạnh 1 nên 2

12

ABCD

điểm

M là trung điểm BD nên 1 2

AMCB ABCD

điểm

1 1 1

2 3 6

AMNP

AMCB

144

AMNP

điểm

Câu 4

(3 điểm)

Mọi đường tròn chứa bên trong hoặc trên nó cả 3 điểm A, B, C có đường kính

d không thể nhỏ hơn 3 đoạn AB, BC, CA

1,0 điểm Chỉ ra tam giác ABC vuông tại A BC = 5 2 là cạnh lớn nhất

dmaxAB BC AC, , 5 2mind 5 2

Suy ra đường tròn đường kính BC có bán kính nhỏ nhất thỏa mãn bài toán

2,0 điểm

Tâm đường tròn là 9 5

;

2 2

 , bán kính là

R BC 

Vậy pt   9 2 5 2 25

:

T x  y  

1,0 điểm

Câu 5

(4 điểm)

Từ giả thiết ta chứng minh ac b, d

Nếu a     (loại)b 0 c d 0

Nếu a0,b , đặt0 u c 1,v d

   ta được

2012 2012

2014 2014

1 1







Từ hệ suy ra, u 1,v  nên1 2014 2014 2012 2012

1

u v u v  dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

 

0, 1

0

v v

Do vai trò như nhau nên trường hợp một trong các biến b, c, d bằng 0 cũng

tương tự đều dẫn đến ac b,  d

1,0 điểm

Nếu abcd  , đặt0

2012 1005

Theo đề ra ta có: (1)

(2)

x  y  m  n 

  







Từ (1) và (2) ta có: x  (m n x) m  n 

Xét hàm số f x( )x  (m n x) m  n  ;  ;1 x0

f x x   m n x   '( ) 0

2

Từ bảng biến thiên suy ra PT f(x) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm

2,0 điểm

Mà f m( ) f n( ) nên0 f x  0 x m





   



;

x  m y n x   Vậyn y m a c





 



 2  2  2  2  2

2

2

    

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a    b 0 c d 0

(không thỏa mãn giả thiết)

Vậy

1,0 điểm

Chú ý:

1 Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.

2 HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang

điểm Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót

thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.

3 Tổng điểm của bài thi không làm tròn.

-H