Tài liệu ôn tập thi tốt nghiệp 2012 môn toán THPT

Trang 1

T TỐN

GV: Dương Phước Sang GV: Dương Phước Sang

Ôn tập Tốt nghiệp

Trang 3

Ph n

Ph n IIII KH O SÁT KH O SÁT KH O SÁT HÀM S HÀM S HÀM S VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1 Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và các vấn đề liên quan

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1 Tập xác định: D = ℝ

2 Tính y′

3 Cho y ′= để tìm các nghiệm 0 x0 (nếu có)

4 Tính hai giới hạn: lim ; lim

5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số

6 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số

7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba)

Trang 4

Tài liệu tham khảo - 2 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán

Đồ thị hàm số trùng phương luôn đối xứng qua trục tung

b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M0)

1 Chỉ rõ x0 và y0 (hoành độ & tung độ của điểm M0)

Lưu ý: Tiếp tuyến song song với y=ax + có hệ số góc k = a b

Tiếp tuyến vuông góc với y =ax+b a ( ≠0) có hệ số góc 1

Trang 5

Lưu ý: nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương

trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thoả đề

e) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b

1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d:

( )

f x =ax + (*) b

2 Lập luận: số giao điểm của ( )C và d bằng với số nghiệm của (*)

3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của ( )C và d

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1 : Cho hàm số y =x3−6x2+9x+ 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( )C với

Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Đồ thị hàm số có điểm cực đại (1; 5)D , điểm cực tiểu (3;1)T

Trang 6

Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4

Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng

qua điểm (2; 3)I như hình vẽ bên đây:

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại các giao điểm của ( )C

Trang 7

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (1;+∞ )

Đồ thị hàm số có điểm cực đại (1;1)D , điểm cực tiểu (0; 0)O

I như hình vẽ bên đây:

Câu b: Cho y = ⇔0 3x2−2x3 =0 3

2

0

x x

B

Tại (0; 0)O : (0)f ′ = , phương trình tiếp tuyến là: 0 y= 0

Tại 3

2( ; 0)

d y = − a, do đó ta có bảng kết quả sau đây:

a −32a của ( )Số giao điểm

C và d phương trình (*) Số nghiệm của 2

0

a > −23a < 0 1 1

Trang 8

Bài 3 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

2

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song

song với đường thẳng 3

y′ = + + ≥ ∀ ∈ ℝ do đó hàm số luôn đồng x

biến trên ℝ và không đạt cực trị

Giới hạn: lim ; lim

→−∞ = −∞ →+∞ = +∞

Bảng biến thiên:

1 2

y′′ = x+ = ⇔ = − ⇒ = − x y

Điểm uốn 1

2( 1; )

−

Trang 9

Với x0 = − thì 2 y0 = − = − , tiếp tuyến tương ứng là y( 2) 1

A và B( 2; 1)− −

Bài 4 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số: y =x4−2x2− 3

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại điểm trên ( )C

có hoành độ x là nghiệm của phương trình ( ) f′′x =20

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều

hơn hai nghiệm: x4 −2x2 +m = 0

Trang 10

Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng

qua trục tung như hình vẽ

Bài 5 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số: y = − +x4 4x2− 3

b) Dùng đồ thị ( )C biện luận số nghiệm pt sau: x4 −4x2 +m = 0

Hướng dẫn giải và đáp số

Câu a: HS tự giải để có được đồ thị:

Câu b: Biến đổi phương trình ta được:

và d

Số nghiệm của phương trình (*)

Trang 11

BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC BA VÀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG Bài 6 : Cho hàm số y =x3 – 3x+ có đồ thị là ( )1 C

b) Viết pttt với ( )C tại điểm thuộc ( )C có hoành độ bằng 2

c) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

d) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

b) Viết pttt với ( )C song song với đường thẳng d: 9

b) Viết pttt với ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành

c) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến song song với :d y =12x− 1

d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x3 +3x2 +2m = 0

Bài 9 : Cho hàm số 1 3 3 2 5

y = − x + x − có đồ thị là ( )C

b) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ x thoả y ′′= 1

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C và :d y− = 2 0

d) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

b) Viết pttt của ( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 0

c) Viết pttt của ( )C song song với đường thẳng y =8x− 3

d) Tìm các giá trị của a để phương trình sau đây có nghiệm duy

nhất: x3 −3x2−loga = 0

Trang 12

Bài 11 : Cho hàm số y=2x3−3x2− 1 (*)

b) Tìm toạ độ giao điểm của ( )C với đường thẳng d: y= − − x 1

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

4x −6x + −1 m = 0

Bài 12 : Cho hàm số y=x3−3x2 + , m là tham số 2

b) Viết pttt của ( )C vuông góc với đường thẳng d: 1 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm A(0; –2)

c) Viết pttt của ( )C biết tiếp tuyến song song với 9x−4y− = 4 0

d) Biện luận theo m số giao điểm của ( ) C và :d y =mx− 2

Bài 14 : Cho hàm số y=4x3 −3x− , có đồ thị là ( )1 C

b) Tìm m để phương trình 4x3−3x− =1 m có đúng 3 nghiệm

c) Viết pttt với ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành

d) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến vuông góc với 1

72:

Bài 15 : Cho hàm số y=2x3−6x2 +6x− 2

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C , Ox , x =1,x = 2

Bài 16 : Cho hàm số y=x2(2−x2)

b) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ bằng − 2

c) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24

d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 4 nghiệm

Trang 13

Bài 17 : Cho hàm số y=x4 +2x2− 3

b) Viết pttt của ( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 5

c) Tìm điều kiện của m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm:

b) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –8

c) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm: x4−6x2 +logm = 0

Bài 19 : Cho hàm số y= −(1 x2 2) − có đồ thị ( )6 C

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x4−2x2 =m

c) Viết pttt của ( )C biết tiếp tuyến vuông góc với 1

24:

Bài 20 : Cho hàm số 1

4

y= − x4 +2x2 − 1

b) Tìm m để phương trình x4−8x2 + = có nhiều hơn 2 nghiệm 4 m

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại điểm trên ( )C

có hoành độ là nghiệm của phương trình ( )y x′′ =10

4

y= x4−2x2

b) Viết pttt của ( )C song song với d1:y =15x+2012

c) Viết pttt của ( )C vuông góc với d2 : 8

45 2012

d) Tìm m để phương trình − +x4 8x2 =m có 4 nghiệm phân biệt

Bài 22 : Cho hàm số y=x4−mx2 −(m+ có đồ thị (1) Cm)

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm ( 1; 4) M −

b) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi m= − 2

c) Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi ( )C và trục hoành Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay ( )H quanh trục hoành

Trang 14

2 Hàm số nhất biến và các vấn đề liên quan

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (c≠0,ad−cb≠0)

→−∞ = và lim

x

a y c

Đồ thị hàm số nhất biến gồm hai nhánh riêng biệt

luôn đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận

Trang 15

b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M0)

1 Chỉ rõ x0 và y0 (hoành độ & tung độ của điểm M0)

Lưu ý: Tiếp tuyến song song với y=ax + có hệ số góc k = a b

Tiếp tuyến vuông góc với y =ax+b a ( ≠0) có hệ số góc 1

a

k = −

d) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b

1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d:

( )

f x =ax + (*) b

2 Lập luận: số giao điểm của ( )C và d bằng với số nghiệm của (*)

3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của ( )C và d

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 23 : Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=+

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm trên ( )C có tung

độ bằng 5

2

c) Chứng minh rằng đường thẳng :d y= −2x+m luôn cắt đồ thị

( )C tại 2 điểm phân biệt

Bài giải

Câu a: Hàm số 2 1

1

x y x

+

=+ Tập xác định:D =ℝ\ { 1}− Đạo hàm:

Trang 16

Giới hạn và tiệm cận:

lim 2 ; lim 2

f

−

′ − = = Vậy, tiếp tuyến của ( )C tại 5

2( 3; )

2 4 12 ( 2)2 8 0,

∆ = − + = − + > ∀ ∈ ℝ

Do ∆ > nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt, từ đó ( )0 C và d

luôn có 2 điểm chung phân biệt

Bài 24 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 3

2

x y

x

−

=

−

b) Viết pttt của ( )C biết tiếp tuyến song song với :d y = − x

c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng : d y= − +x m cắt đồ thị

( )C tại 2 điểm phân biệt

Trang 17

1

0, 2(2 )

Giới hạn và tiệm cận:

lim 1 ; lim 1

nhau qua điểm (2; 1)I − như hình vẽ

Câu b: Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − nên có hệ số x

góc k= f x′( )0 = − 1

2 0

1

1(2 x )

−

2 0

Đáp số: có 2 tiếp tuyến thoả đề là y = − − và x 1 y = − + x 3

Câu c: Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d:

32

trình (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔0 m2 −2m− > 3 0

Trang 18

BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ NHẤT BIẾN

1

x y x

+

=

−

b) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3

c) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 7

+

=+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )H của hàm số

b) Lập phương trình tiếp tuyến của ( )H biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

c) Viết pttt với ( )H tại điểm trên ( )H có hoành độ bằng 3−

d) Tìm m để đường thẳng y =mx+ cắt ( )1 C tại 2 điểm phân biệt

2

x y x

−

=

−

b) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3

4

−

c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m đường thẳng

y = −x m luôn cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt

b) Viết pttt với đồ thị ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành

c) Tìm m để đường thẳng : d y =m− cắt ( )x C tại 2 điểm phân biệt

3

x y x

+

=

− có đồ thị ( )C

b) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ bằng 1

c) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 3

Trang 19

1

y x

=+ có đồ thị là ( )C

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại các giao điểm của ( )C với đường thẳng :d y =2x− 1

c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2]

d) Viết pttt của ( )C biết tiếp tuyến song song với 1 3

x

−

=+ có đồ thị ( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm điểm M trên trục hoành mà tiếp tuyến của ( ) C đi qua điểm

M song song với đường thẳng d : y = –2x

1

x y

x

−

=+

b) Viết pttt với ( )C tại giao điểm của ( )C với :d y=2x− 3

c) Viết pttt của ( )C vuông góc với đường thẳng 1

x

−

=

−

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C , Ox và x = 2

c) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng

+

=

−

b) Viết pttt với ( )C tại giao điểm của ( )C với trục tung

c) Viết pttt với ( )C tại các giao điểm của ( )C với :d y = −2x− 4

d) Tìm a để đường thẳng :∆ =y ax + đồ thị ( )3 C không giao nhau

e) Tìm tất cả các điểm trên ( )C có toạ độ đều là các số nguyên

Trang 20

3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b]

1 Hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [a;b]

2 Tính y′=f x′( )

3 Cho y ′= để tìm các nghiệm 0 x i ∈[ ; ]a b (nếu có) và các số

x j ∈[ ; ]a b làm cho y′ không xác định (nhớ loại các số xl ∉[ ; ]a b )

4 Tính các giá trị ( )f x i , ( )f x j và ( ), ( )f a f b

(không được tính f của các xl đã bị loại)

5 Chọn kết quả lớn nhất và kết quả nhỏ nhất từ bước 4 để kết luận

về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b]

4 Điều kiện để hàm số có cực trị (tóm tắt)

Nếu 0

0

( ) 0( ) 0

5 Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định

Hàm số y =ax3 +bx2 +cx+ đồng biến trên ℝ d

00,

⇔ < ∀ ∈ ⇔ − < (không có dấu “=”)

Trang 21

4 [1; 3] ( )[1; 3] ( )

x x

Trang 22

Bài 36: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y =x3 +mx2+4x+ 3

a) Đồng biến trên ℝ b) Có cực đại và cực tiểu

Bài 37: Tìm điều kiện của m để hàm số y=x3−3mx2 +(m2−1)x+ 2đạt cực đại tại x0 =2

Trang 23

Bài 38 : Chứng minh rằng nếu sin

x

x y

e

= thì y′′+2y′+2y = 0Bài giải

BÀI TẬP VỀ CÁC VẤN ĐỀ KHÁC LIÊN QUAN HÀM SỐ

Bài 39 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây a) f x( )=2x3−3x2−12x+10trên đoạn [ 2; 0]−

Bài 40 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây: a) ( ) x 2 x

Trang 24

Bài 41: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đây luôn đồng biến

Trang 25

Ph n

Ph n II.II.II PHPHPHPH NG TRÌNH NG TRÌNH NG TRÌNH NG TRÌNH B T PHB T PHB T PHB T PH NG TRÌNH M! NG TRÌNH M! NG TRÌNH M! NG TRÌNH M! &&& LÔGARITLÔGARIT

1 Phương trình mũ (đơn giản)

Các tính chất về luỹ thừa cần lưu ý: với a >0,b> và ,0 m n∈ ℝ ta có

( )

n

m m

n n

Phương pháp giải chung:

0 Biến đổi phương trình theo a f x( ), chẳng hạn:

a

m a +n + = p

1 Đặt t =a f x( ) (kèm điều kiện cho t) và thay vào phương trình

2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm t0 (nếu có)

3 Đối chiếu nghiệm t0 tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi tìm x

Lưu ý 1: gặp dạng m a f x( )+n a −f x( )+ = , ta dùng biến đổi p 0

( )

( ) 1

f x

f x a

Trang 26

2 Phương trình lôgarit (đơn giản)

Phương pháp chung: Đặt điều kiện xác định của phương trình

Biến đổi phương trình để tìm x (nếu có) Đối chiếu x tìm được với điều kiện để kết luận

Các công thức và quy tắc tính lôgarit: với 0< ≠ và b > 0, a 1 α≠ : 0

log 1a = 0 log (n ) log

b) Phương pháp đưa về cùng cơ số: với a > và 0 a ≠ , ta có 1

loga f x( )=loga g x( )⇔f x( )=g x( ) (kèm điều kiện ( )f x > ) 0

loga f x( )= ⇔b f x( )=a b

Lưu ý: Nếu đã có ( )f x > thì 0 logaf x( )2n =2 logn a f x( )

  Nếu chỉ có ( )f x ≠ thì 0 logaf x( )2n =2 logn a f x( )

  Biến đổi sau đây rất dễ sai sót (không nên sử dụng): Đưa α ra ngoài: loga f x( )α

  Nhập loga f x( )−loga g x( ) thành ( )

( )loga g xf x 

 

 

Trang 27

1 Đặt t =loga f x( ) và thay vào phương trình

2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm t0 (nếu có)

3 Từ t = ta giải phương trình lôgarit cơ bản tìm x t0

d) Phương pháp mũ hoá: với 0< ≠ và 0a 1 < ≠ , ta có b 1

log ( ) log ( )

log ( ) log ( ) a f x b g x

a f x = a g x ⇔a =a

3 Bất phương trình mũ – lôgarit (đơn giản)

Cũng có các cách giải như cách giải phương trình mũ, lôgarit

Tuy nhiên khi giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

cần chú ý so sánh cơ số a với 1 để sử dụng tính đồng biến, nghịch biến

(1, 5)x− x+

= c) 2x+1.5x =200Bài giải

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 2

Bài 2 : Giải các phương trình sau đây:

a) 9x −5.3x + = 6 0 b) 4x−1+2x+1−21= 0

c) 5x −2.52−x + = 5 0 d) 6.9x −13.6x +6.4x = 0

Trang 28

Tài liệu tham khảo - 26 - Ơn tập tốt nghiệp mơn Tốn

Hướng dẫn giải và đáp số

Câu a: 9x −5.3x + = ⇔6 0 32x −5.3x + = 6 0

Đặt t =3x (t > 0), phương trình trên trở thành:

(nhận so với ) (nhận so với )

2 x ( 0)

t = t > Đáp số: x = ± 1

a)log2 x− +4 log2 x− = 1 1 b)log5x+log25x =log0,2 3

log (x− +2) log (x−4) =0Hướng dẫn giải và đáp số

Câu a: log2 x− +4 log2 x− =1 1 (1)

So với điều kiện x > 4 ta chỉ nhận nghiệm x = 5

Vậy, phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất là x = 5

Trang 29

Câu b: log5x+log25x =log0,2 1

log x+2 log x +log x =13 (3)

Điều kiện: x > 0, khi đó 2 1

log (x− +2) log (x−4) =0 (4)

Điều kiện: 2 20 2

4( 4) 0

x x

Trang 30

Với t = thì log2 x = ⇔ =2 x 100 (thoả điều kiện (I))

Vậy, tập nghiệm của phương trình (7) là: S ={100;1000}

Bài 5 : Giải các bất phương trình sau đây:

x

⇔ ∈ − (giải bằng bảng xét dấu)

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình (8) là S = 3

2[− ;1]

2

t t

x

x x

Trang 31

Bài 6 : Giải các bất phương trình sau đây:

2 4 0

x x

Kết hợp với điều kiện x > 3 ta nhận các giá trị 3< ≤ x 5

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: S =(3; 5]

Trang 32

Trang 33

BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

log (x +2)+log (8−x)= d) 0 1

3

2 3

i) log (2 x− −1) log (22 x−11)= j) 1 log (2 )2 x +log4x =log0,5x

k) log (2 x− −3) log (0,5 x+ = l) 1) 3 log 5 x+log5x−log0,2x = 2

m)log3x+log9x +log27x =11 n) logx4 +log(4 )x = +2 logx3

Bài 11 : Giải các phương trình sau đây

i) log2x−3 logx =logx2− 4 j) log (10 )2 x =9 log(0,1 )x

k) log3x+log 9x = 3 l) log 27x −3 log3x = 8

Trang 34

log (3x −1) log (3x+ −3)= l) 6 log5x x( +2)=log (5 x+ 6)

m)log(10 ) log(0,1 )x x =logx3− 3

BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LÔGARIT

Bài 13 : Giải các bất phương trình sau đây

Trang 35

Ph n

Ph n III NGUYÊN HÀM III NGUYÊN HÀM III NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN VÀ (NG D*NG VÀ (NG D*NG VÀ (NG D*NG

I TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Bảng công thức nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng

1 1

+ +

Trang 36

Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:

dx x

đi kèm biểu thức theo tan x

dx x

đi kèm biểu thức theo cotx

( ax).ax

∫ t =e ax e dx ax đi kèm biểu thức theo e ax

Đôi khi thay cách đặt t=t x( ) bởi t=m t x ( )+ ta sẽ gặp thuận lợi hơn n

Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:

Với ( )P x là một đa thức, ta cần chú ý các dạng tích phân sau đây

Định dạng
Số trang	74
Dung lượng	3,05 MB