ĐỀ CHÍNH THỨC... a 2 điểm Phân số A rút gọn được khi và chỉ khi tử số và mẫu số cùng chia hết cho một số nguyên tố.. Giả sử tử số và mẫu số cùng chia hết cho số nguyên tố d.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN LỚP 6 Ngày thi 05 tháng 4 năm 2011
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1 (4 điểm) Thực hiện phép tính
a) 1 5 9 13 17 21 25 145 149 153
b)
8
12
31.9
8.13 13.18 18.23 23.28
Bài 2 (6 điểm)
a) Hãy tìm tất cả các số chính phương có 4 chữ số có dạng aabb
b) Tìm các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 7 và đồng thời là các số hạng của cả hai dãy số sau: 2; 5; 8; ; 452
5; 14; 23; ; 545
Bài 3 (4 điểm).
3n 1
rút gọn được.
n Chứng minh rằng m chia hết cho 2011.
Bài 4 (4 điểm).
Cho ABC 110 0, vẽ tia BD sao cho CBD 30 0 Tính ABD
Bài 5 ( 2điểm).
7
Họ và tên thí sinh:……… .Chữ ký của giám thị 1:………
Số báo danh :……… … Chữ ký của giám thị 2:………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
***********
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG
MÔN : TOÁN 6 Năm học : 2010 -2011
Bài 1 ( điểm) Thực hiện phép tính
a) (1 điểm)
1 5 9 13 17 21 25 145 149 153
1 5 9 13 17 21 25 29 129 133 137 141 145 149 153
b) (1,5 điểm)
8 3 8
12
19.27 37 36
19 14
0.5
24
24
70 57 19.3 1
19.14
31.3
8 28
0.5
19
5 31.5
31
56
0.5
c) (1,5 điểm)
0.5
1 2 8 4.5 11 1.11 11
2.3 9 3.4 10 9.3 27
Bài 2 ( 6 điểm)
a) ( 3 điểm)
Ta có aabb 1000a 100a 10b b 1100a 11b 11 100a b 0.5
99a a b 11 a b 11
Vì 1 a 9; 0 b 9 1 a b 18 suy ra a b 11 0.5
Vì các số chính phương có tận cùng là 0; 1; 4; 5;6; 9
Ta có bảng sau
0.5
Trang 3Thử các số 7744; 5566; 6655; 2299 ta thấy số 7744 thỏa mãn.
Vậy số chính phương cần tìm là 7744
b) ( 3 điểm) Gọi số cần tìm là n
Nhận xét: Ta thấy dãy số 2; 5; 8; ; 452 gồm những số tự nhiên chia cho 3 dư 2
Dãy số 5; 14; 23; ; 545 gồm các số tự nhiên khi chia cho 9 dư 5
Các số tự nhiên có tận cùng là 7 chia cho 10 dư 7
0.5
Vậy số n thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
n 13 10q 7 13 n 13 10
5 n 452
0.75
n 13 BC 3;9;10 n 13 90a (a N ) n 90a 13
5 n 452
5 n 452
5 n 452
0.5
a 1;2;3;4;5 n 77;167;347;437
Bài 3 ( 4 điểm)
a) ( 2 điểm)
Phân số A rút gọn được khi và chỉ khi tử số và mẫu số cùng chia hết cho một số nguyên
tố Giả sử tử số và mẫu số cùng chia hết cho số nguyên tố d
5n 6 d 15n 18 d
15n 18 15n 5 d 13 d 3n 1 d 15n 5 d
Như vậy phân số A chỉ có thể rút gọn được khi và chỉ khi tử số và mẫu số cùng chia hết
cho 13
0.5
5 n 4 13 5n 6 13 5n 20 26 13 5n 20 13
Ta có 60 n 100 60 13k 4 100 56 13k 96 4 4 k 7 5
mà kN k5;6;7 n69;82;5
b) ( 2 điểm)
B 1
0.25
1.2010 2.2009 1005.1006
Chọn MC là 1.2.3 2010, gọi các thừa số phụ là k1; k2; ; k1005 0.5
Trang 4Ta có 2011 k 1 k2 k1005
B
1.2.3 2010
Vậy m 2011 k 1 k2 k1005
n 1.2.3 2010
Tử số chia hết cho 2011 (là số nguyên tố), còn mẫu không chứa thừa số 2011 nên khi rút
gọn phân số đến tối giản, m vẫn chia hết cho 2011 (đpcm) 0.5
Bài 4 ( 4 điểm)
Trường hợp 1: Tia BD và BA cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia BC
D
C B
A
Vì tia BD và BA cùng nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia BC và
CBDABC( vì 300 < 1100) nên tia BD nằm giữa tia BC và tia BA 0.5
Trường hợp 2: Tia BD và BA nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia BC
M
C
D B
A
Vẽ tia BM là tia đối của tia BD
Vì BM và BD là hai tia đối nhau nên DBC và CMB là hai góc kề bù
0.5
Vì tia BM và BD là hai tia đối nhau nên tia BC nằm giữa tia BM và BD hay tia BM và
Lại có tia BD và tia BA nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia BC (2) 0.25
Từ (1) và (2) suy ra tia BA và tia BM cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia BC
CBACBM (110 150 ) suy ra tia BA nằm giữa tia BM và BC 0.5
Vì tia BM và BD là hai tia đối nhau nên MBA và ABD là hai góc kề bù
ABD80 hoặc 0
ABD 140
0.5
Bài 5 ( 2 điểm)
Ta chứng minh:
Nếu a 1 a;b N; b 0
(n N )
Thật vậy ta có:
0.5
Trang 5a b a
1
; a n b n a n b a
Áp dụng kết quả bài trên ta có
P
P
0.5
2 2.4.6 98 3.5.7 99 2 1
P
3.5.7 99 4.6.8 100 100 50
0.5
Lưu ý: Nếu HS giải theo cách khác, mà đúng và phù hợp với kiến thức trong chương trình
thì Hội đồng chấm thi thống nhất việc phân bố điểm của cách giải đó, sao cho không làm thay đổi tổng điểm của câu (hoặc ý) đã nêu trong hướng dẫn này.