[r]
(1)Chủ đề HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
Các kiến thức cần nhớ Các dạng toán cần ôn tập Bài tập minh hoạ
1) Công thức lũy thừa
• Cho a>0, b>0 m n, Khi đó
m n m n a a a
; (am n) am n ; ( )ab n a bn n m
m n n
a a a
;
m m
m
a a
b b
1 n
n a a
;
1 n
n a
a
;
n n
a b
b a
•
m n am an
với a>0, m R n N , * • af x( )ag x( ) f x( )g x( ) (a0,a1) • Nếu a>1 af x( ) ag x( ) f x( )g x( ) • Nếu < a <
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
a a f x g x 2) Công thức lôgarit
Với điều kiện thích hợp ta có: logab a b
log 0a logaa1 logaa
alogab b
logab logab
1 logab logab
log m log
n
a a
n
b b
m
log ( ) loga m n amlogan loga m logam logan
n
log log
log c a
c b b
a
;
log logba ab
I)Giải phương trình mũ
1) Phương pháp đưa cơ số:
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
a a f x g x
(a>0 a≠ 1)
2) Phương pháp đặt ẩn phụ
+Đặt t a x, t0.
+Thay vào phương trình để biến đổi phương trình theo t. +Giải phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện.
+Nếu có nghiệm thỏa thay
x
t a để tìm x kết luận.
Bài 1: Giải cac phương trình sau 3x
)5x 625
a
b)
2 2 3 1
7
x x x
c) 5x1 x 200
d) 2x + + 2x + 2 = 5x +1 + 3.5x
Bài giải
2 3 3 4 2 2
)5 625 5 4
4
x x x x x
a x x x x
x Vậy phương trình có nghiệm x = x = -4
b)
2 2 3 1
7
x x x
2 2 3 1
7
x
x x
2 2 3 1 2 0
2
x
x x x x x
x Vậy phương trình có nghiệm x = - x =
1
) 5 200 2.2 200 10 100
x x x x x
c x
Vậy phương trình có nghiệm x =
d) 2x + + 2x + 2 = 5x +1 + 3.5x
4 2
2 2 5 3.5 20.2 8.5
5
x
x x x x x x x
Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 2: Giải phương trình sau
) 9x 10.3x
a b) 25x3.5x10 0
3
) 2x x
c
d) 6.9x13.6x6.4x 0 e) (2 3)x(2 3)x4
Bài giải
) 9x 10.3x x 10.3x
a
(2) loga f x( ) log a g x( ) f x( )g x( ) (với a>0 a ≠ 1)
Nếu a>1
loga f x( ) log a g x( ) f x( )g x( ) Nếu 0<a<1
loga f x( ) log a g x( ) f x( )g x( ) 3) Đạo hàm hàm số mũ, hàm số lơgarit Vơí điều kiện thích hợp ta có
' '
ln ; ( )
x x x x
a a a e e
'
' ( )
( ) ln
x
u u x
a u x a a
;
'
'
( ) ln
x
u
e u x a
(logax)' = ln
x a ; (lnx)' = x (logau(x))' =
'
( ) ( ) ln u x
u x a ; (lnu
(x))' =
'
( ) ( ) u x
u x (Với u = u(x) )
4) Phương trình mũ
a) Phương trình mũ bản
x
a m <=> x = logam (0<a1; m > 0)
b)Phương pháp giải phương trình mũ
* Phương pháp đưa số:
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
a a f x g x (0<a1)
* Phương pháp đặt ẩn phụ
+ Đặt t a x, t0.
+ Thay vào phương trình để biến đổi phương trình theo t
+ Giải phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện + Nếu có nghiệm thỏa mãn thay t a x để tìm x kết luận
* Phương pháp lơgarit hóa: lấy lơgarit vế
đưa phương trình dạng đơn giản
Lưu ý:Chọn số chia thích hợp trong pt d) sau chia ta sẽ pt đơn giản hơn
Phương trình trở thành:
2 10 9 0 ( )
9 ( ) t nhan
t t
t nhan
1
9
x
x
t x
t x x
Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = 2
) 25x 3.5x 10 x 3.5x 10
b
Đặt t5 ,x t0
Phương trình trở thành:
2 3 10 0 2( ) 5( ) t nhan
t t
t loai
5x log t x
Vậy phương trình cho có nghiệm xlog 25
3
) 2 2 2 2.2
2
x x x x x
x
c
Đặt t2 ,x t0
Phương trình trở thành:
2 2 0 ( ) ( )
t nhan
t t
t loai
4 2x
t x
Vậy phương trình có nghiệm x =
2
9
) 6.9 13.6 6.4 13
4
3
6 13
2
x x
x x x
x x
d
Đặt
,
x t t
(3)5) Phương trình lơgarit
a )Phương trình lơgarit bản
logax = m <=> x = am (0 < a 1, x > 0)
b)Phương pháp giải phương trình lôgarit
* Phương pháp đưa số
0, log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x g x
f x g x
f x g x
* Phương pháp đặt ẩn phụ
+ Đặt ĐK cho ẩn x (nếu cần) +Đặt tloga x
+Thay t vào phương trình biến đổi phương trình theo t
+Giải phương trình tìm t
+Thay tloga x tìm nghiệm x pt cho
+Đối chiếu x với ĐK kết luận
c) Phương pháp mũ hóa: mũ hóa hai vế
phương trình với số hợp lí để đưa phương trình dạng đơn giải
5) Bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit
Cách giải tương tự cách giải phương trình mũ lơgarit
4) Phương trình lơgarit a) Phương pháp đưa cơ số
Cách 1: loga f x loga g x
+) Đặt ĐK cho pt
+)Giải pt f(x) = g(x) để tìm x +)Đối chiếu x với ĐK kết luận
Cách 2
2
3
( )
6 13
2
( )
t nhan
t t
t nhan
3 3
1
2 2
2
1
3
x
x
t x
t x
Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x =
e) (2 3)x(2 3)x 4
do (2 3)(2 3) 1 nên
1
2
Đặt (2 3)xt , t > ta có pt
2 ( )
1
4
2 ( )
t nhan
t t t
t t nhan
2 3
x
t x
2 3 (2 3)
x
t x
Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x = Bài 3: Giải phương trình sau
2
) log log log 11
a x x x 25 0,2
1 ) log log log
3
b x x
c) log4x12 log 1 x d) ln(x2 6x7) ln( x 3)
2
) log log 0
e x x f) 4log22xlog x2
3
) 3log 10log
(4)
log ( ) log ( )
0
( )
( ) a f x ag x
f x
I f x g x g x
II f x g x
Ta cần giải hai hệ (I) (II)
b) Phương pháp đặt ẩn phụ + Đặt ĐK cho ẩn x (nếu cần)
+Đặt t loga x.
+Thay t vào phương trình và biến đổi phương trình theo t.
+Giải phương trình tìm t.
+Thay tloga x tìm nghiệm
x pt cho
+Đối chiếu x với ĐK kết luận
Lưu ý : Nếu ẩn x nằm số thì phải có đk < x ≠ 1
Bài giải
2
) log log log 11 a x x x (1)
Điều kiện: x >
2
2 2
(1) log xlog xlog x11
2 2
2
6
1
log log log 11
2
11
log 11
log 64 ( )
x x x
x
x x nhan
Vậy phương trình có nghiệm x = 64
5 25 0,2
1 ) log log log
3
b x x
(2) Điều kiện: x >
2
1
5 5
(2) log x log x log
5 5
5
5
2
3
5 5
3
log log log
3
log log
2
log log 3
log log log log 3
x x
x
x
x x
x
Vậy phương trình có nghiệm x33.
c) log4x12 log 1 x (3) Điều kiện: x > x 1
(3) <=> 2
1
log 12
2 x log x <=> log2x12 2 log2 x
2
log x12 log x
(5)Lưu ý:Ta chọn hai biểu thức f(x) g(x) biểu thức đơn giản , dễ giải bpt hơn để ghép với pt f(x) = g(x) và giải hệ hỗn hợp se bớt được việc giải thêm bất
phương trình
4
3 ( ) x
x loai
Vậy phương trình có nghiệm x =
) ln( 7) ln( 3)
d x x x
2
3
3
5
6 7 10
5
x
x x
x x
x x x x x
x Vậy phương trình có nghiệm x =
2
2
) log log 0
e x x (5)
Điều kiện: x > Đặt tlog2 x
2
(3)
2 t t t
t
3
3 log ( )
t x x nhan
2
2 log 2 ( )
t x x nhan
Vậy phương trình có nghiệm x = x =
2
) 4log log 2
f x x
(6) Điều kiện x >
1
2
2 2
2
(6) 4log xlog x 2 4log x2log x 0 (6’) Đặt tlog2 x
2
1 (6 ') 2 1
2
t
t t
t
1
1
1 log ( )
2
t x x nhan
1 2
1
log 2 ( )
2
(6)5) Bất phương trình mũ, bất phương trình lơgarit
Cách giải tương tự cách giải phương trình mũ lơgarit.
*Với điều kiện thích hợp lưu ý cho học sinh nhớ a) Bất phương trình mũ
• Nếu a>1 thì
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
a a f x g x
• Nếu < a < thì
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
a a f x g x
Vậy phương trình có nghiệm x
x 2
3
) 3log 10log
g x x (7)
Điều kiện x > Đặt tlog3x
2
3
(7) 10 3 10 1
3
t
t t t t
t
3
3 log 3 27 ( )
t x x nhan
1 3
1
log 3 ( )
3
t x x nhan
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 x3 3.
3
) log log
x x
h
(8)
Điều kiện 3x - > <=> x > 0 (8) <=> log 33 1 log [3 3 1 ] 6
x x
<=> log 33 x1 [1 log 3 3 x1 ] 6 Đặt log (33 1)
x
t ta có pt : t ( + t ) = <=> t2 + t - = 0
<=>
2
3 ( ) t
t loai
Với t=2 ta có log (33 1) log 103
x x x
(nhận)
Vậy phương trình có nghiệm x = log310
Bài 4: Giải bất phương trình sau:
6
) x x 49
a
2 7 2
3
)
5 25
x x b
c) 4x 3.2x 2
(7)b) Bất phương trình lơgarit
Nếu a>1 thì
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a f x ag x f x g x
Nếu 0<a<1 thì
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a f x ag x f x g x
Lưu ý:Chọn số chia thích hợp trong pt d) sau chia ta sẽ pt đơn giản hơn
2
6 7 2
) x x 49 x x 7
a x x x x
3
1
x
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = [
; 1]
2 7 2 7 2 2
2
3 3
) 2
5 25 5
0
7
x x x x
b x x
x
x x
x
Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ;0 7;
) 4x 3.2x 2 x 3.2x
c (1)
Đặt t2 ,x t0
Bất phương trình trở thành: t2 3t 2 1 t Kết hợp điều kiện ta
1 t 2 x x
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (0; 1)
e) 5.4x2.25x 7.10x <=>
4 10
5
25 25
x x
2
2
5
5
x x
Đặt t =
x
, t > ta có bpt
5t2 - 7t + <=>
5 t 1 Kết hợp điều kiện ta
2
5 t 2
1 0
5
x
x x
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [0; 1] g)
2
3 8
3
x x x
x
(8)Lưu ý : Nếu sử dụng cách thì
ta có bpt: t -
t + > <=> t2 +8t - >
9 t t
Kết hợp điều kiện ta t > <=> 3x > <=> x > 0
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (0;) Bài 5: Giải bất phương trình sau:
3
) log (4 3)
a x b) log (0,5 x2 5x6)1
2
1
3
) log (2 4) log ( 6)
c x x x
d) lg(7x1) lg(10 x211x1) e) 2log3(4x-3) +
1
log 2x3 2 f) log2(x+2) +
2
4
2 log x log 0
Bài giải
3
) log (4 3)
a x
Điều kiện
3
4 x x
2
log (4x 3) 2 4x 3 4x12 x3 Kết hợp điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm
3 ;3 S
2 0,5
) log ( 6)
b x x
Điều kiện
2 5 6 0
3 x
x x
x
2 2
0,5
log ( 6) 0,5
1
x x x x x x
x
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S1; 2 3; 4
1
3
) log (2 4) log ( 6)
c x x x
(9)việc giải bpt (3) , (4) ngắn gọn hơn
Điều kiện:
2
3
6
3 x x
x x
x x
x
2
1
3
2
log (2 4) log ( 6)
3 10
x x x x x x
x x x
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm 3;5
S
Cách : Ta viết (3) <=> 2x + x2 - x - > 0
<=>
2
2
6
x x x
x x
<=>
2
3 10
x x
x x
<=>
2
3
2
x
x x
x
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 3;5
) lg(7 1) lg(10 11 1)
d x x x
Cách 2:
2
lg(7x1) lg(10 x 11x1)<=> < 7x + 10x2 -11x +1
<=>
2
0
10 18
7 10 11
1
7
1
7 x
x x
x x x x
x x
x
<=>
1
0 x
x
Vậy tập nghiệm bất phương trình
1
;0 ;
7
S
(10)Lưu ý: Trong bpt (6) ta phải viết
2
log x log x
Điều kiện:
2
1
7 1 1
; 1;
7 10 10 11
10 x x
x x
x x
x
2
2
lg(7 1) lg(10 11 1) 10 11
10 18 9
5
x x x x x x
x
x x
x
Kết hợp điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm
1
;0 ;
7
S
e) 2log3(4x-3) +
1
log 2x3 2 (5)
Điều kiện
3
4
2 3
2 x x
x x
x
(5) <=>
2
4
log
2 x
x
<=>
2 2
4 16 42 18
8
x x x x x
Kết hợp điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm S = (
3 4; 3] f) log2(x+2) +
2
4
2 log x log 0
(6)
Điều kiện
2 x x
(11)
Lưu ý chung
* Khi giải pt mũ phương pháp đặt ẩn số phụ cần ý đặt điều kiện cho ẩn số phụ
*Khi giải bpt mũ bpt lôgarit cần ý đến số nắm chắc tính đơn điệu hs mũ,hs logarit *Một số tập giải pt, bpt mũ và logarit phương pháp loogarit hóa sử dụng tính đơn điệu h/s mũ,h/s logarit được cho phần tập tự luyện (có hướng dẫn đáp số)
<=>
5
2
2
2
x
x x
x
x x
<=>
2
5
3 18
2
3 x
x x
x
x x
5
2
3 17 17
3
x x x
x
x
<=>
5
3 17 17
3
x
x
Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm
3 17 17
3
x
x
(12)CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính
a)
5
0,75 2
1
( ) 0, 25 16
A
b)
2
3
0,75 1
256
27 32
B
ĐS : a) 40 b)
609 64 Bài 2: Rút gọn biểu thức
a)
1
1
2 (2 )
2
y y
A x x
b)
4
3 3
1
4 4
( )
( 0)
( )
a a a
B a
a a a
ĐS : a)
1 xy b) a
Bài 3: Tính giá trị biểu thức a) A31 log 4
b) Blog 6.log 9.log 23
c) 2
1
log 48 log 27
C
d) D49log7 log 3 49
ĐS : a) ; b)
2
3 ; c) 144 ; d) 15 Bài 4: Rút gọn biểu thức
a) A =
1
log ( ) log ( )a ab b ab b) B = lnalogae2ln2a log2ae ĐS : a) ; b) 2(ln2a + )
Bài 5:
ĐS: a) x < x > ; b)
1
1
2 x ; c) 1x2 ; d) log 23 x e) 1 2 x 2 HD đặt t = 3x22x , t >
g) < x <
7
2 x > HD: lô ga rít hóa số 10 hai vế bpt ta
(2x2 - 7x).log(x - 3) > Lập bảng xét dấu vế trái
Bài 11: Giải phương trình sau
a) 3x4x 5x b) 3x x 0 c)
1
x x
ĐS: a) x=2 HD : Dự đoán x = nghiệm Ta CM x =2 nghiệm Chia hai vế (a) cho 5x ta có pt
3
1
5
x x
(1)
+) Với x > ta có
2
3
5
x
;
2
4
5
x
cộng vế với vế hai bpt bên
ta có
3
5
x x
<
2
3
1
5
vậy với x > Không nghiệm
pt (1)
+) Với x < làm tương tự ta CM mọi x < Không nghiệm của pt (1)
Từ suy x =2 nghiệm
(13)a, Chứng minh
2
1
( ) ( )
3 ; b)
3
2
3
c) So sánh số log 53 log 47 ; d) log log
3
HD: a) So sánh
2
và
2
HD: c) 5>3 => log35>log33 = d) 4>1=>log34>log31 =
4<7 =>log74 < log77 =1
3<1 =>log4
3 < log41 =0
=> log 53 > log 47 => log < log
3 Bài 6: Tính đạo hàm hàm số
a) y = 5x2 + lnx - 7.3x ; b) y = x.ex ;
c) ylog2c xos d)
ln x y
x
ĐS: a) y' = 10x +
x- 7.3x.ln3 ; b) y' = ex (x + 1)
c) y' = tanx
ln
; d) y' =
2 2
2
2 ln
1
x x x
x x
Bài 7: Cho hàm số
1 ln
1 y
x
chứng minh xy'+ = ey HD: y' =
-1
x ; xy'+ =
1 x =
1 ln
1 y
x e e Bài 8: Giải PT sau
a,
2 3
2x x 4x
b,
2 3
5
3
x x
a) log ( 23 x 2) 3.log 27 x b)
2
2 log xlog xlog x6
c) log4x12 log 1 x d) log32x6.log3x 0
e) log (22 x1) 4.log ( x1) 0
g) log2(4x +15.2x +27) +
1 2log
4.2x =
h) log 55 4
x x
i) 4 2
1 log 2log log 3log
2 x
k)log2xlog 25 x1 2
ĐS : a) x = 2; b) x = ; c) x = ; d) x = , x =
1
3 ; e) x = 1,x = 31 32
g) x = log23 HD: ĐK 4.2x - > ta có pt
log2(4x +15.2x +27) = 2
log 4.2x
h) x =1 ; i) x =
k) x = nghiệm HD Làm tương tự câu a) 11 Bài 13: Giải BPT sau
a, log (3 x2 3x2) log ( x14)
b)
2
1
3
log x 6x5 2log 2 x 0
c)
3 log ( )
1 x x
d)
2
3
2
log log x 1 1
e) log23 x 5.log3x6 0 g)
4 log 1 log
x x
h) ln 3 2
x
e x
( HD: 2xlne2x)
(14)c)
2 7x x 343
d) 5x x1 x2 12
e) 25x - 7.5x + = f) 32x+1 - 5.3x + =
h) 27x12x 2.8x 0 i) 5x153x 26
k) 3.16x2.81x5.36x l) 24x417.22x4 1
m) 4 15 4 15
x x
n) 9x21-36.3x23 3
ĐS: a) x=0 ,x=5 ; b) x=2 ; c) ptvn ; d) x=2 ; e) x=0, x=log56 ;
f) x=0,x=log32 -1 ; h) x=0 ; i) x=1, x=3 ; k) x=0,x=
2; l) x=2, x=0
m) x=0 ; n) x = 1, x= Bài 9: Giải phương trình bất pt sau
a)32x5 5 b)2x35x25x6 c) 62x3 2 3x7 1x
ĐS: a) x =
1
2(log35 - 5) ; HD: lấy lôgarit số hai vế pt
b) x = 2+log52 ; x = HD: lấy lôgarit số hai vế pt biến đổi pt
bậc hai có
2
5 5
1 log (log 2) log
c) x>4 HD: Viết 62x+3 = 22x+3.32x+3 Bài 10 : Giảicác bất phương trình sau
a) 3x23x9 b) 2
3
5
x x
c) 2 5 x x
d) 9x - 5.3x + < ; e)
2
2
2
9
3 x x x x
; g) 2 x x
x
d) 2 x hoặc
2 x ; e) 0x9hoặc x > 27
g)0 <x <
1
2hoặc x
Bài 14:Giải hệ phương trình sau a)
3 x y x y
b)
2
2 5 x x y
x x y
c) 4
20
log log log x y x y
d)
log log
x y y x
e)
2
2
2
5log 3log 10log log
x y x y ĐS: a) 3 log
log x y
HD: Rút x pt vào pt đầu
b)
2
5
log
log log x y
1 x y
HD: Đặt x x y u v c) 18 x y
18 x y d) 29 29 x y
e)
19 55 23 11 x y
HD: Đặt