GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN SKKN: NGUYỄN KHÁNH NAM ĐƠN VỊ: THPT NGHÈN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC A.. Lý do chọn đề
Trang 1GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN SKKN: NGUYỄN KHÁNH NAM
ĐƠN VỊ: THPT NGHÈN
SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
A MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài:
Chuyên đề phương trình và bất phương trình vô tỷ là một chuyên đề khó, gây nhiều trở ngại cho học sinh trong các kì thi đại học và cao đẳng do tính đa dạng và không có qui tắc trong mỗi bài toán, đồng thời đây cũng là dạng bài tập rèn luyện được tính tinh hoạt, sáng tạo cho học sinh
Ngày nay máy tính cầm tay là dụng cụ học tập không thể thiếu được của mỗi học sinh phổ thông bởi tính tiện dụng và giúp học sinh rất nhiều trong công việc tính toán Trong toán học đó là giải các phương trình bậc hai, bậc ba, hệ phương trình, đạo hàm, tích phân, số phức đặc biệt trong các bộ môn trắc nghiệm như Vật lý, Hoá học
Trong quá trình giảng dạy và tìm tòi tôi nhận thấy rằng công cụ máy tính cầm tay hỗ trợ rất đắc lực trong việc giải các bài toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ, nếu học sinh được rèn luyện các kĩ năng dùng máy tính thành thạo thì việc giải các bài toán thuộc dạng này trở nên rõ ràng hơn Đó cũng là lí do tôi chọn nghiên cứu chuyên đề:
“SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC ”
2 Mục đích nghiên cứu:
Đề tài nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh các kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay trong việc xác định nghiệm, kết hợp với các phép biến đổi về phương trình, bất phương trình để giải quyết trọn vẹn bài toán phương trình, bất phương trình vô tỷ Qua đó học sinh vận dụng vào các chuyên đề khác trong toán học và các môn khoa học khác
3 Phương pháp nghiên cứu:
Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học
Thực hành giải các bài toán trên máy tính cầm tay
Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những khó khăn của học sinh trong quá trình giải quyết bài phương trình, bất phương trình vô tỷ Từ đó đề xuất phương
án giải quyết, tổng kết thành kinh nghiệm
4 Phạm vi nghiên cứu:
Chuyên đề nghiên cứu các bài toán về phương trình, bất phương trình vô
tỷ, tuy nhiên đề tài chỉ đề cập đến các bài toán có thể dùng công cụ máy tính
Trang 2GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN
cầm tay hỗ trợ, cụ thể là máy tính Casio fx 570ES và Casio fx 570ES PLUS (được phép sử dụng trong các kì thi) Các bài toán được tổng hợp trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi đại học
5 Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 10 các lớp có học lực khá
Các đề thi chính thức, thi thử đại học, các bài viết trên các diễn đàn toán học liên quan đên vấn đề phương trình và bất phương trình vô tỷ
6 Điểm mới của đề tài:
Rèn luyện được các kỹ năng tìm nghiệm bằng máy tính cho học sinh Với mỗi nội dung đều có trình bày bài toán, cú pháp dãy phím bấm, ví dụ minh hoạ và bài tập đề nghị
Định hướng lời giải các bài toán phương trình, bất phương trình vô tỷ một các rõ ràng hơn, tạo thêm nhiều hứng thú cho học sinh khi gặp dạng toán này
Trang 3GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN
B NỘI DUNG
I PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
THÀNH NHÂN TỬ
1.1 Kiến thức cơ bản:
2
0
g x
f x g x
f x g x
0
g x
f x g x
f x g x
3 3
f x g x f x g x
Do khuôn khổ của chuyên đề, tôi không trình bày các chức năng cơ bản của
máy, phần này có thể xem ở tài liệu: “Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO
f x - 570ES ”
1.2 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình 2
4x 8x 2x31
Giải: Điều kiện 3
2
x
2 2
2 2
(2)2x 3 16x 64x 1 64x 8x 16x8x 32x 28x 7x 1 0 Đến đây chúng ta cần có sự hỗ trợ của máy tính:
B1: Nhập vào màn hình phương trình trên bằng cách bấm lần lượt các phím
8 x4 32 x3 28 2
x 7 x 1 ALPHA 0 B2: Bấm các phím SHIFT SOLVE
B3: Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X giá trị thuộc tập xác định, chẳng hạn 1 Máy trả kết quả nghiệm X 0,1043560763
Bấm AC , Bấm ALPHA SHIFT STO A
Nhập lại phương trình vào máy và bấm tiếp SHIFT SOLVE
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X =2 Kết quả X 1,780776404
Bấm AC , Bấm ALPHA SHIFT STO B
Nhập lại phương trình vào máy và bấm tiếp SHIFT SOLVE
Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X =-0,5 Kết quả X 0, 280776406
Bấm AC , Bấm ALPHA SHIFT STO B
Nhận xét: ALPHA A ALPHA B =1,885132483
Trang 4GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN
ALPHA B ALPHA C =3
2, Bấm tiếp ALPHA B X ALPHA C = 1
2
Điều này chứng tỏ B và C là nghiệm của phương trình bậc hai 2
2x 3x 1 0 mà B và C cũng là nghiệm của phương
8x 32x 28x 7x 1 0 Vậy phương trình đã cho tương đương với
Đối chiếu với điều kiện, phương trình có nghiệm là 5 21, 3 17
Như vậy với sự hỗ trợ đắc lực của máy tính, chúng ta đã giải quyết được bài toán một cách rất tự nhiên
Ví dụ 2: Giải phương trình 1 2 1
Giải: Bình phương 2 vế của phương trình ta có
2
Đến đây chúng ta lại vận dụng máy tính tương tự như trong ví dụ 1 ta lại phân
Thử lại phương trình có nghiệm là 5 2 6, 3 2 2
Nhận xét: Việc nhập các giá trị của biến X có thể
ngay từ đầu không cho kết quả như mong muốn nên ta phải thử một vài trường hợp
Ví dụ 3: Giải phương trình 2x 2 3 2x26x30
Ta nhận thấy phương trình có chứa hai dấu căn, có thể giảm bậc của phương trình bằng cách đặt t 2x
Giải:
Điều kiện:x 2 Đặt t 2x với t 0 ta có x 2 t2
Phương trình đã cho trở thành 3 4 2 3 4 2
t t t t t t
Đến đây tiếp tục sử dụng kĩ thuật phân tích bằng máy tính ta được
Đối chiếu điều kiện ta được 1 5, 3 129
Trang 5GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN
Nhận xét: Trong chuyên đề chỉ đề cập đến một số bài đưa về phương trình bậc
bốn nhưng phương pháp này vẫn áp dụng được cho các phương trình bậc cao hơn, tuy nhiên việc phân tích cũng sẽ phức tạp hơn
1.3 Một số bài toán tương tự:
Giải các phương trình sau
Bài 1: x2 4x 3 x2x 3x24x1
Bài 2: 2 5 2 3 2 1 2 1
x x x x
Bài 3: x3 x 1 x 4x 2x3
Bài 4: 2
x x x x x
2 x x 6 5 x 8
x x x x
3x2 x 1 2x x 3
II PHƯƠNG PHÁP NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP
2.1 Kiến thức cơ bản:
Một số hằng đẳng thức hay dùng
x y xy xy
x y xy x xyy
x y xy x xyy
4 4 2 2
x y xy xy x y
Trong phần này chúng ta sẽ dùng chức năng tìm nghiệm phương trình của máy tính SOLVE và tìm cách phân tích về nhân tử bằng cách nhân liên hợp
2.2 Các ví dụ:
Ví dụ 1: (ĐH Khối D 2006) 2
2x 1 x 3x 1 0
Dễ dàng nhẩm được một nghiệm của phương trình là x=1 Tuy nhiên ở đây tôi xin trình bày lại phương pháp nhẩm nghiệm bằng máy tính Casio như sau: B1: Nhập vào màn hình phương trình trên băng cách bấm lần lượt các phím:
2 ALPHA X 1 ALPHA X x2 3 ALPHA X 1 ALPHA 0 B2: Bấm các phím SHIFT SOLVE
B3: Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến X giá trị thuộc tập xác định, chẳng hạn 1
Máy trả kết quả nghiệm bằng 1
Từ nghiệm trên chúng ta sẽ phân tích phương trình về thừa số
Giải:
2
x Phương trình đã cho tương đương với
Trang 6GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN
2
2
2
1 ( 1)
1 1
2 1
2 1
x x
x
Phương trình (1) tương đương với 1 x 2x 1 1 2xx2 2x 1
Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm x 1,x 2 2
Nhận xét: Bài trên có thể giải theo phương pháp bình phương đưa về phương
trình bậc bốn và tìm nghiệm
Ví dụ 2: (Dự bị D 2006)
x x x x x Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 6 máy tính được một nghiệm x=5, tiếp tục bấm SHIFT SOLVE và cho biến nhận giá trị 7 máy tính tiếp được nghiệm thứ hai là x=4 Ta phân tích phương trình thành nhân tử
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với
4
x
Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn
Ví dụ 3: (ĐH Khối B 2010)
3x 1 6 x 3x 14x 8 0 B1: Nhập vào màn hình phương trình trên băng cách bấm tổ hợp phím:
x 14 ALPHA X 8 0
B2: Bấm các phím SHIFT SOLVE
B3: Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị thuộc tập xác định, chẳng hạn 6
Máy trả kết quả nghiệm bằng 5
Rõ ràng để nhẩm được nghiệm bằng 5 không phải dễ dàng nếu không có công
cụ là máy tính
Cách giải này trong đáp án của Bộ giáo dục
Giải:
Điều kiện 1 6
3 x
Phương trình đã cho tương đương với:
Trang 7GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN
( 5)(3 1) 0
3
3x 1 4 6 x 1 x x
nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=5
Ví dụ 4: (Thi Thử Đại học Sư phạm Hà Nội 2013)
3x 7x 3 x 2 3x 5x 1 x 3x 4 Dùng chức năng SHIFT SOLVE ta dễ dàng nhẩm được nghiệm x=-3 Từ đó có cách giải như sau:
Giải:
Điều kiện:
2
5 37 6
x
x
Phương trình đã cho tương đương với
0
2
x
x
(Thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x=2
Ví dụ 5: Giải phương trình 2
9 20 2 3 10
Dùng chức năng SHIFT SOLVE ta dễ dàng nhẩm được nghiệm x=-3 Từ đó có cách giải như sau:
Giải: Điều kiện 10
3
x Phương trình đã cho tương đương với
3 10 1
x
3( )
6
3 10 1
3 10 1
x
x x
x
3x 10 1 vàx 6 3 nên phương trình vô nghiệm
3 x
tương tự có 6 3
3x 10 1 vàx 6 3 nên phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=-3
Trang 8GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN
Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 thì tìm ra nghiệm của phương trình là: x 0 2 Ta có 2
x nên -4 là hằng số cần thêm vào cho 2
12
x nên -3 hằng số cần thêm vào cho 2
5
x
Giải:
Phương trình tương đương với
Nếu x 2 thoả mãn
Nếu
(2)
Vì x2 12 x2 5 nên từ phương trình (1) suy ra 5 3 5 2 0
3
Vậy
Vậy phương trình có nghiệm là x 2
Ví dụ 7: Giải phương trình 3 2 3 3
12x 46x 15 x 5x 1 2(x 1)
Ta dễ dàng nhẩm nghiệm x=2, sử dụng kĩ thuật tách ẩn và theo nghiệm dự đoán
để có thể nhân liên hợp
Phương trình đã cho tương đương với:
12x 46x 15 2x 1 x 5x 1 1 0
0
0
2
0
nên x3 5x 2 0 x 2,x 1 2
Ví dụ 8 : 2 2 2
2x 4x 1 x 3x 1 x 3x
Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 và 10 thì tìm ra nghiệm của phương trình là: x0,x1
Thay x=1 vào 2
3
x x kết quả bằng 2 nên tiếp tục dự đoán sẽ có nhân tử 2
x x x
Giải: Đk x2 3x 0
Trang 9GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN
Phương trình tương đương với
2
2 2
2
0
1
x
x
Cách 2: Có thể áp dụng phương pháp đạo hàm
Phương trình tương đương với 3
2x 2x x 3x x 3x
( ) '( ) 3 1 0
f x x x f x x suy ra 2 0
1
x
x
3x 1 5x4 3x x 3
Dùng chức năng SOLVE ta có hai nghiệm là x0,x1, ta dự đoán 2
x x là thừa số chung cần phân tích
Cần tìm a b, sao cho phương trình 3x 1 axb0 (*)nhận x0,x1 làm nghiệm Thay x0,x1 vào (*) ta có 1 1
Vậy x 1 là biểu thức cần thêm vào cho 3x 1, tương tự x 2 là biểu thức cần thêm vào cho 5x 4
Giải:
5
x Phương trình tương đương với
2
2
3
x x
Nếu 2
x x x x
3x 1 x 1 5x 4 x 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x0,x1
Ví dụ 10: Giải bất phương trình 2x 1 x3 5x2 5x 1
Nghiệm của phương trình là x 4
2
2
2
2 2 1 3
2
2 2 1 3
x
x
x
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm 1; 4
2
S
Trang 10GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN
Ví dụ 11: (Thi Thử Đại Học Vinh Khối A 2014)
Giải bất phương trình sau: 2
4 x 1 2 2x 3 x 1 x 2 Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 máy tính được một nghiệm
x=-1, tiếp tục bấm SHIFT SOLVE và cho biến nhận giá trị 10 máy tính tiếp được nghiệm thứ hai là x=3 Ta phân tích phương trình thành nhân tử
Điều kiện: x 1.Nhận thấy x 1là một nghiệm của bất phương trình
Xét x 1 khi đó bất phương trình tương đương với
3 2
2
2
3
x
Do đó bất phương trình (1) x 3 0 x 3 Vậy tập nghiệm là 1
3
x x
Ví dụ 12: Giải phương trình
2
2
Dùng chức năng SOLVE ta tìm được hai nghiệm là X 1 1, 732050808 lưu vào biến nhớ A, X 2 1, 732050808 lưu vào biến nhớ B Tính A+B =0 và AB=-3
Do đó X X1, 2 là hai nghiệm của phương trình 2
3 0
x Lại có
2
1
1 1 4
X
nên -1 là hằng số cần thêm vào và
2 1
2 1
2
là hằng số thêm vào
cho
2
1
1
x
Giải:
Điều kiện x 4
Trang 11GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN
2
2
1 4
x
x
Ví dụ 13: Giải phương trình x33x 1 8 3 x2
Đk: 2 6 2 6
Trong bài toán này, ta không thể nhẩm ra ngay được nghiệm của phương trình
để dùng lượng liên hợp Tuy nhiên với sự hỗ trợ đắc lực của máy tính Casio fx570 Es thì mọi chuyện có vẻ dễ dàng hơn!
Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 và 1 thì tìm ra 2 nghiệm của phương trình là: x1 0, 6180339887 ;x2 1, 618033989 sau đó gán hai nghiệm này vào hai biến A và B
Cách làm: Sau khi bấm SHIFT SOLVE và tìm được nghiệm
1 0, 6180339887
x ta bấm tiếp SHIFT STO ALPHA A , tìm nghiệm
2 1, 618033989
x bấm tiếp SHIFT STO B ,
Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay không bằng cách bấm ALPHA A ALPHA B và ALPHA A x ALPHA B
Ta có AB1,AB 1
Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình: 2
1 0
x x
Và từ đây, ta có thể dự đoán được 2
1
x x chính là nhân tử của phương trình
Ta viết pt đã cho lại thành:
x x pxq x pxq
3
2
8 3
8 3
x px q
3
2
8 3
x px q
Đến đây, để xuất hiện nhân tử 2
1
x x thì
p x pqxq k x x với k là một hệ số Chọn k = 4 thì ta được
một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2) Khi đó (2) trở thành:
2 3
2
1
2
4
Trang 12GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN
f x x x ta có:
2
3
8 3
x
f x
x
2
'( ) 0 1
3
8 3
x
x
Ta có bảng biến thiên:
6 4 6
3
3
3
2
3
f x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 2 1 5
1 0
2
x x x
Ví dụ 14: Giải phương trình 2 2
x x x x x
Cũng bằng cách làm như ở ví dụ trên ta phân tích được như sau:
x x x x x x
2 2
2
x x
Ví dụ 15: Giải bất phương trình 3 2
2x 1 2 x 3x 2x 1 Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 và thì tìm ra nghiệm của phương trình là: x 0, 41421356 Ta dự đoán nghiệm của phương trình là
1 2
x
Bấm tiếpSHIFT STO ALPHA A gán x cho A
Nhập vào máy tính 2A 1 , Kết quả 0, 4142135662 , tức là 2 1 Lại có
2 1 x, nên tiếp tục dự đoán sẽ có nhân tử 2x 1 x 0
Trang 13GV: NGUYỄN KHÁNH NAM THPT NGHÈN
Ta có lời giải: Điều kiện 1
2
x
Bất phương trình tương đương với
3
2
2 1 0
x
6x 18x 8x 4 3x 6x 4 x 2x 7 0 Nhập vào máy tính phương trình trên sau đó dùng chức năng SHIFT SOLVE : Máy hỏi Solve for X ta nhập cho biến x giá trị 0 và thì tìm ra nghiệm của phương trình là: x 2, 414213562 Ta dự đoán nghiệm của phương trình là
1 2
x
Bấm tiếpSHIFT STO ALPHA A gán x cho A
Nhập vào máy tính 2
A A , Kết quả 2 2, Lại có 2 2 2x 2, nên tiếp tục dự đoán sẽ có nhân tử 2
x x x Bằng các phép biến đổi ta đi đến phương trình
2 7 2 2 2 7 2 2 1 0
x x x x x x
2.3 Một số bài toán tương tự:
Bài 1: 3 2 x 2 2x x 6
Bài 2:
2 2
1 2
1
Bài 3 9 4x 1 3x 2 x 3
Bài 4 x 2 4 x 2x2 5x 1