Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 15 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
15
Dung lượng
307,5 KB
Nội dung
Dạng 6 Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức Chuyên đề: Hàm số Nội dung Dạng 6. Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức: • Dạng 6A: Bất đẳng thức về hàm số mũ, log • Dạng 6B: Bất đẳng thức về hàm số lượng giác • Dạng 6C: Sử dụng đạo hàm bậc cao Dạng 6A Bất đẳng thức về hàm số mũ,logarit Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log Bài tập mẫu Chứng minh rằng nếu x > 0 thì e x > 1 + x. Giải Xét hàm số f(x) = e x – (1 + x). Ta có f ’(x) = e x – 1 > 0 ∀x > 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R. Do đó nếu x > 0 => f(x) = e x – 1 – x > 0 => e x > 1 + x ∀x > 0 (đpcm). Lưu ý • Bài toán: chứng minh rằng f(x) > 0 thoả mãn với mọi x trong khoảng (a ; b). • Cách giải thường gặp: - Sử dụng đạo hàm để xét biến thiên của hàm số. - Nếu hàm số đồng biến trong khoảng (a ; b) thì ∀x∈ (a ; b) => f(a) < f(x) < f(b) - Nếu hàm số nghịch biến trong khoảng (a ; b) thì ∀x∈ (a ; b) => f(b) < f(x) < f(a). Từ đó suy ra đpcm. Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log Bài tập tương tự Chứng minh rằng nếu x > 0 thì Giải Xét hàm số Ta có ,suy ra hàm số f(x) nghịch biến khi x > 0 (thực chất hàm số nghịch biến trên R). Do đó nếu (đpcm). Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log + + < ÷ 2 x ln 1 x x. 2 = + + − ÷ 2 x f(x) ln 1 x x 2 + = − = − < ∀ > + + + + ÷ 2 2 2 1 x x f '(x) 1 0 x 0 x x 1 x 2 1 x 2 2 > ⇒ = + + − < = ⇒ + + < ∀ > ÷ ÷ 2 2 x x x 0 f(x) ln 1 x x f(0) 0 ln 1 x x x 0 2 2 Bài tập tương tự (tt) • Lưu ý. Ta có các bất đẳng thức sau: > + + + + ∀ > ∈ + + + + < ∀ > ∈ ÷ 2 n x 2 n x x e 1 x . x 0,n N * 2 n! x x ln 1 x . x x 0,n N* 2 n! Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log Dạng 6B Bất đẳng thức về hàm số lượng giác Bài tập mẫu Chứng minh rằng nếu thì sinx < x < tanx Giải Xét hàm số , suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R. Do đó nếu thì f(x) = x – sinx > f(0) = 0 =>sinx < x Xét hàm số suy ra hàm số f(x) đồng biến trong . Do đó nếu thì g(x) = tanx – x > g(0) = 0 => tanx > x Vậy nếu thì sinx < x < tanx Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm số lượng giác π < <0 x 2 = − ⇒ = − = ≥ ∀ 2 x f(x) x sinx f '(x) 1 cosx 2sin 0 x 2 π = − ⇒ = − = > ∀ < < 2 2 1 g(x) tanx x g'(x) 1 tan x 0 x : 0 x cos x 2 π ÷ 0; 2 π < <0 x 2 π < <0 x 2 π < <0 x 2 Bài tập tương tự Chứng minh rằng nếu thì sinx + tanx > 2x. Giải Xét hàm số Nếu thì Suy ra hàm số f(x) đồng biến trong . Do đó nếu thì f(x) = sinx + tanx – 2x > f(0) = 0 => sinx + tanx > 2x (đpcm). Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm số lượng giác π < <0 x 2 = + − ⇒ = + − 2 1 f(x) sinx tan x 2x f '(x) cos x 2 cos x π < <0 x 2 < < ⇒ > ⇒ = + − > + − = − > ÷ 2 2 2 2 2 0 cos x 1 cos x cos x 1 1 1 f '(x) cos x 2 cos x 2 cosx 0 cos x cos x cos x π ÷ 0; 2 π < <0 x 2 . giác • Dạng 6C: Sử dụng đạo hàm bậc cao Dạng 6A Bất đẳng thức về hàm số mũ, logarit Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm số mũ, log Bài tập mẫu Chứng minh rằng