HÀM SỐ LIÊN TỤC

BAØI 3 BÀI 3. I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM 2 )( xxf = )(xf 1x limvà f(1) Tính → có) nếulimvà f(1) sánh So 1x ( )(xf → Ve õphác đo àthò của hàm số . Đo àthò này co ùlà một đường liền nét không ? 2 )( xxf = 1)1( =f 1lim)(lim 2 11 == →→ xxf xx )1()(lim 1 fxf x = → Đồ thị là một đường liền nét y x o 1 1 M (P) Đồ thị không là một đường liền nét g(1) = 1 Không tồn tại →1 lim ( ) x g x  + ≤  = <   + ≥  2 2 -x 2 neáu x - 1 g(x) 2 neáu -1 x < 1 -x 2 neáu x 1 x y o 1 2 3 • y x o 1 1 2 y x o 1 1 Đồ thị không là một đường liền nét Đồ thị không là một đường liền nétĐồ thị là một đường liền nét )1()(lim 1 fxf x ≠ → )1()(lim 1 fxf x = → )(lim 1 xf x→ taïi toàn khoâng 1)1( =f Hàm số liên tục tại x=1 Hàm số không liên tục tại x=1 Hàm số không liên tục tại x=1 Theo các em thì hàm số phải thỏa mãn điều kiện gì thì liên tục tại x=1 ? )1(f = Hàm số phải thỏa điều kiện )(lim 1 xf x → Các hàm số có tính chất giới hạn và giá trị của hàm số tại một điểm mà nó xác định là bằng nhau đóng một vai trò rất quan trọng trong giải tích và trong các nghành toán học khác. Người ta gọi đó là các hàm số liên tục I.Hàm số liên tục tại một điểm: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K và x 0 ∈K. )()(lim 0 0 xfxf xx = → Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x 0 nếu: a) Định nghĩa: 2 3 4 1 ; 1 ( ) 1 5 ; 1 x x x f x x x − +  ≠  = −   =  Xét tính liên tục của h.s tại x= 1. VD1 Cho hàm số : Ta có: f(1)=5 2 3 4 1 ( 1)(3 1) lim ( ) lim lim 1 ( 1) 1 1 1 x x x x f x x x x x x − + − − = = − − → → → lim (3 1) 3.1 1 2 1 x x = − = − = → Vì:f(1) ≠ Hàm số đã cho khơng liên tục tại x = 1 lim ( ) 1 f x x→ [...]... xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại một điểm x0 B-1: Tính f(x0) B- 2: Tìm lim f ( x) x→ x0 B- 3: So sánh f(xo) Với lim f ( x) x→ x0 II HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG , ĐOẠN Đònh nghóa f(x) liên tục trong (a;b) ⇔ f(x) liên tục tại mọi x0∈(a;b) f(x) liên tục trong (a;b) *   * f(x) liên tục ⇔ lim f ( x ) = f ( a ) x →a trên [a;b]  lim f ( x) = f (b)  x →b Chú ý :  + − Đồ thò hàm số liên tục trên... a ;x > 0 2 Tìm a để f(x) liên tục tại x = 0 ;x ≤ 0 y lim f ( x ) = f (0) = a x → 0− 2 lim f ( x) = lim+ ( x ) = 0 + x →0 y = x2 x →0 Vậy a = 0 thì h.s liên tục tại x = 0 Nhận xét : f(x) liên tục tại x0 thì đồ thò không bò đứt đoạn tại x0 4 y=a a 2 1 y=0 -2 -1 0 -1 1 2 x Dựa vào định lý về sự tồn tại giới hạn của hàm số tại một điểm ta có chú ý sau: Chú ý: Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 khi và chỉ... ra: f khơng liên tục tại x=0 x + 1 nếu x > 0 f ( x) =  nếu x ≤ 0 x 2 Minh họa y y=x2+1 1 o y=x x Một số nhà tốn học Bolzano 1781-1848 1789-1857 Veierstrass 1815-1897 Cha đẻ của GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI Ví dụ: Chứng minh rằng p.trình f(x) =x3 +2x – 5 = 0 có ít nhất 1 nghiệm Giải Xét hàm số trên ta có : f(0)= - 5 và f(2) = 7 Do đó, f(0).f(2) < 0 Hàm số đã cho liên tục trên R, Do đó , nó liên tục trên [... Chú ý :  + − Đồ thò hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là một đường liền nét trên khoảng, đoạn đó * III MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Ví dụ: Xét tính liên tục của h.s trên tập xác định của nó BÀI TẬP BÀI 1: Cho hàm số:  x −1 nếu x ≠ 1  f ( x) =  x − 1 2 nếu x = 1  2 Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại điểm x0=1  x −1 nếu x ≠ 1  f ( x) =  x − 1 2 nếu x = 1  2 Ta có: f (1) = 2 (1) x −1 ( x + 1)(... lim f ( x ) = lim = lim x →1 x →1 x − 1 x →1 x −1 (2) = lim( x + 1) = 2 2 x →1 (1) ∧ (2) ⇒ lim f ( x) = f (1) x →1 Theo ĐN ta suy ra: Hàm số f(x) liên tục tại x=1  x −1 nếu x ≠ 1  f ( x) =  x − 1 2 nếu x = 1  2 Minh họa y • 2 x o 1 BÀI 2: Xét tính liên tục của hàm số x + 1 nếu x > 0 f ( x) =  nếu x ≤ 0 x 2 tại điểm x0=0 x + 1 nếu x > 0 f ( x) =  x nếu x ≤ 0  2 Ta có: f(0)=0 (1) và: (2) lim... Do đó, f(0).f(2) < 0 Hàm số đã cho liên tục trên R, Do đó , nó liên tục trên [ 0 ; 2] Từ đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ ( 0 ; 2 ) Cho hàm số:  2x + 5 − x + 7 nếu x ≠ 2  f ( x) =  x−2  a nếu x = 2  Tìm a để hàm số f liên tục tại x0=2  2x + 5 − x + 7  f ( x) =  x−2  a  Ta có: f(2)=a (1) nếu x≠2 nếu x = 2 và: 2x + 5 − x + 7 ( 2 x + 5 − x + 7 )( 2 x + 5 + x + 7 ) lim f (... + x + 7 ) (2 x + 5) − ( x + 7) x−2 = lim = lim = x → 2 ( x − 2)( 2 x + 5 + x + 7 ) x → 2 ( x − 2)( 2 x + 5 + x + 7 ) 1 1 (2) lim = x→2 2 x + 5 + x + 7 6 Từ (1) và (2) theo định nghĩa ta suy ra: Để f liên tục tại x=2 ta phải chọn: a=1/6 . khoâng 1)1( =f Hàm số liên tục tại x=1 Hàm số không liên tục tại x=1 Hàm số không liên tục tại x=1 Theo các em thì hàm số phải thỏa mãn điều kiện gì thì liên tục tại x=1 ? )1(f = Hàm số phải. ta gọi đó là các hàm số liên tục I .Hàm số liên tục tại một điểm: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K và x 0 ∈K. )()(lim 0 0 xfxf xx = → Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x 0 . hạn của hàm số tại một điểm ta có chú ý sau: Hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0 khi và chỉ khi : )()(lim)(lim 0 00 xfxfxf xxxx == +− →→ Chú ý: Phương pháp xét tính liên tục của hàm số y=f(x)