SƠ LƯỢC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Trương Thị Thuỳ Trang – 10A13 – THPT YÊN PHONG 2 – BẮC NINH Trong số này chúng ta sẽ làm quen với hệ phương trình bậc hai hai ẩn qua bài viết của bạn Trương Thị Thuỳ Trang lớp 10A13. 1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai Hệ này có dạng 1 1 1 2 2 a x b y c 0 (1) . ax by cxy dx ey f 0 (2) + + = + + + + + = Phương pháp chung ñể giải hệ này là từ (1) rút một ẩn thế vào (2). VD1. Tìm m ñể hệ sau có nghiệm 2 2 x 4y 8 . x 2y m + = + = HD. T ừ ph ươ ng trình th ứ hai c ủ a h ệ ta có x m 2y, = − th ế vào phương trình ñầu ta ñược 2 2 8y 4my m 8 0 (*). − + − = Hệ ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm, tức là 2 ' 64 4m 0 ∆ = − ≥ 4 m 4. ⇔ − ≤ ≤ 2. Hệ gồm hai phương trình bậc hai V ớ i h ệ d ạ ng 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ax by cxy dx ey f 0 a x b y c xy d x e y f 0 + + + + + = + + + + + = ta th ườ ng c ố g ắ ng ñư a v ề d ạ ng g ồ m m ộ t ph ươ ng trình b ậ c nh ấ t và m ộ t ph ươ ng trình b ậ c hai. VD2. Tìm giao ñ i ể m c ủ a hai ñườ ng tròn 2 2 1 (C ) :(x 1) (y 2) 4 − + − = và 2 2 2 (C ): x y x 5y 0. + − − = HD. Xét h ệ 2 2 2 2 (x 1) (y 2) 4 x y x 5y 0 − + − = + − − = 2 2 2 2 x y 2x 4y 1 0 x y x 5y 0 + − − + = ⇔ + − − = 2 2 x y 1 0 x y x 5y 0 − − = ⇔ + − − = 2 2 x y 1 (y 1) y (y 1) 5y 0 = + ⇔ + + − + − = 2 x y 1 x 1,y 0 . x 3,y 2 y 2y 0 = + = = ⇔ ⇔ = = − = V ậ y hai ñườ ng tròn ñ ã cho c ắ t nhau t ạ i hai ñ i ể m A(1; 0), B(3; 2). 3. Hệ ñối xứng loại 1 H ệ ph ươ ng trình ñố i x ứ ng lo ạ i 1 hai ẩ n x, y có d ạ ng F(x;y) 0 G(x;y) 0 = = trong ñ ó F(x;y) F(y;x), ≡ G(x; y) G(y;x). ≡ ðể gi ả i, ng ườ i ta th ườ ng ñặ t S = x + y và P = x.y, v ớ i ñ i ề u ki ệ n 2 S 4P, ≥ và l ư u ý ñế n ñị nh lí Viét ñả o. VD3. Gi ả i h ệ 2 2 x xy y 4 . x xy y 2 + + = + + = HD. ðặ t S = x + y, P = x.y, v ớ i ñ i ề u ki ệ n 2 S 4P, ≥ h ệ ñ ã cho tr ở thành 2 2 S 2 S P 4 S S 6 0 P 0 S P 2 P 2 S = − = + − = ⇔ ⇔ = + = = − ho ặ c S 3 P 5 = − = (lo ạ i). Do ñ ó x y 2 xy 0 + = = x 0, y 2 . x 2,y 0 = = ⇔ = = V ậ y h ệ ph ươ ng trình ñ ã cho có hai nghi ệ m (2; 0), (0; 2). VD4. Cho h ệ ph ươ ng trình 2 2 x y m . x y 6 + = + = 1) Tìm m ñể h ệ có nghi ệ m. 2) Gi ả s ử (x; y) là nghi ệ m c ủ a h ệ , tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a F = x + y – 2xy. HD. 1) H ệ ph ươ ng trình ñ ã cho t ươ ng ñươ ng v ớ i x y 6 . m xy 18 2 + = = − Vậy x, y là hai nghiệm của phương trình 2 m t 6t 18 0 (*). 2 − + − = Hệ ñã cho có nghiệm khi (*) có nghiệm, tức là m ' 9 0 m 18. 2 ∆ = − ≥ ⇔ ≥ Chú ý: Dễ thấy m 0 ≤ thì hệ ñ ã cho vô nghi ệ m. V ớ i m > 0 thì ph ươ ng trình ñầ u c ủ a h ệ là ph ươ ng trình ñườ ng tròn (C) tâm O(0;0), bán kính R m. = Còn ph ươ ng trình th ứ hai c ủ a h ệ là ph ươ ng trình ñườ ng th ẳ ng . ∆ H ệ ph ươ ng trình ñ ó có nghi ệ m khi (C) và ∆ có ñ i ể m chung, t ứ c là d(O, ) R ∆ ≤ 3 2 m m 18 0. ⇔ ≤ ⇔ ≥ > 2) V ới m 18 ≥ thì hệ ñã cho có nghiệm (x; y), và F = x + y – 2xy = m – 30. Do ñó F 18 30 12. ≥ − = − Dấu “=” xảy ra khi m = 18. Vậy minF = –12. 4. Hệ ñối xứng loại 2 Hệ ñối xứng loại 2 hai ẩn x, y có dạng F(x;y) 0 . F(y;x) 0 = = Ta thường biến ñổi hệ này thành F(x;y) F(y;x) 0 . F(y;x) 0 − = = Lưu ý, với hệ phương trình ñối xứng loại 1 hay loại 2, nếu (x; y) = (a; b) là nghiệm thì (x; y) = (b; a) cũng là nghiệm. VD5. Gải hệ 2 2 2 2 2x 3x y 2 . 2y 3y x 2 − = − − = − HD. Hệ 2 2 2 2 2x 3x y 2 3x 3y 3x 3y 0 − = − ⇔ − − + = 2 2 2x 3x y 2 . 3(x y)(x y 1) 0 − = − ⇔ − + − = TH1. 2 2 x y 1 2x 3x y 2 . x y 2 x y 0 = = − = − ⇔ = = − = TH2. 2 2 2 y 1 x 2x 3x y 2 x y 1 0 x x 1 0 = − − = − ⇔ + − = − + = h ệ này vô nghi ệ m. V ậ y h ệ ph ươ ng trình ñ ã cho có hai nghi ệ m (1; 1), (2; 2). 5. Hệ ñẳng cấp bậc hai H ệ ñẳ ng c ấ p b ậ c hai có d ạ ng 2 2 2 2 1 1 1 1 ax bxy cy d . a x b xy c y d + + = + + = ðể gi ả i ta th ườ ng bi ế n ñổ i h ệ v ề d ạ ng 2 2 2 2 ax bxy cy d . Ax Bxy Cy 0 (1) + + = + + = Ở (1) ta ñặ t x = ty, ñượ c 2 y.(At Bt C) 0. + + = + Xét tr ự c ti ế p y = 0. + V ớ i y khác 0, ta có At 2 + Bt + C = 0, tìm ra t, t ừ ñ ó tìm ra x, y. C ũ ng có nh ữ ng tr ườ ng h ợ p h ệ lo ạ i này ñượ c bi ế n ñổ i ñư a v ề h ệ ở m ụ c 1. Sau ñ ây là m ộ t s ố bài t ậ p m ờ i các b ạ n tham kh ả o. 1. Gi ả i các h ệ ph ươ ng trình 2 2 2 2 2 2 2 x y 1 xy a) . 2 x y xy 0 x 2y 1 b) . x xy 3y y 0 x y x y 2 c) . xy 1 x 1 4 y 2 d) . y 1 4 x 2 x 4xy y 1 e) . y 3xy 4 + = + + + + = − = + − + = − + + = = + + − = + + − = − + = − − = 2. Tìm m ñể h ệ sau ñ ây có nghi ệ m 2 2 x y y m . y x x m = − + = − + 3. Gi ả s ử (x;y) là nghi ệ m c ủ a h ệ 2 2 2 x y a 2 . x y 2a 3 + = − + = − Tìm giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a P = x.y. 4. Bi ệ n lu ậ n theo m s ố nghi ệ m c ủ a h ệ 2 2 x y 2x 2 . x y m − + = + = Chúc các b ạ n thành công! . SƠ LƯỢC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Trương Thị Thuỳ Trang – 10A13 – THPT YÊN PHONG 2 – BẮC NINH Trong số này chúng ta sẽ làm quen với hệ phương trình bậc hai hai ẩn qua bài viết. 1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai Hệ này có dạng 1 1 1 2 2 a x b y c 0 (1) . ax by cxy dx ey f 0 (2) + + = + + + + + = Phương pháp chung ñể giải hệ. 2 8y 4my m 8 0 (*). − + − = Hệ ñã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có nghiệm, tức là 2 ' 64 4m 0 ∆ = − ≥ 4 m 4. ⇔ − ≤ ≤ 2. Hệ gồm hai phương trình bậc hai V ớ i h ệ d ạ ng 2