Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh Chủ đề VII: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I/TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ: 1/Các kiến thức cần nắm vững : - Các [r]
(1)TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN NĂM 2010-2011 **************************** A CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN * Phần chung dành cho tất thí sinh: (7 điểm) Câu I (3 điểm): - Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số - Các bài toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm và đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị điểm có tính chất cho trước, tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị là đường thẳng) Câu II (3 điểm): - Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit - Giá trị lớn và nhỏ hàm số - Tìm nguyên hàm, tính tích phân - Bài toán tổng hợp Câu III (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu * Phần riêng (3 điểm): Thí sinh học làm hai phần (phần 2): Theo chương trình Chuẩn: Câu IV.a (2 điểm): Phương pháp tọa độ không gian: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Mặt cầu - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng - Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu Câu V.a (1 điểm): - Số phức: môđun số phức, các phép toán trên số phức; bậc hai số thực âm; phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức D âm - Ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Theo chương trình nâng cao: Câu IV.b (2 điểm): Phương pháp tọa độ không gian: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Mặt cầu - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng; vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu Câu V.b (1 điểm): - Số phức: Môđun số phức, các phép toán trên số phức; bậc hai số phức; phương trình bậc hai với hệ số phức; dạng lượng giác số phức - Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx +c) /(px+q ) và số yếu tố liên quan - Sự tiếp xúc hai đường cong - Hệ phương trình mũ và lôgarit - Ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay B.Những điều cần biết ôn thi: Không nên tăng tốc cách ghê gớm vào ngày cận thi mà dẫn đến tình trạng “bão hòa”, kéo theo sút giảm sức khỏe, hậu là thi không đúng khả thường có mình Cách học GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất -Lop12.net Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh (2) hợp lý vào các ngày cận thi là giảm cường độ: chủ yếu là đọc lại, xem và hệ thống lại các nội dung đã học, hệ thống và liên kết các mảng kiến thức khác chương trình, huy động các kiến thức đã học cách nhanh và hợp lý để giải các vấn đề; không nên tìm hiểu điều phức tạp mà trước đó chưa biết, nên đọc lại điều đã học, ghi nhớ công thức hay quên thường có nhầm lẫn Những ngày cận thi không nên học quá nhiều, cần tạo tâm lý thoải mái và tăng cường sức khỏe Không nên học quá khuya mà cần thay đổi thói quen: tập thức dậy sớm Nếu thức dậy sớm cách tự nhiên (chứ không phải bị gọi dậy) thì thấy thoải mái, vào phòng thi dễ dàng suy nghĩ và làm bài thi với chất lượng tốt Trong ngày thi, không nên đến muộn vì không có tâm lý tốt Trước vào phòng thi nên tránh việc cười đùa quá mức với bè bạn vì điều gây bất lợi cho việc nhanh chóng tập trung suy nghĩ để thực bài thi C Cách làm bài thi: a)Phần chung là học sinh phải làm, phần riêng chọn (nếu làm vi phạm qui chế và phần này không chấm điểm) b) Khi làm bài thi chú ý không cần theo thứ tự đề thi mà theo khả giải câu nào trước thì làm trước Khi nhận đề thi, cần đọc thật kỹ để phân định đâu là các câu hỏi quen thuộc và dễ thực (ưu tiên giải trước), các câu hỏi khó nên giải sau Có thể ta đánh giá câu hỏi nào đó là dễ và làm vào giấy thi làm thấy là khó thì nên dứt khoát chuyển qua câu khác, sau đó còn thì hãy quay trở lại giải tiếp Khi gặp đề thi không khó thì nên làm cẩn thận, đừng chủ quan để xảy các sai sót cẩu thả; còn với đề thi có câu khó thì đừng nên nản lòng sớm mà cần kiên trì suy nghĩ Phải biết tận dụng thời gian buổi thi để kiểm tra các sai sót (nếu có) và tập trung suy nghĩ để giải các câu khó còn lại (nếu gặp phải) Khi làm bài thi nhiều cách khác mà đắn đo không biết cách nào đúng sai thì không nên gạch bỏ phần nào hết để giám khảo tự tìm chỗ đúng điểm D MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG PHẦN I: GIẢI TÍCH Chủ đề 1: Khảo sát hàm số I/ Khảo sát hàm đa thức 1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức TXĐ Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: Tìm y’, giải phương trình y’= và các bất phương trình y’>0, y’<0 Khoảng đồng biến, nghịch biến b) Cực trị hàm số c) Giới hạn vô cực d) BBT x f’(x) f(x) Ghi taäp xaùc ñònh vaø nghieäm cuûa phöông trình y/=0 Xeùt daáu y/ Ghi khoảng tăng, giảm , cực trị hàm số Chú ý : Hàm số bậc có y/ = vô nghiệm có nghiệm kép thì y/ luôn cùng dấu với a trừ nghiệm kép 3.Đồ thị: Bảng giá trị Ghi dòng x gồm hoành độ cực trị và lấy thêm điểm có hoành độ lớn cực trị bên phải và nhỏ cực trị bên phải) Hàm bậc lấy thêm điểm nằm cực trị Vẽ đồ thị GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất -Lop12.net Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh (3) Các dạng đồ thị hàm bậc 3: y y x y ' coù nghieäm phaân bieät a y x x y ' coù nghieäm phaân bieät a y ' 0 x a Chú ý: Đồ thị hàm bậc luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Các dạng đồ thị hàm trùng phương: y y 0 y x x y ' 0 x a y y x x x y' coù nghieäm phaân bieät y ' coù nghieäm ñôn a a y ' coù nghieäm phaân bieät a y ' coù nghieäm ñôn a II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= 2x3– 9x2+ 12x– Giải: Miền xác định: D= y = 6x2– 18x+ 12 x y = 6x2– 18x+ 12=0 x x y > ; y < x x Hàm số đồng biến khoảng:( ;1) và (2; + ), nghịch biến khoảng: (1;2) Hàm số đạt cực đại x=1; yCĐ=1, cực tiểu x=2; yCT=0 lim y = , lim y x x Bảng biến thiên: x y y Điểm đặc biệt x y -4 + 1 – + + + 2 Ví dụ 2: Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= x4– 2x2– Giải: Miền xác định: D= GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất -Lop12.net Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh (4) x y = 4x3– 4x cho y = 4x3– 4x=0 x x 1 1 x x 1 y > ; y < x 0 x Hàm số đồng biến khoảng: (–1;0) và (1; ), nghịch biến khoảng: ( ;–1) và (0;1) Hàm số đạt cực đại x=0; yCĐ= -1, cực tiểu x= ±2; yCT= -2 lim y = lim y x x x Bảng biến thiên: y –1 + – 0 –1 y -1 -2 + –2 Điểm đặc biệt x -2 -1 y -2 – –2 Nhận xét: đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng B/ Bài tập tự giải: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị các hàm số sau: 1/ Dạng y = a3 + bx2 + cx +d x – x + x -1 c/ y = - x3 – x2 – x -1 a/ y = 2x3 - 3x2 + b/ y = f/ y = x3+3x4 g/ y = (1-x)3 k/ y= x3 - x2 - x + l/ y = q/ y = -x3 + 3x2 – h/ y = 3x2-x3 x -x 2/ Dạng : y = ax4 + bx2 + c (a 0) d/ y= - 2x2 – x4 e/y= x4 x2 =2 j/ y = e/y = x3-3x+1 x –2 x2 -4 x +1 j/ y = x3 + x + n/ y = x3 – 3x2 +2 p/ y = x3 – 3x + s/ y = - 2x3 - x + a/ y= x4 – 3x2 +2 x4 3x f/ y = x4 + 2x2 2 x4 x2 2 i/y = - m/y= - x3 + 3x2 r/ y= x3 - 2x2 + x + d/y = - x3 + 3x + k/ y = x4+x2-2 g/ y = - x4 + 2x2+2 l/ y=2x2x4-1 x4 x2 2 x x2 h/ y = 2 c/ y= b/ y= x4 + x2 – m/ y=x4-1 II/ Khaûo saùt haøm nhaát bieán 1/ Sơ đồ khảo sát hàm y d c ax b : cx d c 0, ad bc 0 TXĐ: D = R\ Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: Tình y’= a.d b.c cx d Khoảng đồng biến, nghịch biến b) Cực trị: hàm số không có cực trị c) Giới hạn tiệm cận: GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất -Lop12.net Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh i/ y (5) a Tieäm caän ngang laø: y a vì lim y x c c d Tiệm cận đứng là x = vì lim y ; d c x c d) BBT lim y x d c Ghi taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá Xeùt daáu y/ Ghi khoảng tăng, giảm , cực trị hàm số x f’(x) f(x) 3.Đồ thị: bảng giá trị ( mổi nhánh lấy điểm ) Vẽ đồ thị Dạng đồ thị hàm b1/b1 y’< x D y’> x D 2/ Ví duï: Khaûo saùt haøm soá y = TXÑ: D= R\ 1 y = > x D x 12 2x x 1 Hàm số luôn đồng biến trên khỏang xác định nó Tieäm caän ngang laø: y vì lim y x Tiệm cận đứng là x 1 vì lim y ; x 1 lim y x 1 Baûng bieán thieân x y/ y - + -1 + + + - Điểm đặc biệt: cho x y 2 và cho y x Đồ thị: Bài tập đề nghị: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất -Lop12.net Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh (6) x 2x 2x f/y = 1 x a/ y b/ y= g/ y = 2x 3x x 1 x 1 c/ y= h/ y = 3x x 1 2x x2 i/ y d/y= 2 x x 1 j/ y x 1 2 x x2 k/y 2x 1 e/y = 2x x 1 Chủ đề 2: Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số I Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình F x, m Phöông phaùp giaûi: B1: Biến đổi đưa phương trình hoành độ giao điểm F x, m f ( x) (m) B2: Vẽ đồ thị (C) hàm y = f(x) (Thường đã có bài toán khảo sát hàm số ) Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng y = (m) (cùng phương với trục hồnh vì (m) là số) Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận soá nghieäm Ví duï: Cho haøm soá y = x3 – 6x2 + 9x (C) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = Giaûi: Phöông trình x3 – 6x2 + 9x – m = x3 – 6x2 + 9x = m Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng d: y = m y Dựa vào đồ thị ta có: Neáu m > phöông trình coù nghieäm Neáu m = phöông trình coù nghieäm Neáu < m <4 phöông trình coù nghieäm Neáu m= phöông trình coù nghieäm x Neáu m < phöông trình coù nghieäm Bài tập đề nghị: Baøi : Cho hàm số y x x có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3 - 3x2 + m + = Bài 2: Cho hàm số y= x3 - 3x – có đồ thị (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Dùng đồ thị (C), định m để phương trình x3 - 3x = m có nghiệm phân biệt Bài 3: : Cho hàm số y = x4 – x2 + có đồ thị (C) a) Khaûo saùt và vẽ đồ thị haøm soá trên b) Dùng đồ thị (C) hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 – x2 + = m Bài 4: Cho hàm số y x 2x có đồ thị (C) -2 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b) Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x 2x m (*) GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất -Lop12.net Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh (7) x x có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số b Dùng đồ thị (C ), hãy xác định m để phương trình sau có nghiệm phân biệt Bài 5: Cho hàm số y x 4x 4m x3 (*) 3x2 Bài Cho hàm số y = + -2 a/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b/ Bằng phương pháp đồ thị, tìm m để phương trình sau có đúng nghiệm x 3x m II Dùng phương trình hoành độ biện luận số giao điểm hai đồ thị Bài toán Cho hai đồ thị C : y f x và L : y g x Tìm tạo độ giao điểm hai đường Phương pháp B1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm hai đường f x g x 1 B2 : Giải phương trình 1 tìm nghiệm x y Giả sử phương trình 1 có các nghiệm là x1 , x , , x n , ta các nghiệm này vào hai hàm sô trên ta các giá trị tương ứng là y1 , y , , y n suy tọa độ các giao điểm Chú ý : số nghiệm phương trình 1 số giao điểm hai đồ thị C và L Ví dụ Biện luận theo m số giao điểm hai đường sau C : y x ; d : y mx m x 1 Giải Phương trình hoành độ giao điểm hai đường là 2x mx m x 1 x (mx m 2)( x 1) x 1 mx m 3 Th1 : m Pt * VN C và L không có giao điểm Th2 : m Pt * mm 3 Xét dấu mm 3 m 3 + 0 + mm 3 m Pt * VN C và L không có giao điểm m 3 m Pt * có nghiệm phân biệt C và L có hai giao điểm m 3 m Pt * có nghiệm kép C và L có giao điểm III Vieát phöông trình tieáp tuyeán Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) các trường hợp sau 1/ Tại điểm có toạ độ (x0;f(x0)) : B1: Tìm f ’(x) f ’(x0) B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm (x0;f(x0)) là: y = f / (x ) (x–x0) + f(x0) 2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x0 : B1: Tìm f ’(x) f ’(x0), f(x0) B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x0 là:y = f / (x ) (x–x0) + f(x0) 3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độä y0 : B1: Tìm f ’(x) GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất -Lop12.net Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh (8) B2:Do tung độ là y0 f(x0)=y0 giải phương trình này tìm x0 f /(x0) B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có tung độ y0 là:y = f / (x ) (x–x0) + y0 4/ Bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán laø k: B1: Goïi M0(x0;y0) laø tieáp ñieåm B2: Heä soá goùc tieáp tuyeán laø k neân : f ( x0 ) =k (*) B3: Giaûi phöông trình (*) tìm x0 f(x0) phöông trình tieáp tuyeán Chuù yù: Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a=-1 5/ Đi qua điểm A(xA,yA) CI: b1: Gọi (d) là đường thẳng qua điểm A và có hệ số góc k Suy phương trình có dạng (d): y = k(x – xA) + yA b2: (d) tiếp xúc với (c) và hệ phương trình sau có nghiệm f ( x) k ( x x A ) y A f ' ( x) k Giải hệ tìm k suy phương trình tiếp tuyến C II : Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong C : y f x qua điểm A x A ; y A cho trước, kể điểm thuộc đồ thị hàm số b1 : Giả sử tiếp điểm là M x0 ; y0 , đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y f ' x0 x x0 y0 d b2: Điểm A x A ; y A d , ta được: y A f ' x0 x A x0 y0 x0 Từ đó lập phương trình tiếp tuyến d Ví duï : Cho đường cong (C) y = x3 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong : a.Taïi ñieåm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ –2 c.Tại điểm có tung độä –8 d Bieát raèng heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng Giaûi: Ta coù y’= 3.x2 x a/ Tieáp tuyeán taïi A(-1;-1) (C ) coù f’(x0)= 3.(-1)2 = phöông trình tieáp tuyeán laø: f(x ) y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) = 3.(x+1) + (-1) f(x ) b/ Ta coù x0= -2 Ph.trình tieáp tuyeán laø y= 12(x+2) – =12x + 16 f '(x ) 12 c/ Ta có tung độä y0= –8 f(x0)= -8 x0 =-8 x0=-2 f’(x0)=12 Phương trình tiếp tuyến laø: y= 12(x+2) – = 12x + 16 d/ Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng f’(x0)=3 x0 =3 x0= Với x0=1 f(x0)=1 Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 Với x0=-1 f(x0)= -1 Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2 Bài tập đề nghị: GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất -Lop12.net Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh (9) Bài 1: Cho hàm số y= x3 - 3x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoành độ = c/ Bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k= -3 d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x + 2009 e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= x + 2009 f/Bieát tieáp tuyeán ñi qua A(1;-2) 3x (c) Viết pttt với đồ thị (c) Baøi 2: Cho y x2 a/ Tại điểm có hoành độ – b/ Tại điểm có tung độ c/ biết hệ số góc Bài 3: Cho y x x 2, (c) Viết pttt với đồ thị (c) a/ Tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình y ' ' b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5y – 3x + = Bài 4: Cho y x x 2, (c) Viết pttt với đồ thị (c) các giao điểm ;2 , ;2 (3m 1) x m m ; (m 0) Xác định các giá trị m để giao điểm đồ thị với trục xm hoành, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x – 10 Viết pttt đó Bài 5: Cho y GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất -Lop12.net Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh (10) Chủ đề III: Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số 1/ GTLN và GTNN hàm số trên đoạn [ a; b] B1: Tìm các điểm x1, x2, … ,xn trên (a; b), đó y’=0 không xác định B2: Tính f(x1), f(x2), …, f(xn), f(a), f(b) B3: Kết luận GTLN =Max {f(x1), f(x2), , f(xn), f(a), f(b)}và GTNN=Min{f(x1), f(x2), … f(xn), f(a), f(b)} 2/ GTLN và GTNN hàm số trên đoạn (a; b) Lập bảng biến thiên và kết luận GTLN và GTNN 3/ Chú ý: - Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì max f(x) = f(b) và f(x) = f(a) - Nếu f(x) tăng trên đoạn [a; b] thì max f(x) = f(a) và f(x) = f(b) - Nếu f(x) liên tục khoảng (a; b) và có điểm cực trị x0 thuộc (a; b) thì f(x0) chính là GTNN GTLN - Có thể dùng BĐT để tìm GTLN và GTNN 4/ Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN hàm số y x x x trên đoạn [0; 4] Giải x 0; + Ta có y ' x 12 x , cho y ' x 12 x x 0; + f (1) 5, f (3) 1, f (0) 1, f (4) + Vậy max y 5, y 0; 0; Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN hàm số y 20 x 10 x 3x x Giải + TXĐ: D = R x 2 ; y ' 10 x 22 x + Ta có y ' 2 x 3x x 20 + Giới hạn lim y x + BBT x -2 + y/ + -0 + y 20 CT 20 CÑ 10 x 22 x Vậy max y 7,min y R R Bài tập đề nghị: Bài 1: Tìm GTLN và GTNN hàm số y x5 x3 trên đoạn 2;3 Bài 2: Tìm GTLN và GTNN hàm số y x3 x trên đoạn 0;3 Bài 3: Cho hàm số y x x , có đồ thị (C) Tìm GTNN và GTLN hàm số đã cho trên đoạn 1; 4 GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất -Lop12.net Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh (11) Bài 4: Tìm GTLN và GTNN hàm số y x x trên đoạn 0;3 8x Bài 5: Tìm GTLN và GTNN hàm số y x x 1 sin x Bài 6: Tìm GTLN và GTNN hàm số y sin x sin x Bài 7: Tìm GTLN và GTNN hàm số y 100 x trên đoạn 6;8 Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: b/ y= e-xcosx trên 0; a/ y= lnx– x c/ f(x) = x – e2x trên đoạn [1 ; 0] Bài 9: Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ và tính giá trị nhỏ :y =f(x)= lg2x + lg x 2 Bài 10: Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn hàm số f (x) x ln(1 2x) trên đoạn [-2; 0] (Đề thi TN THPT năm 2009) Chủ đề IV: Sự đồng biến và nghịch biến hàm số Tóm tắt lý thuyết: Định lý 1: Cho hàm f(x) có đạo hàm trên K ( K có thể là khoảng, đoạn nửa khoảng) a) f’(x)>0, xK y= f(x) tăng K b) f’(x)< 0, xK y= f(x) giảm K c) f’(x)=0, xK f(x) không đổi Định lý 2: y = f(x) có đạo hàm trên K.Nếu f ’(x) (f’(x) 0), x K và f ’(x) = số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số : + Tìm TXÐ ? + Tính đạo hàm : y/ = ? Tìm nghiệm phương trình y/ = ( có ) + Lập bảng BXD y/ (sắp các nghiệm PT y/ = và giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần Nếu y/ > thì hàm số tăng, y/ < thì hàm số giảm ) + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng II/ Bài tập A/ Bài tập mẫu : 1/ Xét đồng biến, nghịch biến các hàm số: a) y= –2x3 +9x2 +24x –7 x2 x b) y 1 x Giải: a) Miền xác định: D= x 1 y 6 x 18 x 24 , cho y x Bảng biến thiên: x – –1 y – + + – y Hàm số nghịch biến các khoảng: (; 1),(4; ) Hàm số đồng biến khoảng: (–1;4) b) Miền xác định: D= \ 1 y x2 2x 1 x x x , cho y GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất -Lop12.net Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh (12) x Bảng biến thiên: y – + + + – y Hàm số đồng biến các khoảng: (0;1), (1;2) Hàm số số nghịch biến các khoảng: (;0),(2; ) Ví dụ : Định m để hàm số: y= x3– 3mx2+ (m+2)x– m đồng biến trên Giải: Miền xác định: D= y = 3x2– 6mx+ m+ = 9m2– 3m– Bảng xét dấu: m + – Ta phân chia các trường hợp sau: + + m 1 Ta có: y 0, x hàm số đồng biến trên Nếu m Nếu m Ta có: > phương trình y =0 có nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1< x2) Bảng biến thiên: x x1 x2 + y + – + y Hàm số không thỏa tính chất luôn luôn đồng biến trên Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là: m 1 B/ Bài tập tự giải Bài Xét tính đơn điệu hàm số a) y = f(x) = x3+3x2+1 c) y = f(x) = x3 x2 b) y = f(x) = 2x2- x4 d) y = f(x) = x 4x 1 x e) y = f(x) = x+2sinx trên (- ; ).f) y = f(x) = xlnx g) y = f(x) = x (x 5) h) y= f(x) = x33x2 i) y f(x) x 3x x 1 j) y= f(x) = x42x2 k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2] 1 Bài a/ Định m đề hàm số y x x (m 1x luôn luôn đồng biến trên TXĐ 3 b/ Định m đề hàm số y x mx 3mx luôn luôn nghịch biến trên TXĐ m Bài Định m đề hàm số y x x m luôn luôn đồng biến trên 1; mx Bài Định m đề hàm số y luôn luôn nghịch biến trên TXĐ xm GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất -Lop12.net Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh (13) Chủ đề V: Cực trị I/Tóm tắt lý thuyết: Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị x0 và có đạo hàm x9 thì f/(x0)=0 Daáu hieäu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (x0 – h; x0 + h) với h > +Nếu y/ đổi dấu từ dương sang âm qua x0 hàm số đạt cực đại x0, +Nếu y/ đổi dấu từ âm sang dương qua x0 hàm số đạt cực tiểu x0 Qui tắc tìm cực trị = dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Tính : y/ = , tìm nghiệm ptr y/ = Tính giá trị hàm số các nghiệm vừa tìm (nếu có) + BBT : (sắp các nghiệm PT y/ = và giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Kết luận cực trị ? Chú ý: 1) Nếu hàm số luôn tăng ( giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b) 2) Số cực trị hàm số số nghiệm đơn phương trình y/ = y / (x ) 3) Nếu f(x) có đạo hàm x0 và đạt cực trị x0 / y (x) đổi dấu qua x Daáu hieäu II: Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II (a;b), x0 (a;b) y / (x ) +Nếu thì hàm số đạt cực tiểu x0 // y ( x ) / y (x ) +Nếu thì hàm số đạt cực đại x0 // y ( x ) Qui tắc tim cực trị = dấu hiệu II: + MXÐ + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = => các nghiệm x1 , x2 … ( có ) + Tính y// = ? y//(xi), i 1, n Nếu y//(xi) > thì hàm số đạt CT xi Nếu y//(xi) < thì hàm số đạt CĐ xi Chú ý : dấu hiệu II dùng cho trường hợp mà y/ khó xét dấu *Cực trị hàm hữu tỉ : Nếu h/s y u ( x) đạt cực trị x0 thì y/(x0)= và giá trị cực trị y(x0) = v( x) u(x ) v(x ) a * Điều kiện để hàm bậc có cực trị (có cực đại,cực tiểu): y’= có hai nghiệm phân biệt *Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại, cực tiểu): y’= có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm mẫu * Điều kiện để hàm bậc có cực trị : y/ = có nghiệm phân biệt II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Áp dụng quy tắc 1/ Tìm các điểm cực trị các hàm số sau: a) y= –x4+ 2x2– b) y= e–x(x2– 3x +1) Giải: a) Miền xác định: D= y = – 4x3+ 4x= 4x(–x2+ 1) GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất -Lop12.net Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh (14) x y = x x 1 Bảng biến thiên: x y –1 –2 + y – 0 + –2 + – –3 Điểm cực đại: A(–1;–2), B(1;2) Điểm cực tiểu: C(0;–3) b) Miền xác định: D= y = –e–x(x2– 3x +1)+ e–x(2x–3) = e–x(–x2+5x–4) x y = x Bảng biến thiên: x y – + – e4 y Áp dụng quy tắc e 2/ Tìm các điểm cực trị hàm số: y= x– 2sin2x Miền xác định: D= y = 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x x k 12 k y =0 sin2x= x 5 k 12 y = – 4cos2x y k 4 cos k 2 = –2 <0 Vậy: x k , k là điểm cực đại 12 12 6 5 5 5 y k cos k 2 = >0 Vậy: x k , k là điểm cực tiểu 12 12 Các bài toán có tham số Bài Với giá trị nào tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu 1) y m 2 x 3x mx m x 2m x m 2) y x 1 Giải GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất -Lop12.net Trường THPT Quang Trung Gò Dầu - Tây Ninh (15) Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh 1) y m x3 3x mx m Tập xác định: D Đạo hàm: y ' 3 m 2 x2 6x m hay g x m x x m có hai nghiệm phân biệt Hàm số có cực đại và cực tiểu y ' m m 2 m Vậy giá trị cần tìm là: m và ' 3m m m 2m m 3 m x 2m x m 2) y x 1 Tập xác định: D \ 1 Đạo hàm: y ' x 2 x m x 1 Hàm số có cực đại và cực tiểu y ' g x x 2x m 2 có nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu qua nghiệm đó hay có hai nghiệm phân biệt khác –1 ' m2 1 m2 g m m m Vậy giá trị cần tìm là: m Bài Định m để hàm số y = f(x) = x3 mx2+(m+3)x5m+1 đạt cực đại x=1: Giải: Txđ: D=R f ’(x)= x2 – 2mx + m+3 * Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại x=1: f ’(1) = 4-m = m = x x * Điều kiện đủ: Với m=4 thì f ’(x)= x2 – x + cho f ’(x)= x2 – x + = x - y’ + y - CĐ + + CT Vậy m=4 thì hàm số đạt cực đại x=1 B/ Bài tập tự giải: 1/ Tìm các điểm cực trị các hàm số sau: a) y x x 15 x d) y x x b) y= x x3 9x2 e) y e x 4e x c) y= 2sinx +cos2x trên 0;2 f) y = x + sìn2x 2) Định m để hàm số y x mx m 1x đạt cực đại x = 3) Định m để hàm số y x 3mx x có cực đại và cực tiểu 4) Định m để hàm số y x m 1x x không có cực trị 5) Định m để hàm số y (m 2) x3 x mx có cực đại và cực tiểu 15 Lop12.net (16) Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh x 2ax 6) Định a để hàm số y đạt cực tiểu x = xa ] Chủ đề VI: Phương trình, bất phương trình mũ loga Kiến thức lũy thừa : 1./ Cho a 0, ta có: a 1; a -n n a m m m m (m,n Z, n>0 và tối giản) , ta có a n n a n n 3./ Các qui tắc luỹ thừa : Cho a, b,α,β R; a>0, b>0 , ta có α aα α β α β α β α.β α β aβ + a a a +a β +a a a α α a a α α α + a b (a.b) + α b b 2./ Cho a 0, r Kiến thức loga : 1./ Định nghĩa: a 0, a 1, M : loga M N M a N Suy : loga 0, loga a 2./ Các tính chất và qui tắc biến đổi loga: Cho a 0, a 1, M , N ta có + a loga M M M loga M loga N N + loga M N loga M loga N + loga + loga b.logb M loga M logb M + loga b + loga b loga b ; 0, b + loga (a ) loga M ; a, b 1 loga b ; b 1 logb a 1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit : a/ Phöông trình muõ- loâgarít cô baûn : Daïng ax= b ( a> , a ) b : pt voâ nghieäm b>0 : a x b x log a b Daïng log a x b ( a> , a ) b/Baát phöông trình muõ- loâgarít cô baûn : Daïng ax > b ( a> , a ) b : Bpt coù taäp nghieäm R b>0 : a x b x log a b , a>1 Ñieàu kieän : x > log a x b x a b Daïng log a x b ( a> , a ) 16 Lop12.net Ñieàu kieän : x > log a x b x a b , a >1 (17) Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh a x b x log a b , < a < log a x b x a b , < x < Bài tập đề nghị: Phöông trình muõ: f (x) o Daïng Ñöa veà cuøng cô soá : a = Baøi : Giaûi caùc phöông trình sau a) x d) x x 8 b) x2 6 x a g(x) (a>0, ≠1) c) 32 x 3 x 3 x 5 x 5 x 17 f) 32 x 7 128 x 3 g) (1,25)1 – x = (0, 64) 2(1 16 e) 52x + – 52x -1 = 110 413 x f(x) = g(x) f) 2x + 2x -1 + 2x – = 3x – 3x – + 3x - x) Daïng ñaët aån phuï a 2f (x) a f (x) a + a + b 2f (x) f (x) f (x) + =0 ; Ñaët : t = a + = ; ( với a.b=1) + a.b f (x) + b f (x) Ñk t > Ñaët : t = a a b 2f (x) f (x) c) e) x – 53 x 20 f (x) f (x) b) 92x +4 - 4.32x + + 27 = x 110.5x + – t =b = ; Ñaët t = Baøi : Giaûi caùc phöông trình a) 22x + + 22x + = 12 52x + (Ñk t > 0) 5 2 d) 2 5 75 = f) 15 x 15 x 2 h) 32 x 1 9.3x i) x 2.71 x (TN – 2007) x1 g) 0 5 x 52 10 x j) 25 x 6.5 x (TN-2009) Daïng Logarit hoùaï: af(x)=bg(x) ( a, b>0, ≠1) f(x)=g(x) logab Baøi Giaûi caùc phöông trình a) 2x - = b) 3x + = 5x – c) 3x – = x 7 x 12 x 1 d) x x 5 x e) x.8 x 500 f) 52x + 1- 7x + = 52x + 7x Dạng sử dụng tính đơn điệu Baøi 4: giaûi caùc phöông trình a) 3x + x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) + 3x/2 = 2x Phöông trình logarit f (x) g(x) o Daïng Ñöa veà cuøng cô soá: log a f(x) = log a g(x) f (x) g(x) Nếu chưa có dạng này công việc đầu tiên là đặt điều kiện cho các biểu thức dấu loga có nghĩa giải Baøi 5: giaûi caùc phöông trình a) log4(x + 2) – log4(x -2) = log46 c) log4x + log2x + 2log16x = e) log3x = log9(4x + 5) + ½ g) log2(9x – 2+7) – = log2( 3x – + 1) h) log x log x log b) lg(x + 1) – lg( – x) = lg(2x + 3) d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = f) log4x.log3x = log2x + log3x – Daïng ñaët aån phuï 17 Lop12.net (18) Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh Baøi 6: giaûi phöông trình 1 a) ln x ln x c) logx + 17 + log9x7 = b) logx2 + log2x = 5/2 e) log1/3x + 5/2 = logx3 g) log 2 x log x log x f) 3logx16 – log16x = 2log2x h) lg x2 16 l o g x 64 Daïng muõ hoùa Baøi 7: giaûi caùc phöông trình a) – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x – 8) = – x d) log2x + 10 log x Baát phöông trình muõ: a f (x) > a g(x) f (x) g(x) a f (x) g(x) a Baøi 8: Giaûi caùc baát phöông trình a) 16x – ≥8 1 b) 3 x c) x x 9 x 15 x 1 1 d) e) 2 Baøi 9: Giaûi caùc baát phöông trình x2 x 23 x f) 52x + > 5x 1 1 2 a) 22x + + 2x + > 17 b) 52x – – 2.5x -2 ≤ c) x x d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x e) 16x – 24x – 42x – ≤ 15 f) 4x +1 -16x ≥ 2log48 g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x Baøi 10: Giaûi caùc baát phöông trình a) 3x +1 > b) (1/2) 2x - 3≤ c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - x – 2) Baát phöông trình logarit: log f ( x ) loga g( x ) g( x ) log f ( x ) loga g( x ) f ( x ) * a * a a 0 a f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) Nếu chưa có dạng này công việc đầu tiên là đặt điều kiện cho các biểu thức dấu loga có nghĩa giải Baøi 11: Giaûi caùc baát phöông trình a) log4(x + 7) > log4(1 – x) c) log2( x2 – 4x – 5) < e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 3x 1 g) log x2 Baøi 12: Giaûi caùc baát phöông trình a) log22 + log2x ≤ c) log2 x + log2x ≤ e) log x 2.log x 16 log x Baøi 13 Giaûi caùc baát phöông trình a) log3(x + 2) ≥ – x c) log2( – x) > x + b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – d) log1/2(log3x) ≥ f) log2x(x2 -5x + 6) < b) log1/3x > logx3 – 5/2 1 1 d) log x log x f) log (3x 1).log ( 3x ) 16 b) log5(2x + 1) < – 2x d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 18 Lop12.net (19) Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh Chủ đề VII: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I/TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ: 1/Các kiến thức cần nắm vững : - Các định nghĩa nguyên hàm và họ nguyên hàm, các tính chất nguyên hàm - Bảng nguyên hàm thường dùng Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp : dx x C x dx k.dx k.x C (ax b) 1 C (a 0, 1) a ( 1) ln ax b dx ax b a C (a 0, ax b 0) 1 b (ax b)2 dx a(ax b) C ( x a ; a 0) x 1 C ( 1) 1 (ax b) dx dx ln x C ( x 0) x 1 x dx x C ( x 0) e dx e x x eax+b e dx a C a bx c bx c a dx C (0 a 1, b 0) b.ln a cos(ax b) C sin(ax+b).dx a sin(ax+b) cos(ax+b).dx= a + C dx tan(ax b) cos2 (ax b) a C dx cot(ax b) sin (ax b) a C C (ax+b) ax C (0 a 1) ln a sinx.dx cos x C x a dx cosx.dx= sinx + C dx cos x tan x C dx sin x cot x C 2/Một số dạng toán thường gặp: Daïng 1: Tìm nguyeân haøm cuûa moät haøm soá baèng ñònh nghóa vaø tính chaát Phöông phaùp giaûi: Thường đưa nguyên hàm đã cho nguyên hàm tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết Ví duï: Tìm nguyeân haøm caùc haøm soá sau: a) f(x) = x3 – 3x + b) f(x) = x + x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx x Giaûi f ( x )dx (x - 3x + )dx a/ x x dx xdx (2 + ) dx b/ f ( x )dx x x dx x dx x 19 Lop12.net dx x 2x ln x4 3x c ln 3 x ln x c (20) Giáo viên biên soạn: Nguyễn Năng Suất – THPT Quang Trung – Goø Daàu – Taây Ninh (5x+ 3)5 dx f ( x )dx c/ (5 x 3)6 c 30 sin x sin x d (sin x ) c (5x+ 3)5 sin x cosxdx f ( x )dx d/ d (5 x 3) Dạng 2: Tìm nguyên hàm hàm số thoả điều kiện cho trước Phương pháp giải: B1: Tìm họ nguyên hàm hàm số đã cho B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm C thay vào họ nguyên hàm nguyên hàm cần tìm Ví dụ: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( )= Giải Ta coù F(x)= x – cos3x + C Do F( ) = - cos + C = C = - 6 Vaäy nguyeân haøm caàn tìm laø: F(x)= x – cos3x Bài tập đề nghị: Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x)=sin2x.cosx, bieát giaù trò cuûa nguyeân haøm baèng x= Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) = e1-2x , bieát F( ) x 3x 3x 1 Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) = , bieát F( 1) x 2x II/ CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN : 1/Các kiến thức cần nắm vững : Bảng nguyên hàm thường dùng Ñònh nghóa tích phaân, caùc tính chaát cuûa tích phaân Caùc phöông phaùp tính tích phaân 2/Một số dạng toán thường gặp: Daïng 1: Tính tích phaân baèng ñònh nghóa vaø tính chaát Phöông phaùp giaûi: Thường đưa tích phân đã cho tích phân tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết Ví duï: Tìm tích phaân caùc haøm soá sau: ( x 1)dx a/ b/ ( 4 1 3sin x )dx cos2 x c/ x dx 2 Giaûi (x a/ 1 1)dx = 3 1dx ( x dx 1 b/ ( 3sin x )dx cos x 4 x 4 4 x) ( 1 81 3) ( 1) 24 4 dx sin xdx cos2 x 20 Lop12.net (4tgx cos x ) 4 (21)