Tài liệu ôn thi tốt nghiệp lý thuyết đạo hàm
Lý thuyết đạo hàmI Định nghĩa đạo hàm 1) Đạo hàm tại 1 điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 khi x0 nhận một số gia Δx thì y0 = f(x0) nhận một số gia tương ứng là Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)Nếu lim (Δy/Δx) tồn tại thì ta gọi đó là đạo hàm của hàm số f tại x0. Ký hiệu f'(x0) :Δx→0f'(x0) = lim (Δy/Δx) = lim [f(x0 + Δx) - f(x0)]/ΔxΔx→0 Δx→0Nếu đặt x = x0 + Δx thì Δx → 0 tức x → x0 và ta có:Đạo hàm 1 phía a) Bên phảib) Bên trái2- Đạo hàm trên một khoảng, một đoạnf(x) có đạo hàm trên (a;b) ↔ f(x) có đạo hàm tại mọi x thuộc (a;b)f(x) có đạo hàm trên [a;b] ↔ f(x) có đạo hàm trên (a;b), f'(a+) và f'( tồn tại3-Quan hệ giữa đạo hàm và liên tục của hàm sốCho hàm số có đạo hàm tại xo =>hàm liên tục tại đó không có dấu chỉ chiều ngược lại 4-Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì tại điểm đó đồ thị của nó có tiếp tuyến dạng :5/ Các công thức đạo hàm cơ bảnCho hàm u ,v ta có các công thức sau :II. ĐẠO HÀM CẤP CAO - VI PHÂN1/ Đạo hàm cấp caoGiả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y' = f'(x). Đạo hàm cấp n (nếu có) của f(x) được xác định một cách quy nạp như sau :[f'(x)]' = f''(x) = f(x)(2) : đạo hàm cấp 2 của f(x)[f''(x)]' = f'''(x) = f(x)(3) : đạo hàm cấp 3 của f(x)[f'''(x)]' = f''''(x) = f(x)(4) : đạo hàm cấp 4 của f(x) .[f(x)(n-1)]' = f(x)(n) : đạo hàm cấp n của f(x)2/ Vi phânCho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0. Gọi Δx là số gia của biến số tại x0. Tích f'(x0).Δx được gọi là vi phân của hàm số f tại x0 ứng với số gia Δx (vi phân của f tại x0). Ký hiệu : df(x0) = f'(x0).ΔxNếu lấy f(x) = x thì df = dx = (x)'.Δx = Δx. Do đó ta thay Δx = dx và có : df(x0) = f(x0)dxTổng quát : df(x) = f'(x)dxIII- Một số bài toán về tính đạo hàmTài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học Ví dụ 1:Tính đạo hàm cấp 1 của Riêng về những dạng đạo hàm thì không thể dùng những phương pháp thông thường được ,Ta cần ln hai vế Sau đó đạo hàm hai vế lúc đó ta có :Từ đó ==> đạo hàm cần tìmIV. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM1/ Tính đơn điệu của hàm sốa/ Điều kiện cần của tính đơn điệuCho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)f(x) tăng trên (a;b) → f'(x) ≥ 0, với mọi x thuộc (a;b)f(x) giảm trên (a;b) → f'(x) ≤ 0, với mọi x thuộc (a;b)b/ Điều kiện đủ của tính đơn điệuCho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)f'(x) > 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) tăng trên (a;b)f'(x) < 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) giảm trên (a;b)c/ Hàm hằngf là hàm hằng trên (a;b) ↔ f'(x) = 0, với mọi x thuộc (a;b)2/ Chứng minh bất đẳng thứca/ Định lý Lagrange: Nếu f là hàm liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại ít nhất một số c thuộc (a;b) sao cho * Ý nghĩa hình học : Trên cung AB của đồ thị hàm f, tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng AB* Áp dụng : Nếu f'(x) bị chặn trong khoảng (a;b), tức tồn tại 2 số m, M sao cho :m < f'(x) < M, với mọi x thuộc (a;b) → tồn tại c : m < f'(c) < MSuy ra : b/ Tính đơn điệu hoặc bảng biên thiên- Khảo sát sự biến thiên của hàm f- Dựa vào bảng biến thiên, rút ra đpcm (có thể dùng f'' để xét dấu f')3/ Biện luận phương trình và bất phương trìnha/ Phương trình f(x) = m- Phương trình f(x) = m là phương trình hoàng độ điểm chung của đường thẳng (d): y = m và đồ thị hàm số (C): y = f(x)- Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của (d) và (C)- Dựa vào bảng biến thiên của hàm f và giá trị của m, kết luận số điểm chung, tức số nghiệm của phương trình- Một cách tổng quát: phương trình f(x) = m có nghiệm ↔ m thuộc MGT của f b/ Bất phương trình f(x) < mGọi D là MXĐ của f(x)- Nghiệm của bất phương trình f(x) < m là hoành độ các điểm thuộc đồ thị (C): y = f(x) nằm dưới đường thẳng (d): y = m- Bất phương trình f(x) < m có nghiệm ↔ có một phần của đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng (d)- Bất phương trình f(x) < m thỏa với mọi x thuộc D ↔ toàn bộ đồ thị (C) nằm dưới đường Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học thẳng (d)** Tương tự với các bất phương trình : f(x) > m , f(x) ≤ m, f(x) ≥ m BÀI TẬP ĐẠO HÀMBài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y =2x 1− tại x0 = 5Giải: Tập xác định D =1x : x2 ≥ • Với ∆x là số gia của x0 = 5 sao cho 5+ ∆x ∈∆ thì•∆y =2(5 x) 1+ ∆ −-10 1−• Ta có:yx∆∆=9 2 x 9x+ ∆ −∆Khi đó: y’(5)= x 0ylimx∆ →∆∆=( ) ( )( )x 09 2 x 3 9 2 x 3limx 9 2 x 3∆ →+ ∆ − + ∆ +∆ + ∆ +• =( )x 09 2 x 9limx 9 2 x 3∆ →+ ∆ −∆ + ∆ +=( )x 02lim9 2 x 3∆ →+ ∆ +=13Bài 2 : Chứng minh hàm số xyx 1=+ liên tục tại x0 = 0, nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.HD: Chú ý định nghĩa: x=x ,neáu x 0-x ,neáu x<0≥Cho x0 = 0 một số gia ∆x∆y = f(x0+∆x) –f(x0) = f(∆x) –f(0) =xx 1∆∆ +yx∆∆=( )xx x 1∆∆ ∆ +• Khi ∆x →0+ ( thì ∆x > 0) Ta có: x 0ylimx+∆ →∆∆= ( )x 0xlimx x 1+∆ →∆∆ ∆ +=( )x 01limx 1+∆ →∆ +=1Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =2x ,,− ≥neáu x 0x neáu x<0a) Cm rằng hàm số liên tục tại x = 0b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm x = 0 hay không ? Tại sao?Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =2(x 1) ,n,n− ≥2eáu x 0-x eáu x<0 không có đạo hàm tại x = 0. Tại x = 2 hàm số đó có đạo hàm hay không ?Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =2(x 1) ,,2neáu x 0(x+1) neáu x<0− ≥không có đạo hàm tại x0 = 0, nhưng liên tục tại đó.HD:a) f(0) = (0-1)2 = 1;x 0ylimx+∆ →∆∆= -2; x 0ylimx−∆ →∆∆= 2⇒x 0ylimx+∆ →∆∆≠x 0ylimx−∆ →∆∆ ⇒ hàm số không có đạo hàm tại x0 = 0b) Vì x 0lim f (x)+∆ →=1; x 0lim f (x)−∆ →=1; f(0) = 1 ⇒x 0lim f (x)+∆ →=x 0lim f (x)−∆ →= f(0) = 1⇒hàm số liên tục tại x0 = 0Bài 6: Cho hàm số y = f(x) =cos x,sin xNeáu x 0Neáu x<0≥−a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0.b) Tính đạo hàm của f(x) tại x =4πHD:a) Vì x 0lim f (x)+→=x 0lim cos x+→=1 và x 0lim f (x)−→=x 0lim( sin x)−→−= 0; f(0) = cos0 = 1 ⇒x 0lim f (x)+→≠x 0lim f (x)−→⇒ hàm số không liên tục tại x0 = 0 (hàm số gián đoạn tại x0 = 0)Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau:1. y = (2x-3x+3)(2x+2x-1); Đs: y’ = 4x3-3x2 – 8x+ 92. y = (3x-3x+2)(4x +2x -1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x3. Tìm đạo hàm của hàm số: y =( )23x x 1x + − Giải: y’ =( )23x ' x 1x + − +( )23x x 1 'x + − =( )223 x 1x − + − =2 13xx2 x + =( )223 x 1x − + − +1 3xx x 2 x+3. y = ( )1x 1 1x + − Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học 4. y = ( )()323x 2 1 x 3x+ + +5. y = (2x-1)(2x-4)(2x-9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x6. y = (1+x)(1+2x)(1+3x)7. y =1 x1 2x++8. y =331 2x1 2x−+9. y =x 1x 1+−; Đs:-31(x 1)(x 1)+ −10. y =221 x1 x−+; Đs:-2 2 32x(1 x )(1 x )− +11. y = cos21 x1 x − + ; Đs:21 1 xsin 2x(1 x ) 1 x − + + 12. y = (1+sin2x)4; Đs:2 3(1 sin x) sin 2x+13. y =sin2(cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x14. y =sin x cos xsin x cos x−+; Đs:22(sin x cos x)+15. y =2sin 3xsin x.cos x518) y = f(x) = x1 cos x−; y’ = ( )21 cos x xsin x1 cos x− −−519) y = f(x) = tan xx; y’ = 2 2x sin x cos xx cos x−522) y = f(x) = sin x1 cos x+; y’ = 11 cos x+523) y = f(x) =xsin x cos x+; y’ = sin x cos x x(sin x cos x)1 sin 2x+ + −+526) y = f(x) = 41tan x4; y’ = tan3x.21cos x527) y = f(x) = cosx31cos x3−; y’ = -sin3x528) y = f(x) = 3sin2x –sin3x; y’ = 3sin 2x(2 sin x)2−529) y = f(x) = 13tan3x –tanx + x; y’ = tan4xTài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học 535) y = f(x) = tanx 12+; y’ = 21x 12cos2+539) y = f(x) = cos34x; y’ = -12cos24x.sin4x544) y = f(x) = 11 tan xx + + ; y’ = 22 2x 11 12x cos x 1 tan xx x− + + + 672) y = f(x) = 3cos2x –cos3x; y’ = 32sin2x(cosx-2)682) y = f(x) = 22sin xcos2x; y’ = 22sin 2xcos 2x684) y = f(x) = x xtan cot2 2x+; y’ = 2 22(x cos x sin x)x sin x+−685) y = f(x) = 2x xsin cot3 2; y’ = 1 x 2xcot sin3 2 321 xsin2 2−….689) y = f(x) = 2 41 tan x tan x+ +; y’ = 22 2 4tan x(1 2 tan x)cos x 1 tan x tan x++ +694) y = f(x) = 6 81 1sin 3x sin 3x18 24−; y’ = sin53xcos33x705) y = f(x) = cosx.()21 sin x+; y’ = 322sin x1 sin x−+706) y = f(x) = 0.422x 1cos sin 0.8x2+ − ; y’ = -0.82x 1cos sin 0.8x2+ − 2x 1sin cos0.8x2+ + 713) y = f(x) = 211 sin x+; y’ =( )32sin 2x2 1 sin x−+721) y = f(x) = sin2x.sinx2; y’ =2sinx(xsinx.cosx2+cosx.sinx2)722) y = f(x) = 2cos xcos2x; y’ =2sin xcos2x cos 2xTài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học BÀI TẬP ĐẠO HÀM BỔ SUNG1.Tìm đạo hàm của hàm số: y = xcot2x Giải: y’ = (x)cot2x+x(cot2x)’ =12 xcot2x 22 xsin 2x−2. Tìm đạo hàm của hàm số: y = 3sin2xcosx+cos2xy’ = 2(sin2x)’cosx+3(sin2x)(cosx)’+(cos2x)’= 6sinxcos2x-3sin3x-2cosxsinx =sinx(6cos2x-3sin2x-2cosx)3. Cho hàm số : y =2xx x 1+ +Tìm TXĐ và tính đạo hàm của hàm số ? TXĐ: D = Ry’ = 2222x 1x x 1 x.2 x x 1x x 1++ + −+ ++ += ( )2322(x x 1) x(2x 1)x x 1+ + − ++ +=…Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:a) y = sin6x + cos6x +3sin2xcos2x;HD: Cách 1: y = (sin2x)3+(cos2x)3+3sin2xcos2x= (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) +3sin2xcos2x= [(sin2x)2+[(cos2x)2+2sin2xcos2x-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x=[(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x= 1⇒y’ = 0 (đpcm)Cách 2:y’ = 6sin5x.(sinx)’ +6cos5x.(cosx)’+3[(sin2x)’.cos2x+sin2x(cos2x)’]= 6sin5x.cosx -6cos5x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos2x+sin2x.2cosx.(cosx)’]= 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 3[2sinx.cosx. cos2x-sin2x.2cosx.sinx]= 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 6sinx.cosx(cos2x – sin2x)Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học b) y = cos2x3π − +cos2x3π + +cos22x3π − +cos22x3π − -2sin2x.Bài : Cho hàm số y = f(x) = 2cos2(4x-1) a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x)Bài : Cho hàm số y = f(x) = 3cos2(6x-1)a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x)Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình :a) y =22x x−; y3y"+1 = 0. b) y = e4x+2e-x; y''' –13y' –12y = 0. c) y = e2xsin5x; y"-4y'+29y = 0d) y = 3x[cos(lnx)+sin(lnx)]; 2xy"-5xy'+10y = 0. e) y =()22x x 1+ +; (1+2x)y"+xy'-4y = 0Bài : Cho hàm số y= f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x. 1/. Tính f’(x) và f”(x), từ đó tính f’(0) và f”(π). 2/. Giải phương trình f”(x) = 0.Bài : Cho hàm số y = f(x) = x 12−cos2xa) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0Bài : Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng: f(x) = 3x+60x364x−+5; b) f(x) = sin 3x3+cosx-3cos3xsin x3 + Giải: f’(x) = 3260x−+2664.3xx== 3260x−+464.3x== 32 420 641x x − + f’(x) = 0 ⇔2 420 641x x − + = 0⇔x4-20x2+64 = 0 (x ≠0) ⇔ …{ }2; 4± ±Tài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học . tính đạo hàmTài liệu ôn thi tốt nghiệp và đại học Ví dụ 1:Tính đạo hàm cấp 1 của Riêng về những dạng đạo hàm thì không thể dùng những phương pháp thông. :5/ Các công thức đạo hàm cơ bảnCho hàm u ,v ta có các công thức sau :II. ĐẠO HÀM CẤP CAO - VI PHÂN1/ Đạo hàm cấp caoGiả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y'