Đáp án đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2013 và 2014

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 05 trang) Lưu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. - Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu 1. (2,0 điểm) Nội dung Điểm Phương trình tương đương: 3sin 2 3 1 1 cos2x x     . 1 3 3 cos2 sin 2 2 2 2 x x   . 3 cos 2 3 2 x           .   12 4 x k k x k                    Vậy phương trình có nghiệm là 12 x k      hoặc ( ) 4 x k k        . Câu 2. (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm). Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 4 4 3 x mx m x m     . 2 0 3 1 0 (1) x x mx         Yêu cầu bài toán tương đương với (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 2 9 4 0 m    2 3 2 3 m m           . Vậy các giá trị cần tìm của m là 2 3 m  hoặc 2 3 m   . 2 b) (1,0 điểm). Ta có 2 ' 3 6y x mx   ; ' 0 0 y x    hoặc 2x m . Đồ thị có hai điểm cực trị khi và chỉ khi 0 m  (*) Các điểm cực trị của đồ thị là     4 4 3 0; ; 2 ; 4 A m B m m m  . Suy ra 4 4 1 1 AC m m     ;   , 2C Oy d B AC m    . Do đó     4 1 . , 1 2 ABC S AC d B AC m m    ;   4 2 1 2 ABC S m m     . Đặt 0m t  ta được 5 4 3 2 2 0 ( 1)( 2) 0 1t t t t t t t t            Do đó 1 m   (thỏa mãn điều kiện (*)). Vậy 1 m   . Câu 3. (2,0 điểm) Nội dung Điểm a) (1,0 điểm). Với m=2 ta có hệ 3 2 2 2 2 2 3 3 4 ( )(3 ) 4 2 4 ( ) (3 ) 4 x x y x xy x x x y x x y x x x y                          Đặt 2 ;3 x x a x y b    , ta có hệ: 4 2 4 ab a b a b          . Giải hệ 4 4 ab a b       ta được 2 a b   . Suy ra 2 2 3 2 x x x y        . Giải hệ ta được ( ; ) ( 1;5);(2; 4) x y    . Vậy hệ có hai nghiệm ( ; ) ( 1;5);(2; 4) x y    . Chú ý: HS có thể làm theo phương pháp thế. b) (1,0 điểm). Hệ tương đương 2 2 ( )(3 ) 2 ( ) (3 ) 6 x x x y m x x x y m              Đặt 2 1 , ;3 4 x x a a x y b      , ta có hệ: 2 6 ab m a b m        2 6 2 (6 ) 2 (1) 2 6 6 6 a a ab m a m a m m a a b m b m a b m a                              Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn 1 4 a   . Xét hàm số 2 6 1 ( ) ; 2 4 a a f a a a      . Ta có 2 2 4 12 '( ) ( 2) a a f a a      . 3 Với 1 4 a   thì '( ) 0 2 f a a    . Bảng biến thiên: 2 ∞ - 25 28 + 0 +∞ 2 -1 4 f(a) f'(a) a Suy ra giá trị cần tìm của m là: 2 m  . Câu 4. (2,0 điểm) 60° 30° S A B C K C B B' M H I Nội dung Điểm 2 0 1 3 . .sin120 2 4 HBC a S HB HC  . Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên HC. Ta có 0 0 3 sin 30 .sin 60 2 4 a a AH HM HB AK AH      . 4 Góc giữa (SHC) và (ABC) là  0 0 3 60 .tan 60 4 a SKA SA AK    Vậy 2 3 . 1 1 3 3 3 . . . 3 3 4 4 16 S HBC HBC a a a V SA S   . Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là  '.BCB Gọi I là hình chiếu của A trên SK ( )AI SHC  . Ta có ' ( ,( )) 2 ( ,( )) 2 ( ,( )) 2BB d B SHC d M SHC d A SHC AI    . Trong tam giác vuông SAK, ta có 2 2 2 . 3 3 2 3 3 . ' . 16 8 4 3 AK AS a a a AI BB a AK AS       Do đó  0 ' 3 3 3 sin ' 4.2 8. .cos30 4 BB a a BCB BC BM HB     . Vậy  3 13 cos ' 1 . 16 4 BCB    Câu 5 (1,0 điểm) Nội dung Điểm H 1 1 E I A D B C Gọi I AC BD  , H là hình chiếu của B trên CD. Ta có     0 1 1 1 1 1 1 1 1 tan tan 2 3 tan tan 1 45 1 1 1 tan tan 1 . 2 3 D C AID D C AID D C            . Đường thẳng AC có dạng: 2 2 ( 4) ( 2) 0 4 2 0 ( 0) a x b y ax by a b a b            . Góc giữa AC và BD bằng 0 45 nên 0 2 2 2 2 2 cos45 3 8 3 0 . 5 a b a ab b a b        Chọn b=1 ta được 1 ; 3 3 a a    . Từ đó suy ra phương trình AC là 3 10 0 x y    hoặc 3 10 0 x y    . Gọi E BH AC  , ta có 3 2 2 BE AB IA AD EH CH IE BE      . Ta có   2 3 . 10 2 2 ABCD AD AD AD S AD      . Từ đó tìm được 4 10 5 AI  . 5 * Nếu : 3 10 0 AC x y    , suy ra 17 11 ; 5 5 I       . Gọi   10 3 ;A t t  thì từ 4 10 5 AI  ta có 2 2 17 11 32 7 10 3 3; 5 5 5 5 t t t t                     . Suy ra   29 7 1;3 ; ; 5 5 A A       Do   2 1;3 A x A  . * Nếu :3 10 0 AC x y    , suy ra 21 13 ; 5 5 I       . Gọi   ;3 10 A t t  thì từ 4 10 5 AI  ta có 2 2 21 13 32 17 3 10 5; 5 5 5 5 t t t t                     (không thỏa mãn 2 A x t  ). Vậy điểm A cần tìm là   1;3 A . Chú ý: Nếu HS chỉ tính được cạnh 2AD  thì cho 0,25 điểm. Câu 6. (1,0 điểm) Nội dung Điểm Ta có        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 3 2 a b c a b a c b c a b c a a a             Suy ra 2 3 2bc a a   .     2 2 2 2 2 2 3 9 3 3 2013 3 3 3 2 2013 3. a b c a b c a b c P abc a a a a                   Xét hàm   2 2 ( ) 3 3 2 2013 3; 0;1 f a a a a a     . Ta có     2 2 2 2 2 2 18 1 2 '( ) 3 2 3 2 . 2013 2013 18 1 2013 3 2 3 2 a a a f a a a a a a a a                   . Ta có      3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 4 1 .2 1 1 2 2 3 27 a a a a a a a a                 Suy ra   2 2 1 3 3 a a  2 '( ) 18. 2013 4 3 2013 0 3 3 f a       . Suy ra ( )f a nghịch biến trên đoạn   0;1 . Do đó ( ) (1) 2013 f a f    . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1a b c   . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2013 khi 1a b c   . ………. Hết………. . 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013- 2014 Môn: TOÁN THPT HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 05 trang) Lưu ý khi chấm bài: - Đáp án chỉ trình. phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. - Trong. không được điểm. - Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. - Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.