Đề thi học sinh giỏi Toán 8 + Đáp án

Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA.. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng.. Tính độ dài đoạn BE theo m AB.. Gọi M là trung đi

UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008

Môn : Toán

Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:

1 x27x6

2 x42008x22007x2008

Bài 2: (2điểm)

Giải phơng trình:

1 x2 3x 2 x1 0

2

Bài 3: (2điểm)

1 Căn bậc hai của 64 có thể viết dới dạng nh sau: 64 6  4

Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dới dạng nh trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó

2 Tìm số d trong phép chia của biểu thức x2 x4 x6 x82008 cho đa thức x210x21

Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy

điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB

2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC

đồng dạng Tính số đo của góc AHM

3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD

Hết

UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008

Môn : Toán

Đáp án và thang điểm:

Bài 1 Câu Nội dung Điểm

1.1 (0,75 điểm)

x1 x6

0.5 0,5

1.2 (1,25 điểm)

2.1 x2 3x 2 x1 0 (1)

+ Nếu x 1: (1)  x12  0 x (thỏa mãn điều kiện 1 x 1)

+ Nếu x 1: (1)  x2 4x  3 0 x2 x 3x1  0 x1 x 3 0  x1; x (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)3 Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x 1

0,5 0,5 2.2

 

2

(2)

Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x 0

2

2

2 2

Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x 8

0,25 0,5 0,25

3 2.0

3.1 Gọi số cần tìm là ab10a b (a, b là số nguyên và a khác 0)

Theo giả thiết: 10a b a   b là số nguyên, nên ab và blà các số chính phơng, do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc4 hoặc 9

Ta có: 10a b a   b 10a b a  22a b b  2 5a  ba2

Do đó a phải là số chẵn: a2k , nên 5 b k Nếu b 1 a 8 81 8  1 9 (thỏa điều kiện bài toán) Nếu b 4 a 6 64 6  4 8 (thỏa điều kiện bài toán) Nếu b 9 a 4 49 4  9 7 (thỏa điều kiện bài toán)

0,5

0,5

       

Đặt tx210x21 (t 3;t7), biểu thức P(x) đợc viết lại:

Do đó khi chia t2 2t1993 cho t ta có số d là 1993

0,5

0,5

Góc C chung

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)

Suy ra: BECADC1350(vì tam giác AHD vuông cân tại

H theo giả thiết)

Nên AEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:

1,0

0,5 4.2

Do đó BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 1350  AHM 450

0,5 0,5

0,5