CHƯƠNG I: Tổ hợp và xác suất Phần I: Tổ hợp Bài 1: Tập hợp Ngày soạn: Ngày dạy: Số tiết: 03(02LT+01BT) I. Mục tiêu: 1.Về kiến thức: Giúp học sinh nắm được : Khái niệm tập hợp, kí hiệu tập hợp, biểu đồ Ven. Các phương pháp xác định tập hợp. Tập con, tập rỗng, tập bằng nhau. Các phép toán trên tập hợp: Phép hợp, phép giao, hiệu của hai tập hợp, phép lấy phần bù. Các tập hợp số. 2.Về kĩ năng: Học sinh nắm vững lí thuyết và thực hành tốt các bài tập có liên quan đến: Các phép toán trên tập hợp: Phép hợp, phép giao, hiệu của hai tập hợp, phép lấy phần bù. 3. Về thái độ: Cẩn thận, chính xác trong tính toán. Phát triển tư duy toán học II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: 1.Chuẩn bị của giáo viên: Giáo án, giáo trình, hệ thống câu hỏi gợi mở Đồ dùng dạy học 2. Chuẩn bị của học sinh: Ôn tập lại các kiến thức đã học về tập hợp. Đồ dùng học tập III. Phương pháp: Thuyết trình, vấn đáp gợi mở. IV. Tiến trình bài dạy: 1. Ổn định tổ chức lớp: 2. Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi: Lấy một số ví dụ về tập hợp ở trong lớp? 3. Bài mới: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh 1.Tập hợp: a, Khái niệm tập hợp: Tập hợp là một khái niệm cơ bản, không được định nghĩa mà được hiểu trực giác một cách tự nhiên, là sự tập tụ của các đối tượng có chung một tính chất nào đó hoặc có thể liệt kê ra. b, Kí hiệu tập hợp: Mỗi tập hợp thường được ký hiệu bởi các chữ in hoa A, B, C… Các phần tử của nó thường được ký hiệu bởi các chữ in thường a, b, c… Ta viết x X để ký hiệu x là một phần tử của X. Nếu y không phải là một phần tử của X thì ta ký hiệu y X. Một tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập rỗng, ký hiệu . c. Biểu đồ Ven: Người ta thường dùng một đường cong khép kín để biểu diễn một tập hợp. Mỗi một điểm bên trong đường cong biểu diễn một phần tử thuộc tập hợp. Mỗi điểm nằm ngoài đường cong biểu diễn một phần tử không thuộc tập hợp. Đường cong đó được gọi là biểu đồ Ven. 2. Các phương pháp biểu diễn tập hợp: Liệt kê các phần tử của tập hợp: Nếu tập hợp X gồm các phần tử x1, x2, x3, ..., xn thì ta kí hiệu: X= x1, x2, x3, .., xn . Chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp: Tập hợp E gồm các phần tử có tính chất T(x), ta viết: E = {x : T(x)}. 3. Tập con, tập rỗng, tập bằng nhau: a. Tập con: Tập A được gọi là tập con của tập B và kí hiệu là nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B. Nếu thì ta nói tập A bị chứa trong tập B hay tập B chứa tập A và còn viết là . Tính chất: và ; b. Tập hợp bằng nhau: Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau và kí hiệu là A=B nếu mỗi phần tử của A là một phần tử của B và mỗi phần tử của B cũng là một phần tử của A. 4. Các phép toán trên tập hợp: a. Phép hợp: Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu là , là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B. A B = x x A hoặc x B . b. Phép giao: Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu là , là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc cả A và B. A B = x x A và x B c. Phép lấy phần bù: Cho A là tập con của tập E. Phần bù của A trong E, kí hiệu là CEA, là tập hợp tất cả các phần tử của E mà không là phần tử của A. và d. Hiệu của hai tập hợp: Hiệu của hai tập hợp A và B, kí hiệu là AB, là tập hợp bao gồm tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. và 5. Các tập hợp số: Chúng ta đã biết tập hợp số nguyên dương N, tập hợp số tự nhiên N, tập hợp số nguyên Z, tập hợp số hữu tỉ Q, tập hợp số thực R và tập hợp số phức C. Ta có quan hệ sau: Bài tập: Câu 1: Cho các tập hợp ; ; ; . Tìm các tập sau đây: a. A B; A C; B C; B D. b. A B; A C; B C; B D. c. ( A B) C; (B C) D d. (A B) C; (B C ) D. e. AB; AC; B C; B C. f. CR(A); CR(B); CR(C); CR(D). Câu 2: Cho hai đoạn và . Các số a, b cần thỏa mãn điều kiện gì để . Lĩnh hội kiến thức Lĩnh hội kiến thức Lĩnh hội kiến thức. Ví dụ 1: a, Tập . Hãy viết tập A bằng cách liệt kê các phần tử của nó. b, Tập . Hãy viết tập B bằng cách chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. Ghi nhớ kiến thức Ví dụ 2. a. Cho hai tập hợp và . Hỏi hay ? b. Gọi A = các điểm cách đều hai điểm cố định M và N và B = các điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN . Khi đó A=B. Ghi nhớ kiến thức. Ví dụ 3: Cho khoảng A=(2;4) và nửa khoảng B=2;3). Tìm A B. Ghi nhớ kiến thức. Ví dụ 4: Cho đoạn A=1;7 và nửa khoảng B=3;3). Tìm A B. Ghi nhớ kiến thức. Ví dụ 5: Cho nửa khoảng , đoạn và khoảng . Tìm AB và CBC. Ví dụ 6: Hãy nêu tên, kí hiệu các tập con của các tập số thực và biểu diễn các tập con đó trên trục số. Học sinh làm bài Học sinh làm bài
CHƯƠNG I: Tổ hợp xác suất Phần I: Tổ hợp Bài 1: Tập hợp Ngày soạn: Ngày dạy: Số tiết: 03(02LT+01BT) I Mục tiêu: 1.Về kiến thức: Giúp học sinh nắm : - Khái niệm tập hợp, kí hiệu tập hợp, biểu đồ Ven - Các phương pháp xác định tập hợp - Tập con, tập rỗng, tập - Các phép toán tập hợp: Phép hợp, phép giao, hiệu hai tập hợp, phép lấy phần bù - Các tập hợp số 2.Về kĩ năng: - Học sinh nắm vững lí thuyết thực hành tốt tập có liên quan đến: Các phép toán tập hợp: Phép hợp, phép giao, hiệu hai tập hợp, phép lấy phần bù Về thái độ: - Cẩn thận, xác tính tốn - Phát triển tư toán học II Chuẩn bị giáo viên học sinh: 1.Chuẩn bị giáo viên: - Giáo án, giáo trình, hệ thống câu hỏi gợi mở - Đồ dùng dạy học Chuẩn bị học sinh: - Ôn tập lại kiến thức học tập hợp - Đồ dùng học tập III Phương pháp: Thuyết trình, vấn đáp gợi mở IV Tiến trình dạy: Ổn định tổ chức lớp: Kiểm tra cũ: Câu hỏi: Lấy số ví dụ tập hợp lớp? Bài mới: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh 1.Tập hợp: a, Khái niệm tập hợp: Tập hợp khái niệm bản, không - Lĩnh hội kiến thức định nghĩa mà hiểu trực giác cách tự nhiên, tập tụ đối tượng có chung tính chất liệt kê b, Kí hiệu tập hợp: Mỗi tập hợp thường ký hiệu chữ in hoa A, B, C… Các phần tử thường ký hiệu chữ in thường - Lĩnh hội kiến thức a, b, c… Ta viết x ∈ X để ký hiệu x phần tử X Nếu y phần tử X ta ký hiệu y ∉ X Một tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu φ c Biểu đồ Ven: Người ta thường dùng đường cong khép kín để biểu diễn tập hợp Mỗi điểm bên đường cong biểu - Lĩnh hội kiến thức diễn phần tử thuộc tập hợp Mỗi điểm nằm đường cong biểu diễn phần tử không thuộc tập hợp Đường cong gọi biểu đồ Ven Ví dụ 1: Các phương pháp biểu diễn tập hợp: a, Tập A = { n ∈ N | ≤ n ≤ 10} - Liệt kê phần tử tập hợp: Nếu tập Hãy viết tập A cách liệt hợp X gồm phần tử x1, x2, x3, , xn ta kê phần tử kí hiệu: X= { x1, x2, x3, , xn } b, Tập B = { − 3;−2;−1;0;1;2;3} Chỉ rõ tính chất đặc trưng cho Hãy viết tập B cách phần tử tập hợp: Tập hợp E gồm rõ tính chất đặc trưng phần tử có tính chất T(x), ta viết: cho phần tử E = {x : T(x)} - Ghi nhớ kiến thức Ví dụ Tập con, tập rỗng, tập nhau: a Tập con: Tập A gọi tập a Cho hai tập hợp tập B kí hiệu A ⊂ B phần tử A = { n ∈ N | n M } tập A phần tử tập B B = { n ∈ N | n M } Hỏi A ⊂ B 10 A ⊂ B ⇔ ( ∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B ) Nếu A ⊂ B ta nói tập A bị chứa hay B ⊂ A ? tập B hay tập B chứa tập A viết b Gọi A = { điểm cách hai điểm cố định M N B ⊃ A Tính chất: } B = { điểm nằm ( A ⊂ B B ⊂ C ) ⇒ ( A ⊂ C ) đường trung trực A⊂ A; φ ⊂ A đoạn thẳng MN } Khi b Tập hợp nhau: Hai tập hợp A B A=B gọi kí hiệu A=B phần tử A phần tử B phần tử B phần tử A Các phép toán tập hợp: a Phép hợp: Hợp hai tập hợp A B, kí hiệu A ∪ B , tập hợp bao gồm tất phần tử thuộc A thuộc B A ∪ B = { x\ x ∈ A x ∈ B } b Phép giao: Giao hai tập hợp A B, kí hiệu A ∩ B , tập hợp bao gồm tất phần tử thuộc A B A ∩ B = { x\ x ∈ A x ∈ B } - Ghi nhớ kiến thức Ví dụ 3: Cho khoảng A=(2;4) nửa khoảng B=[-2;3) Tìm A ∪ B - Ghi nhớ kiến thức Ví dụ 4: Cho đoạn A=[-1;7] nửa khoảng B=[-3;3) Tìm A ∩ B - Ghi nhớ kiến thức c Phép lấy phần bù: Cho A tập tập E Phần bù A E, kí hiệu CEA, tập hợp tất phần tử E mà không phần tử A C E A = { x | x ∈ E x ∉ A} d Hiệu hai tập hợp: Ví dụ 5: Cho nửa khoảng A = [ 2;5) , đoạn B = [ − 1;3] Hiệu hai tập hợp A B, kí hiệu A\B, khoảng C = ( 3;4 ) Tìm A\B tập hợp bao gồm tất phần tử thuộc CBC A khơng thuộc B Ví dụ 6: Hãy nêu tên, kí hiệu A \ B = { x | x ∈ A x ∉ B} tập tập số Các tập hợp số: thực biểu diễn tập Chúng ta biết tập hợp số nguyên trục số dương N*, tập hợp số tự nhiên N, tập hợp số nguyên Z, tập hợp số hữu tỉ Q, tập hợp số thực R tập hợp số phức C Ta có quan hệ sau: N* ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C - Học sinh làm * Bài tập: Câu 1: Cho tập hợp A = ( − 10;−5] ; B = [ − ≤ x < 3) ; C = ( − 9;1] ; D = ( 2;5) Tìm tập sau đây: a A ∩ B; A∩ C; B ∩ C; B ∩ D b A ∪ B; A ∪ C; B ∪ C; B ∪ D c ( A ∩ B) ∪ C; (B ∩ C) ∪ D d (A ∪ B) ∩ C; (B ∪ C )∩ D e A\B; A\C; B \ C; B \ C f CR(A); CR(B); CR(C); CR(D) Câu 2: - Học sinh làm Cho hai đoạn A = [ a; a + 2] B = [ b; b + 1] Các số a, b cần thỏa mãn điều kiện để A∩ B = φ V.Củng cố hướng dẫn học nhà: Khắc sâu lại kiến thức khái niệm tập hợp, phép toán tập hợp Yêu cầu học sinh làm tập SGT Ôn tập lại kiến thức học tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị Bài 2: Đại số tổ hợp Ngày soạn: Ngày dạy: Số tiết: 07(04LT+03BT) I Mục tiêu: 1.Về kiến thức: Giúp học sinh nắm được: - Quy tắc đếm: Quy tắc cộng quy tắc nhân - Tổ hợp: Khái niệm, số tổ hợp, tính chất - Hốn vị, chỉnh hợp: Khái niệm, số chỉnh hợp hoán vị 2.Về kĩ năng: - Học sinh nắm vững lí thuyết thực hành tốt tập có liên quan đến: Quy tắc đếm, tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị Về thái độ: - Cẩn thận, xác tính tốn - Phát triển tư toán học II Chuẩn bị giáo viên học sinh: • Chuẩn bị giáo viên: - Giáo án, giáo trình, hệ thống câu hỏi gợi mở - Đồ dùng dạy học Chuẩn bị học sinh: - Ôn cũ - Đồ dùng học tập III Phương pháp: Thuyết trình, vấn đáp gợi mở IV Tiến trình dạy: • Ổn định tổ chức lớp: • Kiểm tra cũ: Câu hỏi: Nêu phép toán tập hợp? (Phép hợp, phép giao, hiệu hai tập hợp, phép lấy phần bù) Bài mới: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Quy tắc đếm: a Quy tắc cộng - Quy tắc cộng Giả sử công việc thực theo phương án A phương án B - Lĩnh hội kiến thức Có n cách thực phương án A m cách thực phương án B Khi cơng việc thực n+m cách - Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án phát biểu sau: Giả sử cơng việc thực - Lĩnh hội kiến thức theo k phương án A1, A2, …, Ak Có n1 cách thực phương án A 1, n2 cách thực phương án A2, … nk cách thực phương án Ak Khi cơng việc Ví dụ 1: Từ chữ số 1, 2, lập được thực theo n1+n2+…+nk cách số tự nhiên? Yêu cầu học sinh làm ví dụ b Quy tắc nhân - Quy tắc nhân: Giả sử cơng việc bao gồm Ví dụ 2: Từ chữ số 0, 1, hai công đoạn A B Cơng đoạn A 2, 3, 4, 5, Có thể lập theo n cách Với cách thực công số tự nhiên thỏa mãn đoạn A cơng đoạn B làm theo m a Có chữ số cách Khi cơng việc thực theo b Số tự nhiên chẵn có chữ nm cách số - Quy tắc nhân cho cơng việc bao gồm c Có chữ số có nhiều cơng đoạn phát biểu sau: mặt chữ số Một công việc bao gồm k cơng d Có chữ số có đoạn A1, A2, …, Ak Cơng đoạn A1 mặt hai chữ số thực theo n1 cách, công đoạn A2 thực theo n2 cách, …, cơng đoạn Ak thực theo nk cách Khi cơng việc - Lĩnh hội kiến thức thực theo n1n2…nk cách Giáo viên yêu cầu học sinh làm ví dụ Tổ hợp: a Khái niệm tổ hợp: Cho tập hợp A có n phần tử số Ví dụ 3: Một hộp đựng nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi tập A có cầu trắng cầu k phần tử gọi tổ hợp chập k đen n phần tử A (gọi tắt tổ hợp chập k a Có cách lấy cầu A) Như lập tổ hợp chập k A b Có cách lấy lấy k phần tử A (không quan cầu trắng cầu tâm đến thứ tự) đen b Số tổ hợp: c Có cách lấy Số tổ hợp chập k tập hợp có cầu trắng n phần tử kí hiệu Cnk Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử với ≤ k ≤ n k An n ( n − 1)( n − 2) ( n − k + 1) C = = (3) k! k! k n Ví dụ 4: Chứng minh với ≤ k ≤ n ta có: Chú ý 1) Với ≤ k ≤ n ,ta viết cơng thức (3) Cnk + 2Cnk −1 + Cnk − = Cnk+ dạng k Cn = n! (4) k! ( n − k )! 2) Ta quy ước Cn0 = (coi φ tổ hợp chập - Lĩnh hội kiến thức tập hợp có n phần tử) Với quy ước công thức (4) với k=0 Vậy công thức (4) với số nguyên k thỏa mãn 0≤k ≤n c Hai tính chất số tổ hợp 1) Cho số nguyên dương n số nguyên k với ≤ k ≤ n Khi đó, Cnk = Cnn −k 2) Cho số nguyên n k với ≤ k ≤ n Khi đó: Cnk+1 = Cnk + Cnk −1 - Lĩnh hội kiến thức Hoán vị, chỉnh hợp 3.1 Hoán vị a Khái niệm hoán vị: Cho tập hợp A có n ( n ≥ ) phần tử Mỗi Ví dụ 5: Từ chữ số 0; 1; cách xếp n phần tử theo thứ tự, ta 2; 3;4;5 lập bao hoán vị phần tử tập A (gọi nhiêu số tự nhiên thỏa mãn: tắt hốn vị A) a Có chữ số khác b Số hoán vị b Số tự nhiên lẻ có chữ số Kí hiệu số hốn vị tập hợp có n khác phần tử Pn c Số tự nhiên có chữ số Số hoán vị tập hợp có n phần tử khác chia hết cho Pn = n! = n(n − 1)( n − 2) Chỉnh hợp a Khái niệm chỉnh hợp: Cho tập hợp A có n phần tử số Ví dụ 6: Có thể lập bao nguyên k với ≤ k ≤ n Khi lấy k phần tử nhiêu số tự nhiên thoả mãn: A xếp chúng theo thứ tự, ta a Có chữ số khác chỉnh hợp chập k n phần tử b Số tự nhiên chẵn có chữ A (Gọi tắt chỉnh hợp chập k A) Nhận xét: số khác nhau.00 c Số tự nhiên chia hết cho Hai chỉnh hợp khác và có chữ số khác có phần tử chỉnh hợp d Có chữ số khác mà khơng phần tử chỉnh hợp kia, phải có mặt chữ số phần tử hai tổ hợp giống e Có chữ số khác xếp theo thứ tự khác có mặt ba chữ số 0; b Số chỉnh hợp Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử kí hiệu Ank Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n ) Lĩnh hội kiến thức k An = n( n − 1)( n − 2) ( n − k + 1) Nhận xét Hoán vị tập hợp n phần tử chỉnh hợp chập n tập nên n An = Pn = n! Ví dụ 7: Giải phương trình Chú ý 1) Với 0