CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐI. Các kiến thức cơ bản cần nhớ:1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số) Tìm TXĐ D.) Tính y’.) Tìm các nghiệm của phương trình y’=0 và các điểm mà tại đó y’ không xác định.) Tìm ) Tìm các tiệm cận đứng, ngang (nếu có).) Lập bảng biến thiên và điền đầy đủ các yếu tố.) Nêu sự đồng biến,nghịch biến và cực trị (nếu có).) Tìm các điểm đặc biệt (giao với trục Ox, giao với trục Oy) và một số điểm.) Vẽ đồ thị.
CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I Các kiến thức cần nhớ: 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số *) Tìm TXĐ D *) Tính y’ *) Tìm nghiệm phương trình y’=0 điểm mà y’ không xác định y , lim y *) Tìm xlim →−∞ x →+∞ *) Tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có) *) Lập bảng biến thiên điền đầy đủ yếu tố *) Nêu đồng biến,nghịch biến cực trị (nếu có) *) Tìm điểm đặc biệt (giao với trục Ox, giao với trục Oy) số điểm *) Vẽ đồ thị 2) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Cho hàm số y = f(x) Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0;y0) - Xác định x0; y0 - Tính y’ sau tính y’(x0) hay f’(x0) - Viết phương trình y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước - Tính y’ suy f’(x0) - Giải phương trình f’(x0) = k tìm x0 - Có x0 tìm y0, viết phương trình y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) 3) Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị (C ): y=f(x) - Đưa phương trình dạng f(x) = A(m) - Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = A(m) - Vẽ hai đồ thị hệ trục tọa độ biện luận kết Lưu ý: Đôi toán yêu cầu tìm m để phương trình có 3, nghiệm, ta trả lời yêu cầu toán đưa 4) Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) [a; b] - Nhận xét: Hàm số y = f(x) liên tục [a;b] - Tính y’ - Giải phương trình y’=0 tìm nghiệm xi [a;b], tìm xj [a;b] cho f(xj) không xác định - Tính f(a), f(b), f(xi), - So sánh giá trị kết luận 5) Điều kiện để hàm số có cực trị - Hàm số đạt cực trị x0 f’(x0) = (f(x) có đạo hàm x0) - Nếu y’ tam thức bậc hai có biệt thức ∆ y’ đạt cực trị ⇔ ∆ > f '(a) = f ''( a) < - Hàm f ( x) đạt cực đại x = a ⇔ f '(a) = f ''( a) > - Hàm số f(x) đạt cực tiểu x = a ⇔ 6) Số giao điểm hai đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) - Giải phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) - Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị cho II Các dạng toán luyện tập: 1.Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: Bài 1: Tìm khoảng đồng biến hay nghịch biến cực trị (nếu có) hàm số sau: x − 2x y= ; e) y = 2x - x ; g) y = e x − x x −1 a) y = x3 − 3x + x − ; b) y = x3 − 3x + ; c) y = x − x + ; d) Hướng dẫn học sinh giải : * Các bước tìm : - Nêu TXĐ - Tính đạo hàm y' - Xét dấu y' dựa vào định lý nêu kết luận Giải TXĐ: ¡ a) y = x3 − 3x + x − y ' = x − x + = ( x − 3) ≥ 0, ∀x ⇒ Hàm số đồng biến ¡ Hàm số cực trị b) y = x3 − 3x + TXĐ: ¡ x = y ' = 3x − x ; y ' = ⇔ x = Dấu y ' : −∞ x y' y 0 + - +∞ + -3 Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) , ( 2; +∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) Hàm số đạt cực đại x = 0, yCD = Hàm số đạt cực tiểu x =2, yCT = -3 c) y = x − x + TXĐ: ¡ x = y ' = x − x = x x − ; y ' = ⇔ x = −1 x = ( ) Dấu y' : x y' y −∞ -1 - + 0 +∞ - + 2 Hàm số đồng biến khoảng ( −1;0 ) , ( 1; +∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) , ( 0;1) Hàm số đạt cực đại x = 0, yCD = Hàm số đạt cực tiểu x = -1, x =1, yCT = x2 − x d) y = x −1 TXĐ : ¡ \ { 1} ( x − ) ( x − 1) − x + x = x − x + > 0, ∀x ≠ 2 ( x − 1) ( x − 1) Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) , ( 1; +∞ ) y'= e) y = 2x - x TXĐ: [ 0; 2] y'= 1− x 2x − x2 ; y ' = ⇔ x =1 Dấu y' : x y' y || + 1 || - Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 0;1) nghịch biến khoảng ( 1; ) Hàm số đạt cực đại x=1, yCD =1 g) y = e x − x TXĐ : ¡ y ' = e x − 1; y ' = ⇔ x = Dấu y' : x y' y −∞ - 0 +∞ + Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Hàm số đạt cực tiểu x = , yCT = 1 Bài 2: Tìm giá trị tham số m để hàm số f ( x) = x3 − x − mx + nghịch biến khoảng ( 1;3) Giải : TXĐ: ¡ y ' = x2 − x − m Để hàm số nghịch biến khoảng ( 1;3) , y ' ≥ 0, ∀x ∈ ( 1;3 ) ⇔ x − x − m ≥ 0, ∀x ∈ ( 1;3) ⇔ x − x ≥ m, ∀x ∈ ( 1;3 ) Xét hàm số f ( x) = x − x [ 1;3] , ta có f '( x) = x − 4; f '( x) = ⇔ x = x f'(x) f(x) - + -3 -3 -4 ( x ) ⇔ m ≤ −4 Để f ( x) ≥ m, ∀x ∈ ( 1;3) m ≤ Minf [ 1;3] Bài 3: Cho hàm số y = x3 + (m − 1) x − (2m + 1) x − + 3m Tìm m để hàm số có cưc trị Giải : • TXĐ: D = R • y ' = 3x + 2(m − 1) x − (2m + 1) • Hàm số y = x3 + (m − 1) x − (2m + 1) x − + 3m có cực trị ⇔ y ' = có hai nghiệm phân biệt • Xét y ' = ⇔ 3x + 2(m − 1) x − (2m + 1) = ∆ ' = (m − 1) + 3(2m + 1) = m + 4m + = (m + 2) ≥ 0, ∀m Vậy với m ≠ −2 phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt Hay với m ≠ −2 hàm số có cực trị Bài 4: Cho hàm số y = x − mx + m − , m tham số Xác định m để hàm số đạt cực tiểu điểm x = Giải : TXĐ : R y ' = 3x − 2mx; y '' = x − 2m y '(2) = 12 − 4m = m = ⇔ ⇔ ⇔ m = y ''(2) > 12 − 2m > m < Hàm số đạt cực tiểu x = ⇔ Vậy m = giá trị cần tìm Tìm GTLN-GTNN hàm số : Bài 5: Tìm GTLN, GTNN hàm số: a) f ( x) = − x3 + 3x + x + [ -2;2] ; b) f ( x) = 2sin x − sin x [0; π ] c) y = x + − x ; d) y = x + khoảng (0; +∞ ) x Giải : x = −1 x = f ( −2) = 4; f (2) = 24; f (−1) = −3; f (3) = 29 max fx ) = 29; f ( x) = −3 a) f '( x) = −3x + x + 9; f '( x) = ⇔ Do [ −2; 2] [ −2; 2] Đặt s inx = t , với x ∈ [ 0; π ] ⇒ t ∈ [ 0;1] Thay vào hàm số ta hàm b) f ( x) = 2sin x − sin x [0; π ] t=− ∉ [ 0;1] 2 g (t ) = 2t − t với t ∈ [ 0;1] g '(t ) = − 4t ; g '(t ) = ⇔ t = 2 g (0) = 0; g (1) = ; g ( ) = 3 Vậy max f ( x) = [ 0;π ] 2 ; f ( x) = [ 0;π ] c) y = x + − x TXĐ: [ −2; 2] x ≥ ⇔x= ; y ' = ⇔ − x2 − x = ⇔ x = − x2 − x2 y ( −2) = −2, y (2) = 2, y ( 2) = 2 y ' = 1− x = − x2 − x max y = 2; y = −2 d) y ' = − x y' y , x2 x = −1 ∉ ( 0; +∞ ) y'= ⇔ x =1 || +∞ - +∞ + +∞ Hàm số có giá trị nhỏ đạt x = Hàm số giá trị lớn Khảo sát hàm số toán liên quan: Bài 6: Cho hàm số y = − x3 + 3x − a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 − 3x + m = Bài giải a) • TXĐ: D = R • y ' = −3x + 6x x = y ' = ⇔ −3x + 6x=0 ⇔ x = • Dấu y ' : • • x y' −∞ • • • • • 0 + +∞ - Hàm số đồng biến (0 ; 2); hàm số nghịch biến (−∞;0) (2; +∞) Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = -1 y = +∞, lim y = −∞ Giới hạn: xlim →−∞ x →+∞ Bảng biến thiên: • Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1) • Đồ thị: b) • x − x + m = ⇔ − x + 3x − = m − • Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = − x + x − với đường thẳng y = m – • Vậy: m − > ⇔ m > : Phương trình có nghiệm m − = ⇔ m = : Phương trình có nghiệm > m − > −1 ⇔ > m > : Phương trình có nghiệm m − = −1 ⇔ m = :Phương trình có nghiệm m − < −1 ⇔ m < : Phương trình có nghiệm Bài 7: Cho hàm số y = x − x có đồ thị (C ) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x0 = Bài giải a) TXĐ: D = R • y ' = x3 − x x = y ' = ⇔ x3 − x = ⇔ x = ±1 • Dấu y ' : • • x y' −∞ -1 - + 0 - +∞ + • Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) (1; +∞ ); hàm số nghịch biến khoảng ( −∞ ; 0) (0;1) • Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = 0; hàm số đạt cực tiểu x = ±1 , yCT = -1 y = +∞, lim y = +∞ • Giới hạn: xlim →−∞ x →+∞ • Bảng biến thiên: • • Điểm đặc biệt: (− 2;0), ( 2;0), (0;0) • Đồ thị: b) • Hàm số y = x − x với x0 = y0 = 16 − 2.4 = • y ' = x3 − x, y '(2) = 4.8 − 4.2 = 24 • Phương trình tiếp tuyến: y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y − = 24( x − 2) ⇔ y = 24 x − 40 2x + Bài 8: Cho hàm số y = có đồ thị (C) 2x −1 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung Bài giải a) 1 • TXĐ: D = ¡ \ • y'= −8 < 0, ∀x ∈ D (2x − 1) • Hàm số nghịch biến khoảng xác định y = −∞; lim y = +∞ y = 1; lim y = , lim 1 1 • Giới hạn: xlim x → ÷ x → ÷ →−∞ x →+∞ − 2 + 2 Vậy: y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x= tiệm cận đứng đồ thị hàm số • Bảng biến thiên: • Hàm số cực trị • Điểm đặc biệt: − ;0 ÷, (0; −3) • Đồ thị: b) • Tại giao điểm với trục tung x0 = 0, y0 = −3 • y'= −8 ⇒ y '(0) = −8 (2x − 1) • Phương trình tiếp tuyến: y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y + = −8( x − 0) ⇔ y = −8 x − Bài 9: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) trường hợp: a) y = x3 − 3x + biết tiếp tuyến có hệ số góc b) y = x − 2x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x c) y = 2x + biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x 2x −1 Bài giải a) y ' = 3x − Hệ số góc k = ⇔ y '( x0 ) = ⇔ 3x 02 − = ⇔ x0 = ±2 Với x0 = ⇒ y0 = Phương trình tiếp tuyến: y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y − = 9( x − 2) ⇔ y = 9x − 14 Với x0 = -2 ⇒ y0 = Phương trình tiếp tuyến: y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y − = 9( x + 2) ⇔ y = x + 18 Vậy có hai phương trình tiếp tuyến: y = 9x − 14 y = x + 18 b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x nên có hệ số góc k = 24 y ' = 4x − 4x k = 24 ⇔ 4x 03 − 4x = 24 ⇔ x0 = x = ⇒ y0 = Phương trình tiếp tuyến: y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y − = 24( x − 2) ⇔ y = 24 x − 40 c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x nên có hệ số góc k = -2 y' = −8 (2x − 1) x0 = −8 = −2 ⇔ k = −2 ⇔ (2x − 1) x = − Với x0 = ⇒ y0 = Phương trình tiếp tuyến: y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y − = −2( x − ) ⇔ y = −2 x + Với x0 = − ⇒ y0 = −1 phương trình tiếp tuyến: y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y + = −2( x + ) ⇔ y = −2 x − 2 y = − x + Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: y = −2 x − Bài 10: Cho hàm số y = − x + 3x + có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x − 3x + log m = có nghiệm phân biệt Bài giải a) Thực bước tương tự tập 2, ta đồ thị hàm số sau: b) 4 • x − 3x + m = ⇔ − x + 3x + = + log m • Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y = + log m • Dựa vào đồ thị , phương trình có nghiệm phân biệt 13 ⇔ < log m < ⇔ < m < 4 2x −1 Bài 11: Cho hàm số y = có đồ thị (C) x−2 ⇔ < + log m < a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Bài giải a) Thực tương tự bước khảo sát 3, ta có đồ thị (C) sau: b) • Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt 2x −1 = x − m có hai nghiệm phân biệt x−2 2x −1 = x − m ( x ≠ 2) • Xét phương trình: x−2 ⇔ x − = ( x − m)( x − 2) ⇔ x − x − mx + + 2m = ⇔ x − (4 + m) x + + 2m = Có ∆ = (4 + m) − 4(1 + 2m) = m + 8m + 16 − − 8m = m + 12 > ∀m phương trình 10 • Vậy với m đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt III Bài tập tự luyện Bài 1: Lập bảng xét dấu đạo hàm y’ kết luận tính đồng biến, nghịch biến cực trị hàm số sau: y= x3-3x+5 y= -x3+3x2-1 y= -x3+2x2-3x y= x +x -3 y= - x4+2x2 y= x -2x y= 2x - - 2x Bài2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y= x2-4x+3 y = -x2+6x-1 y = x3+3x2-9x-7 đoạn [-4;3] y= -3x2+4x-8 đoạn [0;1] y= x4-2x2 đoạn [0;2] y = x + 3x + khoảng (-1;3) y= x - 2x + đoạn [-2;1] y= - 4x đoạn [-1;1] 10 y = cos x + 4sin x , x∈[0;π/2] y = 2sin x - sin x đoạn [0;π] Bài a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y=x3+3x2+1 b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3+3x2+1-m=0 c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) , Ox đường thẳng x=-2, x=0 Bài a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y=-x3+3x+1 b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3-3x+m-1=0 c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ Bài a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y= -x3+3x2-4x+2 b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x0, biết y”(x0)=0 c Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) , Ox Oy Bài a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3-3x+1 b Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm với trục tung c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C), x’Ox đường thẳng x=0, x=1 Bài a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 – 3x +5 b Dùng đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm phương trình: x3 – 3x – k +4 = c Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) đường thẳng (D): y = Bài 11 a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = -x3+3x2-2 b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ -1 c Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bỡi hình phẳng giới hạn bỡi (C), Ox, x =1, x =2 quay quanh Ox Bài a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y=x4-2x2+1 b Tìm m để phương trình x4-2x2 = log m có nghiệm phân biệt c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) trục hoành Bài 10.a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y = x +3 1- x b.Cho điểm A có hoành độ thuộc (C).Viết PT tiếp tuyến (C) A Bài 11: Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3(2m − 1) x + a) Định m để hàm số đồng biến TXĐ b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị với m = Bài 12:Cho hàm số y = − 2x x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho b) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số cho hai điểm phân biệt Bài 13: Cho hàm số y = x − mx − (m + 1) có đồ thị (Cm) a) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm M(-1;4) b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = -2 c) Tìm m để hàm số y = x − mx − (m + 1) có cực đại cực tiểu Bài 14: Cho hàm số y = x +1 x −1 a) Khảo sát hàm số b) Cho đường thẳng d có phương trình 2x-y+m = CMR d cắt đồ thị hàm số hai điểm A, B phân biệt với m Tìm m để AB ngắn 12