Giáo án giải tích 12 xen tự chọn (Chương 3_Nguyên hàm, tích phân)

- Biết phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm.Vận dụng phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản.. -Vận dụng thành thạo phương pháp đổi biến số để tìm nguyê

-Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số Biết các tính chất cơ bản của nguyên

hàm.Thấy được mối liên hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm của hàm số

-Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào định nghĩa và

bảng đạo hàm Nắm bảng đạo hàm các hàm số thường gặp

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1 Kiểm tra bài cũ ( Không kiểm tra)

2 Bài giảng

Phương pháp Nội dung

- Yêu cầu học sinh thực hiện HĐ1

(?) Từ đó phát biểu định nghĩa khái

niệm nguyên hàm (yêu cầu học sinh

phát biểu, giáo viên chính xác hoá và

ghi bảng)

(?) Gọi h/s tìm nguyên hàm của các

h/s trong ví dụ

TQ; Như vậy bài toán tìm nguyên

hàm là bài toán ngược của tính

đạo hàm Hay để tìm nguyên hàm

a) Định nghĩa

-Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng của R.

- Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x)được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu:

F'(x) = f(x) ∀ ∈x K.

b) Ví dụ: Tìm một nguyên hàm các hàm số

a/ f(x) = 2x trên (-∞; +∞) b/ f(x) =1

x trên (0; +∞) c/ f(x) = cosx trên (-∞; +∞)

Thực hiện:

a) F(x) = x 2 là nguyên hàm của f(x) = 2x trên (-∞; +∞)

vì F’(x) = (x 2 )’=2x ∀ ∈ −∞ + ∞x ( ; )b) F(x) = ln x c)F(x) = sinx

c) Định lý:

ĐL1:F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì

G(x) = F( x) + C ( C:hằng số) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

ĐL2: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì

mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, C: hằng số.

- Từ đó giáo viên giúp học sinh nhận

xét tổng quát rút ra kết luận là nội

dung định lý 1 và định lý 2 SGK.

GV hướng dẫn hs ký hiệu nguyên

hàm Yêu cầu học sinh làm ví dụ

trên băng cách ghi ký hiệu Giáo viên

có thể hướng dẫn học sinh nếu cần,

chính xác hoá lời giải của học sinh và

ghi bảng.

Dựa vào t/ c đạo hàm ta có t/c 1; 2;3

của tích phân như sau :Để tính

(?) Nêu công thức tính đạo hàm h/s

lũy thừa; h/s mũ; h/s lượng giác Từ

đó nêu công thức tính nguyên hàm

Ví dụ : ∫(3sinx +4x 3 )dx = 3∫sinxdx + ∫4x 3 dx = -3cosx + x 4 +C

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

ĐL3: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

∫

∫e dx e x = +x C

Ví dụ : Tính nguyên hàm của hàm số

2 3

1 (2x )dx

BS : ÔN T P V Ậ Ề ĐẠ O HÀM VÀ XÁC NH NGUYÊN HÀM(T1) ĐỊ

I MỤC TIÊU

- Ôn tập quy tắc tính đạo hàm , công thức tính đạo hàm các h/s thường gặp

-Vận dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp vào tìm nguyên hàm

1 ) ( ) ln( 1 ); ( )

1 ) ( ) cos ; ( )

b) sin 2 x là nguyên hàm c a sin2x ủ c) (1 4) x

e x

− là nguyên hàm c a ủ (1 2)2 x

e x

GV:g i hs nêu ph ng pháp làm Bài ọ ươ

2(d,e) SGK Sau đó cho hs lên b ng ả

∫sinkx sinmx ∫coskx sinmx ∫coskx cosmx

ta s d ng công th c bi n ử ụ ứ ế đổ ượ i l ng giác t tích ừ

v t ng r i s d ng công th c trên ề ổ ồ ử ụ ứ

§ 50 NGUYÊN HÀM

I MỤC TIÊU

-Vận dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp vào tìm nguyên hàm.

- Biết phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm.Vận dụng phương pháp đổi biến

số để tìm nguyên hàm của một số hàm số đơn giản

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

(Lưu ý học sinh trở lại biến ban đầu

nếu tính nguyên hàm theo biến mới).

II- PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

về dang g(x)dx=f(u(x).u’(x)dx Khi đo ta thực hiện

+B1: Đặt u= u(x) ⇒ du=u’(x).dx Khi đó ta tính

g(x)dx theo biến u và du Giả sử g(x)dx=f(u)du

hay ∫g x dx( ) =∫ f u du( )

- Nêu vd và y/c học sinh thực hiện

HD học sinh làm a

(?) Đặt u =?

(?) Viết biểu thức theo biền u vàdu

(?) Tìm ∫u du6 rồi chuyển về biến x

GV gọi 3 hs làm các ý còn lại.

GV cho hs nhận xét và chính xác hóa

bài làm của hs

GV cho hs nhận dạng một vài phép

đổi biến Thông thường:

1 Nếu h/s có chứa lũy thừa ta đặt

biểu thức trong lũy thừa là u(x)

2 Nếu h/s có chứa ln ta đặt u(x)là ln

3 Nếu h/s có chứacăn ta đặt u(x) là

biểu thức căn

4 Nếu h/s có chứa h/s lượng giác ta

đặt u(x) là biểu thức lượng giác

x+

∫

Lời giải :

a A=∫(sinx 2) cos xdx+ 6 Đặt u= sinx +2

⇒du=cosxdx Khi đó (sinx+2)6 cosxdx=u 6 du

• Nếu u=ax+b( với a#0) thìdu=a.dx hayadx =d(ax+b)

• Nếu u=sinx thì du=cosxdx hay cosxdx = d(sinx) Nếu u=cosx thì du=-sinxdx hay -sinx dx =d(cosx) Nếu u=tanx thì du= 2

1 sin x dx

−

hay 2

1 sin x dx

+ Nhắc lại bảng nguyên hàm và phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm.

+Một vài cách đổi biến

+ BTVN: 2 ,3 :SGK ( trang 100 ); Bài 3.4(SBT)

TCBS NGUYÊN HÀM(T2)

TÍNH NGUYÊN HÀM THEO PH ƯƠ NG PHÁP ĐỔ I BI N Ế

I MỤC TIÊU

-Vận dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp vào tìm nguyên hàm.

-Vận dụng thành thạo phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm của một số hàm

số Nhớ lại phương pháp đồng nhất thức hàm số hưu tỉ

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1 Ki m tra bài c ể ũ (cùng bài gi ng)ả

Dưới lớp yêu cầu hs quan sát bài

làm của bạn và làm các bài tập sau

x

= +

∫

II Dạng to á n 2 : Tính nguyên hàm theo phương pháp đổi biến

1 Dạng ∫g x dx ( ) với g(x)dx=f(u(x).u’(x)dx Khi đó

+B1: Đặt u= u(x) ⇒ du=u’(x).dx Khi đó ta tính

g(x)dx theo biến u và du Giả sử g(x)dx=f(u)du

1 x+ =t

hóa bài làm của hs và củng cố một

số cách đổi biến thường gặp: Biểu

thức chứa căn; Biểu thức chứa ln;

Biểu thức e u ; biểu thức chứa

x

= +

2 2

4

4 4(1 tan )

os 2

(?) Chuyển nguyên hàm I theo biến t

2 2

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1 Ki m tra bài c ể ũ (cùng bài gi ng)ả

2 Bài m i ớ

Phương pháp Nội dung

GV:Gọi 3 hs làm nguyên hàm A;B;C

Dười lớp yêu cầu hs quan sát bài làm

im ; à ( )

x

BT Cho f x

x c x

GV: Gọi chữa nguyên hàm D

(?) B1; Phân tích mẫu thành nhân tử

tìm nguyên hàm loại này

GV: Cho hs nêu P 2 làm 2 BT trên

Tổng quát : Để xác định nguyên hàm hàm hữu tỉ(có

bậc mẫu nhỏ hơn bậc của tử) ta phân tích mẫu thành tích sau đó dùng p 2 đồng nhât thức chia thành các ng/h

Vd :

về nguyên hàm hàm hữu tỉ

BT1:Tìm A;B sau đó chia thành 2

ng/h Rồi dùng p 2 đổi biến tính ng/ h

A A

f x

A A

f x

B B

∫

( Nếu bậc tử lớn hơn bậc của mẫu ta thực hiện chia

đa thức sau đó áp dụng cách tính trên

3 Củng cố + phương pháp tìm nguyên hàm hàm hữu tỉ

-Biết phương pháp tính nguyên hàm từng phần

-Vận dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của một số

hàm số đơn giản

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1 Ki m tra bài c ể ũ

(?) Nêu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm? Áp dụng: Tìm ∫(1 −x dx) 9 (?) Tìm nguyên hàm 2

2 2

x dx

x x

+ + −

GV: Nêu 1 vài ví dụ yêu cầu học

sinh thực hiện tính khi sử dụng

phương pháp nguyên hàm từng phần

ở mức độ linh hoạt hơn.

( ?) Đặt u= ?; dv= ? Thu được A=?

• VD1 : Tính các nguyên hàm sau :

a/ I=∫x e x dx ; b/ J=∫ x cos x dx; c/ K= ∫ lnx dx Lời giải:

-Học sinh nhận dạng một số nguyên hàm tìm theo p2 nguyên hàm từng phần

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

x x

c x

∫

*Tính I : Đặt t=cosx ⇒dt=-sinxdx I= 2

sinx tan tan x tan

-Rèn luyện kỹ năng vận dụng tính chất nguyên hàm,bảng nguyên hàm các hàm số

thường gặp và sử dụng các phương pháp tính nguyên hàm vào làm bài tập

- Bước đâu học sinh vận dụng các phương pháp tìm nguyên hàm một cách độc lập , cách đổi biến và từng phần tìm nguyên hàm

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

GV: Cho học sinh nhận xét bài làm

của bạn và chính xác hóa lời giải Qua

Đó GV cho hs nhắc lại bảng nguyên

GV: Cho học sinh nhận xét bài làm

của bạn và chính xác hóa lời giải Qua

Đó GV cho hs nhắc lại phương pháp

đổi biến số, và một vài chú ý khi đổi

biến

GV:Gọi hs đứng tại chỗ làm Bài 2(g)

Hoạt động 3 : Rèn luyện kỹ năng

4 Củng cố + Nhắc lại các kiến thức sử dụng trong bài tập.

+ Hoàn thiện các bài tập còn lại BT 3.3; 3.7(SBT)

- HS hi u đ c đ nh ngh a c a tích phân và bi u th c đ nh ngh a c a tích phân ể ượ ị ĩ ủ ể ứ ị ĩ ủ

Hi u b n ch t bài toán tính tích phânể ả ấ

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1 Ki m tra bài c ( ể ũ Cùng bài gi ng) ả

+Gv giới thiệu cho hs công thức tính

diện tích hình thang cong và củng cố

qua ví dụ 1

( ?) Tìm một nguyên hàm của y=x 2

( ?) Dựa vào KL trên tính diện tích

hình thang cong tương ứng

I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

1 Diện tích hình thang cong:

Vậy S(t) là nguyên hàm của f(t)

b) Hình thang cong : “Cho hàm số y = f(x) liên tục, không

âm trên đoạn [a ; b].Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đt : x = a ; x = b được

gọi là hình thang cong (H47a, SGK- 102)”

* Diện tích hình thang cong : Hình thang cong được

giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đt : x = a ; x = b có diện tích là S=F(b)-F(a)( Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)

• Ví dụ 1 : Cho h/s y=x2 Tính diện tích hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x 2 , trục hoành và hai đt : x = 1 ; x = 4

HD: + H/s y=x 2 liên tục, không âm trên đoạn [1 ; 4] + H/s y=x 2 có một nguyên hàm là F(x)= 1 3

3xVậy diện tích hình thang cong là S=F(4)-F(1)=21(đvdt)

2 Định nghĩa tích phân (SGK)

ký hiệu: ( )

b a

f x dx F x= =F b −F a

∫

với F(x) là một nguyên hàm của f(x)

• Qui ước: nếu a = b hoặc a > b: ta qui ước :

( ?) Qua trên bản chất bài toán tìm

tích phân là bài toán nào

( ?) Đọc NX SGK

(1)

2 2

1 1

0 0

b a

f x dx

b a

f t dt

∫ Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào hàm

f, các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t + Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì S = ( )

b a

tích phân

- Biết cách tính tích phân dựa vào bảng nguyên hàm thường gặp

-Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1. Ki m tra bài c ể ũ Tính các tích phân sau

HS1:

1

2 0

(2 1)

I =∫ x+ dx HS2: Tìm nguyên hàm 2

1 1

e e

2

2 4

2 2

3 Củng cố

- Nhắc lại tính chất cơ bản của tích phân

- Học và làm bài tập 1;2(SGK-tr 112)

TC TÍCH PHÂN (T1)

(Dùng tính chất tích phân tính tích phân chia thành nhiều tích phân )

I MỤC TIÊU

- Hs vận dụng tính chất của tích phân để tính tích phân

- Biết cách tính tích phân dựa vào bảng nguyên hàm thường gặp

-Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1 Ki m tra bài c ể ũ

Nêu định nghĩa và tính chất của tích phân

2 Bài giảng

Phương pháp Nội dung

(?) Gọi 4 hs lên bảng làm 1(a;b;c;g)

Dưới lớp tình tích phân sau

4

2

2 1

xác hóa bài làm của hs

Qua đó củng cố cách đổi vi phân

đơn giản

• Định nghĩa: ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

(?)GV gọi 3 hs làm A;B;C

(?)Gv cho hs nhận xét và chính

xác hóa bài làm của hs

(?) GV gọi hs dứng tại chỗ nêu

phương pháp làm 1e Qua đs GV

cho hs nhắc lại phương pháp đồng

nhất thức nguyên hàm

2 2

2

1 1

dx E

2 ( 1)

xác hóa bài làm của hs

*Tổng quát : Để xác định tích phânhàm hữu tỉ(có bậc

mẫu nhỏ hơn bậc của tử) ta phân tích mẫu thành tích sau

A A

f x

A A

f x

B B

1 1

§ 55 TÍCH PHÂN

I MỤC TIÊU

-Vận dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp vào tìm tích phân.

- Biết phương pháp đổi biến số dạng 1 để tìm tích phân.Vận dụng phương pháp đổi biến số để tìm tích phân của một số hàm số đơn giản

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1 4

x

= +

; 1

; ( 2)( 1)

dx A

x dx B

dx C

c t

π π

-Vận dụng bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp vào tìm tích phân.

- Biết phương pháp đổi biến số dạng 1 để tìm tích phân.Vận dụng phương pháp đổi biến số để tìm tích phân của một số hàm số đơn giản

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1 Ki m tra bài c ể ũ

(?) Nêu ph ng pháp tìm ươ nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

2 Bài m i ớ

Phương pháp Nội dung

(?) Nêu cách đổi biến của nguyên

hàm

II- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN (tiếp)

1 Phương pháp đổi biến số

a)

Phương pháp đổi biến số dạng 1:

b) Phương pháp đổi biến số dạng 2:

(?) Nếu biến u thì cận thay đổi thế

nao Gọi hs đứng tại chổ tính tích

phân

(?) Nêu các bước tính tích phân theo

phương pháp đổi biến GV chính xác

hóa

(?) GV gọi 2 hs lên bảng làm ví dụ

(?) GV : gọi hs nx và chính xác hóaA

Từ đó cho hs nêu phương pháp tính

tích phân hs lũy thừa f(x) n

(?) GV : gọi hs nx và chính xác hóaB

Từ đó cho hs nêu phương pháp tính

tích phân hs chứa căn

(?) Tương tự nguyên hàm nêu

phương pháp tính tích phân hs chứa

∫ (Nếu hs phân tích dưới dang

f(x)dx=g(u(x)).u’(x)dx ) Khi đo ta thực hiện

+B1: Đặt u= u(x) ⇒ du=u’(x).dx Khi đó ta tính

f(x)dx theo biến u và du Giả sử f(x)dx=g(u)du

2 Tích phân chứa (f(x)) n : Đặt u=f(x)

3 Tích phân chứa ln(f(x)) : Đặt u=ln(f(x))

• Nếu u=ax+b( với a#0) thìdu=a.dx hayadx =d(ax+b)

• Nếu u=sinx thì du=cosxdx hay cosxdx = d(sinx)

1 sin x dx

−

hay 2

1 sin x dx

+ Nhắc lại bảng nguyên hàm và phương pháp đổi biến số để tìm tích phân

+Một vài cách đổi biến

- Chữa bài tập 3 SGK và bài tâp 3.10 (SBT)

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

x= a t

bài làm của hs b;d >Từ đó yêu cầu

hs nêu phương pháp đổi biến số

mà dạng 1 thường dùng và cách

đổi biến tương ứng

GV: Gọi hs nhận xét và chính xác

bài làm của hs a;c >Từ đó yêu cầu

hs nêu phương pháp đổi biến số

mà dạng 2 thường dùng và cách

đổi biến tương ứng đối với tích

phân chứa hs lũy thừa ; hs mũ ;

hs chứa căn ; hs chứa ln

t

= ho c ặ

os

a x

2 Tích phân chứa (f(x)) n : Đặt u=f(x)

3 Tích phân chứa ln(f(x)) : Đặt u=ln(f(x))

e x

x −x dx

∫

31

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1 Kiểm tra bài cũ

2 Bài mới

Phương pháp Nội dung

Hs1: Nêu công thức tìm nguyên

x u

dx du

x v

dx x du

P x e dx

b a

P x xdx

b a

P x xdx

b a

Phương pháp Nội dung

GV ghi lại trả lời kiểm tra bài cũ • CT tích phân từng

b a

u dv uv= − v du

(?) Gọi 4 hs lên bảng dùng phương

pháp tích phân tính tích phân bài

P x e dx

b a

P x xdx

b a

P x xdx

b a

P x xdx

∫

u P(x) P(x) P(x) lnx

dv e x dx cosxdx sinx dx P(x)dxBài 4(SGK)

e

1ln

B=∫ +x dx Đặt

1 ln(1 )

1 6

+ Gv nhắc lại phương pháp tích phân từng phần ; phương pháp đổi biến

+BTVN : Ôn lại tích phân hàm số chứa gttđ và Tính các tích phân sau:

1

1

2 0

x

e + dx

ln 2 0

- Viết và giải thích được công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số y = f(x) và trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b; diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b

- Áp dụng được công thức tính diện tích hình phẳng, tính diện tích hình phẳng

được giới hạn bởi các đồ thị cho trước

II TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

1 Kiểm tra bài cũ (?) Tính

2 0

1 Hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành

• Tổng quát : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

HS:Nếu hàm y = f(x) liên tục và

không âm trên [ ]a; b Diện tích S

của hình phẳng giới hạn bởi đồ

sau đó cho hs xác định hp trong

vd2 Từ đó yêu cầu hs nêu cách

tìm cận tích phân nếu bài không

∫

= b

a

dx x f

−

2

1 0

2 3

2

1 2

x

x x

2 1

*Chú y : Nếu bài tóan tính diện tích hình phẳng giới

hạn bởi y=f(x) và trục 0x Giải pt f(x)=0 tìm nghiệm Khi đó cận tích phân là 2 nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất vừa tìm được

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

• Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f 1 (x) và y = f 2 (x) liên tục trên [ ]a; b và các đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức: =∫b −

a

dx x f x f

S 1( ) 2( ) :

Chú ý: +Để tính tích phân hs y= f x( ) .Ta tìm nghiệm f(x) sau đó chia thành các tích phân trên các khoảng nghiệm nhỏ Trên từng khoảng nhỏ [c;d] đó f(x) mang một dấu nên ( ) ( )

f x dx= f x dx

∫ ∫ hoặc ta có thể khử ( ) ( ) ( ) 0