Đề thi học sinh giỏi toán 8 huyện Trực Ninh

b Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để P có giá trị là một số nguyên.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax, By cùng vuông góc với AB.. Trên tia Ax lấy điểm D b

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆNNĂM HỌC 2010-2011

MÔN TOÁN LỚP 8 Ngày thi 05 tháng 4 năm 2011

Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề

Bài 1: ( 4 điểm)

Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để P có giá trị là một số nguyên.

Bài 2: ( 3 điểm)

Giải phương trình sau:

Bài 3: ( 3 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

b) Cho a, b thoả mãn 2  2 

a b 8 Chứng minh     4 a b 4

Bài 4: ( 8 điểm)

Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax, By cùng vuông góc với AB Trên tia

Ax lấy điểm D bất kỳ, qua O vẽ đường thẳng vuông góc với DO tại O cắt By tại C.

b) Chứng minh DO và CO lần lượt là tia phân giác của ADC và BCD.

c) Vẽ OH  CD H   CD  Gọi I là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AH và DO, F là giao điểm của BH và CO Chứng minh ba điểm E, I, F thẳng hàng.

d) Xác định vị trí của điểm D trên tia Ax để tích DO.CO có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a.

Bài 5: ( 2 điểm)

Cho hai số x, y thoả mãn điều kiện  x2  y22  4x y2 2 x2  2y2  0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x2  y2

Họ và tên thí sinh:……… .Chữ ký của giám thị 1:………

Số báo danh :……… … Chữ ký của giám thị 2:………

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

HUYỆN TRỰC NINH

**********

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG

MÔN TOÁN 8 Năm học 2010 -2011

Bài 1 (4điểm)

a) 2điểm

Tìm được ĐKXĐ của P là : x 0; x 5; x 5

2

0,25

x 5 x 5 x x 5 x x 5 5 x

0,25

2 2

:

x x 5 x 5

 



2x 5 2x

x x 5 5 x





x x 5 x x 5 x x 5 2x

5 2x 5 2x

x 5 x 5 x 5



b) (2điểm)

P Z

 

x 0; x 5; x Z *

5 2x

Z

x 5



  









0,5

Ta có 5 2x 2 15



 

Vì x Z  x 5Z P Z 15 Z x 5 ¦ 15 

x 5



Lí luận x 5 U 15        1; 3; 5; 15

Mà x lớn nhất nên x-5 lớn nhất Do đó x 5 15   x20 ( thoả mãn (*))

0,75

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của x = 20 để P có giá trị là một số nguyên 0,25 Bài 2 (3điểm)

Ta có

2

       

2

       

x x   1 0 x

Điều kiện xác định của phương trình (1) là x 0

Ta có x4x2 1 x42x2 1 x2 x2 x 1 x   2 x 1 0,5 Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu

(1)  2010x x 1 x    2 x 1   2010x x 1 x    2 x 1 2011 1

2010x x 1 2010x x 1 2011

2010x x 1 x 1 2011

y x

I

F E

H D

C

A

2010x.2 2011

2011

x

4020

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2011

4020

Bài 3 (3điểm)

a) ( 1.5 điểm)

a) a b c4  b c a4  c a b4   a b c4   b a c4  c a b4  

 a b b c a c a       2 b2 c2 ab bc ca 

Có nhiều cách phân tích khác nhau, mỗi lần xuất hiện một nhân tử a b;b c;a c   

cho 0,5điểm

1,5

b) (1,5 điểm)

Ta có: a b 2  0 a2b2 2ab mà a2b2  nên 2ab8 8 0.5

a b2 16 0 a b 4 a b 4   0

4 a b 4

Bài 4 ( 8 điểm)

a) (2 điểm)

Chứng minh ADO BOC ( cùng phụ với AOD ) 0,5

2

BC.AD a

BC OB

b) (2 điểm)

Chứng minhOB OD

BC OC Từ đó chứng minh ODC ~ BOC cgc   0,5 Suy ra và kết luận CO là tia phân giác của góc BCD 0,5 Chỉ ra ADO ~ ODC  ( cùng đồng dạng BOC )

c) (2 điểm)

Chứng minh VOBCVOHC ( cạnh huyền-góc nhọn) CB CH

Chứng minh OC là đường trung trực của HB

Tương tự chứng minh AD DH và OD là đường trung trực của HA

0,5 Chứng minh EF là đường trung bình của tam giác AHB  EF// AB 0,5 Chỉ ra EH//OC DE DH AD

EO HC BC

AD//BC AD DI

BC IB

Suy ra DE DI

EO IB Áp dụng định lý Ta lét đảo cho cho tam giác DOB  EI// OB

0,25 0,25 0,25 Theo tiên đề Ơclit kết luận E, I, F thẳng hàng 0,25 d) (2 điểm)

Chỉ ra 2SDOC OC.ODOH.DCa.DC nhỏ nhất

 DC nhỏ nhất  DCAx  ABCD là hình chữ nhật  AD=BC; CD=AB

1

Xét tam giác vuông AHB có HO là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền

AB

2

Suy ra GTNN của OD.OC bằng 2a2 khi và chi khi D  Axvà AD = a

0,25 0,25

Bài 5 (2 điểm)

x2  y224x y2 2 x2  2y2  0 x4 y4  2x y2 2 4x y2 2 x2  2y2 0 0.25

x42x y2 2y4x2 2y2  0 x2y22 2 x 2y2  1 3x21 0.5

x 0





A 2

Vậy max A 2 x 02

y 2





  





0.25

Lưu ý: Nếu HS giải theo cách khác, mà đúng và phù hợp với kiến thức trong chương trình

thì Hội đồng chấm thi thống nhất việc phân bố điểm của cách giải đó, sao cho không làm thay đổi tổng điểm của câu (hoặc ý) đã nêu trong hướng dẫn này.