Một đường tròn có bán kính 25cm.. Trên đường có bán kính 30cm.. Hỏi trong 40 phút đầu kim giờ vạch cung tròn có độ dài bao nhiêu mét, đầu kim phút vạch cung tròn có độ dài bao nhiêu mét
Trang 1§1.CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
Dạng 1 ĐỔI ĐƠN VỊ ĐO
0
180rad
π
π
Bài 1.Đổi số đo radian của cung tròn sang số đo độ
2 , 4 ) f
; 3 , 2 ) e
; 7
3 ) d
; 6
11 ) c
; 3
2
)
b
;
4
3
)
a π π π π
Bài 2 Đổi số đo độ của cung tròn sang số đo radian
a) 450; b) 1500; c) 720; d) 750
Dạng 2.TÍNH ĐỘ DÀI CỦA CUNG TRÒN CÓ SỐ ĐO ĐÃ CHO
Độ dài l của cung tròn có số đo α rad, bán kính R: l=R.α
Bài 1 Một đường tròn có bán kính 25cm Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo
0
c/49 3
4 b/ ;
;
7
3
/
a π
Bài 2 Trên đường có bán kính 30cm Tìm tọa độ của các cung trên đường tròn đó có số đo
0
c/33 b/2,5;
;
7
2
/
Bài 3.Kim giờ và kim phút của một đồng hồ lớn có độ dài lần lượt là 1,65cm và 2,25 cm Hỏi
trong 40 phút đầu kim giờ vạch cung tròn có độ dài bao nhiêu mét, đầu kim phút vạch cung tròn có
độ dài bao nhiêu mét ?
Dạng 3 BIỂU DIỄN CUNG LƯỢNG GIÁC TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC
Bài 1 Trên đường tròn lượng giác, tìm tọa độ của điểm cuối M của cung lượng giác AM có số đo
tương ứng là
0
0 d/ - 330 c/495
4
19
;
3
/
Bài 2 Trên đường tròn lượng giác cho cung lượng giác AM có số đo tương ứng là
a/ 2,5 b/ 3,24 c/ -4,23 d/ -6,15
Xác định xem điểm cuối M của các cung đó nằm trong phần tư nào của đường tròn lượng giác
Bài 3 Trên đường tròn lượng giác, xác định các điểm M khác nhau, biết rằng cung lượng giác AM
có số đo tương ứng là
4 b)k π π
π
k
2
)
a
với k là số nguyên
Trang 2BTĐS 10CB Trần Văn Thanh
§ 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
I/GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG α
1/ Định nghĩa
OK
α
α
=
α
cos
sin
α
α
= α
sin
cos cot
2/ Hệ quả
(1) cos ( α + k 2 π ) = cos α ; sin ( α + k 2 π ) = sin α
(2) − 1 ≤ cos α ≤ 1 ; − 1 ≤ sin α ≤ 1
(3) Với mọi m∈R mà – 1 ≤ m≤ 1 đều tồn tại α và β sao cho sinα = m và cosβ =m
(4) tanα xác định với mọi k , k Z
2 + π ∈
π
≠ α
(5) cotα xác định với mọi α ≠ k π , k ∈ Z
(6) Dấu các giá trị lượng giác
-3/ Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
6
π
4
π
3
π
2
π
1
2
2
2
3
1
3
2
2
2
1
0
1
0
II/ Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG
III/ QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
1/ Công thức lượng giác cơ bản
• cos2α + sin2α = 1
Trang 3• k , k Z
2
, cos tan
α
= α +
sin
1 cot
α
= α +
2
k , 1 cot
tan α α = α ≠ π ∈
2/ Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a/ Cung đối nhau : α và –α
cos(-α)= cosα sin(-α)= - sinα
tan(-α)= - tanα cot(-α)= - cotα
sin(π + α)= - sinα cos(π + α) = -cosα
tan(π + α) = tanα cot(π + α) = cotα
d/ Cung phụ nhau:α và π − α
2
α
=
π − α cos
2
π − α sin
2 cos
α
=
π − α cot
2
tan = α
π − α tan
2 cot
Dạng 1.TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
7500, - 2250
Bài 2.Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị lượng giác sin, cosin, tan của các số đo sau:
6
17
;
3
11 π π
-Dạng 2 XÁC ĐỊNH DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Bài 1 Xác định dấu các số sau
a) sin 1730 ; b) cos( -700) ; c) tan 5370 ; c) tan (-3850)
Bài 2.Cho π < α < π
2 Xác định dấu của giá trị lượng giác
α − π α
+ π
π − α
α + π
2
;
;
3
; 2
cos
)
2 b)sin
Bài 3.Cho
2
3 π
<
α
<
π Xác định dấu của giá trị lượng giác
( α + π )
π − α
π + α
2
3 c)tan 2
; 2
cos
)
a
Trang 4BTĐS 10CB Trần Văn Thanh
Dạng 3 TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC MỘT GÓC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC ĐÓ
Bài 1.Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu
2
3 ,
5
2 sin
)
a α = − π < α < π
; α = π < α < 2 π
2
3 , 8 , 0 cos ) b 2
0 , 8
13
tan
)
c α = < α < π
; α = − π < α < π
2
, 7
19 cot
) d
Bài 2.Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu
π
<
α
<
π
=
α
2
, 3
2
sin
)
a ;
2
3 ,
4
1 cos
)
b α = − π < α < π
2 0
, 3
7
tan
)
c α = < α < π
; α = − π < α < 2 π
2
3 , 9
14 cot
) d
2
, 4
3 sin Tính giá trị các biểu thức :
α
− α
α +
α
= α
+ α
α
− α
=
cot tan
cot cos
B ) b
; tan cos
cot 3 tan
2
A
)
a
2 2
-Dạng 4 CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 1.Chứng minh các công thức sau
α α
= α
− α α
α
−
= α + α
α + α α
− α
=
α
+
α
2
2
sin tan sin
tan ) c
; cos sin 1 cos sin
cos sin
) b
; sin cos
tan
1
tan
1
)
a
Bài 2.Chứng minh các công thức sau
2 2
6
1
c
d
α α
α α
= +
Bài 3.Chứng minh các công thức sau
α
= α
−
α + + α
+
α
−
α + α
=
− α
α + α
− α
−
α
α
sin
2 cos
1
cos 1 cos
1
cos
1
)
b
cos sin
1 tan
cos sin
cos
sin
sin
)
Bài 4.Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a) A=2cos4x-sin4x +sin2xcos2x +3sin2x
b) B= (cotx+tanx)2 – (cotx-tanx)2
c) D= sin2xtan2x +2sin2x-tan2x +cos2x
Bài 5 Rút gọn các biểu thức
Trang 5( + α ) α + ( + α ) α
=
α
− α +
α
cot
1 cos
2 sin
B
)
b
α
− α
α
− α
cot cos
tan sin
C
)
c
α α
− α
− α + α
=
cos sin cot
1 cos
sin
D
)
-Dạng 5 CUNG LIÊN KẾT
Bài 1.Chứng minh rằng :
0 3
sin 6
cos
)
b
0 4
cos 4
sin
)
a
=
π+α
−
π−α
=
π−α
−
π+α
Bài 2 Không dùng máy tính hãy tính :
a) sin 3150 , cos 9300 , tan 4050 , cos7500 , sin 11400
b) Cos 6300 –sin 14700 –cot 11250
c) Cos 44550 –cos 9450 +tan 10350 – cot (- 15000)
Bài 3.Rút gọn các biểu thức
α− π
−
α− π +
π−α
−
π−α
=
π+α
−
π+α
−
π−α +
π−α
=
2
7 sin 2
7 cos 2
3 sin 2
3
cos
B
)
b
2
sin 2
cos 2
sin 2
cos
A
)
a
Bài 4.Tính giá trị các biểu thức ( không sử dụng máy tính )
a) A =cos400 +cos500 +cos600 –sin 400 – sin 500 –sin 600
b) B = cos2200 +cos2300 +cos2400+cos2500 + cos2600+cos2700
-§3 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1/ Công thức cộng
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
tan tan tan
1 tan tan tan tan tan
1 tan tan
a b
a b
−
− +
+
Trang 6BTĐS 10CB Trần Văn Thanh
2/ Công thức nhân đôi
α
−
α
=
α
•
α α
=
α
•
α
−
=
− α
= α
− α
=
α
•
2
2 2
2 2
tan 1
tan 2 2
tan
cos sin 2
2
sin
sin 2 1 1 cos
2 sin
cos
2
cos
Công thức hạ bậc
2
2 cos 1
sin
2
2 cos 1
cos
2
2
α
−
=
α
•
α +
=
α
•
3/ Công thức biến đổi tích thành tổng
1 cos cos cos cos
2 1 sin cos sin sin
2 1
2
4/ Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
cos cos 2sin sin
sin sin 2sin cos
sin sin 2cos sin
Dạng 1.TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC MỘT GÓC
Bài 2.Tính các giá trị lượng giác của số đo :
12 π
π ;
12
7
-Dạng 2 CÔNG THỨC CỘNG
Bài 1 Tính giá trị các biểu thức
a/ A = cos320cos280 –sin 320sin 280
b/ B = cos 740cos 290 + sin 740sin 290
c/ C= sin 230cos70 + sin70cos230
Trang 7e/ E= cos2200cos1700-sin2200sin1700.
g/
18
7 sin 9
5 sin 18
7 cos 9
5
cos
h/
4
13 cos 7
4 sin 7
4 cos 4
13
sin
Bài 2 Cho
3
1
α − π
−
α + π
3
2 cos
6 sin
Bài 3.Cho
2
3 ,
; 2
, 5
4 sin α = π < α < π β = π < β < π
5
3 -sin Tính cos(α+β), cos(α-β), sin(α+β), sin(α-β)
Bài 4 Chứng minh các biểu thức lượng giác sau luôn luôn nhận giá trị không đổi, không phụ
thuộc vào α
α − π +
α + π +
α
3
2 cos
3
2 cos
cos
)
a
α − π α
−
α − π +
α
3 sin
sin 3
sin
sin
)
-Dạng 3 CÔNG THỨC NHÂN
2 0
, 4
1
cos
)
a α = < α < π
π
<
α
<
π
=
α
2
, 5
3
sin
)
b
2
3 ,
2
1
tan
)
c α = π < α < π
Bài 2 Chứng minh rằng
a/ sin3α= 3sinα-4sin3α;
b/ cos3α=4cos3α- 3cosα
x 2 sin
2 x
cot
x
tan
/
x 4 cos 4
1 4
3 x cos
x
sin
/
Bài 3.Chứng minh rằng :
Trang 8BTĐS 10CB Trần Văn Thanh
α
= α
−
α
α+ α
α
−
=
α
α +
α
=
α
4 cos 2
tan
4
tan
2
tan
)
c
tan 1
tan 1
2
cos
)
b
tan 1
tan 2 2
sin
)
a
2 2 2
-Dạng 4 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
Bài 1.Chứng minh rằng
α
−
α
α
=
π+α
π−α
α
sin 2
cos 4
cos sin
2
5
sin
)
b
3 sin 4
1 3
sin 3
sin
sin
)
a
Bài 2.Tính giá trị các biểu thức sau
a) A= sin 100 sin 300 sin 500 sin 700
b) B= cos 250 –cos 350 +cos 450 – cos850
c) C= cos 300 +cos 500 + cos 700 + cos 900 +cos 1100 + cos 1300
Bài 3.Biến đổi các biểu thức sau thành tích các nhân tử
a/ A= cosx+cos3x
b/ B= co4x-cos3x
c/ C= sin2x+sinx
d/ D=sin5x-sin3x
Bài 4 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
2
C sin 2
B sin 2
A sin 4 1 C cos B cos
A
cos
)
b
2
C cos 2
B cos 2
A cos 4 C sin B
sin
A
sin
)
a
+
= +
+
= +
+
-BÀI TẬP ÔN Bài 1.Cho
2
3 π
<
α
<
π Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau :
α + π π
− α
π − α π
+
α
2 cos
/ d
; tan
/ c
; 2
3 cos / b
; sin
/
a
Bài 2 Tính các giá trị lượng giác của cung α biết
2 0
, 6 ,
0
sin
)
a α = < α < π
π
<
α
<
π
−
=
α
2 , 7 , 0 cos
)
2
3 ,
2
tan
)
c α = π < α < π
π
<
α
<
π
−
=
cot
)
Trang 9( 270 − α ) = − cos α
sin
)
cos
)
sin
)
cos
)
Bài 4.Rút gọn
2180 tan 180 tan 270 sin 90 cos 360
sin
)
α + α
+
− α + α
−
−
α
0
0 0
0 0
0
270 tan
270 sin 180
cos 180 tan
180
sin
90
cos
)
b
Bài 5 Chứng minh rằng
1 tan
1 tan cos
sin
2
1
cos
sin
)
+ α
− α
= α α
+
α
−
α
α α
= α
− α
− α +
4 cos sin cos sin cos
sin
)
b
Bài 6 Tính :
0 2 0
2 0
2 0
2 0
2 0
2 0
215 sin 25 sin 35 sin 45 sin 55 sin 65 sin 75
sin
B
/
b
9
7 cos 3
2 cos 9
5 cos 9
4 cos 3
cos 9
2
cos
A
/
a
+ +
+ +
+ +
=
π +
π +
π +
π +
π +
π
=
Bài 7.Tính α biết :
1 sin
/ e
; 1 sin / d
; 1 cos / c
; 0 cos / b
; 1 cos
/
Bài 8.Chứng minh các biểu thức sau có giá trị không đổi, không phụ thuộc vào x:
x tan 2 1
1 x
sin
1
x
sin
1
/
d
x cos x sin 3 x cos x
sin
2
/
c
; x tan x sin 1
1 x
cos
2
x
sin
/
b
; x cot 1
1 x
tan
1
1
/
a
2 2
2
4 4
6 6
2 2
2 2
+
− +
−
+
− +
+ +
+
+ +
Bài 9 Chứng minh các biểu thức sau luôn nhận giá trị không đổi, không phụ thuộc vào α:
α+ π +
α+ π
−
α+ π +
α+π
−
α
α+π +
α+π α
π
−
α
α−π α
−
α−π +
α
α− π +
α+ π +
α
5
4 sin
5
3 sin
5
2 sin
5 sin
sin
/
d
8
cos 8
cos cos 8 cos 2
cos
/
c
3 sin
sin 3 cos
sin
/
b
3
2 cos
3
2 cos
cos
/
a
2 2
2 2
Trang 10BTĐS 10CB Trần Văn Thanh
Bài 10.Chứng minh rằng
α
= α
−
α
α
−
2 2
2 2
tan cos
cot
sin
tan
)
a
sin
)
α
α
= α +
α
−
− α
−
α
+
sin
cos 2 cos
1
cos 1 cos
1
cos
1
)
c
Bài 11.Đơn giản các biểu thức sau :
π + α
−
π + α
−
π − α +
π − α
2
sin 2
cos 2
sin 2
cos
)
a
α − π
−
α − π +
π − α
−
π − α
2
7 sin
2
7 cos
2
3 sin 2
3
cos
)
b
π − α +
α
− π +
2
3 cos cos
2
cos
)
c
5
3 sin
; 0 sin , 4
3 cos α = α > β = β < Hãy tính cos2 α , sin2 α , cos2 β , sin2 β , cos( α + β ), sin( α - β ).