Ta lấy logarith với cơ số 10 hai vế của BĐT trên ta được BĐT tương đương cần được chứng minh:.
Trang 1Dạng tốn: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MŨ_ LOGARITH
Bài tập 1: Chứng minh rằng:
2
2
e ³ + +x " ³x
( ) 5x 1
y= f x = x + -x đồng biến trên R
Bài giải:
1) Xét hàm số
2
2
f x =e - - -x với x³0, ta cĩ:
f x =e - -x f x =e - Þ f x = Û =x
Lập bảng biến thiên suy ra: / / / / / / ( )
( ) (0) 0 0
2) TXĐ: D R=
Ta cĩ:
1
/
( ) 0
f x x R
í
ï
ỵ
Vậy hàm số y= f x( ) đồng biến trên R (đ.p.c.m)
Bài tập 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2
b c c a a b
a b
x y y
x x y
+
+
Bài giải:
1) Ta cĩ: ln ln 2 ln( ln ) 2 ln 2 ln 2 2 ln
a+ b £ a+ b = ab £ ỉ + ư = +
Dấu “=” xãy raÛ =a b
2) Ta cĩ: log log log log log log log log
b c b a b c a b b a a b b a a b
a =c Þa +c =c +c ³ c c ³ c
Tương tự: log log
2
b c a c
a +b ³ a, log log
2
c a a b
b +c ³ b
Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta cĩ:
3
b c c a a b
a +b +c ³ + + ³a b c abc
Dấu “=” xãy raÛ = =a b c
3) Đặt t = x+y > Þ1 tx = + Û =x y y x t( -1)
Trang 2Do đó: ( )
2
x t
x y x x t t
Bài toán trở thành chứng minh: 1 ( )
1
t
t
-> " >
+
1
t
t
+
Ta có:
2 /
1
t
t t t t
1
t
t
-> " >
+ (đ.p.c.m)
4) Ta có BĐT cần chứng minh tương đương với
ln 4 1 ln 4 1
(1)
Xét hàm số ln 4( 1) ( )
t
t
+
/
2
4 ln 4 1 4 1 ln 4 1
4 1
t
t
+
nên hàm số ( )f t nghịch biến trên (0;+¥)
a b f a f b
Bài tập 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2 b 1
1
1
1
2
x b
x x
x
x
+
+
+ +
+
³ç ÷ " >
Bài giải:
x
1
1
x x
+
+ là hàm tăng trên (0;+¥)
Trang 3Mặt khác:
2
x
x
f x x
®+¥
- = Þ < " >
2) Xét hai hàm số f x( )=ln 1( +x)-x và ( ) ln 1( )
1
x
x
-+ với x>0
3) Xét hàm số ( ) ln ( ) ( )ln
x b
+
/
/
( )
( )
2 /
2
mà lim ( ) 0
Þ > " > Þ > " > suy ra ( )f x đồng biến trên [0;+¥)
b
a
b
æ ö
Þ > =ç ÷ " >
è ø (đ.p.c.m)
Û +ê ç ÷ ú < +ê ç ÷ ú Û +ê ç ÷ ú < +ê ç ÷ ú Û + < +
với 3
2
a=
2
1
Vậy ( )f t nghịch biến trên (0;+¥) mà x > > Þy 0 f x( )< f y( ) vậy (1) đúng nên BĐT được chứng minh
5) Ta có
1
x
+
Khảo sát hàm số f x( )=xlnx-(x+1 ln) (x+ +1) (x+1 ln 2 ) (" ³x 1) ta có điều phải chứng minh
Bài tập 4: Chứng minh với , , a b c>0 ta có: ( )1 ( )
3
a b c ³ abc + +
Bài giải:
Vì hàm số y=lgx đồng biến trên (0;+¥) Ta lấy logarith với cơ số 10 hai vế của BĐT trên
ta được BĐT tương đương cần được chứng minh:
Trang 4Ta có:
lg lg lg lg lg lg (4)
a b a b a a b b a b b a
b c b c b b c c b c c b
c a c a c c a a c a a c
a a b b c c a a b b c c
Cộng (1), (2), (3) và (4) vế theo vế ta được đ.p.c.m
Bài tập 5:
a) Chứng minh với , a b>1 thì với mọi c³0 ta có loga b³loga c+ b và dấu đẳng thức xãy ra khi c=0
b) Chứng minh rằng với b³ >a 1 thì với mọi c³0 ta có loga b³loga c+ (b+c) và dấu đẳng thức xãy ra khi c=0 hoặc a=b
c) Không dùng bảng số và máy tính, chứng tỏ rằng 3log 293 2 log 7.2
log x - x+ 3x -6x+5 =log x - +x 4x -8x+6
Bài giải:
a) Vì , a b>1 và c³0 nên logb(a+c) ³logb a Dấu “=” xãy ra Û =c 0
Do đó:
logb a c £logb a
+ hay loga b³loga c+ b (đ.p.c.m) b) Ta có: loga b loga c(b c) loga b 1 loga c(b c) 1 loga b loga c b c
+
+
Vì b³ >a 1, c³0 suy ra b c 1
a c
b b c
a a c
+
³ + , do đó:
loga b loga b c loga c b c ( theo c©u a )
a a c + a c
Rõ ràng dấu đẳng thức xãy ra khi chỉ khi c=0 hoặc a=b
c) Ta có
log 29 2 log 7 log 29 log 28 log 29 log 28 log 29 log 28
Áp dụng BĐT ở câu b) với a=8, b=28, c=1 ta suy ra đ.p.c.m
d) Ta có:
2
2
2
Theo kÕt qu¶ c©u b)
x
Û ê
êë
Trang 5Bài tập 6: Chứng minh với , , a b c>1 thỏa mãn ( )( )( ) ( )3
2
a+b b+c c+a = a+ +b c :
3
2
a b+ a+ b c+ b+ c a+ c<
Bài giải:
Ta có, theo bài tập 5, ta có:
loga a+b >loga c+ a+ + Þb c loga b+ a<loga b c+ + a+c (1)
Tương tự, ta có: logb c+ b<loga b c+ + (a+b) (2)
logc a+ c<loga b c+ + b+c (3) Cộng vế theo vế các BĐT (1), (2) và (3), kết hợp với giả thiết, ta suy ra điều phải chứng minh
Bài tập 7: Chứng minh với mọi" Îx ( )0;1 ta có:
1 1
2
n
ne
- <
Bài giải:
BĐT cần chứng minh ( ) 2 1
2n 1 x x n
e
Û - < Ta có:
Theo BĐT Cauchy:
2
2
n
n
n x x n nx x x x
hay 2 1 ln 2 ln 2 1 1
2 1
n
n
+
ln 2 1 ln 2
n
+
Xét hàm số f x( )=ln , 2x ( n£ £x 2n+1) có / 1
( )
f x
x
=
Theo định lí La-gơ-răng thì $ Îc (2 ;2n n+1) để: ( )
ln 2 1 ln 2 1
+
-=
mà c<2n+1 nên 1 1
2 1
c > n
+ suy ra đ.p.c.m
Bài tập 8: Chứng minh với x>0, a>1 ta có:
n
a x a
n
Bài giải:
Ta có: x xlna
a =e và đặt t =xlna>0
BĐT cần chứng minh trở thành: Với t >0, ta có:
2
n
e t
n
> + + + +
Trang 6Chứng minh bằng quy nạp ( ) 1 2 ( 0 (*))
n t
n
n
= - - - " >
n= f t = - - Þe t f t = - >e " >t
Suy ra f t1( ) đồng biến trên [0;+¥ Þ) f t1( )> f1(0)=0 BĐT (*) đúng với n=1
Giả sử (*) đúng đến *
n= Îk N , tức là f t k( )>0 (" >t 0)
Ta cần chứng minh (*) đúng đến *
1
n= + Îk N , tức là f k+1( )t >0 (" >t 0) Thật vậy, ta có:
t k
f t e t
k k
+
-+
2 /
k t
k
+
Þ = - - - = > " > ( theo giả thiết quy nạp )
Vậy f k+1( )t đồng biến trên [0;+¥ Þ) f k+1( )t > f k+1(0)=0 (đ.p.c.m)
Bài tập 9: Chứng minh rằng với 0 a b< < ta có:
ln
b a b b a
-< <
Bài giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với 1 lnb lna 1
b b a a
Xét hàm số f x( )=ln , x xÎ[ ]a b; Rõ ràng ( )f x là hàm số liên tục trên [ ]a b; và ta có
( )
f x x a b
x
= " Î , vậy tồn tại cÎ( )a b; để lnb lna 1
b a c
Mà 0 a c b< < < nên 1 1 1
b < <c a Từ đây, BĐT (*) được chứng minh