Đáp án đề thi học sinh giỏi chuyên toán tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 và 2014

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán - Lớp 12 – THPT chuyên Câu Nội dung Điểm Câu 1 (4 điểm) Xét hàm số   2 ( ) 2014 1 1 x f x x x      ' 2 2 ( ) 2014 ln2014. 1 2014 1 1 x x x f x x x x               2 2 1 2014 . 1 ln2014 1 x x x x            2,0 điểm Vì 2 2 1 1 0, 1 ln2014 1 x x x       nên   ' 0f x x    Suy ra hàm số đồng biến trên  1,0 điểm Mà   0 0f  nên PT có nghiệm duy nhất 0x  1,0 điểm Câu 2 (4 điểm) */ Nhận xét:         2 1 2 3 3 3 , 3 3 n n n n n x x x x x         (1) Bằng quy nạp suy ra * 3 n x n   */ Chỉ ra   n x là dãy tăng Nếu dãy   n x bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn là a . Khi đó a là nghiệm dương của phương trình: 4 3 9 6 a a a a     . Từ đó tìm được 3a  suy ra vô lí. Vậy lim n x   2,5 điểm */ Từ (1) ta có 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 n n n n n n x x x x x x              Từ đó suy ra 1 1 1 3 n n y x     1,0 điểm */ Do vậy: lim 1 n y  0,5 điểm Câu (5 điểm) Trong mp(ACM) kẻ NI//CM (I  AM), Trong mp(BCD) kẻ BK//CM (K  CD) Trong (ABD): DI cắt AB tại P, Trong (AKD): DN cắt AK tại Q Do NI//CM, BK//CM nên PQ//CM Gọi E là trung điểm PB  ME//PD hay ME//PI 1 3 AP AB   Từ cách dựng ta có I là trung điểm AM nên P là trung điểm AE BK = 2 CM = 3 1 1 1 3 3 3 PQ AP PQ BK BK AB       2,0 điểm Tứ diện đều ABCD có cạnh 1 nên 2 12 ABCD V  0,5 điểm M là trung điểm BD nên 1 2 2 24 AMCB ABCD V V  0,5 điểm 1 1 1 2 3 6 AMNP AMCB V AM AN AP V AM AC AB    . Suy ra 2 144 AMNP V  1,0 điểm Câu 4 (3 điểm) Mọi đường tròn chứa bên trong hoặc trên nó cả 3 điểm A, B, C có đường kính d không thể nhỏ hơn 3 đoạn AB, BC, CA 1,0 điểm Chỉ ra tam giác ABC vuông tại A  BC = 5 2 là cạnh lớn nhất. d   ax , , 5 2 min 5 2m AB BC AC d    Suy ra đường tròn đường kính BC có bán kính nhỏ nhất thỏa mãn bài toán 2,0 điểm Tâm đường tròn là 9 5 ; 2 2 I       , bán kính là 1 5 2 2 R BC  Vậy pt   2 2 9 5 25 : 2 2 2 T x y                 1,0 điểm Câu 5 (4 điểm) Từ giả thiết ta chứng minh ,a c b d  Nếu 0 0a b c d     (loại) Nếu 0, 0a b  , đặt 1, c d u v b b    ta được 2012 2012 2014 2014 1 1 u v u v          Từ hệ suy ra, 1, 1u v  nên 2014 2014 2012 2012 1u v u v    dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   1 0 0, 1 0 u loai u a c b d v v                   Do vai trò như nhau nên trường hợp một trong các biến b, c, d bằng 0 cũng tương tự đều dẫn đến ,a c b d  . 1,0 điểm Nếu 0abcd  , đặt 2012 2012 2012 2012 2014 1007 0, 0, 0, 0, 1 2012 1005 x a y b m c n d            Theo đề ra ta có: (1) (2) x y m n x y m n              Từ (1) và (2) ta có: ( )x m n x m n          Xét hàm số ( ) ( )f x x m n x m n           ; 1  ; 0x  1 1 '( ) ( )f x x m n x              '( ) 0 2 m n f x x      Từ bảng biến thiên suy ra PT f(x) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm 2,0 điểm Mà ( ) ( ) 0f m f n  nên   0 x m f x x n        ;x m y n x n y m      . Vậy a c b d      2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 3 4 4 4a b c d c d a b a d c             2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 3 4 4 4a b a b a b a b a b a              2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 3 4 4 4a b a b a b a b a b a                        2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 2a b a b a b                   2 2 2 2 2 1 1 3 3 2 3 4 2a a b b a a a a               4 2 6a a     Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 0 0a b c d     (không thỏa mãn giả thiết) Vậy 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 3 4 4 4 6.a b c d c d a b a d c              1,0 điểm Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm. 2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết. 3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn. Hết . UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán - Lớp 12 – THPT chuyên Câu Nội dung Điểm Câu 1 (4. 1 (4 điểm) Xét hàm số   2 ( ) 2014 1 1 x f x x x      ' 2 2 ( ) 2014 ln2014. 1 2014 1 1 x x x f x x x x               2 2 1 2014 . 1 ln2014 1 x x x x          . BC AC d    Suy ra đường tròn đường kính BC có bán kính nhỏ nhất thỏa mãn bài toán 2,0 điểm Tâm đường tròn là 9 5 ; 2 2 I       , bán kính là 1 5 2 2 R BC  Vậy pt   2 2 9 5 25 : 2