CD on tot nghiep mon toan THPT2012(HHPP toa do KG) .CD on tot nghiep mon toan THPT2012(HHPP toa do KG) Chủ đề : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIANI. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN1) Một số phép toán vectơTọa độ không gian.
Ngày soạn Tiết 6-7-8-9 Chủ đề : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1) Một số phép toán vectơ Tọa độ không gian r r r r r u ( x; y; z ) ⇔ u = x.i + y j + z.k uuuur r r r uuuur M ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + yj + zk ⇔ OM ( x; y; z ) r r Nếu a ( x; y; z ), b ( x '; y '; z ') thì: r r + a ± b = ( x ± x '; y ± y '; z ± z ') r + kar= (kx; ky; kz) r + a.b = x.x '+ y y '+ z.z ' r + | a |= x + y + z rr a.b x.x '+ y y '+ z.z ' r r + cos(a , b ) = | ar | | br | = x2 + y + z r r + ar ⊥ b ⇔ ar.b = x = x ' r r + a = b ⇔ y = y ' z = z ' Nếu A (x1;y1;z1), B (x2;y2;z2), thì: uuur + AB = ( x1 − x2 ; y1 − y2 ; z1 − z2 ) (*) uuuur + | AB | = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) + ( z1 − z2 ) x A − kxB xM = − k y − kyB + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k, k ≠ : yM = A 1− k z A − kz B zM = − k x A + xB xM = y +y + Nếu M trung điểm AB thì: yM = A B z A + zB zM = Tích có hướng hairvectơ r * Nếu a ( x; y; z ), b ( x '; y '; z ') tích có hướng hai vectơ véc tơ: r r y z z x x y [a , b ] = ; ÷ y' z' z' x' x' y' r r r r * Kết quả: + Vectơ [a , b ] vuông góc với a b r r r r + Hai vectơ a b phương [a , b ] = r r r r r r + Ba vectơ a , b c đồng phẳng [a , b ].c = r r r r r r + [a , b ]|=|a|.|b |sin(a , b ) uuur uuur uuur uuur uuur + V∆ABC = | [ AB, AC ] AD | uuur uuur uuur + VABCD A ' B 'C ' D ' =| [ AB, AC ] AA ' | + S∆ABC = | [ AB, AC ] | 2) Phương trình tổng quát mặt phẳng *) Phương trình tổng quát mặt phẳng qua điểm M(x 0;y0;z0) có vectơ pháp r n = ( A ; B; C ) là: tuyến A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) = Hay: Ax + By + Cz + D =0 ( Với D = –Ax0 – By0 – Cz0 = 0) Nếu mp (α) có phương trình : Ax + By + Cz + D = ta có 1vtpt ( α ) là: r n = (A; B; C) *) Phương trình mặt phẳng qua điểm A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) x y z + + =1 a b c ( Phương trình đoạn chắn) Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ1 điểm mà qua véctơ pháp tuyến *) Vị trí tương đối hai mp (α1) (α2) : ° (α ) cắt ( β ) ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 A B C D A B C D 1 1 ° (α ) / / ( β ) ⇔ A = B = C ≠ D 2 2 1 1 ° (α ) ≡ ( β ) ⇔ A = B = C = D 2 2 ° (α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 3) Phương trình đường thẳng + Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M(x0;y0;z0) có vectơ r phương u = (a; b; c) là: x = x0 + at x = x0 + at y = y0 + bt (t ∈ ¡ ) y = y0 + bt (t ∈ ¡ ) z = z + ct z = z + ct 0 + Phươngr trình tắc đường thẳng qua điểm M(x 0;y0;z0) có vectơ phương u = (a; b; c) là: x = x0 + at x − x0 y − y0 z − z0 = = y = y0 + bt (t ∈ ¡ ) a b c z = z + ct +Vị trí tương đối đườnguuthẳng d , d’ : Ta thực hai bước r r Tìm quan hệ vtcp u d , ud / Tìm điểm chung d , d’ cách xét hệ: Hệ (I) Quan hệ x + at = x'0 + a't' y + bt = y'0 + b't' (I) z + ct = z' + c't' Vị trí d r Vô số nghiệm Vô nghiệm Có nghiệm Vô nghiệm uur u d ' , ud Cùng phương / , d’ d ≡ d' d / /d ' Không phương d cắt d’ d , d’ chéo 4) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Tùy theo dang đường thẳng mặt phẳng cho mà ta chọn cách xét vị trí tương đối Cụ thể có ba cách xét là: + Xét hệ phương trình tương giao + Quan hệ vectơ pháp tuyến, vectơ phương vectơ nối hai điểm đường thẳng + Quan hệ thuộc 5) Góc khoảng cách + Gọi góc hai đườnguurthẳng d1, d2 α nên ta có: uur cos α =| cos(ud1 , ud2 ) | + Gọi góc hai mặt phẳng (P), (Q) β nên ta có: uuur uuur cos β =| cos( n( P ) , n( Q ) ) | + Gọi góc hai mặt phẳng (P) đường thẳng d γ nên ta có: uur uuur sin γ =| cos(ud , n( P ) ) | + Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = là: d ( M / ( P )) = | Ax + By + Cz + D | A + B2 + C + Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng qua A có vectơ uuuur r phương u là: d ( M / ∆) = r | [u ∆ , AM ] | r | u∆ | + Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 d2 là: uuuuuur r r | [u d1 , u d2 ].M 1M | d (d1 / d ) = r r | [u d1 , u d2 ] | 6) Mặt cầu: + Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là: (x – a )2 + (y – b )2 + (c – z )2 = R2 + Phương trình: x + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = phương trình mặt cầu A2 + B2 + C2 – D > Khi tâm mặt cầu là: I(-A;-B;-C) bán kính R = A2 + B + C − D + Nếu d(I/(P)) = R mp(P) tiếp xúc với mặt cầu + Nếu d(I/(P)) > R mp(P) không cắt mặt cầu + Nếu d(I/(P)) < R mp(P) cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn có tâm hình chiếu I mặt phẳng (P) bán kính r = R − d với d = d(I/(P)) II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: Dạng 1: Các toán phép toán véc tơ Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác, xác định hình dạng tam giác A,B,C ba đỉnh tam giác ⇔ AB, AC không phương Tìm D cho ABCD hình bình hành uuur uuur ABCD hình bình hành ⇔ AB = DC Chứng minh ABCD tứ diện, tính thể tích tứ diện, tính độ dài đường cao tứ diện, xác định tính chất đặc biệt tứ diện + Viết phương trình (BCD) + Thay tọa độ A vào phương trình mp(BCD) cm A ∉ ( BCD) uuur uuur uuur ( Hoặc: chứng minh AB, AC AD ≠ ) Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng (P) trường hợp sau: r Mặt phẳng (P) qua điểm M(x0;y0;z0) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) là: A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) = Mặt phẳng (P) qua ba điểm không thẳng hànguuu A, B, C r uuur r + Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P): n( P ) = [ AB, AC ] + Điểm mặt phẳng qua A ( B, C) Mặt phẳng (P) qua điểm M vuông góc với đường thẳng d cho trước: r r + n( P ) = ud + Điểm mặt phẳng qua M Mặt phẳng (P) qua điểm M song song với mặt phẳng (Q) cho trước: r r + n( P ) = n(Q ) + Điểm mặt phẳng qua M Mặt phẳng (P) qua điểm M đường thẳng d cho trước uuuuur r r + n( P ) = [ MM ,u d ] ( M ∈ d ) + Điểm mặt phẳng qua M Mặt phẳng (P) qua điểm hai đường thẳng cắt d1, d2: r r r + n( P ) = [u d ,u d ] + Điểm mặt phẳng qua M thuộc d1 (hoặc M2 thuộc d2 giao điểm hai đường thẳng đó) Mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng song song d d' uuur uuruuuuur + n( P ) = ud ,MM ' + Điểm mặt phẳng qua điểm M thuộc d hay M' thuộc d' Mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d2 (d1 d2 chéo nhau) r r r + n( P ) = [u d ,u d ] + Điểm mặt phẳng qua M1 thuộc d1 Mặt phẳng (P) chứa d1 vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước: r r r + n( P ) = [ud , n(Q ) ] + Điểm mặt phẳng qua M1 thuộc d 10 Mặt phẳng (P) qua M song song với d1 d2 chéo r r r + n( P ) = [u d ,u d ] + Điểm mặt phẳng qua M → 2 → 1 11 Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với mặt phẳng (R), (Q) cho trước: r r r + n( P ) = [n( R ) , n(Q ) ] + Điểm mặt phẳng qua M 12 Mặt phẳng (P) song song với mp (Q) cách điểm A khoảng cho trước uuur uuur + n( P ) = n(Q ) ⇒ PTTQ mp (P): Ax + By + Cz + D = + Tìm D 13 Mặt phẳng (P) song song với mp (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) uuur uuur + n( P ) = n(Q ) ⇒ PTTQ mp (P): Ax + By + Cz + D = + Tìm D 14 Mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng chéo d, d’ tiếp xúc với mặt cầu (S) uuur r r + n( P ) = u d , u d ' ⇒ PTTQ mp (P): Ax + By + Cz + D = + Tìm D Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau: r a) Đường thẳng d qua điểm M(x0;y0;z0) có vectơ phương u = (a; b; c) : x = x0 + at + Phương trình tham số: y = y0 + bt (t ∈ ¡ ) z = z + ct + Phương trình tắc: x = x0 + at y = y0 + bt (t ∈ ¡ ) z = z + ct x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c a) Đường thẳng d qua điểm M(x0;y0;z0) vuông góc với mp(P): Ax + By + Cz + D = r r + ud = n( P ) =(A;B;C) + Phương trình đường thẳng d: x − x0 y − y0 z − z0 = = A B C b) Đường thẳng d qua điểm M(x 0;y0;z0) song song đường thẳng d’ có vectơ r phương ud ' = (a; b; c) r r + ud = ud ' = (a; b; c) x − x0 y − y0 z − z0 = = + Phương trình đường thẳng d: a b c 2.Viết phương trình đường thẳng d giao tuyến hai mp(P) mp(Q) Cách 1: r r r + ud = [n ( P ) , n (Q ) ] + Điểm mà đường thẳng d qua có tọa độ nghiệm hệ phương trình tạo phương trình hai mặt phẳng (P) (Q) Cách 2: Lấy hai điểm A, B điểm chung hai mặt phẳng (P) (Q), suy giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng AB Cách 3: Gọi M điểm chung hai mặt phẳng (P) (Q) Giả sử M có hoành độ x = t, ta tìm y z theo t ,từ ta có phương trình tham số giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) 3.Viết phương trình đường thẳng d’ hình chiếu đường thẳng d mp(P): Cách 1: + Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d vuông góc mp(P) + Khi đường thẳng d’ giao tuyến mp(P) mp(Q) Cách 2: + Lấy hai điểm A, B thuộc đường thẳng d + Tìm điểm A’ B’ hình chiếu điểm A B ttrên mp(P) Khi đó: đường thẳng A’B’ hình chiếu đường thẳng d (P) Viết phương trình đường thẳng d qua M vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 r r ud ⊥ u d1 d ⊥ d1 r r r ⇒ r r ⇒ ud = [u d1 , u d2 ] Vì d ⊥ d ud ⊥ u d2 Từ ta viết phương trình đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng d qua M song song với hai mp(P) mp(Q) Vì đường thẳng d song song với hai mp(P) mp(Q) nên r r ud ⊥ n ( P ) r r r r ⇒ ud = [n ( P ) , n (Q ) ] r ud ⊥ n (Q ) Từ ta viết phương trình đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt hai đường thẳng d1, d2 Cách 1: + Viết phương trình mp(P) qua điểm M đường thẳng d1 + Viết phương trình mp(Q) điuurqua điểm M đường thẳng d2 uur uur uur Khi đó: Nếu ud , ud ud , ud không phương đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng mp(P) mp(Q) Cách 2: + Viết phương trình mp(P) qua điểm M đường thẳng d1 + Tìm giao điểm I đường thẳng d2 mp(P) + Viết phương trình đường thẳng MI Nếu vectơ phương hai đường thẳng MI d1 không phương đường thẳng MI đường thẳng d cần tìm Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M , cắt đường thẳng d 1, vuông góc với đường thẳng d2 Cách 1: + Viết phương trình mp(P) qua điểm M đường thẳng d1 + Viết phương trình mp(Q) qua điểm M vuông góc với đường thẳng d2 Khi đó: Nếu véc tơ phương đường thẳng giao tuyến đường thẳng d không phương đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng mp(P) mp(Q) Cách 2: + Viết phương trình mp(P) qua điểm M vuông góc với đường thẳng d2 + Tìm giao điểm I đường thẳng d1 mp(P) Khi đó: đường thẳng MI đường thẳng d cần tìm Viết phương trình đường thẳng d song song đường thẳng d cắt hai đường thẳng d2, d3 Cách 1: + Viết phương trình mp(P) song song với đường thẳng d1 chứa đ.thẳngd2 + Viết phương trình mp(Q) song song với đường thẳng d1 chứa đt d3 r r r r Gọi giao tuyến (P) (Q) d Nếu ud , ud không phương ud , ud không phương d đường thẳng cần tìm Cách 2: + Viết phương trình mp(P) chứa d2 song song d1 + Tìm giao điểm I đường thẳng d3 mp(P) + Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I song song với đt d1 r r Nếu ud , ud không phương d đường thẳng cần tìm Cách 3: d ∩ d = A ta viết tọa độ tổng quát điểm A, B theo t t’ d ∩ d3 = B uuur r uuur r u ⇒ ⇒ AB + Vì d song song d1 phương với d1 AB = ku d1 ⇒ Ta có hệ hai phương trình + Giả sử hai ẩn t t’ Giải hệ ta tìm t t’ suy tọa độ A B Đường thẳng AB đường thẳng d cần tìm Viết phương trình đường thẳng d đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1, d2 Cách 1: d ∩ d1 = A ta viết tọa độ tổng quát A, B theo t t’ d ∩ d = B uuur uuur AB ⊥ urd AB.urd = ⊥ d1 ⇒ uuur r ⇒ uuur r ⇒ Ta có hệ hai phương trình hai ẩn t t’.Giải hệ ⊥ d2 AB ⊥ u d2 AB.u d = + Giả sử d d + Vì ta tìm t t’ , suy tọa độ A B Đường thẳng AB đường thẳng d cần tìm Cách 2: + Vì đường thẳng d vuông gócvới đường thẳng d 1, d2 nên đường thẳng d có véc tơ r r r ud = [u d , u d ] phương là: + Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến là: uuur uuruur n( P ) = ud ,ud1 + Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến là: uuur uur uur n( Q ) = ud , ud2 Suy ra: giao tuyến (P) (Q) đường thẳng d cần tìm Đặc biệt: Nếu d1 ⊥ d để viết phương trình đường thẳng d đường vuông góc chung d1, d2 ta làm sau: + Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng d1 vuông góc với đường thẳng d2 + Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d2 vuông góc với đường thẳng d1 Khi đó: giao tuyến (P) (Q) đường thẳng d cần tìm 10 Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm I đường thẳng d’ mặt phẳng (P), nằm (P) vuông góc với d’ + Tìm toạ độ điểm I r r r u = n d + (P) , ud ' Dạng4: Tìm điểm H hình chiếu điểm M mặt phẳng , đường thẳng a H hình chiếu M mp(α) Viết phương trình đường thẳng d qua M vuông góc (α) H = d ∩ (α) b H hình chiếu M đường thẳng d H thuộc đt d ⇒ Toạ độ tổng quát H theo tham số t uuuur Tính MH uuuur uur uuuur uur Ta có MH ⊥ ud ⇔ MH ud = ⇒ t = ? ⇒ tọa độ H Dạng : Điểm đối xứng M’ M qua mặt phẳng, đường thẳng a Điểm M/ đối xứng với M qua mp(α) Tìm hình chiếu H M mp(α) xM / = xH − xM M/ đối xứng với M qua (α) ⇔ H trung điểm MM/ ⇒ yM / = yH − yM zM / = z H − z M b Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d: Tìm hình chiếu H M d xM / = xH − xM M/ đối xứng với M qua d ⇔ H trung điểm MM/ ⇒ yM / = yH − yM zM / = z H − z M Dạng 6: Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆: + Viết phương trình mp(α ) chứa A ⊥ ∆ + Tìm giao điểm H ∆ (α ) + Tính d(A, ∆) = AH b) Khoảng cách đường thẳng ∆ (α ) với ∆ / /(α ) : + Lấy M ∆ + d (∆, (α )) = d ( M , (α )) c) Khoảng cách đường thẳng chéo ∆, ∆’ : + Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa ∆’ //∆ + Lấy M ∆ + d (∆, ∆ ' ) = d ( M , (α )) Chú ý: Với toán a) c) HS ban KHTN có công thức tính Dạng 7: Một số toán hình học không gian giải phương pháp toạ độ III BÀI TẬP MINH HỌA Bài : Trong không gian Oxyz cho A(1;3;-2), B(-1;1;2) C(1;1;-3) a) Chứng minh ABC tam giác vuông A Tính diện tích tam giác ABC b) Viết phương trình tham số đường thẳng AM, với AM trung tuyến tam giác ABC c) Viết phương trình tổng quát mp(P) qua đỉnh tam giác ABC d) Tính khoảng cách từ D(2;1;2) đến mp(ABC) Bài giải a) uuur uuur Ta có: AB = (−2; −2; 4) ⇒ AB = 6, AC = (0; −2; −1) ⇒ AC = uuur uuur uuur uuur Suy ra: AB AC = + − = ⇔ AB ⊥ AC Hay tam giác ABC vuông A Diện tích tam giác ABC: S = 1 AC AB = 5.2 = 30 2 b) 1 M trung điểm BC nên M 0;1; − ÷ 2 uuuur 3 Đường thẳng AM qua A(1;3;-2) nhận AM = −1; −2; ÷ làm VTCP có phương trình 2 tham số: x = 1− t y = − 2t z = −2 + t c) r uuur uuur Gọi n = AB ∧ AC = (10; −2; 4) r Mp(P) qua A(1;3;-2) nhận n = (10; −2; 4) làm VTPT có phương trình tổng quát: A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = ⇔ 10( x − 1) − 2( y − 3) + 4( z + 2) = ⇔ 5x − y + z + = d) khoảng cách từ D đến mp(ABC): d ( D, ( ABC )) = 10 − + + 25 + + = 30 Bài 2: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) mp(P) x − y + z + = a) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P) Bài giải a) Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính r = AB AB = + + = Phương trình mặt cầu cần tìm: ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = r ⇔ ( x − 1) + ( y − 3) + ( z − 1) = b) Gọi I trung điểm BC Khi đó: I 1; ; −2 ÷, BC = 69 69 Mặt cầu đường kính BC có tâm I 1; ; −2 ÷, bán kính r = có phương trình: ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = r 69 ⇔ ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 2) = c) Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính r = d (C , ( P )) = − − 12 + 1+ + =5 Phương trình mặt cầu cấn tìm: ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = r ⇔ x + ( y − 2) + ( z + 6) = 25 Bài 3: Cho mặt cầu (S): x + y + z − x + y − z + = a) Xác định tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S) b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu M(1;1;1) Bài giải a) −2a = −2 a = −2b = b = −3 ⇔ Từ phương trình mặt cầu ta có: −2c = −8 c = d = d = Tọa độ tâm I(1; -3; 4) Bán kính: R = + + 16 − = b) Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu M nên IM vuông với mp uuur IM = (0; 4; −3) uuur Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT IM = (0; 4; −3) có phương trình: 0( x − 1) + 4( y − 1) − 3( z − 1) = ⇔ y − 3z − = Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) trường hợp sau: a) (P) qua điểm A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1) b) (P) qua DE song song với GH với D(1;1;1), E(2;1;2), G(-1;2;2) H(2;1;-1) c) (P) mặt phẳng trung trực MN với M(2;3;1), N(-4;1;5) Bài giải uuur uuur a) Ta có: AB = (−3;0; 2), BC = (4; −3; −5) r uuuuur uuur n = [ AB, BC ] = (6; −7;9) r Mp(P) qua A(0;1;2), có VTPT n = (6; −7;9) có phương trình: b) 6( x − 0) − 7( y − 1) + 9( z − 2) = ⇔ x − y + z − 11 = uuur uuur r uuuuuur uuuuuur DE = (1;0;1), GH = (3; −1; −3), n = [ DE , GH ] = (1;6; −1) 10 Mp(P) qua D(1;1;1), có VTPT có phương trình: 1( x − 1) + 6( y − 1) − 1( z − 1) = ⇔ x + 6y − z − = c) Gọi I trung điểm MN, I ( −1; 2;3) uuuur MN = (−6; −2; 4) Mp(P) mp trung trực MN nên qua điểm qua I ( −1; 2;3) , nhận uuuur MN = (−6; −2; 4) làm VTPT có phương trình: −6( x + 1) − 2( y − 2) + 4( z − 3) = ⇔ −6 x − y + z − 14 = Bài 5: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1) Viết phương trình tham số đường thẳng d biết: a) d qua điểm A trung điểm I đoạn thẳng BC b) d qua C vuông góc với mp(ABC) Bài giải a) uur I trung điểm BC nên I −1; − ; ÷ VTCP: AI = −1; − ; − ÷ 2 2 b) x = −t Phương trình tham số đường thẳng d: y = − t z = − t uuur uuur AB = (−3;0; 2), BC = (4; −3; −5) r uuur uuuuur VTCP: u = [ AB, BC ] = (6; −7;9) Phương trình đường thẳng d cần tìm: x = + 6t y = − − 7t z = −1 + 9t x = −1 + t Bài 6: Xét vị trí tương đối d y = − t với đường thẳng: z = 3t x = + 2t a) ∆1 : y = −2t z = + 6t x = + t b) ∆ : y = − 2t z = + 4t r d có VTCP u = (1; −1;3) a) x = −1 − 2t c) ∆ : y = + t z = −1 + 3t Bài giải r ∆1 có VTCP u1 = (2; −2;6) 1 + 2t = −1 + t ' 2t − t ' = −2 Xét hệ phương trình: −2t = − t ' ⇔ −2t + t ' = vô nghiệm 3 + 6t = 3t ' 6t − 3t ' = −3 r r Và u1 = (2; −2;6) = 2u 11 Suy ra: d // ∆1 b) Thực tương tự: d ∆ cắt c) Thực tương tự: d ∆ chéo Bài 7: Cho điểm A(-2;6;1) B(-1;1;2) C(2;-1;2) D(-1;1;0) Viết phương trình đường thẳng d qua A vuông góc với mặt phẳng (BCD) Tìm toạ độ hình chiếu H A (BCD) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (BCD) Tìm toạ độ hình chiếu K D đường thẳng BC Tìm toạ độ điểm D’ đối xứng với điểm D qua đường thẳng BC Giải: uuur uuur uuur uuur Ta có: BC (3; −2;0) BD(0;0; −2) ⇒ BC , BD = ( 4;6;0 ) ⇒ (BCD) có VTPT: x = −2 + 2t r n(2;3;0) ⇒ PTĐT d là: y = + 3t z = PTMP (BCD) là: 2x + 3y - = x = −2 + 2t x = −4 y = + 3t ⇒ Toạ độ điểm H nghiệm hệ pt: ⇒ y = ⇒ H (−4;3;1) z = z = x + y − = Do A’ đối xứng với A qua (BCD) nên H trung điểm AA’ ⇒ Điểm A’ có toạ độ là: A’(-6;0;1) x = −1 + 3t uuur BC (3; −2;0) ⇒ PTĐT BC: y = − 2t z = uuur Do K ∈ BC ⇒ K(-1+3t;1-2t;2) ⇒ KD ( −3t ; 2t; ) uuur uuur Do KD ⊥ BC ⇒ KD.BC = ⇒ t = ⇒ K (−1;1; 2) Do D’ đối xứng với D qua BC nên K trung điểm BC ⇒ D’(-1;1;4) Bài 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết: mp (P) qua điểm x = + 3t A(-1; 2; -3) đường thẳng d có phương trình y = −1 + 2t z = − 5t Giải: Ta có: đường thẳng d qua điểm M(1; -1; 3) có vectơ phương uuur r ud (3;2;-5) ; MA=(-2; 3; -6) r Gọi n( P ) vectơ pháp tuyến mp(P) Vì mp(P) qua điểm A(-1;2;-3) đường thẳng d nên uuur r r n( P ) = [ MA, ud ] = (-3; -28; -13) Suy phương trình mp(P) là: 3(x + 1) + 28(y – 2) + 13(z + 3) = ⇔ 3x + 28y + 13z – 14 = Vậy: phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A đường thẳng d là: 3x + 28y + 13z – 14 = 12 Bài : Trong không gian cho hai đường thẳng: d1 : x+2 y−2 z = = −1 d2 : x+5 y −2 z = = −1 a) Chứng minh d1, d2 chéo b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 song song d2 Giải: Ta có: r Đường thẳng d1 qua M1(-2; 2; 0) có vectơ phương u d (−1;1; 2) r Đường thẳng d2 qua M2(-5; 2; 0) có vectơ phương u d (3; −1;1) c) Xét hệ phương trình tạo phương trình hai đường thẳng d1, d2 : x + y = x+2 y−2 z = = −1 2 y − z − = ⇔ x+5 = y−2 = z x + 3y −1 = y + z − = −1 (hệ vô nghiệm) Suy : d1 song song với d2 d1 d2 chéo r r Mặt khác: hai vectơ phương u d (−1;1; 2) , u d (3; −1;1) không phương nên d1 song song d2 , d1 d2 chéo b) Vì mp(P) mặt phẳng chứa d1 song song d2 nên ta có: r r r n( P ) =[u d , u d ]=(3; 7; -2) , mp(P) qua M1(-2; 2; 0) thuộc d1 nên phương trình mặt phẳng (P) là: 3(x + 2) + 7(y – 2) – 2z = ⇔ 3x + 7y – 2z – = Lưu ý : Để chứng minh d1 chéo d2 em học sinh ban KHTN chứng minh r r uuuuuur [u d , u d ].M 1M ≠ cách CM : Bài 10 : Lập phương trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) x2 + y2 + z2 -2x -4y -6z – =0 song song với mặt phẳng (P): 4x + 3y – 12z + = Giải: 2 Ta có: mặt cầu (S) viết lại : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 16 ⇒ Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R=4 Vì mặt phẳng ( α ) song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng ( α ) có dạng : 4x + 3y -12z + D =0 Hơn nữa: mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên 1 2 d(I ⇔ (α ) ) =R + − 3.6 + D 16 + + 144 ⇔ D − 26 = 52 =4 D = 78 ⇔ D = −26 Vậy: có hai mặt phẳng thoả mãn điều kiện đầu bàiđó là: 4x + 3y -12z + 78 =0 13 4x + 3y -12z -26 =0 Bài 11 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d: x −1 y + z − = = mặt phẳng (P) : 2x + y -2z + = −1 a, Tìm toạ độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b, Tìm A = d ∩ ( P ) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (P), qua A vuông góc với đường thẳng d Giải: a, Theo giả thiết I ∈ d nên điểm I có toạ độ tổng quát là: I( 1-t; -3+2t; 3+t) Hơn nữa: d(I ⇔ ⇔ ( P) ) =2 − 2t − + 2t − − 2t + +1+ =2 −2t + = ⇔ 1− t = 1− t = t = −2 ⇔ ⇔ 1 − t = −3 t=4 * Với t=2 ta có : I (3;-7;1) * Với t =4 ta có: I( -3;5;7) Vậy: có hai điểm I thoả mãn điều kiện đầu : I (3;-7;1) I( -3;5;7) b, Do A = d ∩ ( P ) nên tọa độ điểm A nghiệm hệ : 2x + y +1 = y − z + = ⇔ A(0; −1; 4) 2 x + y − z + = Theo giả thiết: đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P) vuông góc với đường r r r thẳng d nên đường thẳng ∆ có VTCP : u ∆ = n( P ) , u d r r r r Mà : n( P ) = (2;1; −2), u d = (−1; 2;1) ⇒ u ∆ = (5;0;5) hay u ∆ = (1;0;1) Vậy: Phương trình đường thẳng ∆ : x = t y = −1 z = + t Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2y– 4z -20 = mặt phẳng (P): x + 2y – z + = Chứng minh rằng: mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường tròn (C) Xác định tâm bán kính đường tròn giao tuyến (C) Giải: Ta có : mặt cầu (S) có tâm I(0;1;2) bán kính R=5 Bài 12 : Vì: d(I ( P) )= 2−2+8 = b > 0) Gọi M trung điểm CC’ Xác định tỉ số a để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vuông góc với b Giải: * Theo gt ta có: C(a; a; 0), C’(a; a; b) Vì M trung điểm CC’ nên M(a; a; b/2) Khi uuuu đó:r z A' Do đó: vectơ phương mp(A’BD)là: uuur uuuur r n1 = [ A′B, A′D ]=(ab;ab;a ) C' B' A ' B = (a;0; −b) uuuuur A ' D ' = (0;a; −b) uuur MB = (0; −a; − b/2) uuuur A ' B = (−a;0; − b/2) D' b a A a D y C B x r uuur uuuur Và : vectơ phương mp(MBD) là: n2 = [ MB,MD]=(ab/2; ab/2; − a ) * Để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vuông góc với ta phải có: r r r r a 2b2 a 2b2 n1 ⊥ n2 ⇔ n1.n2 ⇔ + − a = ⇔ a 2b2 = a 2 a a ⇔ =1⇔ =1 b b 15 Vậy: tỉ số a = hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vuông góc với b III BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1; ; 0) mặt phẳng (P): x + y – 2z + = 1/ Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (Q) qua M song song với mặt phẳng (P) 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với mp(P) 3/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm I d (P) ĐS: 1/ x + y -2z - = x = 1+ t 3/ y = + t z = −2t 2/ ( x − 1) + ( y − 1) + z = 2 25 1 1 I ; ;− ÷ 6 3 Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1 ; ; 0), B(-3 ; ; 2), C(1 ; ; 3), D(0 ; ; - 2) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) 2/ Viết phương trình mặt phẳng qua CD song song với đường thẳng AB 3/ Viết phương trình đường thẳng AD 4/ Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện ABCD ĐS: 1/ 3x - 5y - 2z +13 = 2/ 2x - 3y - z + = 3/ x +1 y − z = = 1 −2 V= 4/ S = 38 Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – = điểm M(1, -2 ; 3) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M song song với mp(P).Tính khỏang cách từ M đến mp(P) 2/ Tìm tọa độ hình chiếu điểm M lên mp(P) ĐS: 1/ 2x + y - z - = d ( M , ( P )) = 2 2/ H (4; − ; ) Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm D(-3 ; ; 2) mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1 ; ; 11), B(0 ; ; 10), C(1 ; ; 8) 1/ Viết phương trình đường thẳng AB phương trình mặt phẳng (P) 2/Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = Chứng minh mặt cầu cắt mặt phẳng (P) x = 1+ t Đs: 1/ y = − y (P): 2x - 3y + z - = z = 11 + t 2/ ( x + 3) + ( y − 1) + ( z − ) = 25 2 Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; ; 0), B(0 ; ; 1), C(1 ; ; -4) 1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD hình bình hành tìm tọa độ tâm hình bình hành 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vuông góc với mp(ABC) 16 ĐS: 1/ D(2;2;-5) I(1;2;-2) x = + 3t 2/ y = − t z = −1 + t Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; ; 0), C(0 ; ; 0), D(0 ; ; 3) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện 2/ Tìm điểm A’ cho mp(BCD) mặt phẳng trung trực đọan AA’ ĐS: 1/ 6x + 3y + 2z - = 2/ A’( 73 86 106 ;− ; ) 49 49 49 Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; ; 1), B(2 ; -1 ; 5) 1/ Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB 2/ Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp điểm với mặt cầu (S) A 3/ Tìm điểm M đường thẳng AB cho tam giác MOA vuông O 2 ĐS: 1/ ( x − ) + y + ( z − 3) = 2/ y - 2z + = 3/ M(2;5;-7) Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; ; -2), B(1 ; -2 ; 4) 1/ Viết phương trình đường thẳng AB phương trình mặt phẳng trung trực đọan AB 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A qua điểm B Tìm điểm đối xứng B qua A ĐS: x = + t 1/ y = t z = −2 − 3t 2/ x + y - 3z + = Bài :Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2) a)Viết phương trình mp qua I(2;1;1) song song với mp (ABC) b)Viết phương trình mp qua A song song với mp (P):2x- y- 3z- = c)Viết ptmp qua hai điểm A ,B vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- = d)Viết ptmp qua A, song song với Oy vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0 e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz f).Viết phương trình mp(P) qua điểm hình chiếu điểm M(2;-3;4) lên trục toạ độ ĐS: a/ x - z - = b/ 2x - y - 3z + = c/ x - z + = d/ x + z = e/ x + = f/ 6x - 4y + 3z - 12 = Bài 10 :Cho hai đường thẳng (d): x +1 y −1 z − = = (d’): x−2 y+2 z = = −2 a) Chứng tỏ (d) (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách chúng b)Viết phương trình đường vuông góc chung chúng c)Tính góc (d1) (d2) ĐS: a/ 62 195 b/ 17 24 y− z− 13 = 13 = 13 11 −5 −7 x+ Bài 11:Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1) a) Viết phương trình đường thẳng BC b) Chứng minh điểm A, B, C, D không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD 17 x = ĐS: a/ y = + t z = −1 + t b/ V = Bài 12 :Cho ( α ) : x + y + z + 17 = đường thẳng (d) giao tuyến hai mặt phẳng 3x – y + 4z – 27 = 6x + 3y – z + = a/ Tìm giao điểm A (d) ( α ) b/ Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A, vuông góc với (d) nằm mp ( α ) ĐS: a/ A(2;-5;4) b/ x−2 y +5 z −4 = = 48 −41 109 Bài 13 :Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;4;2) mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y + z –1= a/ Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A (P) b/ Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P) 2 3 ĐS: a/ H( − ; ; ) b/ ( x − 1) + ( y − ) + ( z − ) = 2 50 Bài 14 :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (4 ; -3 ; ) đường thẳng x = −2 + 3t ( d) có phương trình tham số y = −2 + 2t z = −t a) Viết phương trình mp( P) qua điểm M chứa đường thẳng (d) b) Viết phương trình mp ( Q ) : biết mp(Q) qua M vuông góc đường thẳng (d) c) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc M lên đường thẳng (d) ĐS: a/ x - 3y - 5z - = b/ 3x + 2y - z - = c/ H(1;0;-1) Bài 15:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0) , mặt phẳng (P ) : x + y + z + = mặt cầu (S) : x + y + z − x + y − z + = a Tìm điểm N hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) b Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) ĐS: a/ (1;2;-2) b/ x + y + 2z + = x + y + 2z - 11 = 18 [...]... = 0 3 y + z − 2 = 0 −1 1 (hệ vô nghiệm) Suy ra : d1 song song với d2 hoặc d1 và d2 chéo nhau r r Mặt khác: hai vectơ chỉ phương u d (−1;1; 2) , u d (3; −1;1) không cùng phương nên d1 không thể song song d2 , do đó d1 và d2 chéo nhau b) Vì mp(P) là mặt phẳng chứa d1 và song song d2 nên ta có: r r r n( P ) =[u d , u d ]=(3; 7; -2) , và do mp(P) qua M1(-2; 2; 0) thuộc d1 nên phương trình mặt phẳng... B(1;-4;3), C(-4;-1;-2) a)Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC) b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0 c)Viết ptmp qua hai điểm A ,B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0 d)Viết ptmp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0 e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz f).Viết phương trình mp(P) qua các điểm là hình chiếu... (BCD) 2 Tìm toạ độ hình chiếu H của A trên (BCD) 3 Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (BCD) 4 Tìm toạ độ hình chiếu K của D trên đường thẳng BC 5 Tìm toạ độ điểm D’ đối xứng với điểm D qua đường thẳng BC Giải: uuur uuur uuur uuur 1 Ta có: BC (3; −2;0) BD(0;0; −2) ⇒ BC , BD = ( 4;6;0 ) ⇒ (BCD) có VTPT: x = −2 + 2t r n(2;3;0) ⇒ PTĐT d là: y = 6 + 3t z = 1 2 PTMP (BCD)... 2 = 2 2 25 6 1 1 1 I ; ;− ÷ 6 6 3 Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ; - 2) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) 2/ Viết phương trình mặt phẳng qua CD và song song với đường thẳng AB 3/ Viết phương trình đường thẳng AD 4/ Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD ĐS: 1/ 3x - 5y - 2z +13 = 0 2/ 2x - 3y - z + 7... ⇒ y = 3 ⇒ H (−4;3;1) z = 1 z = 1 2 x + 3 y − 1 = 0 3 Do A’ đối xứng với A qua (BCD) nên H là trung điểm của AA’ ⇒ Điểm A’ có toạ độ là: A’(-6;0;1) x = −1 + 3t uuur 4 BC (3; −2;0) ⇒ PTĐT BC: y = 1 − 2t z = 2 uuur Do K ∈ BC ⇒ K(-1+3t;1-2t;2) ⇒ KD ( −3t ; 2t; 2 ) uuur uuur Do KD ⊥ BC ⇒ KD.BC = 0 ⇒ t = 0 ⇒ K (−1;1; 2) 5 Do D’ đối xứng với D qua BC nên K là trung điểm của BC ⇒ D’(-1;1;4)... 2 z = = 1 1 −2 V= 4/ S = 38 4 3 Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0 và điểm M(1, -2 ; 3) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp(P).Tính khỏang cách từ M đến mp(P) 2/ Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên mp(P) ĐS: 1/ 2x + y - z - 6 = 0 d ( M , ( P )) = 1 3 2 2 3 6 2 2/ H (4; − ; ) Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm... không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0), D(0 ; 0 ; 3) 1/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ra ABCD là một tứ diện 2/ Tìm điểm A’ sao cho mp(BCD) là mặt phẳng trung trực của đọan AA’ ĐS: 1/ 6x + 3y + 2z - 6 = 0 2/ A’( 73 86 106 ;− ; ) 49 49 49 Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; 1 ; 1), B(2 ; -1 ; 5) 1/ Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính... 10 : Lập phương trình mặt phẳng ( α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) x2 + y2 + z2 -2x -4y -6z – 2 =0 và song song với mặt phẳng (P): 4x + 3y – 12z + 1 = 0 Giải: 2 2 2 Ta có: mặt cầu (S) viết lại là : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 16 ⇒ Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=4 Vì mặt phẳng ( α ) song song với mặt phẳng (P) nên mặt phẳng ( α ) có dạng : 4x + 3y -12z + D =0 Hơn nữa: mặt phẳng ( α ) tiếp... và bán kính r = 3 3 3 8 Bài 13: Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) (Với a > b > 0) Gọi M là trung điểm CC’ Xác định tỉ số a để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau b Giải: * Theo gt ta luôn có: C(a; a; 0), C’(a; a; b) Vì M là trung điểm CC’ nên M(a; a; b/2) Khi uuuu đó:r z A' Do đó: vectơ chỉ phương của mp(A’BD)là:... = 25 2 2 2 Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; 4 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), C(1 ; 0 ; -4) 1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ tâm của hình bình hành 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC) 16 ĐS: 1/ D(2;2;-5) I(1;2;-2) 2 x = 3 + 3t 2/ y = 2 − t z = −1 + t Bài 6: Trong không gian Oxyz,