1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Dham cho BDT hs mu, logarit

15 289 1
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 15
Dung lượng 307,5 KB

Nội dung

Dạng 6 Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức Chuyên đề: Hàm số Nội dung  Dạng 6. Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức: • Dạng 6A: Bất đẳng thức về hàm số mũ, log • Dạng 6B: Bất đẳng thức về hàm số lượng giác • Dạng 6C: Sử dụng đạo hàm bậc cao Dạng 6A Bất đẳng thức về hàm số mũ, logarit Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log  Bài tập mẫu Chứng minh rằng nếu x > 0 thì e x > 1 + x. Giải Xét hàm số f(x) = e x – (1 + x). Ta có f ’(x) = e x – 1 > 0 ∀x > 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R. Do đó nếu x > 0 => f(x) = e x – 1 – x > 0 => e x > 1 + x ∀x > 0 (đpcm).  Lưu ý • Bài toán: chứng minh rằng f(x) > 0 thoả mãn với mọi x trong khoảng (a ; b). • Cách giải thường gặp: - Sử dụng đạo hàm để xét biến thiên của hàm số. - Nếu hàm số đồng biến trong khoảng (a ; b) thì ∀x∈ (a ; b) => f(a) < f(x) < f(b) - Nếu hàm số nghịch biến trong khoảng (a ; b) thì ∀x∈ (a ; b) => f(b) < f(x) < f(a). Từ đó suy ra đpcm. Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log  Bài tập tương tự Chứng minh rằng nếu x > 0 thì Giải Xét hàm số Ta có ,suy ra hàm số f(x) nghịch biến khi x > 0 (thực chất hàm số nghịch biến trên R). Do đó nếu (đpcm). Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log   + + <  ÷   2 x ln 1 x x. 2   = + + −  ÷   2 x f(x) ln 1 x x 2 + = − = − < ∀ >   + + + +  ÷   2 2 2 1 x x f '(x) 1 0 x 0 x x 1 x 2 1 x 2 2     > ⇒ = + + − < = ⇒ + + < ∀ >  ÷  ÷     2 2 x x x 0 f(x) ln 1 x x f(0) 0 ln 1 x x x 0 2 2  Bài tập tương tự (tt) • Lưu ý. Ta có các bất đẳng thức sau: > + + + + ∀ > ∈   + + + + < ∀ > ∈  ÷   2 n x 2 n x x e 1 x . x 0,n N * 2 n! x x ln 1 x . x x 0,n N* 2 n! Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log Dạng 6B Bất đẳng thức về hàm số lượng giác  Bài tập mẫu Chứng minh rằng nếu thì sinx < x < tanx Giải  Xét hàm số , suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R. Do đó nếu thì f(x) = x – sinx > f(0) = 0 =>sinx < x  Xét hàm số suy ra hàm số f(x) đồng biến trong . Do đó nếu thì g(x) = tanx – x > g(0) = 0 => tanx > x Vậy nếu thì sinx < x < tanx Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm số lượng giác π < <0 x 2 = − ⇒ = − = ≥ ∀ 2 x f(x) x sinx f '(x) 1 cosx 2sin 0 x 2 π = − ⇒ = − = > ∀ < < 2 2 1 g(x) tanx x g'(x) 1 tan x 0 x : 0 x cos x 2 π    ÷   0; 2 π < <0 x 2 π < <0 x 2 π < <0 x 2  Bài tập tương tự Chứng minh rằng nếu thì sinx + tanx > 2x. Giải Xét hàm số Nếu thì Suy ra hàm số f(x) đồng biến trong . Do đó nếu thì f(x) = sinx + tanx – 2x > f(0) = 0 => sinx + tanx > 2x (đpcm). Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm số lượng giác π < <0 x 2 = + − ⇒ = + − 2 1 f(x) sinx tan x 2x f '(x) cos x 2 cos x π < <0 x 2 < < ⇒ >   ⇒ = + − > + − = − >  ÷   2 2 2 2 2 0 cos x 1 cos x cos x 1 1 1 f '(x) cos x 2 cos x 2 cosx 0 cos x cos x cos x π    ÷   0; 2 π < <0 x 2 . giác • Dạng 6C: Sử dụng đạo hàm bậc cao Dạng 6A Bất đẳng thức về hàm số mũ, logarit Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log  Bài tập mẫu Chứng minh rằng

Ngày đăng: 19/09/2013, 12:10

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w